2024屆陜西省銅川市高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題（理）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3陜西省銅川市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題（理）一?選擇題1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值可能是（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗依題意，由，可得，當(dāng)時(shí)，符合題意，A正確；當(dāng)或2時(shí)，不符合集合中元素的互異性，從而排除項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，從而排除項(xiàng).故選：A.2.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由，得，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，故選：B.3.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知，令，解得，依題有，即，雙曲線方程為，從而，從而的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.4.已知甲種雜交水稻近五年的產(chǎn)量數(shù)據(jù)為，乙種雜交水稻的產(chǎn)量數(shù)據(jù)為，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.甲種的樣本極差小于乙種的樣本極差B.甲種的樣本平均數(shù)等于乙種的樣本平均數(shù)C.甲種的樣本中位數(shù)等于乙種的樣本中位數(shù)D.甲種的樣本方差大于乙種的樣本方差〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，甲種的樣本極差，乙種的樣本極差，A正確；對(duì)于B，甲種的樣本平均數(shù)，乙種的樣本平均數(shù)，B正確；對(duì)于C，甲種的樣本中位數(shù)為10.0，乙種的樣本中位數(shù)為10.0，C正確.對(duì)于D，甲種的樣本方差，乙種的樣本方差，D錯(cuò)誤.故選：D5.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)在上單調(diào)遞減，解得.故選：C.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，.故選：A.7.已知為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗若，根據(jù)糖水不等式可得，即充分性成立；若，則，即且，故，即必要性成立，所以“”是“”的充要條件.故選：C.8.已知函數(shù)，則下列說法中不正確的是（）A.的最小正周期為B.的最大值為C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.〖答案〗C〖解析〗依題意，則函數(shù)的最大值為，最小值正周期為，從而可排除選項(xiàng).，，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)，即時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，應(yīng)選C項(xiàng).為偶函數(shù)，從而，從而可排除D選項(xiàng).故選：C9.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，若，則（）A. B.C.函數(shù)的周期為2 D.〖答案〗D〖解析〗為奇函數(shù)，，又為偶函數(shù)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤.即函數(shù)的周期為4，即C項(xiàng)錯(cuò)誤.由，令，得，即B項(xiàng)錯(cuò)誤.又，所以D項(xiàng)正確.故選：D10.在正方體中，分別為的中點(diǎn)，若，則平面截正方體所得截面的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，易知點(diǎn)都在截面內(nèi)，且都是其所在棱的中點(diǎn)，從而所得截面是邊長為的正六邊形，所求面積.故選：D.11.榫卯結(jié)構(gòu)是中國古代建筑文化的瑰寶，在連接部分通過緊密的拼接，使得整個(gè)結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運(yùn)用，使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，木楔子是一種簡(jiǎn)單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛?木片等.如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形是邊長為2的正方形，且均為正三角形，，則該木楔子的外接球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，分別過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，連接，則，故.取的中點(diǎn)，連接，又，則.由對(duì)稱性易知，過正方形的中心且垂直于平面的直線必過線段的中點(diǎn)，且所求外接球的球心在這條直線上，如圖.設(shè)球的半徑為，則，且，從而，即，當(dāng)點(diǎn)在線段內(nèi)（包括端點(diǎn)）時(shí)，有，可得，從而，即球心在線段的中點(diǎn)，其半徑.當(dāng)點(diǎn)在線段外時(shí)，，解得（舍）.故所求外接球的體積.故選：C12.已知為橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上且位于第一象限，圓與線段的延長線?線段以及軸均相切，的內(nèi)切圓的圓心為.若圓與圓外切，且圓與圓的面積之比為9，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知及平面幾何知識(shí)可得圓心在的角平分線上.