2025版一輪高考總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)第一章　集合、常用邏輯用語與不等式第一節(jié)　集合

第一節(jié)集合1.通過實(shí)例，了解集合的含義，理解元素與集合的屬于關(guān)系；針對具體問題，能在自然語言和圖形語言的基礎(chǔ)上，用符號語言刻畫集合；在具體情境中，了解全集與空集的含義.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識別給定集合的子集.3.理解兩個集合的并集與交集的含義，能求兩個集合的并集與交集；理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義，能求給定子集的補(bǔ)集；能使用Venn圖表達(dá)集合的基本關(guān)系與基本運(yùn)算，體會圖形對理解抽象概念的作用.1.元素與集合（1）集合元素的三個特性：確定性、無序性、互異性；（2）集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法；（3）元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為∈；不屬于，記為?；（4）五個特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N＋表示正整數(shù)集，N表示非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集），Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.提醒（1）解題時，應(yīng)注意檢查集合的元素是否滿足互異性；（2）N為自然數(shù)集（即非負(fù)整數(shù)集），包含0，而N*（N＋）表示正整數(shù)集，不包含0.2.集合間的基本關(guān)系表示關(guān)系自然語言符號語言圖形語言子集集合A中任意一個元素都是集合B中的元素A?（或B?A）或真子集集合A?B，但存在元素x∈B，且x?AA?B（或B?A）集合相等集合A，B中元素相同A＝B提醒（1）A?B包含兩層含義：A?B或A＝B；（2）若A?B，要分A＝?或A≠?兩種情況討論，不要忽略A＝?的情況.3.集合的基本運(yùn)算類別表示并集交集補(bǔ)集圖形語言符號語言A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}?UA＝{x｜x∈U，且x?A}1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）任何一個集合都至少有兩個子集.（×）（2）{0，2，1}和{0，1，2}是同一個集合.（√）（3）集合{x｜x＝x3}用列舉法表示為{－1，1}.（×）（4）若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.（×）（5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.（×）2.（2023·全國乙卷2題）設(shè)全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，則M∪?UN＝（）A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8}C.{1，2，4，6，8} D.U解析：A因?yàn)閁＝{0，1，2，4，6，8}，M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，所以?UN＝{2，4，8}，所以M∪?UN＝{0，2，4，6，8}.故選A.3.（多選）已知集合P＝{x｜x2＝4}，則（）A.2∈P B.P＝{－2，2}C.{?}?P D.P?N解析：ABP＝{x｜x2＝4}＝{－2，2}，故2∈P，故A、B正確.?不是P中的元素，故C錯誤.因?yàn)椋??N，故P?N錯誤，故D錯誤.4.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，則實(shí)數(shù)x＝1或4.解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.5.若集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，則A∪B＝R，A∩B＝{x｜－1＜x≤1或4≤x＜5}.解析：因?yàn)锳＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x｜x≤1或x≥4}，借助數(shù)軸如圖①，所以A∪B＝R，如圖②，所以A∩B＝{x｜－1＜x≤1或4≤x＜5}.1.子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.2.若有限集A中有n個元素，則A的子集有2n個，真子集有2n－1個，非空子集有2n－1個，非空真子集有2n－2個.3.等價關(guān)系：A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.1.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，則A∩B的子集個數(shù)為（）A.4 B.6C.8 D.9解析：C因?yàn)锳＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，所以A∩B＝{2，3，4}，由結(jié)論2得A∩B的子集個數(shù)為23＝8，故選C.2.