九年級(jí)數(shù)學(xué)核心知識(shí)點(diǎn)與常見(jiàn)題型通關(guān)講解練（滬教版）第09講二次函數(shù)的概念與y=ax2(a≠0)的圖象和性質(zhì)（10種題型）（解析版）

第09講二次函數(shù)的概念與y=ax2(a≠0)的圖象和性質(zhì)（10種題型）【知識(shí)梳理】一、二次函數(shù)的定義1.二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．其中x、y是變量，a、b、c是常量，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．y═ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）也叫做二次函數(shù)的一般形式．判斷函數(shù)是否是二次函數(shù)，首先是要看它的右邊是否為整式，若是整式且仍能化簡(jiǎn)的要先將其化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)二次函數(shù)的定義作出判斷，要抓住二次項(xiàng)系數(shù)不為0這個(gè)關(guān)鍵條件．2.二次函數(shù)的取值范圍：一般情況下，二次函數(shù)中自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，對(duì)實(shí)際問(wèn)題，自變量的取值范圍還需使實(shí)際問(wèn)題有意義．要點(diǎn)詮釋?zhuān)喝绻鹹=ax2+bx+c(a,b,c是常數(shù)，a≠0)，那么y叫做x的二次函數(shù)．這里，當(dāng)a=0時(shí)就不是二次函數(shù)了，但b、c可分別為零，也可以同時(shí)都為零．a(chǎn)的絕對(duì)值越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小.二、二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象用描點(diǎn)法畫(huà)出二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象，如圖，它是一條關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)，這樣的曲線(xiàn)叫做拋物線(xiàn).因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y=x2關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以y軸是這條拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，從圖上看，拋物線(xiàn)y=x2的頂點(diǎn)是圖象的最低點(diǎn)。因?yàn)閽佄锞€(xiàn)y=x2有最低點(diǎn)，所以函數(shù)y=x2有最小值，它的最小值就是最低點(diǎn)的縱坐標(biāo).三、二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象的畫(huà)法在平面直角坐標(biāo)系xOy中，按照下列步驟畫(huà)二次函數(shù)的圖像．（1）列表：取自變量x的一些值，計(jì)算相應(yīng)的函數(shù)值y，如下表所示：x…-2-1012……41014…112341234xyxyOO1212-2-1-2-1圖1圖2（2）描點(diǎn)：分別以所取的x的值和相應(yīng)的函數(shù)值y作為點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)，描出這些坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的各點(diǎn)，如圖1所示．（3）連線(xiàn)：用光滑的曲線(xiàn)把所描出的這些點(diǎn)順次聯(lián)結(jié)起來(lái)，得到函數(shù)的圖像，如圖2所示．要點(diǎn)詮釋?zhuān)憾魏瘮?shù)y=ax2(a≠0)的圖象．用描點(diǎn)法畫(huà)二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象，該圖象是軸對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)軸是y軸．y=ax2(a≠0)是最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)，把y=ax2(a≠0)的圖象左右、上下平行移動(dòng)可以得到y(tǒng)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象．畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn)：開(kāi)口方向，對(duì)稱(chēng)軸，頂點(diǎn)，與軸的交點(diǎn)，與軸的交點(diǎn).四：二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象的性質(zhì)二次函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象的性質(zhì)，見(jiàn)下表：函數(shù)圖象開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸函數(shù)變化最大（小）值y=ax2a>0向上（0，0）y軸x>0時(shí)，y隨x增大而增大；x<0時(shí)，y隨x增大而減小.當(dāng)x=0時(shí)，y最小=0y=ax2a<0向下（0，0）y軸x>0時(shí)，y隨x增大而減??；x<0時(shí)，y隨x增大而增大.當(dāng)x=0時(shí)，y最大=0要點(diǎn)詮釋?zhuān)?/p>