如圖，設(shè)圓與軸的切點(diǎn)分別為，由平面幾何知識(shí)可得，直線為兩圓的公切線，公切點(diǎn)也在的角平分線上，則，所以，由橢圓的定義知，則，，，.又圓與圓的面積之比為圓與圓的半徑之比為3，所以，即，故橢圓的離心率.故選：A二?填空題13.有5名學(xué)生準(zhǔn)備去照金香山，藥王山，福地湖，玉華宮這4個(gè)景點(diǎn)游玩，每名學(xué)生必須去一個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至少有一名學(xué)生游玩，則不同的游玩方式有__________種.〖答案〗240〖解析〗先從5名學(xué)生中選2人組成一組，有種方法，然后將4組學(xué)生分配到4個(gè)景點(diǎn)，有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有種不同的游玩方式.故〖答案〗為：240.14.已知點(diǎn)為外接圓的圓心，且，則_________.〖答案〗〖解析〗由，得，由為外接圓的圓心，得，如圖，結(jié)合向量加法的幾何意義知，四邊形為菱形，且，故.故.故〖答案〗為：15.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，點(diǎn)是的中點(diǎn).若，且，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，可得，所以又因?yàn)闉榈囊粭l中線，可得，所以，即，解得或（舍）.由余弦定理得.故〖答案〗為：.16.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗的定義域?yàn)椋?，令，?令，則.令，則，即，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.，又當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，作出的草圖如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)正根，從而函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).三?解答題（一）必考題17.已知數(shù)列滿足：.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求正整數(shù)的最大值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，兩式相減，得，，顯然也符合上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，解得.正整數(shù)的最大值為15.18.學(xué)校團(tuán)委和工會(huì)聯(lián)合組織教職員工進(jìn)行益智健身活動(dòng)比賽.經(jīng)多輪比賽后，由教師甲?乙作為代表進(jìn)行決賽.決賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝者得10分，負(fù)者得分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的獲得冠軍.已知教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲?乙獲得冠軍的概率分別記為.（1）判斷甲?乙獲得冠軍的實(shí)力是否有明顯差別（若，則認(rèn)為甲?乙獲得冠軍的實(shí)力有明顯差別，否則認(rèn)為沒有明顯差別）；（2）用表示教師甲的總得分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）不妨設(shè)教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次為，甲獲得冠軍可以表示為：,因兩兩互斥，故教師甲獲得冠軍的概率，則教師乙獲得冠軍的概率，，，甲?乙獲得冠軍的實(shí)力沒有明顯差別.（2）易知的所有取值為，，，，，則的分布列為：-15015300.0960.3520.4080.144.19.如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是線段上（包括端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）若直線與平面的夾角為，求的值.（1）證明：；連接交于點(diǎn)，連接，四邊形是正方形，為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，平面平面平面.（2）解：易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則.，設(shè)，則..設(shè)平面的法向量為，則，令，則.又直線與平面的夾角為，，解得..20.過拋物線焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若直線垂直于軸，則的面積為2，其中為原點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）拋物線的準(zhǔn)線上是否存在點(diǎn)，使得當(dāng)時(shí)，的面積為.若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（1）解：由拋物線，可得焦點(diǎn)為，因?yàn)橹本€垂直于軸，不妨設(shè)，代入，可得，所以，又因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，所以拋物線的方程為.（2）解：由（1）知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，設(shè)點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率等于0時(shí)，不符合題意；故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去得，可得，且，因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，原點(diǎn)到直線距離，所以，解得，所以，所以存在點(diǎn)，符合題目要求.21.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以.這得到，，所以所求切線是經(jīng)過且斜率為的直線.故所求切線方程為，即.