5.5.2　第2課時　簡單的三角恒等變換(二)

第2課時簡單的三角恒等變換(二)第五章

5.5.2簡單的三角恒等變換1.能夠利用三角恒等變換對三角函數(shù)進行化簡、合并.2.能夠利用三角恒等變換解決幾何中的問題以及生活中的實際

問題.學(xué)習(xí)目標同學(xué)們，我們從開始學(xué)習(xí)兩角差的余弦，就嘗試對展開式進行合并，尤其是一些特殊的形式，比如sinx＋cosx等，其實從那個時候起，就開始有了輔助角公式的影子，大家知道嗎？輔助角公式是由我國數(shù)學(xué)家李善蘭先生提出的，輔助角公式的提出，對整個三角函數(shù)產(chǎn)生了巨大的影響，今天，我們就和李善蘭先生，一起來探究輔助角公式的意義吧.導(dǎo)語隨堂演練課時對點練一、三角恒等變換與三角函數(shù)二、三角恒等變換在幾何中的應(yīng)用三、三角恒等變換在實際問題中的應(yīng)用內(nèi)容索引一、三角恒等變換與三角函數(shù)上述三角函數(shù)式，實際上是asinx＋bcosx(ab≠0)的特殊形式，上述一組恒等式中的a，b較為特殊，經(jīng)過一定的配湊，可以得到一些特殊角的三角函數(shù)值，那么對于一般的實系數(shù)a，b，是否也能進行合并呢？問題2

一般地，對于y＝asinx＋bcosx，你能對它進行合并嗎？第三步：化簡、逆用公式得asinx＋bcosx知識梳理輔助角公式(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；(2)求函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)的最大值，并求使h(x)取得最大值的x的集合.反思感悟

研究三角函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性和最值問題，通常是把復(fù)雜的三角函數(shù)通過恰當?shù)娜亲儞Q，轉(zhuǎn)化為一種簡單的三角函數(shù)，再研究轉(zhuǎn)化后的函數(shù)的性質(zhì).在這個過程中通常利用輔助角公式，將y＝(1)求f(x)的最小正周期；二、三角恒等變換在幾何中的應(yīng)用例2

(教材227頁例10改編)某工人要從一塊圓心角為45°的扇形木板中割出一塊一邊在半徑上的內(nèi)接長方形桌面，若扇形的半徑長為1m，求割出的長方形桌面的最大面積(如圖).解如圖，連接OC，設(shè)∠COB＝θ，則0°<θ<45°，OC＝1.因為AB＝OB－OA＝cosθ－AD＝cosθ－sinθ，所以S矩形ABCD＝AB·BC＝(cosθ－sinθ)·sinθ反思感悟

三角函數(shù)與平面幾何有著密切聯(lián)系，幾何中的角度、長度、面積等問題，常借助三角變換來解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的化歸思想.跟蹤訓(xùn)練2如圖所示，要把半徑為R的半圓形木料截成長方形，應(yīng)怎樣截取，才能使△OAB的周長最長？解設(shè)∠AOB＝α，△OAB的周長為l，則AB＝Rsinα，OB＝Rcosα，所以l＝OA＋AB＋OB＝R＋Rsinα＋Rcosα三、三角恒等變換在實際問題中的應(yīng)用例3

如圖，OA，OB是兩條互相垂直的筆直公路，半徑OA＝2km的扇形AOB是某地的一名勝古跡區(qū)域.當?shù)卣疄榱司徑庠摴袍E周圍的交通壓力，欲在圓弧AB上新增一個入口P(點P不與A，B重合)，并新建兩條都與圓弧AB相切的筆直公路MB，MN，切點分別是B，P.當新建的兩條公路總長最小時，投資費用最低.設(shè)∠POA＝θ，公路MB，MN的總長為f(θ).(1)求f(θ)關(guān)于θ的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；解連接OM(圖略)，在Rt△OPN中，OP＝2，∠POA＝θ，故NP＝2tanθ.根據(jù)平面幾何知識可知，MB＝MP，反思感悟?qū)嶋H問題的意義常反映在三角形的邊、角關(guān)系上，故常用建立三角函數(shù)模型解決實際的優(yōu)化問題.跟蹤訓(xùn)練3