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－∞，1].解析：如圖，在數(shù)軸上表示出A，B.由結(jié)論3可得A?B，所以a≤1.集合的基本概念【例1】（1）已知集合A＝{1，2，3}，則B＝{（x，y）｜x∈A，y∈A，｜x－y｜∈A}中所含元素的個數(shù)為（）A.2 B.4C.6 D.8（2）設(shè)a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝{0，ba，b}，則a2024＋b2025＝（A.0 B.1C.2 D.4答案：（1）C（2）C解析：（1）因?yàn)锳＝{1，2，3}，所以B＝{（2，1），（3，1），（3，2），（1，2），（1，3），（2，3）}，共6個元素.故選C.（2）由題意知a≠0，因?yàn)閧1，a＋b，a}＝{0，ba，b}.所以a＋b＝0，則ba＝－1，所以a＝－1，b＝1.故a2024＋b解題技法解決與集合含義有關(guān)問題的關(guān)鍵（1）確定構(gòu)成集合的元素是點(diǎn)集、數(shù)集、還是其他類型的集合；（2）確定元素的限制條件；（3）根據(jù)元素的特征（滿足的條件）構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題.提醒集合中元素的互異性容易忽略，求解問題時要特別注意.1.已知集合A＝x｜x∈Z，且32－x∈Z，則集合A中的元素個數(shù)為（A.2 B.3C.4 D.5解析：C因?yàn)閤∈Z，且32－x∈Z，所以2－x的取值有－3，－1，1，3，所以x的值分別為5，3，1，－1，故集合A中的元素個數(shù)為2.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，則m＝－32解析：令m＋2＝3，得m＝1，此時2m2＋m＝3，不合題意.令2m2＋m＝3，得m＝－32或m＝1（舍去）.若m＝－32，則m＋2＝12，滿足條件，所以m＝集合間的基本關(guān)系【例2】（必修第一冊第9頁5（2）題改編）已知集合A＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，若B?A，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A.[1，＋∞） B.（－∞，1]C.（1，＋∞） D.（－∞，1）解析：B因?yàn)锳＝{x｜x＞a}，B＝{x｜1＜x＜2}，且B?A.用數(shù)軸表示其關(guān)系如圖.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為a≤1.故選B.（變條件）若本例條件變?yōu)椋阂阎螦＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}.若A?B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（3，＋∞）.解析：因?yàn)锳＝{x｜2a－3≤x≤a}，B＝{x｜1＜x＜2}，且A?B.①當(dāng)A＝?時，2a－3＞a，則a＞3，滿足題意；②當(dāng)A≠?時，用數(shù)軸表示其關(guān)系如圖，所以2a－3≤a，2a－3>1，a<2.即a≤3解題技法1.判斷集合間關(guān)系的常用方法（1）列舉法：先用列舉法表示集合，再從元素中尋求關(guān)系；（2）化簡集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表達(dá)式比較復(fù)雜，往往需化簡表達(dá)式，再尋求兩個集合的關(guān)系；（3）數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖直觀判斷.2.由集合間的關(guān)系求參數(shù)的解題策略已知集合間的關(guān)系求參數(shù)時，關(guān)鍵是將集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析并對參數(shù)進(jìn)行討論.確定參數(shù)所滿足的條件時，一定要把端點(diǎn)值代入進(jìn)行驗(yàn)證，否則易增解或漏解.提醒當(dāng)B為A的子集時，易漏掉B＝?的情況.1.設(shè)全集U＝R，則集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的關(guān)系可表示為（）解析：A因?yàn)镹＝{x｜x（x－2）log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故選A.2.已知集合A＝{x｜x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N｜x2－6x＜0}，則滿足A?C?B的集合C的個數(shù)為（）A.4 B.6C.7 D.8解析：C∵A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且A?C?B，∴集合C的所有可能為{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7個.