（2）設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).從而在上遞增，在上遞減，故，這得到.若，則，從而取值恒為負(fù)，故沒有零點(diǎn)，不滿足條件；若，則有，及.從而由零點(diǎn)存在定理可知存在零點(diǎn)，滿足條件.綜上，的取值范圍是.（二）選考題選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程22.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）設(shè)是曲線上的兩點(diǎn)，且，求面積的最大值.（1）解：曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），即（為參數(shù)），平方相加，可得，即，又由，可得，所以曲線的極坐標(biāo)方程為.（2）解：由（1）知曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，可得曲線是以為圓心，半徑為5的圓，且過原點(diǎn)，因?yàn)椋傻眠^圓心，且為直角三角形，所以，所以，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積最大值為.選修4-5：不等式選講23.已知函數(shù).（1）求不等式的解集；（2）記函數(shù)的最小值為，若正數(shù)滿足，證明：.（1）解：不等式等價(jià)于或或，解得或或.不等式的解集為.（2）證明：由（1）可得的圖象如下所示：所以，即，方法一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.方法二：，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.陜西省銅川市2024屆高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題（理）一?選擇題1.已知集合，若，則實(shí)數(shù)的值可能是（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗A〖解析〗依題意，由，可得，當(dāng)時(shí)，符合題意，A正確；當(dāng)或2時(shí)，不符合集合中元素的互異性，從而排除項(xiàng)；當(dāng)時(shí)，，從而排除項(xiàng).故選：A.2.若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗B〖解析〗由，得，所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，位于第二象限，故選：B.3.已知雙曲線的一條漸近線方程為，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗易知，令，解得，依題有，即，雙曲線方程為，從而，從而的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：A.4.已知甲種雜交水稻近五年的產(chǎn)量數(shù)據(jù)為，乙種雜交水稻的產(chǎn)量數(shù)據(jù)為，則下列說法錯(cuò)誤的是（）A.甲種的樣本極差小于乙種的樣本極差B.甲種的樣本平均數(shù)等于乙種的樣本平均數(shù)C.甲種的樣本中位數(shù)等于乙種的樣本中位數(shù)D.甲種的樣本方差大于乙種的樣本方差〖答案〗D〖解析〗對(duì)于A，甲種的樣本極差，乙種的樣本極差，A正確；對(duì)于B，甲種的樣本平均數(shù)，乙種的樣本平均數(shù)，B正確；對(duì)于C，甲種的樣本中位數(shù)為10.0，乙種的樣本中位數(shù)為10.0，C正確.對(duì)于D，甲種的樣本方差，乙種的樣本方差，D錯(cuò)誤.故選：D5.若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗函數(shù)在上單調(diào)遞減，解得.故選：C.6.已知，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗，.故選：A.7.已知為正實(shí)數(shù)，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗C〖解析〗若，根據(jù)糖水不等式可得，即充分性成立；若，則，即且，故，即必要性成立，所以“”是“”的充要條件.故選：C.8.已知函數(shù)，則下列說法中不正確的是（）A.的最小正周期為B.的最大值為C.在區(qū)間上單調(diào)遞增D.〖答案〗C〖解析〗依題意，則函數(shù)的最大值為，最小值正周期為，從而可排除選項(xiàng).，，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)，即時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，應(yīng)選C項(xiàng).為偶函數(shù)，從而，從而可排除D選項(xiàng).故選：C9.已知函數(shù)是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，且為奇函數(shù)，若，則（）A. B.C.函數(shù)的周期為2 D.〖答案〗D〖解析〗為奇函數(shù)，，又為偶函數(shù)，，故A項(xiàng)錯(cuò)誤.即函數(shù)的周期為4，即C項(xiàng)錯(cuò)誤.由，令，得，即B項(xiàng)錯(cuò)誤.又，所以D項(xiàng)正確.故選：D10.在正方體中，分別為的中點(diǎn)，若，則平面截正方體所得截面的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗如圖，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn)，易知點(diǎn)都在截面內(nèi)，且都是其所在棱的中點(diǎn)，從而所得截面是邊長為的正六邊形，所求面積.故選：D.11.榫卯結(jié)構(gòu)是中國古代建筑文化的瑰寶，在連接部分通過緊密的拼接，使得整個(gè)結(jié)構(gòu)能夠承受大量的重量，并且具有較高的抗震能力.這其中木楔子的運(yùn)用，使得榫卯配合的牢度得到最大化滿足，木楔子是一種簡(jiǎn)單的機(jī)械工具，是用于填充器物的空隙使其牢固的木橛?木片等.