頂點(diǎn)決定拋物線(xiàn)的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.│a│相同，拋物線(xiàn)的開(kāi)口大小、形狀相同.│a│越大，開(kāi)口越小，圖象兩邊越靠近y軸，│a│越小，開(kāi)口越大，圖象兩邊越靠近x軸.【考點(diǎn)剖析】題型一．二次函數(shù)例1.下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（）A．y＝ax2+bx+c B．y＝+x C．y＝x（2x﹣1） D．y＝（x+4）2﹣x2【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義判斷即可．【解答】解：A、當(dāng)a＝0時(shí)，該函數(shù)不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；B、該函數(shù)分母含有字母，不是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意；C、該函數(shù)是二次函數(shù)，故本選項(xiàng)符合題意；D、該函數(shù)化簡(jiǎn)后沒(méi)有二次項(xiàng)，是一次函數(shù)，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)定義，解題的關(guān)鍵是掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．【變式】如果函數(shù)y＝（m+1）x+2是二次函數(shù)，那么m＝．【分析】直接利用二次函數(shù)的定義得出m的值．【解答】解：∵函數(shù)y＝（m+1）x+2是二次函數(shù)，∴m2﹣m＝2，（m﹣2）（m+1）＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，故m＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的定義，正確得出m的方程是解題關(guān)鍵．【變式2】是關(guān)于x的二次函數(shù)需要滿(mǎn)足的條件是_____________．【答案】且．【解析】，解得且．【總結(jié)】本題考察二次函數(shù)的概念，二次函數(shù)需滿(mǎn)足二次項(xiàng)系數(shù)不為零．【變式3】二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為a，一次項(xiàng)系數(shù)為b，常數(shù)項(xiàng)為c，則_____．【答案】．【解析】，所以，，，代入得．【總結(jié)】本題考察二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的概念，做題的關(guān)鍵是把函數(shù)化為 一般式．【變式4】已知二次函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)值；（2）當(dāng)取何值時(shí)，函數(shù)值為0？【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）把代入得；（2）把代入得，．【總結(jié)】本題一方面考察了函數(shù)值求解問(wèn)題，已知自變量的值代入函數(shù)解析式即可，另一方面考察了已知函數(shù)值求自變量的值的問(wèn)題．【變式5】下列函數(shù)中（x，t為自變量），哪些是二次函數(shù)？如果是二次函數(shù)，請(qǐng)指出二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．（1）； （2）；（3）； （4）．【答案】（1）是，二次項(xiàng)是、一次項(xiàng)系數(shù)是、常數(shù)項(xiàng)是； （2）不是；（3）是，二次項(xiàng)是、一次項(xiàng)系數(shù)是、常數(shù)項(xiàng)是； （4）不是【解析】形如（）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中叫做二次項(xiàng)、叫做一次項(xiàng)系數(shù)、是常數(shù)項(xiàng)．【總結(jié)】本題考察二次函數(shù)的概念，二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)、常數(shù)項(xiàng)的概念．【變式6】已知函數(shù)．（1）當(dāng)m為何值時(shí)，這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)？（2）當(dāng)m為何值時(shí)，這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)？【答案】（1）；（2）．【解析】（1）當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，則時(shí)，即．（2）當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，則，得．【總結(jié)】本題考察了二次函數(shù)與一次函數(shù)的概念．【變式7】．如圖，有一矩形紙片，長(zhǎng)、寬分別為8厘米和6厘米，現(xiàn)在長(zhǎng)寬上分別剪去寬為x厘米（）的紙條，則剩余部分（圖中陰影部分）的面積y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為_(kāi)___________．【答案】．【解析】陰影部分的長(zhǎng)方形的的長(zhǎng)為，寬為，所以面積．【總結(jié)】此題主要利用長(zhǎng)方形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，其中根據(jù)題意，找到所求量的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式8】某公司4月份的營(yíng)收為80萬(wàn)元，設(shè)每個(gè)月?tīng)I(yíng)收的增長(zhǎng)率相同，且為x()，6月份的營(yíng)收為y萬(wàn)元，寫(xiě)出y關(guān)于x的函數(shù)解析．【答案】【解析】因?yàn)?月份的營(yíng)收為80萬(wàn)元，5月份起，每月增長(zhǎng)率都為，所以5月份的營(yíng) 收為萬(wàn)元，12月份的營(yíng)收為萬(wàn)元．