專題05二次函數(shù)（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)4種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）（解析版）-初中數(shù)學(xué)北師大版9年級(jí)上冊(cè)

專題05二次函數(shù)（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)4種題型1個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)）【目錄】倍速學(xué)習(xí)四種方法【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.二次函數(shù)的概念（重點(diǎn)）知識(shí)點(diǎn)2.列函數(shù)關(guān)系式（難點(diǎn)）【方法二】實(shí)例探索法題型1.已知一個(gè)變量求它的函數(shù)值題型2.建立函數(shù)模型題型3.二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題型4.二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)：忽略了二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況【方法四】成果評(píng)定法【學(xué)習(xí)目標(biāo)】理解二次函數(shù)的概念。掌握二次函數(shù)的一般形式。會(huì)根據(jù)實(shí)際問題列出二次函數(shù)的表達(dá)式。重點(diǎn)：二次函數(shù)的概念的理解。難點(diǎn)：根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)的表達(dá)式?！颈端賹W(xué)習(xí)五種方法】【方法一】脈絡(luò)梳理法知識(shí)點(diǎn)1.二次函數(shù)的概念（重點(diǎn)）1.二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡(jiǎn)的要先將其化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．2.二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，對(duì)實(shí)際問題，自變量的取值范圍還需使實(shí)際問題有意義．要點(diǎn)詮釋：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當(dāng)a=0時(shí)就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時(shí)都為零．a(chǎn)的絕對(duì)值越大，拋物線的開口越小.【例1】．（2023秋?安慶期中）下列函數(shù)中，不是二次函數(shù)的是A． B． C． D．【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義：形如，，為常數(shù)且，逐一判斷即可解答．【解答】解：、，是二次函數(shù)，故不符合題意；、，是二次函數(shù)，故不符合題意；、，是二次函數(shù)，故不符合題意；、，是一次函數(shù)，故符合題意；故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．【變式】．（2023秋?武威期中）已知函數(shù)是二次函數(shù)，則等于A． B．2 C． D．6【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，令且，即可求出的取值范圍．【解答】解：是二次函數(shù)，且，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的定義，要注意二次項(xiàng)系數(shù)不能為0．知識(shí)點(diǎn)2.列函數(shù)關(guān)系式（難點(diǎn)）根據(jù)實(shí)際問題確定二次函數(shù)關(guān)系式關(guān)鍵是讀懂題意，建立二次函數(shù)的數(shù)學(xué)模型來解決問題．需要注意的是實(shí)例中的函數(shù)圖象要根據(jù)自變量的取值范圍來確定．①描點(diǎn)猜想問題需要?jiǎng)邮植僮?，這類問題需要真正的去描點(diǎn)，觀察圖象后再判斷是二次函數(shù)還是其他函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求解相關(guān)的問題．②函數(shù)與幾何知識(shí)的綜合問題，有些是以函數(shù)知識(shí)為背景考查幾何相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是掌握數(shù)與形的轉(zhuǎn)化；有些題目是以幾何知識(shí)為背景，從幾何圖形中建立函數(shù)關(guān)系，關(guān)鍵是運(yùn)用幾何知識(shí)建立量與量的等式．【例2】（2022秋?無為市月考）據(jù)安徽省統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，初步核算2021年安徽省生產(chǎn)總值為42959.2億元，若設(shè)2023年安徽省生產(chǎn)總值為y億元，平均年增長(zhǎng)的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是（）A．y＝42959.2（1+2x） B．y＝42959.2（1﹣x）2 C．y＝42959.2x2 D．y＝42959.2（1+x）2【分析】利用2023年安徽省生產(chǎn)總值＝2021年安徽省生產(chǎn)總值×（1+平均年增長(zhǎng)的百分率）2，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，此題得解．【解答】解：依題意得y＝42959.2（1+x）2，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確找出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022秋?杜集區(qū)校級(jí)月考）進(jìn)入夏季后，某電器商場(chǎng)為減少庫(kù)存，對(duì)電熱取暖器連續(xù)進(jìn)行兩次降價(jià)．