2024屆山東省濰坊市高考三模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3山東省濰坊市2024屆高考三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值可以為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，A選項，當(dāng)時，，不合題意，A錯誤；B選項，當(dāng)時，，不合要求，B錯誤；C選項，當(dāng)時，，故C正確；D選項，當(dāng)時，，D錯誤故選：C2.已知集合，則的子集個數(shù)是（）A.3個 B.4個 C.8個 D.16個〖答案〗C〖解析〗由題意得，，則的子集有個，故選：C．3.如圖，半徑為1的圓與軸相切于原點，切點處有一個標(biāo)志，該圓沿軸向右滾動，當(dāng)圓滾動到與出發(fā)位置時的圓相外切時(記此時圓心為)，標(biāo)志位于點處，圓與軸相切于點，則陰影部分的面積是（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由圓與圓外切，得，又圓，圓與軸分別相切于原點和點，則，所以劣弧長等于，所以劣弧對應(yīng)的扇形面積為.故選：B4.某同學(xué)在勞動課上做了一個木制陀螺，該陀螺是由兩個底面重合的圓錐組成．已知該陀螺上、下兩圓錐的體積之比為，上圓錐的高與底面半徑相等，則上、下兩圓錐的母線長之比為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)上、下兩圓錐的底面半徑為，高分別為，體積分別為，因為上圓錐的高與底面半徑相等，所以，則得，，上圓錐的母線為，下圓錐的母線為，所以上、下兩圓錐的母線長之比為，故選：A．5.牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法．如圖，方程的根就是函數(shù)的零點，取初始值的圖象在點處的切線與軸的交點的橫坐標(biāo)為的圖象在點處的切線與軸的交點的橫坐標(biāo)為，一直繼續(xù)下去，得到，它們越來越接近．設(shè)函數(shù)，，用牛頓迭代法得到，則實數(shù)（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，，則在處的切線方程為，由題意得，切線過代入得，，解得，故選：D．6.已知，分別為橢圓：的左、右焦點，點在上，若大于，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因橢圓：，所以，，所以，所以，，因為點在上，所以，所以，，又，，所以，又，，所以，因為大于，所以，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：.7.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不等式等價于，即，構(gòu)造函數(shù)，所以，因為時，，所以對恒成立，所以在單調(diào)遞減，又因，所以不等式等價于，所以，即的解集為.故選：A.8已知，則（）A.8 B.10 C. D.〖答案〗B〖解析〗，其中展開式的通項為，且，當(dāng)時，，此時只需乘以第一個因式中的2，可得；當(dāng)時，，此時只需乘以第一個因式中的，可得.所以故選：B二、多項選擇題9.在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點，則（）A.直線與是異面直線B.直線與所成的角是C.直線平面D.平面截正方體所得的截面面積為.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由于平面，平面，故直線與是異面直線，故A正確；對于B，如圖，連接，因為分別為棱的中點，所以，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，又因為是等邊三角形，所以直線與所成的角為，故直線與所成的角是，故B正確；對于C，如圖，假設(shè)直線平面，又因為平面，所以，而，這三邊不能構(gòu)成直角三角形，所以與不垂直，故假設(shè)錯誤，故C錯誤；對于D，如圖，連接，因為，所以，所以平面截正方體所得的截面為梯形，且，所以梯形的高為，所以截面面積為，故D正確.故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，事件“至少有一個黑球”與事件“至少有一個紅球”是互斥事件B.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，“第一次向上的點數(shù)是1”與“兩次向上的點數(shù)之和是7”是相互獨立事件C.若的平均數(shù)是7，方差是6，則的方差是D.某人在10次射擊中，設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為，且，則的概率最大〖答案〗BCD〖解析〗對于A，事件“至少有一個黑球”與事件“至少有一個紅球”可以同時發(fā)生，所以不是互斥事件，故A錯誤；對于B，設(shè)“第一次向上的點數(shù)是1”，“兩次向上的點數(shù)之和是7”，則，，，因為，所以事件A與B互相獨立，故B正確；對于C，由的平均數(shù)是7，得的平均數(shù)為8，由方差是6，則，所以，所以的方差，故C正確；對于D，由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，令，即，令，解得，即，所以當(dāng)時，最大，故D正確，故選：BCD．11.