2024屆湖北省十一校高三聯(lián)考考后提升數(shù)學模擬訓練數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE3湖北省十一校2024屆高三聯(lián)考考后提升數(shù)學模擬訓練一一、選擇題1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以；又因為，所以，所以，又因為表示所有的奇數(shù)，表示部分奇數(shù)，所以∈；所以，故選：A.2.在復平面內(nèi)，復數(shù)的共軛復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意可知，則，所以其虛部為.故選：B.3.已知角的終邊在函數(shù)的圖象上，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為角的終邊在函數(shù)的圖象上，所以，.故選：C4.的外接圓的圓心為，半徑為1，，且，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得：，即：，即外接圓的圓心為邊的中點，則是以為斜邊的直角三角形，結(jié)合有為等邊三角形，故，故，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為.故選：D.5.已知直四棱柱的底面為正方形，，為的中點，則過點，和的平面截直四棱柱所得截面的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，過點作的平行線，交于點，則為的中點，連接，則過點，和的平面截直四棱柱所得截面即四邊形．易得，所以四邊形為菱形，連接，則，又，，所以截面面積為，故選：D．6.已知的展開式中常數(shù)項為20，則（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗，其通項公式為：，當時，，解得：.故選：A.7.已知為坐標原點，橢圓上兩點滿足，若橢圓上一點滿足，則的最大值是（）A.1 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，由，得，所以，由，得，即，又，因此，而，于是，當且僅當時取等號，所以的最大值為.故選：B8.若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則正實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由不等式，即，令，即有，又由，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，令，問題轉(zhuǎn)化為存在，使得，因為，令，可得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為，所以當時，，若存在，使得成立，只需且，解得，因為，所以.故選：A.二、選擇題9.醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內(nèi)?中?外三層.內(nèi)層為親膚材質(zhì)（普通衛(wèi)生紗布或無紡布），中層為隔離過濾層（超細聚丙烯纖維熔噴材料層），外層為特殊材料抑菌層（無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層）.根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗標準，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標，根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，某企業(yè)在生產(chǎn)線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率（0.9372，0.01392）.則下列結(jié)論正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：若（），則，，.）A.B.C.D.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記Y表示一天內(nèi)抽取的50只口罩中過濾率大于的數(shù)量，則〖答案〗ABD〖解析〗由題意可知，正態(tài)分布的.選項A，因為，所以，故A正確；選項B，因為，且，所以，故B正確；選項C，因為，所以，故C錯誤；選項D，因為一只口罩過濾率小于等于的概率為，又因為，故D正確.故選：ABD.10.已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且，則下列說法正確的是（）A. B. C.當時，取得最小值 D.〖答案〗BC〖解析〗由題意可知，故B正確D錯誤；所以，故A錯誤；而，所以當時，取得最小值，故C正確.故選：BC.11.如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，是線段的中點，則（）A.當在平面上運動時，三棱錐的體積為定值B.當在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C.當直線與平面所成的角為時，點的軌跡長度為D.