【總結(jié)】本題是平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題，可用公式來(lái)解題．【變式9】用長(zhǎng)為15米的籬笆，一面靠墻（墻的長(zhǎng)度超過(guò)15米），圍成一個(gè)矩形花圃．設(shè)花圃的寬為x米，面積為y平方米，求y與x的函數(shù)解析式及函數(shù)的定義域．【答案】．【解析】設(shè)花圃的寬為x米，則長(zhǎng)為米，∴面積．【總結(jié)】此題主要利用長(zhǎng)方形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，其中根據(jù)題意，找到所求量的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式10】三角形的兩邊長(zhǎng)的和為10厘米，它們的夾角為30°，設(shè)其中一條邊長(zhǎng)為x厘米，三角形的面積為y平方厘米，試寫(xiě)出y與x之間的函數(shù)解析式及定義域．【答案】．【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H．設(shè)厘米，則厘米，∵，∴，三角形面積．【總結(jié)】此題主要利用三角形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式，其中根據(jù)題意，找到所求量的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式11】設(shè)，與成反比例，與成正比例，則y與x的函數(shù)關(guān)系是（）A．正比例函數(shù) B．反比例函數(shù) C．二次函數(shù) D．一次函數(shù)【答案】C．【解析】∵與成反比例，∴設(shè)，∵與成正比例，∴設(shè)，∴，∴y與x的函數(shù)關(guān)系是二次函數(shù)．【總結(jié)】本題主要考察反比例、正比例和二次函數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．【變式12】已知正方形的周長(zhǎng)是C厘米，面積是S平方厘米．（1）求S關(guān)于C的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)S=1平方厘米，求正方形的邊長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）因?yàn)檎叫蔚闹荛L(zhǎng)是C厘米，所以邊長(zhǎng)為厘米，所以；（2）當(dāng)S=1平方厘米，代入得正方形的邊長(zhǎng)為厘米．題型二：二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象例2.已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q（-1，-2），求a的值，并寫(xiě)出它的解析式．在平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出它的圖像．【答案】，．圖像如圖所示：【解析】把Q（-1，-2）代入得，解析式為．【總結(jié)】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式及二次函數(shù)圖像畫(huà)法．【變式】二次函數(shù)的圖像是______，它的對(duì)稱(chēng)軸是______，頂點(diǎn)坐標(biāo)是______，開(kāi)口方向是______．【答案】拋物線(xiàn)；軸；；向下．【解析】圖像為拋物線(xiàn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；對(duì)稱(chēng)軸為軸；，開(kāi)口向上，，開(kāi)口向下【總結(jié)】本題考察二次函數(shù)的性質(zhì)．題型三：利用二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象和性質(zhì)求字母參數(shù)的值例3.拋物線(xiàn)與的形狀相同，則a的值為_(kāi)_____．【答案】．【解析】∵拋物線(xiàn)與的形狀相同，∴，得．【總結(jié)】本題考察二次函數(shù)的性質(zhì)．【變式1】已知關(guān)于的二次函數(shù)，當(dāng)為何值時(shí)，它的圖像開(kāi)口向上？當(dāng)為何值時(shí)，它的圖像開(kāi)口向下？【答案】時(shí)，圖像開(kāi)口向上；時(shí)，圖像開(kāi)口向下．【解析】當(dāng)，即，拋物線(xiàn)圖像開(kāi)口向上；當(dāng)，即，拋物線(xiàn)圖像開(kāi)口向下．【總結(jié)】本題考察二次函數(shù)的開(kāi)口方向與二次項(xiàng)系數(shù)a的關(guān)系．【變式2】已知二次函數(shù)的圖像開(kāi)口向下，求m的值．【答案】．【解析】由題意得，得．【總結(jié)】本題考察了二次函數(shù)的概念和性質(zhì)．題型四：利用二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的圖象和性質(zhì)判斷拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向和大小例4.（1）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)、的圖像；（2）函數(shù)、的圖像與函數(shù)的圖像，有何異同？【答案】（1）如圖：（2）相同點(diǎn)：開(kāi)口方向都向上；頂點(diǎn)都是點(diǎn)；對(duì)稱(chēng)軸都是軸；不同點(diǎn)：開(kāi)口大小不同．【解析】（1）略；（2）圖像頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)；對(duì)稱(chēng)軸為軸；，開(kāi)口向上，，開(kāi)口向下；決定開(kāi)口大小，越大，開(kāi)口越?。究偨Y(jié)】本題考察特殊二次函數(shù)的圖像畫(huà)法及二次函數(shù)圖像的性質(zhì)．【變式】（1）在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)、、的圖 像；（2）函數(shù)、、的圖像與函數(shù)、、的圖像有何異同？