已知雙曲線的左、右焦點，點在上，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，半徑為，直線交于，若，，則（）A. B.圓心的橫坐標(biāo)為1C. D.的離心率為2〖答案〗ACD〖解析〗對于A中，因為，且三點共線，所以，可得，所以A正確；對于B中，設(shè)切點分別為，則，又因為，所以，所以點為右頂點，圓心的橫坐標(biāo)為2，所以B錯誤；對于C中，因為，所以，由角平分線定理，得，又因為，所以，由可得，所以，可得，所以，則為等腰三角形，所以，解得，所以C正確；對于D中，由離心率，所以D正確.三、填空題12.已知向量，若，則實數(shù)__________〖答案〗〖解析〗，，解得.故〖答案〗為：13.已知關(guān)于的方程的所有正實根從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，請寫出實數(shù)的一個取值為______〖答案〗（〖答案〗不唯一，填寫其中一個即可）〖解析〗〖祥解〗根據(jù)三角降冪公式化簡，再結(jié)合圖象求得的取值即可.【詳析】因為，所以，即，要想方程所有正實根從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，則需要或，所以.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，填寫其中一個即可）.14.已知均為正實數(shù)，函數(shù)．（1）若的圖象過點，則的最小值為______；（2）若的圖象過點，且恒成立，則實數(shù)的最小值為______．〖答案〗（1）9（2）〖解析〗（1）由的圖象過點得，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．由恒成立得，，（2）因為的圖象過點，則，即，當(dāng)時，不合題意舍，所以，即，則，則由得，所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，則時，等號成立，故〖答案〗為：9；．四、解答題15.如圖，在直三棱柱中，，是棱的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。猓海?）取的中點，連接，由直三棱柱得，，，因為是棱的中點，點是的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理可得四邊形為平行四邊形，所以所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）設(shè)，以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，由得，，取，的，設(shè)平面的一個法向量為，由得，，取，的，設(shè)平面與平面的夾角為，則，由圖可知二面角為銳角，則二面角的大小為．16.已知正項等差數(shù)列的公差為2，前項和為，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，所以，即，解得或，又因為，所以，所以.（2），所以，所以為奇數(shù)時，，為偶數(shù)時，，所以前項和.17.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，為直線上一點，動點滿足，.（1）求動點的軌跡的方程;（2）若過點作直線與交于不同的兩點，點，過點作軸的垂線分別與直線交于點.證明：為線段的中點.（1）解：設(shè)點，則，因為，所以，所以，即，所以動點的軌跡方程為：；（2）證明：因為軸，所以設(shè)，，，，若要證為線段的中點，只需證即可，當(dāng)直線斜率不存在或斜率為0時，與拋物線只有一個交點，不滿足題意，所以直線斜率存在且不為0，，設(shè)直線：，，由得，，由題意可知，直線與拋物線有兩個交點，所以，即，所以，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，由題意得，直線方程，所以，直線方程，所以，所以，所以為線段的中點.18.某高校為了提升學(xué)校餐廳的服務(wù)水平，組織4000名師生對學(xué)校餐廳滿意度進(jìn)行評分調(diào)查，按照分層抽樣方法，抽取200位師生的評分(滿分100分)作為樣本，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，并將分?jǐn)?shù)從低到高分為四個等級:滿意度評分滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意（1）求圖中的值，并估計滿意度評分的分位數(shù);（2）若樣本中男性師生比為，且男教師評分為80分以上的概率為0.8，男學(xué)生評分為80分以上的概率0.55，現(xiàn)從男性師生中隨機抽取一人，其評分為80分以上的概率為多少?（3）設(shè)在樣本中，學(xué)生、教師的人數(shù)分別為，記所有學(xué)生的評分為，其平均數(shù)為，方差為，所有教師的評分為，其平均數(shù)為，方差為，總樣本的平均數(shù)為，方差為，若，試求的最小值.（1）解：由頻率分布直方圖的性質(zhì)，可得：，解得，設(shè)分位數(shù)為，由分布直方圖得，所以，解得.（2）解：設(shè)“抽到男學(xué)生”為事件，“評分80分以上”為事件，可得，由全概率公式得.（3）解：由，可得，所以，所以，即，令，則，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，又因為，可得，即，解得或，因為且，所以，所以實數(shù)的最大值為.19.一個完美均勻且靈活的項鏈的兩端被懸掛，并只受重力的影響，這個項鏈形成的曲線形狀被稱為懸鏈線.1691年，萊布尼茨、惠根斯和約翰?