集合的基本運(yùn)算考向1集合的運(yùn)算【例3】（1）（2023·全國甲卷1題）設(shè)全集U＝Z，集合M＝{x｜x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x｜x＝3k＋2，k∈Z}，則?U（M∪N）＝（）A.{x｜x＝3k，k∈Z}B.{x｜x＝3k－1，k∈Z}C.{x｜x＝3k－2，k∈Z}D.?（2）（2024·廣東聯(lián)考）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}，則圖中陰影部分表示的集合為（）A.[－1，3] B.（3，＋∞）C.（－∞，3] D.[－1，3）答案：（1）A（2）D解析：（1）法一（列舉法）M＝{…，－2，1，4，7，10，…}，N＝{…，－1，2，5，8，11，…}，所以M∪N＝{…，－2，－1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以?U（M∪N）＝{…，－3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍數(shù)，即?U（M∪N）＝{x｜x＝3k，k∈Z}，故選A.法二（描述法）集合M∪N表示被3除余1或2的整數(shù)集，則它在整數(shù)集中的補(bǔ)集是恰好被3整除的整數(shù)集，故選A.（2）集合A＝{x｜x＜－1或x＞3}，B＝{x｜y＝ln（3－x）}＝{x｜x＜3}，所以題圖中陰影部分表示的集合為（?UA）∩B＝{x｜－1≤x≤3}∩{x｜x＜3}＝{x｜－1≤x＜3}.故選D.解題技法集合基本運(yùn)算的方法技巧考向2利用集合的運(yùn)算求參數(shù)【例4】（2024·九省聯(lián)考）已知集合A＝{－2，0，2，4}，B＝{x｜｜x－3｜≤m}.若A∩B＝A，則m的最小值為5.解析：B＝{x｜｜x－3｜≤m}＝{x｜3－m≤x≤3＋m}，又A∩B＝A，則A?B，所以3+m≥4，3－m≤－解題技法利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的方法（1）與不等式有關(guān)的集合，一般利用數(shù)軸解決，要注意端點(diǎn)值的取舍；（2）若集合中的元素能一一列舉，則一般先用觀察法得到集合中元素之間的關(guān)系，再列方程（組）求解.考向3集合的新定義問題【例5】（2024·長沙模擬）給定數(shù)集M，若對于任意a，b∈M，有a＋b∈M，且a－b∈M，則稱集合M為閉集合，則下列說法中正確的是（）A.集合M＝{－4，－2，0，2，4}為閉集合B.正整數(shù)集是閉集合C.集合M＝{n｜n＝3k，k∈Z}為閉集合D.若集合A1，A2為閉集合，則A1∪A2為閉集合解析：C選項(xiàng)A：當(dāng)集合M＝{－4，－2，0，2，4}時，2，4∈M，而2＋4＝6?M，所以集合M不為閉集合，A選項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)B：設(shè)a，b是任意的兩個正整數(shù)，則a＋b∈M，當(dāng)a＜b時，a－b是負(fù)數(shù)，不屬于正整數(shù)集，所以正整數(shù)集不為閉集合，B選項(xiàng)錯誤；選項(xiàng)C：當(dāng)M＝{n｜n＝3k，k∈Z}時，設(shè)a＝3k1，b＝3k2，k1，k2∈Z，則a＋b＝3（k1＋k2）∈M，a－b＝3（k1－k2）∈M，所以集合M是閉集合，C選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D：設(shè)A1＝{n｜n＝3k，k∈Z}，A2＝{n｜n＝2k，k∈Z}，由C可知，集合A1，A2為閉集合，2，3∈（A1∪A2），而（2＋3）?（A1∪A2），故A1∪A2不為閉集合，D選項(xiàng)錯誤.解題技法解決以集合為背景的新定義問題的關(guān)鍵（1）緊扣新定義：首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程中，這是破解新定義集合問題的關(guān)鍵所在；（2）用好集合的性質(zhì)：解題時要善于從題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì).1.（2023·全國乙卷2題）設(shè)集合U＝R，集合M＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，則{x｜x≥2}＝（）A.?U（M∪N） B.N∪?UMC.?U（M∩N） D.M∪?UN解析：A因?yàn)镸＝{x｜x＜1}，N＝{x｜－1＜x＜2}，所以M∪N＝{x｜x＜2}，所以?U（M∪N）＝{x｜x≥2}.故選A.2.已知集合A＝{x｜2＜x＜3}，B＝{x｜x＞m}，且（?RA）∪B＝R，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.m≥2 B.m＜2C.m≤2 D.m＞2解析：C∵A＝{x｜2＜x＜3}，∴?RA＝（－∞，2]∪[3，＋∞），∵（?RA）∪B＝R，∴m≤2.3.對于任意兩集合A，B，定義A－B＝{x｜x∈A且x?B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），記A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，則A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}.