若設(shè)平均每次降價(jià)的百分率是x，降價(jià)后的價(jià)格為y元，原價(jià)為a元，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝2a（x﹣1） B．y＝2a（1﹣x） C．y＝a（1﹣x2） D．y＝a（1﹣x）2【分析】原價(jià)為a，第一次降價(jià)后的價(jià)格是a×（1﹣x），第二次降價(jià)是在第一次降價(jià)后的價(jià)格的基礎(chǔ)上降價(jià)的，為a×（1﹣x）×（1﹣x）＝a（1﹣x）2．【解答】解：由題意第二次降價(jià)后的價(jià)格是a（1﹣x）2．則函數(shù)解析式是y＝a（1﹣x）2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題需注意第二次降價(jià)是在第一次降價(jià)后的價(jià)格的基礎(chǔ)上降價(jià)的．【變式2】已知平行四邊形的高與底邊的比是，用表達(dá)式表示平行四邊形的面積S與它的底邊a的關(guān)系，并從圖象觀察平行四邊形的面積隨其底邊的變化而變化的情況．【答案】，圖見解析【分析】首先得出與的關(guān)系，進(jìn)而由圖象得出平行四邊形的面積隨其底邊變化情況．【詳解】解：平行四邊形的高與底邊的比是，，則，如圖所示：平行四邊形的面積隨其底邊增大而增大．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及函數(shù)圖象性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．【方法二】實(shí)例探索法題型1.已知一個(gè)變量求它的函數(shù)值1．圓的半徑是，假設(shè)半徑增加時(shí)，圓的面積增加．（1）寫出y與x之間的關(guān)系式；（2）當(dāng)圓的半徑分別增加時(shí)，圓的面積各增加多少？【答案】（1）；（2），，【分析】（1）根據(jù)圓的面積公式可得，再整理即可．（2）分別把，，2代入可得的值．【詳解】解：（1）由題意得：；（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的面積公式．題型2.建立函數(shù)模型2.（2022?大觀區(qū)校級(jí)開學(xué)）某中學(xué)課外興趣活動(dòng)小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長(zhǎng)為40米的籬笆圍成，已知墻長(zhǎng)為18米（如圖所示），設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米，圍成的苗圃面積為y平方米，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝x（40﹣x） B．y＝x（18﹣x） C．y＝x（40﹣2x） D．y＝2x（40﹣2x）【分析】先用含x的代數(shù)式表示苗圃園與墻平行的一邊長(zhǎng)，再根據(jù)面積＝長(zhǎng)×寬列出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．【解答】解：設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊長(zhǎng)為x米，則苗圃園與墻平行的一邊長(zhǎng)為（40﹣2x）米．依題意可得：y＝x（40﹣2x）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．題型3.二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合3．已知函數(shù)y=（m2-2）x2+（m+）x+8．（1）若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，求m的值；（2）若這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)，求m的取值范圍.【答案】（1）；（2）且．【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義知：二次項(xiàng)的系數(shù)等于零，一次項(xiàng)的系數(shù)不等于零，即可解決問題；（2）根據(jù)二次函數(shù)的定義知：二次項(xiàng)的系數(shù)不等于零，可得方程，根據(jù)解方程，可得答案，即可解決問題；【詳解】（1）由題意得，，解得m=；（2）由題意得，m2-2≠0，解得m≠且m≠-.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)的定義、二次函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念．題型4.二次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系4.（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝30cm，∠A＝60°，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D，E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是ts，過點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接EF．(1)若四邊形AEFD為菱形，則t值為多少？(2)在點(diǎn)D、E的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)四邊形ADFE的面積為y，請(qǐng)求出y與t的函數(shù)關(guān)系式？【答案】(1)5s(2)【分析】（1）由DF∥AE且DF=AE，得四邊形ADFE是平行四邊形，若構(gòu)成菱形，則鄰邊相等即AD=DF，可得關(guān)于t的方程，求解即可；（2）由直角三角形的性質(zhì)可求DF，BF的長(zhǎng)，即可求解．