伯努利等得到“懸鏈線”方程，其中為參數(shù).當(dāng)時，就是雙曲余弦函數(shù)，類似地雙曲正弦函數(shù)，它們與正、余弦函數(shù)有許多類似的性質(zhì).（1）類比三角函數(shù)的三個性質(zhì)：①倍角公式；②平方關(guān)系；③求導(dǎo)公式寫出雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的一個正確的性質(zhì)并證明；（2）當(dāng)時，雙曲正弦函數(shù)圖象總在直線的上方，求實數(shù)的取值范圍；（3）若，證明：（1）解：平方關(guān)系：；倍角公式：；導(dǎo)數(shù)：.理由如下：平方關(guān)系，；倍角公式：；導(dǎo)數(shù)：，；以上三個結(jié)論，證對一個即可.（2）解：構(gòu)造函數(shù)，，由（1）可知，①當(dāng)時，由，又因為，故，等號不成立，所以，故為嚴(yán)格增函數(shù)，此時，故對任意，恒成立，滿足題意；②當(dāng)時，令，則，可知是嚴(yán)格增函數(shù)，由與可知，存在唯一，使得，故當(dāng)時，，則在上為嚴(yán)格減函數(shù)，故對任意，，即，矛盾；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為；（3）證明：因為，所以原式變?yōu)?，即證，設(shè)函數(shù)，即證，，設(shè)，，時，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，設(shè)，則，由于在上單調(diào)遞增，，所以，即，故在上單調(diào)遞增，又，所以時，，所以，即，因此恒成立，所以原不等式成立，得證.山東省濰坊市2024屆高考三模數(shù)學(xué)試題一、選擇題1.設(shè)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值可以為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意得，A選項，當(dāng)時，，不合題意，A錯誤；B選項，當(dāng)時，，不合要求，B錯誤；C選項，當(dāng)時，，故C正確；D選項，當(dāng)時，，D錯誤故選：C2.已知集合，則的子集個數(shù)是（）A.3個 B.4個 C.8個 D.16個〖答案〗C〖解析〗由題意得，，則的子集有個，故選：C．3.如圖，半徑為1的圓與軸相切于原點，切點處有一個標(biāo)志，該圓沿軸向右滾動，當(dāng)圓滾動到與出發(fā)位置時的圓相外切時(記此時圓心為)，標(biāo)志位于點處，圓與軸相切于點，則陰影部分的面積是（）A.2 B.1 C. D.〖答案〗B〖解析〗由圓與圓外切，得，又圓，圓與軸分別相切于原點和點，則，所以劣弧長等于，所以劣弧對應(yīng)的扇形面積為.故選：B4.某同學(xué)在勞動課上做了一個木制陀螺，該陀螺是由兩個底面重合的圓錐組成．已知該陀螺上、下兩圓錐的體積之比為，上圓錐的高與底面半徑相等，則上、下兩圓錐的母線長之比為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)上、下兩圓錐的底面半徑為，高分別為，體積分別為，因為上圓錐的高與底面半徑相等，所以，則得，，上圓錐的母線為，下圓錐的母線為，所以上、下兩圓錐的母線長之比為，故選：A．5.牛頓迭代法是求方程近似解的一種方法．如圖，方程的根就是函數(shù)的零點，取初始值的圖象在點處的切線與軸的交點的橫坐標(biāo)為的圖象在點處的切線與軸的交點的橫坐標(biāo)為，一直繼續(xù)下去，得到，它們越來越接近．設(shè)函數(shù)，，用牛頓迭代法得到，則實數(shù)（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，，，則在處的切線方程為，由題意得，切線過代入得，，解得，故選：D．6.已知，分別為橢圓：的左、右焦點，點在上，若大于，則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因橢圓：，所以，，所以，所以，，因為點在上，所以，所以，，又，，所以，又，，所以，因為大于，所以，所以，解得，所以的取值范圍是.故選：.7.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，當(dāng)時，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗不等式等價于，即，構(gòu)造函數(shù)，所以，因為時，，所以對恒成立，所以在單調(diào)遞減，又因，所以不等式等價于，所以，即的解集為.故選：A.8已知，則（）A.8 B.10 C. D.〖答案〗B〖解析〗，其中展開式的通項為，且，當(dāng)時，，此時只需乘以第一個因式中的2，可得；當(dāng)時，，此時只需乘以第一個因式中的，可得.所以故選：B二、多項選擇題9.在棱長為1的正方體中，分別為棱的中點，則（）A.直線與是異面直線B.直線與所成的角是C.直線平面D.平面截正方體所得的截面面積為.〖答案〗ABD〖解析〗對于A，由于平面，平面，故直線與是異面直線，故A正確；對于B，如圖，連接，因為分別為棱的中點，所以，所以直線與所成的角即為直線與所成的角，又因為是等邊三角形，所以直線與所成的角為，故直線與所成的角是，故B正確；對于C，如圖，假設(shè)直線平面，又因為平面，所以，而，這三邊不能構(gòu)成直角三角形，所以與不垂直，故假設(shè)錯誤，故C錯誤；對于D，如圖，連接，因為，所以，所以平面截正方體所得的截面為梯形，且，所以梯形的高為，所以截面面積為，故D正確.