【答案】（1）如圖：（2）相同點(diǎn)：相同的開(kāi)口大小一樣；頂點(diǎn)都是原點(diǎn)；對(duì)稱(chēng)軸都是軸；不同點(diǎn)：開(kāi)口方向不同．【解析】（1）略；（2）圖像頂點(diǎn)坐標(biāo)為；對(duì)稱(chēng)軸為軸；，開(kāi)口向上，，開(kāi)口向下；決定開(kāi)口大小，越大，開(kāi)口越?。究偨Y(jié)】本題考察特殊二次函數(shù)的圖像畫(huà)法及二次函數(shù)的性質(zhì)．題型五：一題多解法——比較函數(shù)值的大小例5.函數(shù)y＝x2的圖象對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)上有兩點(diǎn)A(a，15)，B(b，)，則a-b_______0(填“＞”、“＜”或“＝”號(hào))．【答案】＜.【解析】解法一：將A(a，15)，分別代入y＝x2中得：，∴；，又A、B在拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，∴a＜0，b＜0，即，，∴解法二：畫(huà)函數(shù)y＝x2的草圖(如圖所示)，可知在y軸左側(cè)(x＜0)時(shí)，y隨x的增大而減小，又∵，a＜b，即a-b＜0．【總結(jié)升華】利用草圖和函數(shù)的增減性比較函數(shù)值的大小或自變量的大小顯得更簡(jiǎn)單、直觀(guān)，充分運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想．題型六：求二次函數(shù)y=ax2(a≠0)的表達(dá)式例6.如圖，有一座拋物線(xiàn)形拱橋，橋下水面在正常水位AB時(shí)寬20米，水位上升3米到達(dá)警戒線(xiàn)CD，這時(shí)水面寬度10米．（1）在如圖所示的坐標(biāo)系中，求拋物線(xiàn)解析式；（2）若洪水到來(lái)時(shí)，水位以0.2米/時(shí)的速度上升，從警戒線(xiàn)開(kāi)始，再持續(xù)多少時(shí)間才能達(dá)到拱橋頂？xxyABCDO【答案】（1）；（2）5小時(shí)．【解析】（1）設(shè)拋物線(xiàn)解析式為（），如圖，設(shè)，則，把、代入得，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式為．（2）由（1）知，∴（小時(shí)）【總結(jié)】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法及二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．此題為數(shù)學(xué)建模題，借助二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題．【變式】已知一個(gè)二次函數(shù)的的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其拋物線(xiàn)開(kāi)口方向與拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向相反，而拋物線(xiàn)形狀與它相同，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式．【答案】．【解析】∵為二次函數(shù)，∴，解得，， 又∵，∴，可得，∴二次函數(shù)為．∵要求的拋物線(xiàn)與開(kāi)口方向相反，形狀相同，∴要求的這個(gè)二次函數(shù)的解析式為．【總結(jié)】本題考查二次函數(shù)的概念及性質(zhì)．題型七：雙圖像問(wèn)題例7.函數(shù)與的圖像可能是（）xyxyxyxyxyOOOOA．B．C．D．【答案】D．【解析】當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，一次函數(shù)一定過(guò)第一、三象限，當(dāng)時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，一次函數(shù)一定過(guò)第二、四象限．【總結(jié)】本題考察拋物線(xiàn)和直線(xiàn)的性質(zhì)，用假設(shè)法來(lái)解決這種數(shù)形結(jié)合是一種很好的方法．題型八：二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與一次函數(shù)綜合問(wèn)題例8.已知直線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，它們的橫坐標(biāo)分別是3和-2，若拋物線(xiàn)也經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，試求該拋物線(xiàn)的表達(dá)式．該拋物線(xiàn)也經(jīng)過(guò)點(diǎn)B嗎？請(qǐng)說(shuō)出你的理由．【答案】；拋物線(xiàn)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)．【解析】把3和-2分別代入得、，把代入得，∴拋物線(xiàn)的表達(dá)式為；把代入得，與B點(diǎn)縱坐標(biāo)不同，∴拋物線(xiàn)不經(jīng)過(guò)點(diǎn)B．【總結(jié)】本題考察利用待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式．【變式】.物線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)（1，b）．（1）求a和b的值；（2）求拋物線(xiàn)的解析式，并求頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱(chēng)軸；（3）當(dāng)x取何值時(shí)，二次函數(shù)的y值隨x的增大而增大．【答案】（1），；（2），頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為軸；（3）當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值隨的增大而增大．【解析】（1）把（1，b）代入得，∴交點(diǎn)坐標(biāo)為．把代入得，∴；（2）由（1）得拋物線(xiàn)的解析式為，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，對(duì)稱(chēng)軸為軸；（3）∵拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)二次函數(shù)的y值隨x的增大而增大，即當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的值隨的增大而增大．