當在底面上運動，且滿足平面時，線段長度的取值范圍是〖答案〗ACD〖解析〗對A：當在平面上運動時，三棱錐的底面為三角形，其面積為定值，又點到面的距離即平面到平面的距離，也為定值，故三棱錐的體積不變，A正確；對B：連接，設(shè)其交點為，連接，作圖如下所示：因為面，故面，又面，故；當點在上運動，因為//，則與所成的角即為與所成的角；當點與點重合時，因為，故可得所成角為；當點異于點時，設(shè)所成的角為，則，故當與重合時，取得最大值，此時取得最小值，最小，此時，三角形為等邊三角形，故可得；綜上所述，當點在上運動時，直線所成角范圍為，故B錯誤；對C：當點與重合時，，也即與底面的夾角為；當點在平面上時（異于點），過作，連接，顯然即為所求線面角；又，又，故，，故當點在平面上時（異于點），與平面的夾角小于，不滿足題意；同理可得，當點在平面上（異于點）時，與平面的夾角也小于，不滿足題意；當點在平面上時，因為，易知點的軌跡為，；當點在平面上時，因為，易知點的軌跡為，；當點在平面上時，因為面//面，故與面所成角與與面所成角相等，因為面，連接，故；在三角形中，易知，故點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，故其軌跡長度為：；當點在面上，不滿足題意；綜上所述：點軌跡的長度為：，故C正確；對D：取的中點分別為，連接，如下所示：因為//面面，故//面；//面面，故//面；又面，故平面//面；又//////，故平面與平面是同一個平面.則點的軌跡為線段；在三角形中，；；；則，故三角形是以為直角的直角三角形；故，故長度的取值范圍是，故D正確.故選：ACD.三、填空題12.設(shè)函數(shù)，則____，使得的實數(shù)的取值范圍是_____．〖答案〗4〖解析〗因為，所以，因此；當時，可化為，即顯然恒成立，所以；當時，，解得；綜上，.故〖答案〗為4；.13.在菱形ABCD中，，，將沿折起，使得．則得到的四面體的外接球的表面積為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)菱形的對角線交點為，因為四邊形為菱形，所以和均是邊長為2的等邊三角形，則，又因為，中，，，由余弦定理可得：，所以，過球心作平面，則為等邊三角形的中心，因為，為公共邊，所以，則有，因為，為等邊三角形的中心，則，，在中，由，可得：，在中，，設(shè)四面體的外接球的半徑為，則，所以四面體的外接球的表面積為，故〖答案〗為：.14.設(shè)數(shù)列滿足，，若且數(shù)列的前項和為，則______．〖答案〗〖解析〗因，設(shè)①，展開整理得：，對照，可得：，解得，故①式為：，因時，，即數(shù)列為常數(shù)列，故，，數(shù)列的前項和為：，．故〖答案〗為：．四、解答題15.如圖在中，，滿足.（1）若，求的余弦值；（2）點是線段上一點，且滿足，若的面積為，求的最小值.解：（1）由題意可設(shè)，在中①在中②由①②可得，解得，則，解得.故.（2），且C、M、D三點共線，所以，，故．，當且僅當時；所以.16.某機構(gòu)從某一電商的線上交易大數(shù)據(jù)中來跟蹤調(diào)查消費者的購買力，界定3至8月份購買商品在5000元及以上人群屬“購買力強人群”，購買商品在5000元以下人群屬“購買力弱人群”．現(xiàn)從電商平臺消費人群中隨機選出200人，發(fā)現(xiàn)這200人中屬購買力強的人數(shù)占80%，并將這200人按年齡分組，分組區(qū)間為，得到頻率直方圖（如圖）．（1）求出頻率直方圖中a的值和這200人的平均年齡．（2）從第組中用分層抽樣的方法抽取5人，并再從這5人中隨機抽取2人進行電話回訪，求這兩人恰好屬于不同組別的概率．（3）把年齡在第組的居民稱為青少年組，年齡在第組的居民稱為中老年組．若選出的200人中“購買力弱人群”的中老年人有20人，問：是否有的把握認為，是否屬“購買力強人群”與年齡有關(guān)？0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828解：（1）由題意得，所以，平均數(shù)為，所以這200人的平均年齡為41.5歲．（2）由題意可知第組中人數(shù)的必為，故利用分層抽樣的方法抽取5人，從第一組抽取2人，從第二組抽取3人．記從第一組抽取的2人為，從第二組抽取的3人為，則從這5人中隨機抽取2人共共10種情形，其中兩人恰好屬于不同組別的共種情形，故所求的概率；（3）由題意知200人中屬購買力強的人數(shù)占80%，有160人，故得列聯(lián)表：

購買力強人群購買力弱人群合計青少年組10020120中老年組602080合計16040200提出假設(shè)：是否屬“購買力強人群”與年齡無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可以求得，所以沒有99%的把握認為，是否屬“購買力強人群”與年齡有關(guān)．17.如圖，在多面體中，四邊形為矩形，直線與平面所成的角為，，，，.（1）求證：直線平面；（2）點在線段上，且，求二面角的余弦值.（1）證明：因為四邊形ABCE為矩形，所以BC∥AD.因為，所以平面同理平面又因為，所以平面平面因為平面，所以平面（2）解：因為，，，所以平面因為平面，所以平面平面過點A作于點，則平面所以由,得，，以為原點，平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則,則，設(shè)平面的法向量為，則由得取其一個法向量為又平面的一個法向量為所以所以二面角B-EG-D的余弦值為.18.已知橢圓的離心率為，且左頂點A與上頂點B的距離.