【詳解】（1）解：∵∠B＝90°，∠A＝60°，∴∠C=30°，∴CD=2DF，AC=2AB，∵AC＝30cm，∴AB=15cm，根據(jù)題意得：CD=4tcm，AE=2tcm，則AD=（30-4t）cm，∴DF=2tcm，∴DF=AE，∵DF⊥BC，∴DF∥AE，∴四邊形AEFD是平行四邊形，當(dāng)DF=AD時(shí)，四邊形AEFD為菱形，即30-4t=2t，解得：t=5；（2）解：∵∠B＝90°，AC＝30cm，AB=15cm，CD=4tcm，DF=2tcm，∴，，由（1）得：四邊形AEFD是平行四邊形，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)，菱形的性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，點(diǎn)P是AB邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作AB的垂線交AC邊與點(diǎn)D，以PD為邊作∠DPE=60°，PE交BC邊與點(diǎn)E.（1）當(dāng)點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn)時(shí)，求BE的長(zhǎng)；（2）當(dāng)PD=PE時(shí)，求AP的長(zhǎng)；（3）設(shè)AP的長(zhǎng)為，四邊形CDPE的面積為，請(qǐng)直接寫出與的函數(shù)解析式及自變量的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)含有30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出的長(zhǎng)，從而求出BP的長(zhǎng)，然后求出BE的長(zhǎng)；（2）設(shè)AP=，則BP=4—，根據(jù)含有30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出PD和PE的長(zhǎng)，再根據(jù)PD=PE列出方程即可.（3）分別用AP表示PD、PE、BE,再根據(jù)即可求出.【詳解】（1）在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，∵點(diǎn)D為AC邊的中點(diǎn),∵∠DPE=60°，過點(diǎn)P作AB的垂線交AC邊與點(diǎn)D，∴∠EPB=30°，∴EB（2）設(shè)AP=，則BP=4—，在兩個(gè)含有30°的中得出：AD=2DP，BP=2BE，由勾股定理解得：，∵PD=PE，∴解得即有AP=（3）由（2）知：AP=，【點(diǎn)睛】本題主要考查了含有30°角的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理，以及二次函數(shù)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.6.如圖，在中，，，，現(xiàn)有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以4cm/s的速度沿AC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從點(diǎn)C出發(fā)，以2cm/s的速度沿CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，的面積為S，求：（1）S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，求線段PQ的長(zhǎng)；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，？【答案】（1）；（2）；（3）當(dāng)t為2或3時(shí)，．【分析】（1）由點(diǎn)P點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度和運(yùn)動(dòng)時(shí)間，又知AC，BC的長(zhǎng)，可將CP、CQ用含t的表達(dá)式求出，代入直角三角形面積公式求解即可；（2）當(dāng)時(shí)，代入（1）中公式可得PC，CQ的長(zhǎng)，再由勾股定理即可求出PQ；（3）結(jié)合（1）得到的關(guān)系式，代入條件，列出方程求解即可．【詳解】解：（1）由條件可得：，，∴，∴，；（2）當(dāng)時(shí)，，，∴；（3）由題意可得：，整理得：，解得：，，∴當(dāng)t為2或3時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理的運(yùn)用，方程思想是解決本題的關(guān)鍵．【方法三】差異對(duì)比法易錯(cuò)點(diǎn)：忽略了二次函數(shù)二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況7.（2022秋?蜀山區(qū)校級(jí)月考）若y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是關(guān)于x的二次函數(shù)，則a的值是（）A．1 B．﹣5 C．﹣1 D．﹣5或﹣1【分析】根據(jù)二次函數(shù)定義可得|a+3|＝2且a+1≠0，求解即可．【解答】解：∵函數(shù)y＝（a+1）x|a+3|﹣x+3是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴|a+3|＝2且a+1≠0，解得a＝﹣5，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．易錯(cuò)總結(jié)：求二次函數(shù)中字母參數(shù)的值，要根據(jù)二次函數(shù)定義，在保證二次函數(shù)中含自變量的代數(shù)式是整式的前提下，還必須滿足自變量的最高次數(shù)是2和二次項(xiàng)系數(shù)不為0的條件。解此題時(shí)，容易忽略二次項(xiàng)次數(shù)不為0這個(gè)條件，得出錯(cuò)解-5或-1.【方法四】成果評(píng)定法一、單選題1．（2023上·陜西咸陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）下列各式中，y是x的二次函數(shù)的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義．熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的定義進(jìn)行判斷作答即可．【詳解】解：，是一次函數(shù)，故A不符合要求；，是一次函數(shù)，故B不符合要求；當(dāng)時(shí)，，不是二次函數(shù)，故C不符合要求；，是二次函數(shù)，故D符合要求；故選：D．