【總結(jié)】本題考察了待定系數(shù)法確定函數(shù)關(guān)系式及二次函數(shù)的性質(zhì)．題型九：二次函數(shù)y=ax2(a≠0)與幾何變換例9.若把拋物線(xiàn)（）沿著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，所得拋物線(xiàn)的表達(dá)式是__________；若把拋物線(xiàn)（）沿著x軸翻折，所得的拋物線(xiàn)的表達(dá)式是__________；由這樣的旋轉(zhuǎn)與翻折分別得到的兩條拋物線(xiàn)______重合的（選填“是”或“不是”）．【答案】；；是．【解析】若把拋物線(xiàn)（）沿著頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，則新的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)軸不變，方向相反，∴新的拋物線(xiàn)的表達(dá)式為；若拋物線(xiàn)（）沿著x軸翻折，則新的拋物線(xiàn)頂點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)軸不變，方向相反，∴新的拋物線(xiàn)的表達(dá)式為．【總結(jié)】本題主要考察了二次函數(shù)圖像與幾何變換．題型十：二次函數(shù)y=ax2(a≠0)中的分類(lèi)討論例10.如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知拋物線(xiàn)（）上有兩個(gè)點(diǎn)A、B，它們的橫坐標(biāo)分別為-1，2．若為直角三角形，求a的值．AABOxy【答案】，．【解析】把橫坐標(biāo)-1，2分別代入（）得、，∴，，，當(dāng)時(shí)，，即，解得，（舍）；當(dāng)時(shí)，，即，解得，（舍）；當(dāng)時(shí)，，，此方程無(wú)解，綜上，當(dāng)為直角三角形，a的值為1或．【總結(jié)】本題主要考察直角三角形的判定和二次函數(shù)的應(yīng)用，要注意在的直角頂點(diǎn)不確定的情況下，要分類(lèi)討論，以免漏解．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2021·上海九年級(jí)一模）下列關(guān)于x的函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】形如：這樣的函數(shù)，則是的二次函數(shù)，根據(jù)定義逐一判斷即可得到答案．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，不是的二次函數(shù)，故錯(cuò)誤；，不是的二次函數(shù)，故錯(cuò)誤；，不是的二次函數(shù)，故錯(cuò)誤；，符合是的二次函數(shù)的定義，故正確；故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．2．（2020·上海九年級(jí)月考）下列函數(shù)中，關(guān)于的二次函數(shù)是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】形如：，則是的二次函數(shù)，根據(jù)定義逐一判斷各選項(xiàng)即可得到答案．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，不是的二次函數(shù)，故錯(cuò)誤；，不是的二次函數(shù)，故錯(cuò)誤；，即，是的二次函數(shù)，故正確；，即，不是的二次函數(shù)，故錯(cuò)誤；故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．（2020·上海九年級(jí)一模）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】將函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行整理，使其右邊含自變量的代數(shù)式，左邊為因變量，右邊為整式，且自變量最高次數(shù)為2的函數(shù)為二次函數(shù)，逐個(gè)判斷即可.【詳解】解：A、是一次函數(shù)，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、右邊不是整式，不是二次函數(shù)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、右邊是整式，自變量最高次數(shù)是2，是二次函數(shù)，故C選項(xiàng)正確；D、整理為是一次函數(shù)，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的定義，是二次函數(shù)，注意含自變量的代數(shù)式是整式.4．（2021·上海九年級(jí)一模）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】函數(shù)解析式中只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的函數(shù)是二次函數(shù)，根據(jù)定義解答．【詳解】A、中含有分式，故不是二次函數(shù)；B、=2x-1，不符合定義，故不是二次函數(shù)；C、符合定義，故是二次函數(shù)；D、中a不確定不等于0，故不是二次函數(shù)；故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．5．（2021·上海九年級(jí)一模）下列函數(shù)中，屬于二次函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】形如y=ax2+bx+c（a≠0），a，b，c是常數(shù)的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中a稱(chēng)為二次項(xiàng)系數(shù)，b稱(chēng)為一次項(xiàng)系數(shù)，c為常數(shù)項(xiàng)，x為自變量，y為因變量，據(jù)此解題．【詳解】A．右邊不是整式，不是二次函數(shù)，故A錯(cuò)誤；B．