解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}.1.設(shè)集合A＝{x｜x≥1}，B＝{x｜－1＜x＜2}，則A∩B＝（）A.{x｜x＞－1} B.{x｜x≥1}C.{x｜－1＜x＜1} D.{x｜1≤x＜2}解析：D因?yàn)榧螦＝{x｜x≥1}，B＝{x｜－1＜x＜2}，所以A∩B＝{x｜1≤x＜2}.故選D.2.（2022·全國乙卷1題）設(shè)全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M滿足?UM＝{1，3}，則（）A.2∈M B.3∈MC.4?M D.5?M解析：A由題意知M＝{2，4，5}，故選A.3.已知集合P＝{x｜x＜3}，Q＝{x∈Z｜｜x｜＜2}，則（）A.P?Q B.Q?PC.P∩Q＝P D.P∪Q＝Q解析：B由題意，Q＝{x∈Z｜｜x｜＜2}＝{－1，0，1}，P＝{x｜x＜3}，故Q?P，故A錯誤，B正確，又P∩Q＝{－1，0，1}＝Q，P∪Q＝{x｜x＜3}＝P，故C、D錯誤.故選B.4.（2023·新高考Ⅱ卷2題）設(shè)集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2，2a－2}，若A?B，則a＝（）A.2 B.1C.23 D.－解析：B由題意，得0∈B.又B＝{1，a－2，2a－2}，所以a－2＝0或2a－2＝0.當(dāng)a－2＝0時，a＝2，此時A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不滿足A?B，舍去.當(dāng)2a－2＝0時，a＝1，此時A＝{0，－1}，B＝{1，－1，0}，滿足A?B.綜上所述，a＝1.故選B.5.（2024·長春吉大附中預(yù)測）集合A，B滿足A∪B＝{2，4，6，8，10}，A∩B＝{2，8}，A＝{2，6，8}，則集合B中的元素個數(shù)為（）A.3 B.4C.5 D.6解析：B因?yàn)锳∩B＝{2，8}，故{2，8}?B，又A＝{2，6，8}，故6?B，又A∪B＝{2，4，6，8，10}，故B＝{2，4，8，10}，即集合B中的元素個數(shù)為4.故選B.6.（多選）已知全集U＝Z，集合A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，則（）A.A∩B＝{0，1，2}B.A∪B＝{x｜x≥0}C.（?UA）∩B＝{－1}D.A∩B的非空真子集個數(shù)是6解析：ACDA＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}＝{x｜x≥－12，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，A∩B＝{0，1，2}，故A正確；A∪B＝{x｜x≥－1，x∈Z}，故B錯誤；?UA＝{x｜x＜－12，x∈Z}，所以（?UA）∩B＝{－1}，故C正確；由A∩B＝{0，1，2}，則A∩B的非空真子集個數(shù)是23－2＝6，故D正確.故選A、C7.（多選）若集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，則集合{x｜x≤－3或x≥1}＝（）A.M∩N B.?RMC.?R（M∩N） D.?R（M∪N）解析：BC因?yàn)榧螹＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，所以M∩N＝{x｜－3＜x＜1}，M∪N＝{x｜x≤3}，?RM＝{x｜x≤－3或x≥1}，所以?R（M∩N）＝{x｜x≤－3或x≥1}，?R（M∪N）＝{x｜x＞3}.故選B、C.8.設(shè)集合A＝{x｜x2－4x－5＝0}，若1a－2∈A，則a＝1或解析：由題得A＝{－1，5}，則1a－2＝－1或1a－2＝5，9.已知集合A＝{x｜（x－1）（x－3）＜0}，B＝{x｜2＜x＜4}，則A∩B＝（2，3），A∪B＝（1，4），（?RA）∪B＝（－∞，1]∪（2，＋∞）.解析：由已知得A＝{x｜1＜x＜3}，B＝{x｜2＜x＜4}，所以A∩B＝{x｜2＜x＜3}，A∪B＝{x｜1＜x＜4}，（?RA）∪B＝{x｜x≤1或x＞2}.10.已知集合A＝{x｜x＜－1或x≥0}，B＝{x｜a≤x＜a＋2}，若A∪B＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－2，－1].解析：由題意知，若A∪B＝R，畫出數(shù)軸如圖，則必有a≤－1，a+2≥0，解得－2≤a≤－1，即實(shí)數(shù)a11.設(shè)全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，則圖中陰影部分表示的集合為（）A.{x｜x≥1} B.{x｜x≤1}C.{x｜－1＜x≤1} D.{x｜－1≤x＜2}解析：C∵全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜x＞1}，∴?UB＝{x｜x≤1}，∴圖中陰影部分表示的集合為A∩（?UB）＝{x｜－1＜x＜2}∩{x｜x≤1}＝{x｜－1＜x≤1}.故選C.12.（2024·重慶質(zhì)量調(diào)研）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x－2x2≥－15}，B＝{x｜x≤－3或x≥2}，則A∩?UB＝（）A.［－52，2） B.（－3，－5C.（－3，3] D.（2，3]解析：A因?yàn)閁＝R，B＝{x｜x≤－3或x≥2}，所以?UB＝{x｜－3＜x