2．（2023上·山西大同·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，一個(gè)正方體的邊長(zhǎng)為，它的表面積為，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】正方體有6個(gè)面，每一個(gè)面都是邊長(zhǎng)為x的正方形，這6個(gè)正方形的面積和就是該正方體的表面積．【詳解】解：∵正方體有6個(gè)面，每一個(gè)面都是邊長(zhǎng)為x的正方形，∴表面積．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了列二次函數(shù)關(guān)系式，理解兩個(gè)變量之間的關(guān)系是得出關(guān)系式的關(guān)鍵．3．（2024下·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）若是關(guān)于的二次函數(shù)，則的值為（

）A． B．0 C．2 D．【答案】C【詳解】根據(jù)二次函數(shù)的定義：形如（是常數(shù)，且）的函數(shù)叫做二次函數(shù)．據(jù)此可列出關(guān)于參數(shù)的方程與不等式，求解即可．令，解得或，又，故當(dāng)時(shí)，這個(gè)函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，故選C．【易錯(cuò)點(diǎn)分析】明確二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵，尤其需要注意的是二次項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)不等于零，忽略關(guān)于二次項(xiàng)系數(shù)取值范圍的限制，容易導(dǎo)致錯(cuò)選D．4．（2023上·北京朝陽·九年級(jí)?？计谥校┱襟w的棱長(zhǎng)為x，表面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了列二次函數(shù)關(guān)系式，正方體有6個(gè)面，每個(gè)面的面積為據(jù)此可求解．【詳解】解：由題意得，，故選：C．5．（2023上·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某商店購(gòu)進(jìn)某種商品的價(jià)格是7.5元/件，在一段時(shí)間里，單價(jià)是13.5元，銷售量是500件，而單價(jià)每降低1元就可多售出200件，當(dāng)銷售價(jià)為元/件（）時(shí)，獲取利潤(rùn)元，則與的函數(shù)關(guān)系為（）A． B．C． D．以上答案都不對(duì)【答案】D【分析】當(dāng)銷售價(jià)為元件時(shí)，每件利潤(rùn)為元，銷售量為，根據(jù)利潤(rùn)每件利潤(rùn)銷售量列出函數(shù)關(guān)系式即可．【詳解】解：由題意得，故選：D．【點(diǎn)睛】題考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，用含的代數(shù)式分別表示出每件利潤(rùn)及銷售量是解題的關(guān)鍵．6．（2023上·安徽合肥·九年級(jí)校考階段練習(xí)）據(jù)省統(tǒng)計(jì)局公布的數(shù)據(jù)，合肥市2023年第一季度總值約為2.6千億元人民幣，若我市第三季度總值為y千億元人民幣，平均每個(gè)季度GDP增長(zhǎng)的百分率為x，則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】第二季度總值為，第三季度為，得解；【詳解】解：第三季度總值為；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查增長(zhǎng)率問題，理解固定增長(zhǎng)率下增長(zhǎng)一期、二期后的代數(shù)式表達(dá)是解題的關(guān)鍵．7．（2023上·浙江溫州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知某種產(chǎn)品的成本價(jià)為30元/千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該產(chǎn)品每天的銷售量y（千克）與銷售價(jià)x（元/千克）有如下關(guān)系：．設(shè)這種產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)為w（元），則w與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用這種產(chǎn)品每天的銷售利潤(rùn)等于每千克的銷售利潤(rùn)乘以每天的銷售量，即可得出w與x之間的函數(shù)表達(dá)式．【詳解】解：根據(jù)題意得，，即，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出w與x之間的函數(shù)表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．8．（2023上·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考期中）正方形的邊長(zhǎng)為3，若邊長(zhǎng)增加，則面積增加，與的關(guān)系式為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先表示出原邊長(zhǎng)為3的正方形面積，再表示出邊長(zhǎng)增加x后正方形的面積，再根據(jù)面積隨之增加y列出方程即可．【詳解】解：原邊長(zhǎng)為3的正方形面積為：，邊長(zhǎng)增加后邊長(zhǎng)變?yōu)椋?，則面積為：，．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，解題的關(guān)鍵是正確表示出正方形的面積．9．