在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會的會標是以我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)設(shè)計的.弦圖由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形(如圖所示).如果小正方形的面積為1，大正方形的面積為25，直角三角形中較小的銳角為θ，則cos2θ＝_____.又(cosθ＋sinθ)2＋(cosθ－sinθ)2＝2，1.知識清單：(1)輔助角公式.(2)三角恒等變換的綜合問題.(3)三角函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用.2.方法歸納：轉(zhuǎn)化與化歸.3.常見誤區(qū)：易忽視實際問題中的定義域.課堂小結(jié)隨堂演練√123412342.若函數(shù)f(x)＝sin2x＋cos2x，則A.函數(shù)f(x)的最小正周期為2πB.函數(shù)f(x)的最大值為2√1234√1234123412347所以f(x)max＝7.課時對點練基礎(chǔ)鞏固12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516√4.函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx的一個對稱中心是根據(jù)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對稱中心特征可知，對稱中心是函數(shù)f(x)的圖象與x軸的交點，12345678910111213141516A.[2,6] B.[－6,6]

C.(2,6) D.[2,4]√123456789101112131415166.(多選)已知函數(shù)f(x)＝sinxcosx＋sin2x，則下列說法正確的是A.f(x)的最大值為2B.f(x)的最小正周期為π√√12345678910111213141516√12345678910111213141516綜上有B，C，D正確，A不正確.123456789101112131415167.已知函數(shù)f(x)＝2sinx＋3cosx，x1，x2∈R，則f(x1)－f(x2)的最大值是________.因為x1，x2∈R，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516(1)求函數(shù)f(x)圖象的相鄰兩條對稱軸的距離；123456789101112131415161234567891011121314151610.已知函數(shù)f(x)＝(sinx＋cosx)2－2sin2x.(1)求f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；解因為f(x)＝(sinx＋cosx)2－2sin2x＝sin2x＋2sinxcosx＋cos2x－2sin2x＝2sinxcosx＋cos2x－sin2x1234567891011121314151612345678910111213141516A.等邊三角形

B.鈍角三角形C.直角三角形

D.等腰直角三角形綜合運用√12345678910111213141516解析∵C＝π－(A＋B)，12345678910111213141516故此三角形為直角三角形.12345678910111213141516A.11 B.5 C.－5 D.－11√1234567891011121314151613.若函數(shù)f(x)＝|3sinx＋4cosx＋m|的最大值是8，則m等于A.3 B.13 C.3或－3 D.－3或13√12345678910111213141516解析∵f(x)＝|3sinx＋4cosx＋m|，∴f(x)＝|5sin(x＋φ)＋m|，∵－5≤5sin(x＋φ)≤5，∴當m>0時，f(x)max＝|5＋m|＝8，解得m＝3；當m<0時，f(x)max＝|－5＋m|＝8，解得m＝－3.1234567891011121314151614.如圖，已知OPQ是半徑為5，圓心角為θ(tanθ＝2)的扇形，C是扇形弧上的動點，ABCD是扇形的內(nèi)接矩形.當矩形ABCD的周長最大時，BC邊的長為_____.12345678910111213141516設(shè)∠COP＝α，則AD＝BC＝OCsinα＝5sinα，OB＝OCcosα＝5cosα，在Rt△OAD中，∠AOD＝θ，12345678910111213141516∴矩形ABCD的周長為2(AB＋BC)拓廣探究12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151616.如圖，有一塊以點O為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個內(nèi)接矩形ABCD開辟為綠地，使其一邊AD落在半圓的直徑上，另兩點B，C落在半圓的圓周上.已知半圓的半徑長為20m.(1)如何選擇關(guān)于點O對稱的點A，D的位置，可以使矩形ABCD的面積最大，最大值是多少？解連接OB，如圖所示，設(shè)∠AOB＝θ，因為A，D關(guān)于點O對稱，所以AD＝2OA＝40cosθ.設(shè)矩形ABCD的面積為S，則S＝AD·AB＝40cosθ·20sinθ＝400sin2θ.123456789