平面向量講義高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

知識點一平面向量的概念【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.平面向量的相關(guān)概念（1）向量的定義：既有大小又有方向的量叫做向量.（2）向量的表示：用有向線段或表示，但注意有向線段與向量并不等價.（3）向量的模：向量的大小，也就是向量的長度，記作或.（4）零向量：大小為，方向任意的向量.（5）單位向量：大小為，方向任意的向量.（6）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的兩個向量，基線包括平行或共線兩種情況.（7）相等向量：大小相等，方向相同的兩個向量.（8）相反向量：大小相等，方向相反的兩個向量.【例題分析】例1．（2024春?中山市月考）下列說法正確的是A．若，則 B．若，，則 C．若，則 D．若，則例2．（2024春?楊浦區(qū)校級期中）下列說法錯誤的是A．若，，則 B．若，，則 C．若與是非零向量且，則與的方向相同或者相反 D．若，都是單位向量，則例3．（2024春?廣西月考）下列說法錯誤的是A． B．，都是單位向量，則 C．若，則 D．零向量方向任意

例4．（2024春?聊城期中）對于任意兩個向量，則下列命題中正確的是A． B． C．若與共線，則存在唯一的實數(shù)，使得 D．若，滿足，且與同向，則例5．（2024春?河北區(qū)校級月考）關(guān)于向量，下列命題中正確的是A．若，則 B．若，則 C．若，則 D．若，則【變式訓(xùn)練】1．（2024春?太和縣校級月考）關(guān)于平面向量，下列說法正確的是A．向量可以比較大小 B．向量的?？梢员容^大小 C．速度是向量，位移是數(shù)量 D．零向量是沒有方向的2．（2024春?保定期中）下列結(jié)論正確的是A．平行向量的方向都相同 B．單位向量都相等 C．零向量與任意向量都不平行 D．兩個單位向量之和可能仍然是單位向量3．（2024春?回民區(qū)月考）設(shè)，是兩個非零向量，則下列描述正確的有A．若，則存在實數(shù)，使得． B．若，則． C．若，則，反向． D．若，則，一定同向4．（2024春?五華區(qū)校級月考）如圖，在中，向量是A．共線向量 B．相等的向量 C．模相等的向量 D．有相同起點的向量5．（2024春?福建月考）下列說法正確的是A．若，，則 B．若，則 C．對任意非零向量，是和它同向的一個單位向量 D．零向量沒有方向知識點二平面向量的線性運算【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.平面向量的線性運算（1）向量的加法：首尾相連，由頭指尾，即；（2）向量的減法：起點相同，由后指前，即；（3）向量的數(shù)乘：一般地，我們規(guī)定實數(shù)與向量的積是一個向量，這種運算叫做數(shù)乘，記作．它的長度和方向規(guī)定如下：=1\*GB3①；=2\*GB3②時，的方向與的方向相同；當(dāng)時，與的方向相反；時，．（4）常見結(jié)論=1\*GB3①,當(dāng)與共線且同向時，當(dāng)與共線且反向時，.=2\*GB3②,當(dāng)與共線且反向時，當(dāng)與共線且同向時，.=3\*GB3③在中，記,，，.=4\*GB3④在中，記,，中點為，則.【例題分析】例1．（2024春?潮安區(qū)校級期中）已知四邊形為正方形，則下列等式中成立的是A． B． C． D．例2．（2024春?東莞市期中）A． B． C． D．例3．（2023春?潮陽區(qū)校級期中）在四邊形中，，，，則四邊形的形狀是A．長方形 B．平行四邊形 C．菱形 D．梯形

例4．（2023春?順德區(qū)校級期中）已知，，，則A．、、三點共線 B．、、三點共線 C．、、三點共線 D．、、三點共線【變式訓(xùn)練】1．（2024春?電白區(qū)期中）化簡的結(jié)果等于A． B． C． D．2．（2024春?寶安區(qū)月考）在中，A． B． C． D．03．（2023春?東莞市校級月考）下列各式中結(jié)果為零向量的是A． B． C． D．4．（2023春?龍華區(qū)校級期中）如圖，在正六邊形中，A． B． C． D．

知識點三平面向量的基本定理【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.平面向量基本定理：如果是平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù),使得；2.平面向量的共線定理：向量與非零向量共線，則有且只有一個實數(shù)，使．3.三點共線：若點三點共線，點不在所在直線上，則存在唯一的與，使得,且.【例題分析】例1．已知，是不共線的非零向量，則以下向量可以作為基底的是（

）A．， B．，C．， D．，例2．（2024?汕頭模擬）已知四邊形是平行四邊形，，，則A． B． C． D．例3．（2022?新高考Ⅰ）在中，點在邊上，．記，，則A． B． C． D．例4．（2023?花都區(qū)校級模擬）如圖，在中，點為線段的中點，點，分別是線段上靠近，的三等分點，則A． B． C． D．