（2023上·河南周口·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的圖象是拋物線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【答案】C【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的定義即可得到，計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：函數(shù)的圖象是拋物線，，，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握形如的函數(shù)叫做二次函數(shù)，是解此題的關(guān)鍵．10．（2023上·北京·九年級(jí)北京八中?？计谥校┤鐖D，是等腰直角三角形，，，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)作，，垂足分別為，，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)．設(shè)，，四邊形的面積為，在運(yùn)動(dòng)過程中，下列說法正確的是（）A．y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，S與x滿足二次函數(shù)關(guān)系，且S存在最大值B．y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，S與x滿足二次函數(shù)關(guān)系，且S存在最小值C．y與x滿足反比例函數(shù)關(guān)系，S與x滿足二次函數(shù)關(guān)系，且S存在最大值D．y與x滿足反比例函數(shù)關(guān)系，S與x滿足二次函數(shù)關(guān)系，且S存在最小值【答案】A【分析】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)和二次函數(shù)的定義，二次函數(shù)求最值．由等腰直角三角形的性質(zhì)可得，再由，，推出和是等腰直角三角形，四邊形是矩形，進(jìn)而可得y與x的關(guān)系，再根據(jù)矩形的面積公式可得S與x的關(guān)系式，化為頂點(diǎn)式，即可得到最值．【詳解】解：是等腰直角三角形，，，，，和是等腰直角三角形，四邊形是矩形，，，，即，y與x滿足一次函數(shù)關(guān)系，，最大值為1，S與x滿足二次函數(shù)關(guān)系，且S存在最大值．故選：A．二、填空題11．（2011上·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下列函數(shù)①；②；③；④；⑤．其中是二次函數(shù)的是．【答案】②④/④②【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，函數(shù)式為整式且自變量的最高次數(shù)為2，二次項(xiàng)系數(shù)不為0，逐一判斷．【詳解】解：①為一次函數(shù)；②為二次函數(shù)；③自變量次數(shù)為3，不是二次函數(shù)；④為二次函數(shù)；⑤函數(shù)式為分式，不是二次函數(shù)．故答案為②④．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義，能夠根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷函數(shù)是否屬于二次函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．12．（2023上·甘肅定西·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)，則．【答案】【分析】此題考查了二次函數(shù)的定義，根據(jù)二次函數(shù)的定義：形如，這樣的函數(shù)叫做二次函數(shù)，得到，，進(jìn)行求解即可．解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的定義．【詳解】解：∵函數(shù)是二次函數(shù)，∴，，∴．故答案為：．13．（2022上·北京朝陽·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形綠地的長(zhǎng)和寬分別為和．若將該綠地的長(zhǎng)、寬各增加，擴(kuò)充后的綠地的面積為，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系是．（填“正比例函數(shù)關(guān)系”、“一次函數(shù)關(guān)系”或“二次函數(shù)關(guān)系”）【答案】二次函數(shù)關(guān)系【分析】根據(jù)矩形面積公式求出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式即可得到答案．【詳解】解：由題意得，∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)關(guān)系，故答案為；二次函數(shù)關(guān)系．【點(diǎn)睛】本題主要考查了列函數(shù)關(guān)系式和二次函數(shù)的定義，正確列出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．14．（2023上·四川南充·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）二次函數(shù)的二次項(xiàng)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是．【答案】5【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可。【詳解】解：二次函數(shù)的二次項(xiàng)是，一次項(xiàng)系數(shù)是，常數(shù)項(xiàng)是，故答案為：①，②，③，【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，要熟練掌握，一般地，形如、、是常數(shù)，的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中、是變量，、、是常量，是二次項(xiàng)系數(shù)，是一次項(xiàng)系數(shù)，是常數(shù)項(xiàng)．15．（2023上·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱風(fēng)華中學(xué)校考階段練習(xí)）用長(zhǎng)為30米的柵欄圍成一個(gè)矩形花壇，其中一邊長(zhǎng)為x米，面積為y平方米，則y與x的函數(shù)關(guān)系為（不要求寫自變量取值范圍）．