如圖為一個(gè)木楔子的直觀圖，其中四邊形是邊長為2的正方形，且均為正三角形，，則該木楔子的外接球的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗如圖，分別過點(diǎn)作的垂線，垂足分別為，連接，則，故.取的中點(diǎn)，連接，又，則.由對(duì)稱性易知，過正方形的中心且垂直于平面的直線必過線段的中點(diǎn)，且所求外接球的球心在這條直線上，如圖.設(shè)球的半徑為，則，且，從而，即，當(dāng)點(diǎn)在線段內(nèi)（包括端點(diǎn)）時(shí)，有，可得，從而，即球心在線段的中點(diǎn)，其半徑.當(dāng)點(diǎn)在線段外時(shí)，，解得（舍）.故所求外接球的體積.故選：C12.已知為橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)在上且位于第一象限，圓與線段的延長線?線段以及軸均相切，的內(nèi)切圓的圓心為.若圓與圓外切，且圓與圓的面積之比為9，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知及平面幾何知識(shí)可得圓心在的角平分線上.如圖，設(shè)圓與軸的切點(diǎn)分別為，由平面幾何知識(shí)可得，直線為兩圓的公切線，公切點(diǎn)也在的角平分線上，則，所以，由橢圓的定義知，則，，，.又圓與圓的面積之比為圓與圓的半徑之比為3，所以，即，故橢圓的離心率.故選：A二?填空題13.有5名學(xué)生準(zhǔn)備去照金香山，藥王山，福地湖，玉華宮這4個(gè)景點(diǎn)游玩，每名學(xué)生必須去一個(gè)景點(diǎn)，每個(gè)景點(diǎn)至少有一名學(xué)生游玩，則不同的游玩方式有__________種.〖答案〗240〖解析〗先從5名學(xué)生中選2人組成一組，有種方法，然后將4組學(xué)生分配到4個(gè)景點(diǎn)，有種方法，由分步計(jì)數(shù)原理知共有種不同的游玩方式.故〖答案〗為：240.14.已知點(diǎn)為外接圓的圓心，且，則_________.〖答案〗〖解析〗由，得，由為外接圓的圓心，得，如圖，結(jié)合向量加法的幾何意義知，四邊形為菱形，且，故.故.故〖答案〗為：15.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別是，點(diǎn)是的中點(diǎn).若，且，則__________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)椋烧叶ɡ淼?，又因?yàn)?，所以，因?yàn)椋傻?，所以又因?yàn)闉榈囊粭l中線，可得，所以，即，解得或（舍）.由余弦定理得.故〖答案〗為：.16.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.〖答案〗〖解析〗的定義域?yàn)?，，令，?令，則.令，則，即，即當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.，又當(dāng)趨近于0時(shí)，趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，作出的草圖如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)正根，從而函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).三?解答題（一）必考題17.已知數(shù)列滿足：.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求正整數(shù)的最大值.解：（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，兩式相減，得，，顯然也符合上式，數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由（1）知，，解得.正整數(shù)的最大值為15.18.學(xué)校團(tuán)委和工會(huì)聯(lián)合組織教職員工進(jìn)行益智健身活動(dòng)比賽.經(jīng)多輪比賽后，由教師甲?乙作為代表進(jìn)行決賽.決賽共設(shè)三個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目勝者得10分，負(fù)者得分，沒有平局.三個(gè)項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的獲得冠軍.已知教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的概率分別為，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立.甲?乙獲得冠軍的概率分別記為.（1）判斷甲?乙獲得冠軍的實(shí)力是否有明顯差別（若，則認(rèn)為甲?乙獲得冠軍的實(shí)力有明顯差別，否則認(rèn)為沒有明顯差別）；（2）用表示教師甲的總得分，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）不妨設(shè)教師甲在三個(gè)項(xiàng)目中獲勝的事件依次為，甲獲得冠軍可以表示為：,因兩兩互斥，故教師甲獲得冠軍的概率，則教師乙獲得冠軍的概率，，，甲?乙獲得冠軍的實(shí)力沒有明顯差別.（2）易知的所有取值為，，，，，則的分布列為：-15015300.0960.3520.4080.144.19.如圖，四棱錐的底面是正方形，平面，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是線段上（包括端點(diǎn)）的動(dòng)點(diǎn)，.（1）求證：平面；（2）若直線與平面的夾角為，求的值.（1）證明：；連接交于點(diǎn)，連接，四邊形是正方形，為的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，平面平面平面.（2）解：易知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則.，設(shè)，則..設(shè)平面的法向量為，則，令，則.又直線與平面的夾角為，，解得..20.過拋物線焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，若直線垂直于軸，則的面積為2，其中為原點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2