右邊是二次根式，不是整式，不是二次函數(shù)，故B錯(cuò)誤；C．是二次函數(shù)，故C正確；D．是一次函數(shù)，故D錯(cuò)誤，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．6．（2021·上海九年級(jí)一模）下列各點(diǎn)在拋物線(xiàn)上的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】將四個(gè)選項(xiàng)中的坐標(biāo)代入拋物線(xiàn)的解析式中，看兩邊是否相等，即可判斷該點(diǎn)是否在拋物線(xiàn)上．【詳解】解：A.2≠2×4，故（2，2）不在拋物線(xiàn)上．

B.4≠2×4，故（2，4）不在拋物線(xiàn)上．

C.8=2×4，故（2，8）在拋物線(xiàn)上．D.16≠2×4，故（2，16）不在拋物線(xiàn)上．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足其解析式．7．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列關(guān)于拋物線(xiàn)和的關(guān)系的說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（）A．它們有共同的頂點(diǎn)和對(duì)稱(chēng)軸B．它們都是關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)C．它們的形狀相同，開(kāi)口方向相反D．點(diǎn)A（-2，4）在這拋物線(xiàn)上，也在拋物線(xiàn)的圖像上．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線(xiàn)的性質(zhì)直接回答即可．【詳解】解：拋物線(xiàn)和的性質(zhì)可知，二次項(xiàng)系數(shù)的絕對(duì)值相等，所以開(kāi)口方向相反，并且都關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，頂點(diǎn)都為原點(diǎn)，但是點(diǎn)A（-2，4）在這拋物線(xiàn)上，但不在拋物線(xiàn)的圖像上，綜上所述，A，B，C選項(xiàng)都正確，只有D錯(cuò)誤，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是了解形如的拋物線(xiàn)的性質(zhì)．8．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）函數(shù)y=ax2（a≠0）的圖象與a的符號(hào)有關(guān)的是（

）A．對(duì)稱(chēng)軸 B．頂點(diǎn)坐標(biāo) C．開(kāi)口方向 D．開(kāi)口大小【答案】C【解析】解：二次函數(shù)圖象中a的符號(hào)決定了拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向，故選C．二、填空題9．（2021·上海九年級(jí)一模）一個(gè)邊長(zhǎng)為2厘米的正方形，如果它的邊長(zhǎng)增加厘米，則面積隨之增加y平方厘米，那么y關(guān)于x的函數(shù)解析式為_(kāi)___．【答案】【分析】首先表示出原邊長(zhǎng)為2厘米的正方形面積，再表示出邊長(zhǎng)增加x厘米后正方形的面積，再根據(jù)面積隨之增加y平方厘米可列出方程．【詳解】原邊長(zhǎng)為2厘米的正方形面積為：2×2＝4（平方厘米），邊長(zhǎng)增加x厘米后邊長(zhǎng)變?yōu)椋簒＋2，則面積為：（x＋2）2平方厘米，∴y＝（x＋2）2?4＝x2＋4x．故答案為：y＝x2＋4x．【點(diǎn)睛】此題主要考查了根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列二次函數(shù)關(guān)系式，關(guān)鍵是正確表示出正方形的面積．10．（2020·上海九年級(jí)一模）如果函數(shù)是二次函數(shù)，那么m＝_____．【答案】2．【分析】直接利用二次函數(shù)的定義得出m的值．【詳解】解：∵函數(shù)是二次函數(shù)，∴m2﹣m＝2，即（m﹣2）（m+1）＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣1，∵m+1≠0，∴m≠﹣1，故m＝2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，掌握二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.11．（2020·上海九年級(jí)月考）如果函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，則__________．【答案】0【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義得到且，然后解不等式和方程即可得到的值．【詳解】∵函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，

∴且，解方程得：或(舍去)，

∴．

故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的定義，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的定義：一般地，形如(是常數(shù)，)的函數(shù)，叫做二次函數(shù)．12．（2021·上海九年級(jí)一模）如果拋物線(xiàn)有最高點(diǎn)，那么的取值范圍是________．【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)有最高點(diǎn)，得出拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，即k+1＜0，即可得出答案．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)有最高點(diǎn)，∴拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，∴k+1＜0，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的最值與開(kāi)口方向的特點(diǎn)．13．（2021·上海九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，則的取值范圍是____________．【答案】m＞1【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：m-1＞0，

∴m＞1；

故答案為：m＞1【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題型．14．（2020·上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）拋物線(xiàn)在y軸的左側(cè)部分是________的．（填“上升”或“下降”）【答案】下降【分析】根據(jù)的圖象即可求解．【詳解】∵a<0，開(kāi)口向上∴拋物線(xiàn)在y軸的左側(cè)部分是下降．故答案為下降．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是熟知的圖象特點(diǎn)．15．（2021·上海九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線(xiàn)y＝（1+a）x2的開(kāi)口向上，則a的取值范圍是_____．【答案】a＞﹣1．【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)得到1+a＞0，然后解關(guān)于a的不等式即可．【詳解】解：∵拋物線(xiàn)y＝（1+a）