【答案】或【分析】由籬笆的總長(zhǎng)及一邊長(zhǎng)度，可得出花圃另一邊長(zhǎng)為米，再利用矩形的面積公式，即可得出關(guān)于的函數(shù)解析式．【詳解】解：籬笆的總長(zhǎng)為30米，花圃一邊長(zhǎng)為米，花圃另一邊長(zhǎng)為米．根據(jù)題意得：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)實(shí)際問題列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，找出關(guān)于的函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．16．（2023上·遼寧·九年級(jí)統(tǒng)考期中）某工廠本年度的產(chǎn)值為100萬元，若在今后兩年里產(chǎn)值的年增長(zhǎng)率均為x，兩年后的產(chǎn)值為y萬元．那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式是．【答案】【分析】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問題抽象出二次函數(shù)，掌握二次變化的關(guān)系式是解決本題的關(guān)鍵．兩年后的產(chǎn)值=本年度的產(chǎn)值增長(zhǎng)率，把相關(guān)數(shù)值代入即可．【詳解】解：第一年度的產(chǎn)值為，∴第二年度的產(chǎn)值為，∴．故答案為：17．（2023上·山西太原·九年級(jí)山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）相框邊的寬窄影響可放入相片的大?。鐖D，相框長(zhǎng)，寬，相框邊的寬為，相框內(nèi)的面積是，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為．【答案】【分析】本題主要考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，根據(jù)題意列出函數(shù)整理并求出的取值范圍即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得展開得：整理得：根據(jù)題意，得解得：．∴y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為，故答案為：18．（2023上·廣東廣州·九年級(jí)廣州四十七中?？茧A段練習(xí)）正方形邊長(zhǎng)，若邊長(zhǎng)增加，增加后正方形的面積為，與的函數(shù)關(guān)系式為．【答案】/【分析】本題考查了列二次函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)正方形面積等于邊長(zhǎng)的平方，即可求解．【詳解】解：依題意，，故答案為：．三、解答題19．（2023上·陜西西安·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）當(dāng)為何值時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，可得，且，即可求解．【詳解】解：是二次函數(shù)，，解得，又．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，熟練掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．二次函數(shù)的定義：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．20．（2023上·山東棗莊·九年級(jí)滕州育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)函數(shù)是二次函數(shù)時(shí)，求的值：(2)當(dāng)函數(shù)是一次函數(shù)時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了二次函數(shù)的定義，一次函數(shù)的定義．熟練掌握二次函數(shù)的定義，一次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．（1）由題意知，，計(jì)算求出滿足要求的解即可；（2）由題意知，，計(jì)算求出滿足要求的解即可．【詳解】（1）解：∵函數(shù)是二次函數(shù)，∴，解得，，，，，∴；（2）解：∵函數(shù)是一次函數(shù)，∴，解得，，，，∴．21．（2023上·北京石景山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，，射線于點(diǎn)C，E是線段上一點(diǎn)，F(xiàn)是射線上一點(diǎn)，且滿足．

(1)若，求的長(zhǎng)；(2)設(shè)，，寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．【答案】(1)(2)【分析】（1）如圖，先根據(jù)角的和差可得，再根據(jù)相似三角形的判定可得，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得．（2）由，可得，結(jié)合，，，，可得，則，從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖，

∵，∴，∴，∵，∴，∴，，∴，∵，，，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．（2）∵，∴，∵，，，，∴，∴∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關(guān)鍵．22．（2023上·山東日照·九年級(jí)統(tǒng)考期中）已知方程（m為常數(shù)）．(1)求證：不論m為何值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(2)，是原方程的兩根，且，求m的值．(3)若函數(shù)（m為常數(shù)）不論m為何值，該函數(shù)的圖像都會(huì)經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，求定點(diǎn)