故選：ABD.10.下列說法正確的是（）A.從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，事件“至少有一個黑球”與事件“至少有一個紅球”是互斥事件B.擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，“第一次向上的點數(shù)是1”與“兩次向上的點數(shù)之和是7”是相互獨立事件C.若的平均數(shù)是7，方差是6，則的方差是D.某人在10次射擊中，設(shè)擊中目標(biāo)的次數(shù)為，且，則的概率最大〖答案〗BCD〖解析〗對于A，事件“至少有一個黑球”與事件“至少有一個紅球”可以同時發(fā)生，所以不是互斥事件，故A錯誤；對于B，設(shè)“第一次向上的點數(shù)是1”，“兩次向上的點數(shù)之和是7”，則，，，因為，所以事件A與B互相獨立，故B正確；對于C，由的平均數(shù)是7，得的平均數(shù)為8，由方差是6，則，所以，所以的方差，故C正確；對于D，由得，當(dāng)時，，當(dāng)時，令，即，令，解得，即，所以當(dāng)時，最大，故D正確，故選：BCD．11.已知雙曲線的左、右焦點，點在上，設(shè)的內(nèi)切圓圓心為，半徑為，直線交于，若，，則（）A. B.圓心的橫坐標(biāo)為1C. D.的離心率為2〖答案〗ACD〖解析〗對于A中，因為，且三點共線，所以，可得，所以A正確；對于B中，設(shè)切點分別為，則，又因為，所以，所以點為右頂點，圓心的橫坐標(biāo)為2，所以B錯誤；對于C中，因為，所以，由角平分線定理，得，又因為，所以，由可得，所以，可得，所以，則為等腰三角形，所以，解得，所以C正確；對于D中，由離心率，所以D正確.三、填空題12.已知向量，若，則實數(shù)__________〖答案〗〖解析〗，，解得.故〖答案〗為：13.已知關(guān)于的方程的所有正實根從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，請寫出實數(shù)的一個取值為______〖答案〗（〖答案〗不唯一，填寫其中一個即可）〖解析〗〖祥解〗根據(jù)三角降冪公式化簡，再結(jié)合圖象求得的取值即可.【詳析】因為，所以，即，要想方程所有正實根從小到大排列構(gòu)成等差數(shù)列，則需要或，所以.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一，填寫其中一個即可）.14.已知均為正實數(shù)，函數(shù)．（1）若的圖象過點，則的最小值為______；（2）若的圖象過點，且恒成立，則實數(shù)的最小值為______．〖答案〗（1）9（2）〖解析〗（1）由的圖象過點得，，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立．由恒成立得，，（2）因為的圖象過點，則，即，當(dāng)時，不合題意舍，所以，即，則，則由得，所以，設(shè)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，則時，等號成立，故〖答案〗為：9；．四、解答題15.如圖，在直三棱柱中，，是棱的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的大?。猓海?）取的中點，連接，由直三棱柱得，，，因為是棱的中點，點是的中點，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理可得四邊形為平行四邊形，所以所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面，所以平面平面，又平面，所以平面．（2）設(shè)，以為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，設(shè)平面的一個法向量為，由得，，取，的，設(shè)平面的一個法向量為，由得，，取，的，設(shè)平面與平面的夾角為，則，由圖可知二面角為銳角，則二面角的大小為．16.已知正項等差數(shù)列的公差為2，前項和為，且成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若求數(shù)列的前項和.解：（1）因為，所以，即，解得或，又因為，所以，所以.（2），所以，所以為奇數(shù)時，，為偶數(shù)時，，所以前項和.17.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，為直線上一點，動點滿足，.（1）求動點的軌跡的方程;（2）若過點作直線與交于不同的兩點，點，過點作軸的垂線分別與直線交于點.證明：為線段的中點.（1）解：設(shè)點，則，因為，所以，所以，即，所以動點的軌跡方程為：；（2）證明：因為軸，所以設(shè)，，，，若要證為線段的中點，只需證即可，當(dāng)直線斜率不存在或斜率為0時，與拋物線只有一個交點，不滿足題意，所以直線斜率存在且不為0，，設(shè)直線：，，由得，，由題意可知，直線與拋物線有兩個交點，所以，即，所以，由根與系數(shù)的關(guān)系得，，，由題意得，直線方程，所以，直線方程，所以，所以，所以為線段的中點.18.某高校為了提升學(xué)校餐廳的服務(wù)水平，組織4000名師生對學(xué)校餐廳滿意度進(jìn)行評分調(diào)查，按照分層抽樣方法，抽取200位師生的評分(滿分100分)作為樣本，繪制如圖所示的頻率分布直方圖，并將分?jǐn)?shù)從低到高分為四個等級:滿意度評分滿意度等級不滿意基本滿意滿意非常滿意（1）求圖中的值，并估計滿意度評分的分位數(shù);（2）若樣本