（1）求橢圓的標準方程；（2）不經(jīng)過坐標原點的直線交橢圓于P，Q兩點兩點不與橢圓上、下頂點重合），當?shù)拿娣e最大時，求的值.解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題意，得，可得.又，解得.所以橢圓的標準方程為.（2）設(shè)點到直線距離為.①直線的斜率不存在時.設(shè)直線的方程為，且，則，所以，當時等號成立.即當時，的面積最大，此時，.②當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，且，由消去并整理可得.由題意知.由韋達定理，，則.又，所以，當且僅當時，等號成立.所以當，且）時，的面積最大.此時.綜上所述，當?shù)拿娣e最大時，.19.如果函數(shù)的導數(shù)，可記為．若，則表示曲線，直線以及軸圍成的“曲邊梯形”的面積．（1）若，且，求；（2）已知，證明：，并解釋其幾何意義；（3）證明：，．（1）解：當時，因為，所以設(shè)，又，代入上式可得，所以，當時，；當時，設(shè)，同理可得，綜上，.（2）解：因為，所以，設(shè)，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，故，即；設(shè)，，則恒成立，所以在上單調(diào)遞增，，所以，綜上，.幾何意義：當時，曲線與直線（軸），以及軸圍成的“曲邊面積”大于直線（軸），以及軸，直線圍成的矩形面積，小于（軸），以及軸，直線圍成的矩形面積.（3）證明：因為，所以，設(shè)，則，所以，故.湖北省十一校2024屆高三聯(lián)考考后提升數(shù)學模擬訓練一一、選擇題1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為，所以，所以；又因為，所以，所以，又因為表示所有的奇數(shù)，表示部分奇數(shù)，所以∈；所以，故選：A.2.在復平面內(nèi)，復數(shù)的共軛復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意可知，則，所以其虛部為.故選：B.3.已知角的終邊在函數(shù)的圖象上，則的值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為角的終邊在函數(shù)的圖象上，所以，.故選：C4.的外接圓的圓心為，半徑為1，，且，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由題意可得：，即：，即外接圓的圓心為邊的中點，則是以為斜邊的直角三角形，結(jié)合有為等邊三角形，故，故，則向量在向量方向上的投影數(shù)量為.故選：D.5.已知直四棱柱的底面為正方形，，為的中點，則過點，和的平面截直四棱柱所得截面的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，過點作的平行線，交于點，則為的中點，連接，則過點，和的平面截直四棱柱所得截面即四邊形．易得，所以四邊形為菱形，連接，則，又，，所以截面面積為，故選：D．6.已知的展開式中常數(shù)項為20，則（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗A〖解析〗，其通項公式為：，當時，，解得：.故選：A.7.已知為坐標原點，橢圓上兩點滿足，若橢圓上一點滿足，則的最大值是（）A.1 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗設(shè)，則，由，得，所以，由，得，即，又，因此，而，于是，當且僅當時取等號，所以的最大值為.故選：B8.若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則正實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由不等式，即，令，即有，又由，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，因為，所以，令，問題轉(zhuǎn)化為存在，使得，因為，令，可得；令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又因為，所以當時，，若存在，使得成立，只需且，解得，因為，所以.故選：A.二、選擇題9.醫(yī)用口罩由口罩面體和拉緊帶組成，其中口罩面體分為內(nèi)?中?外三層.內(nèi)層為親膚材質(zhì)（普通衛(wèi)生紗布或無紡布），中層為隔離過濾層（超細聚丙烯纖維熔噴材料層），外層為特殊材料抑菌層（無紡布或超薄聚丙烯熔噴材料層）.根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗標準，醫(yī)用口罩的過濾率是重要的指標，根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，某企業(yè)在生產(chǎn)線狀態(tài)正常情況下生產(chǎn)的醫(yī)用口罩的過濾率（0.9372，0.01392）.則下列結(jié)論正確的是（）（參考數(shù)據(jù)：若（），則，，.）A.B.C.D.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記Y表示一天內(nèi)抽取的50只口罩中過濾率大于的數(shù)量，則〖答案〗ABD〖解析〗由題意可知，正態(tài)分布的.