例5．（2024?福田區(qū)校級模擬）點是平行四邊形的中心，為的中點，若，則A．1 B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．設(shè)是平面內(nèi)所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的一組是（

）A．和 B．和C．和 D．和2．（2024?番禺區(qū)校級模擬）已知在中，點在邊上，且，則A． B． C． D．3．（2024?順德區(qū)模擬）在中，，若，線段與交于點，則A． B． C． D．4．（2024?中山市校級模擬）中，為中點，設(shè)向量，，，則A． B． C． D．5．（2020?海南）在中，是邊上的中點，則A． B． C． D．6．（2023春?順德區(qū)校級期中）已知，，，則A．、、三點共線 B．、、三點共線 C．、、三點共線 D．、、三點共線

知識點四平面向量的數(shù)量積【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.（為與的夾角，夾角必須有公共起點）；2.若，則；3.，即；4.在上的投影為；在上的投影向量為；5.若與所稱之角為銳角，則且與不共線；若與所稱之角為鈍角，則且與不共線.【例題分析】例1．（2022?甲卷）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且，，則．例2．（2020?新課標(biāo)Ⅱ）已知單位向量，的夾角為，與垂直，則．例3．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)，為單位向量，且，則．例4．（2024?新高考Ⅱ）已知向量，滿足：，，且，則A． B． C． D．1例5．（2020?新課標(biāo)Ⅲ）已知向量，滿足，，，則，A． B． C． D．例6．（2023?新高考Ⅱ）已知向量，滿足，，則．例7．（2022?上海）若平面向量，且滿足，，，則．例8．（2021?新高考Ⅱ）已知向量，，，則．例9．（2021?甲卷）若向量，滿足，，，則．例10．（2023?赤坎區(qū)二模）已知向量，滿足，，則A． B． C． D．

例11．（2024?廣東模擬）若兩個非零向量，滿足，則向量與的夾角為A． B． C． D．例12．（2023?深圳一模）已知，為單位向量，且，則與的夾角為A． B． C． D．例13．（2020?北京）已知正方形的邊長為2，點滿足，則；．例14．（2024?白云區(qū)模擬）已知，是夾角為的兩個單位向量，若向量在向量上的投影向量為，則A． B．2 C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2021?上海）如圖正方形的邊長為3，求．2．（2021?浙江）已知非零向量，，，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2020?新課標(biāo)Ⅱ）已知單位向量，的夾角為，則在下列向量中，與垂直的是A． B． C． D．4．（2022?乙卷）已知向量，滿足，，，則A． B． C．1 D．25．（2024?潮陽區(qū)模擬）若都為非零向量，且，，則向量的夾角為A． B． C． D．

6．（2024?東莞市一模）在中，，，，則A． B．16 C． D．97．（2023?廣州二模）已知兩個非零向量，滿足，，則A． B． C． D．8．（2023?乙卷）正方形的邊長是2，是的中點，則A． B．3 C． D．59．（2023?甲卷）向量，，且，則，A． B． C． D．10．（2024?湛江一模）已知向量，均為單位向量，，若向量與向量的夾角為，則A． B． C． D．11．（2024?海珠區(qū)模擬）已知單位向量與的夾角為，則與的夾角為A． B． C． D．12．（2024?荔灣區(qū)模擬）已知，，則在上的投影向量為A． B． C． D．13．（2024?羅湖區(qū)模擬）已知，若與的夾角為，則在上的投影向量為A． B． C． D．

知識點五平面向量的坐標(biāo)運算【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.平面向量的正交分解與坐標(biāo)運算（1）設(shè)，，則=1\*GB3①；=2\*GB3②；=3\*GB3③；=4\*GB3④；=5\*GB3⑤；=6\*GB3⑥.（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點，，.（3）夾角問題：，.【例題分析】例1．（2022?乙卷）已知向量，，則A．2 B．3 C．4 D．5例2．（2022?港澳臺）已知向量，．若，則A． B． C． D．例3．（2020?新課標(biāo)Ⅰ）設(shè)向量，，若，則．例4．（2024?新高考Ⅰ）已知向量，，若，則A． B． C．1 D．2例5．（2023?新高考Ⅰ）已知向量，．若，則A． B． C． D．

例6．（2023?北京）已知向量，滿足，，則A． B． C．0 D．1例7．（2022?新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，則A． B． C．5 D．6例8．（2021?港澳臺）已知向量，，則的最大值是A．7 B．5 C．4 D．1例9．（2021?新高考Ⅰ?多選）已知為坐標(biāo)原點，點，，，，，則A． B． C． D．【變式訓(xùn)練】1．（2023?上海）已知向量，，則．2．（2022?甲卷）已知向量，．若，則．3．（2021?乙卷）已知向量，，若，則．4．（2021?乙卷）已知向量，，若，則．5．（2021?甲卷）已知向量，，．若，則．6．（2023?甲卷）已知向量，，則，A． B． C． D．7．（2023?港澳臺）設(shè)向量，，若，則A．5 B．2 C．1 D．08．（2024?佛山模擬）已知平面向量，，則在上的投影向量為A． B． C． D．