選項A，因為，所以，故A正確；選項B，因為，且，所以，故B正確；選項C，因為，所以，故C錯誤；選項D，因為一只口罩過濾率小于等于的概率為，又因為，故D正確.故選：ABD.10.已知等差數(shù)列的前項和為，公差為，且，則下列說法正確的是（）A. B. C.當時，取得最小值 D.〖答案〗BC〖解析〗由題意可知，故B正確D錯誤；所以，故A錯誤；而，所以當時，取得最小值，故C正確.故選：BC.11.如圖，點是棱長為2的正方體的表面上一個動點，是線段的中點，則（）A.當在平面上運動時，三棱錐的體積為定值B.當在線段上運動時，與所成角的取值范圍是C.當直線與平面所成的角為時，點的軌跡長度為D.當在底面上運動，且滿足平面時，線段長度的取值范圍是〖答案〗ACD〖解析〗對A：當在平面上運動時，三棱錐的底面為三角形，其面積為定值，又點到面的距離即平面到平面的距離，也為定值，故三棱錐的體積不變，A正確；對B：連接，設(shè)其交點為，連接，作圖如下所示：因為面，故面，又面，故；當點在上運動，因為//，則與所成的角即為與所成的角；當點與點重合時，因為，故可得所成角為；當點異于點時，設(shè)所成的角為，則，故當與重合時，取得最大值，此時取得最小值，最小，此時，三角形為等邊三角形，故可得；綜上所述，當點在上運動時，直線所成角范圍為，故B錯誤；對C：當點與重合時，，也即與底面的夾角為；當點在平面上時（異于點），過作，連接，顯然即為所求線面角；又，又，故，，故當點在平面上時（異于點），與平面的夾角小于，不滿足題意；同理可得，當點在平面上（異于點）時，與平面的夾角也小于，不滿足題意；當點在平面上時，因為，易知點的軌跡為，；當點在平面上時，因為，易知點的軌跡為，；當點在平面上時，因為面//面，故與面所成角與與面所成角相等，因為面，連接，故；在三角形中，易知，故點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓弧，故其軌跡長度為：；當點在面上，不滿足題意；綜上所述：點軌跡的長度為：，故C正確；對D：取的中點分別為，連接，如下所示：因為//面面，故//面；//面面，故//面；又面，故平面//面；又//////，故平面與平面是同一個平面.則點的軌跡為線段；在三角形中，；；；則，故三角形是以為直角的直角三角形；故，故長度的取值范圍是，故D正確.故選：ACD.三、填空題12.設(shè)函數(shù)，則____，使得的實數(shù)的取值范圍是_____．〖答案〗4〖解析〗因為，所以，因此；當時，可化為，即顯然恒成立，所以；當時，，解得；綜上，.故〖答案〗為4；.13.在菱形ABCD中，，，將沿折起，使得．則得到的四面體的外接球的表面積為______．〖答案〗〖解析〗設(shè)菱形的對角線交點為，因為四邊形為菱形，所以和均是邊長為2的等邊三角形，則，又因為，中，，，由余弦定理可得：，所以，過球心作平面，則為等邊三角形的中心，因為，為公共邊，所以，則有，因為，為等邊三角形的中心，則，，在中，由，可得：，在中，，設(shè)四面體的外接球的半徑為，則，所以四面體的外接球的表面積為，故〖答案〗為：.14.設(shè)數(shù)列滿足，，若且數(shù)列的前項和為，則______．〖答案〗〖解析〗因，設(shè)①，展開整理得：，對照，可得：，解得，故①式為：，因時，，即數(shù)列為常數(shù)列，故，，數(shù)列的前項和為：，．故〖答案〗為：．四、解答題15.如圖在中，，滿足.（1）若，求的余弦值；（2）點是線段上一點，且滿足，若的面積為，求的最小值.解：（1）由題意可設(shè)，在中①在中②由①②可得，解得，則，解得.故.（2），且C、M、D三點共線，所以，，故．，當且僅當時；所以.16.某機構(gòu)從某一電商的線上交易大數(shù)據(jù)中來跟蹤調(diào)查消費者的購買力，界定3至8月份購買商品在5000元及以上人群屬“購買力強人群”，購買商品在5000元以下人群屬“購買力弱人群”．現(xiàn)從電商平臺消費人群中隨機選出200人，發(fā)現(xiàn)這200人中屬購買力強的人數(shù)占80%，并將這200人按年齡分組，分組區(qū)間為，得到頻率直方圖（如圖）．（1）求出頻率直方圖中a的值和這200人的平均年齡．（2）從第組中用分層抽樣的方法抽取5人，并再從這5人中隨機抽取2人進行電話回訪，求這兩人恰好屬于不同組別的概率．（3）把年齡在第組的居民稱為青少年組，年齡在第組的居民稱為中老年組．若選出的200人中“購買力弱人群”的中老年人有20人，問：是否有的把握認為，是否屬“購買力強人群”與年齡有關(guān)？0.100.050.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.828解：（1）由題意得，所以，平均數(shù)為，所以這200人的平均年齡為41.5歲．（2）由題意可知第組中人數(shù)的必為，故利用分層抽樣的方法抽取5人，從第一組抽取2人，從第二組抽取3人．記從第一組抽取的2人為，從第二組抽取的3人為，則從這5人中隨機抽取2人共共10種情形，其中兩人恰好屬于不同組別的共種情形，故所求的概率；（3）由題意知200人中屬購買力強的人數(shù)占80%，有160人，故得列聯(lián)表：

購買力強人群購買力弱人群合計青少年組10020120中老年組602080合計16040200提出假設(shè)：是否屬“購買力強人群”與年齡無關(guān)．根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)