知識點六以向量為背景的多結(jié)論問題【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.若求平面向量的數(shù)量積，常見的處理方法有以下四種：（1）方法一：定義直接展開：；（2）方法二：線性運算代換：若，則；（3）方法三：建系坐標(biāo)代換：若，則；（4）方法四：利用三角函數(shù)進(jìn)行代換：在中，為直角，，在任意中，可利用正弦定理進(jìn)行轉(zhuǎn)換;適用條件：=1\*GB3①若已知、和夾角，可用方法一；=2\*GB3②若、與存在未知數(shù)且能線性代換，可用方法二；=3\*GB3③若存在直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、菱形、矩形、正方形、直角梯形等特殊圖形，可用方法三；=4\*GB3④若存在直角三角形或知道兩角一邊，可利用方法四.2.以平面向量的數(shù)量積為背景的最值問題常見處理方法（1）方法一：三角函數(shù)法：若代數(shù)式可化為的性質(zhì)，可利用三角函數(shù)的值域進(jìn)行求解；（2）方法二：基本不等式法：若代數(shù)式可化為的形式，可利用基本不等式進(jìn)行求解；（3）方法三：二次函數(shù)法：若代數(shù)式可化為的形式，可利用二次函數(shù)進(jìn)行求解；（4）方法四：投影法：若中，已知或，則或可利用向量投影進(jìn)行求解；注意事項：=1\*GB3①不管使用哪種方法求最值，均需討論最值何時能取到；=2\*GB3②若換元，則需注意新變量的取值范圍.3.常見結(jié)論在中，記,，，，.（1）.（2）若，則.（3）若，或者平分與的夾角，則.【例題分析】題型一：利用三角函數(shù)求最值例1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知中，，點P在平面ABC內(nèi)，，則的最大值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4例2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．例3.已知矩形的邊長，，點,分別在邊，上，且，則的最小值為_______.題型二：利用基本不等式求最值例1．（2023春·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中校考階段練習(xí)）平面向量，滿足，且，則與夾角的余弦值的最大值是（

）A． B． C． D．例2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）在中，，邊的中點為D，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．例3．（2023春·廣東云浮·高一?？茧A段練習(xí)）在中，D為BC上一點.若，則的最小值為（

）A． B． C． D．

例4．（2022秋·湖南岳陽·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知面積為6的直角中，為斜邊上的兩個三等分點，則的最小值為（

）A． B． C．8 D．題型三：利用二次函數(shù)求最值例1．（2023春·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在等腰直角中，斜邊，為線段BC上的動點，且，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．6例2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）是邊長為6的等邊三角形，點，分別在邊，上，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．例3．（2023·全國·高一專題練習(xí)）邊長為2的正六邊形中，M為邊CD上的動點，則的最小值為（

）A． B．6 C．4 D．例4．（2021春·陜西渭南·高一?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，點E是的中點，點F在上．(1)若點F是上靠近C的三等分點，設(shè)，求的值；(2)若，求的最值．

例5．（2023春·江蘇鹽城·高一鹽城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，，，．(1)求角A和DE的長；(2)若M是線段BC上的一個動點（包括端點），求的最值．題型四：利用投影法求最值例1．（2023春·廣東佛山·高一佛山市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正六邊形邊長為1，記，從點這六點中任取兩點為的起點和終點，則的最大值為___________.例2．（2022春·上海楊浦·高一上海市控江中學(xué)校考期中）已知是邊長為1的正六邊形的邊上的任意一點，則的取值范圍是________.例3．（2022·上海·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是邊長為2的正六邊形內(nèi)的一點，則的取值范圍是__________.知識點七奔馳定理與四心問題【基礎(chǔ)指數(shù)框架】1.奔馳定理：已知為內(nèi)任意一點，則有.推論：若為內(nèi)任意一點，且，則_____________________________.2.三角形內(nèi)心：=1\*GB3①定義：三角形內(nèi)接圓圓心，三角形內(nèi)角角平分線的交點，內(nèi)心到三角形各邊距離相等.=2\*GB3②性質(zhì)：若為三角形的內(nèi)心，則.證明：由奔馳定理知，即.3.三角形外心：=1\*GB3①定義：三角形外接圓圓心，三角形各邊的垂直平分線的交點，到頂點距離相等（）.=2\*GB3②性質(zhì)：若為三角形的外心，則.證明：由奔馳定理知，即.4.三角形重心：=1\*GB3①定義：三角形三條中線的交點，重心將中線分為的線段.=2\*GB3②性質(zhì)：若為三角形的重心，.5.三角形垂心