第18講直線的一般式方程（三大題型歸納分層練）（原卷版）

第18講直線的一般式方程【人教A版選修一】目錄TOC\o"13"\h\z\u題型歸納 1題型01直線的一般式方程 2題型02利用一般式解決直線的平行與垂直問題 5題型03直線的一般式方程的應(yīng)用 7分層練習 10夯實基礎(chǔ) 10能力提升 15創(chuàng)新拓展 22一、直線的一般式方程我們把關(guān)于x，y的二元一次方程________________(其中A，B不同時為0)叫做直線的________________，簡稱一般式．注意點：(1)直線一般式方程的結(jié)構(gòu)特征①方程是關(guān)于x，y的二元一次方程．②方程中等號的左側(cè)自左向右一般按x，y，常數(shù)的先后順序排列．③x的系數(shù)一般不為分數(shù)和負數(shù)．(2)當直線方程Ax＋By＋C＝0的系數(shù)A，B，C滿足下列條件時，直線Ax＋By＋C＝0有如下性質(zhì)①當A≠0，B≠0時，直線與兩條坐標軸都相交；②當A≠0，B＝0，C≠0時，直線只與x軸相交，即直線與y軸平行，與x軸垂直；③當A＝0，B≠0，C≠0時，直線只與y軸相交，即直線與x軸平行，與y軸垂直；④當A＝0，B≠0，C＝0時，直線與x軸重合；⑤當A≠0，B＝0，C＝0時，直線與y軸重合二、利用一般式解決直線的平行與垂直問題已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A1，B1不同時為0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A2，B2不同時為0)．(1)l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0或A1C2－A2C1≠0.(2)l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0.題型01直線的一般式方程【解題策略】求直線一般式方程的策略在求直線方程時，設(shè)一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據(jù)給定條件選出四種特殊形式之一求方程，然后轉(zhuǎn)化為一般式【典例分析】課本例5已知直線經(jīng)過點A(6，－4)，斜率為－eq\f(4,3)，求直線的點斜式和一般式方程．【例1】根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：(1)斜率是eq\r(3)，且經(jīng)過點A(5,3)；(2)經(jīng)過A(－1,5)，B(2，－1)兩點；(3)在x軸、y軸上的截距分別為－3，－1；(4)經(jīng)過點B(4,2)，且平行于x軸．【變式演練】【變式1】（2223高二上·山東菏澤·期中）過點與的直線的一般式方程為.【變式2】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知點，，，寫出直線，，的點斜式、兩點式和一般式方程．【變式3】根據(jù)下列條件分別寫出直線的一般式方程．(1)經(jīng)過兩點A(5,7)，B(1,3)；(2)經(jīng)過點(－4,3)，斜率為－3；(3)經(jīng)過點(2,1)，平行于y軸；(4)斜率為2，在x軸上的截距為1.題型02利用一般式解決直線的平行與垂直問題【解題策略】求過一點與已知直線平行(垂直)的直線方程的方法(1)由已知直線求出斜率，再利用平行(垂直)的直線斜率之間的關(guān)系確定所求直線的斜率，由點斜式寫出方程．(2)可利用待定系數(shù)法：與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)，再由直線所過的點確定C1；與直線Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為0)垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋C2＝0，再由直線所過的點確定C2【典例分析】【例2】已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求滿足下列條件的直線l′的方程：(1)過點(－1,3)，且與l平行；(2)過點(－1,3)，且與l垂直．【變式演練】【變式1】已知直線3x－4y＋4＝0與直線ax＋8y＋7＝0平行，則實數(shù)a的值為________．【變式2】（2223高二上·貴州黔西·期中）已知直線和直線互相垂直，則實數(shù)的值為．【變式3】（2122高二上·上海金山·階段練習）已知兩條直線，，，判斷兩直線的位置關(guān)系．題型03直線的一般式方程的應(yīng)用【解題策略】含參直線方程的研究策略(1)若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則需滿足A，B不同時為0.(2)令x＝0可得在y軸上的截距．令y＝0可得在x軸上的截距．若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式．(3)解分式方程要注意驗根【典例分析】【例3】設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3)x－(2m2＋m－1)y＋6－2m＝0.(1)已知直線l在x軸上的截距為－3，求m的值；(2)已知直線l的斜率為1，求m的值．【變式演練】【變式1】設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在兩坐標軸上的截距相等，求l的方程；(2)若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍．【變式2】已知在△ABC中，點A的坐標為(1,3)，AB，AC邊上的中線所在直線的方程分別為x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各邊所在直線的方程．【變式3】（2324高二上·安徽·階段練習）已知直線.(1)若，求的值；(2)若，求過原點與點的直線的方程.【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2324高二上·山東煙臺·期中）若直線在y軸上的截距為2，則該直線的斜率為（

）A． B．2 C． D．2．（2324高二上·湖北·期末）已知直線與直線平行，則實數(shù)a的值是（

）A．2或0 B．2 C．0 D．3．（2324高二上·河南信陽·期末）直線與平行，則a的值為（

）A．0 B． C．或0 D．或04．（2324高二上·廣東惠州·階段練習）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．二、多選題5．（2324高二上·湖南岳陽·階段練習）已知直線l的方程是（A，B不同時為0），則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則直線l過定點C．若且，則直線l不過第二象限D(zhuǎn)．若，則直線l必過第二、三象限6．（2324高二上·江蘇宿遷·期末）如果，那么直線通過（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限三、填空題7．（2223高二上·北京海淀·階段練習）已知直線，.若，則實數(shù)a=，若，則實數(shù)a=．8．（2324高二上·吉林遼源·期末）已知直線，直線，且，則的值為.9．（2324高二上·安徽馬鞍山·階段練習）直線在x軸上的截距是．四、解答題10．（2324高二上·浙江臺州·期中）已知直線經(jīng)過點，.(1)求直線的一般式方程；(2)若點，求點C關(guān)于直線的對稱點的坐標.11．（2122高二·全國·課后作業(yè)）討論直線：和：的位置關(guān)系．【能力提升】一、單選題1．（2324高二上·浙江杭州·期中）直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．（2324高二上·北京順義·期末）已知直線：，：.若，則實數(shù)（

）A．0或 B．0 C． D．或23．（2324高二上·廣西百色·期末）若直線和平行，則的值為（

）A． B．C．或 D．4．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l的方程為2x－5y＋10＝0，且在y軸上的截距為b，則b等于（）A．－2 B．2C．－5 D．5二、多選題5．（2324高二上·寧夏銀川·期中）直線（A，B不同時為0）下列說法正確的是（

）A．則該直線與兩坐標軸都相交 B．，則該直線與軸平行C．則該直線為軸所在直線 D．，則該直線過原點6．（2324高二上·新疆·期中）已知，直線經(jīng)過第一、二、四象限，則（

）A． B． C． D．三、填空題7．（2324高二上·江蘇·課前預(yù)習）（1）若直線，直線，則的充要條件為；（2）若直線，直線，則的充要條件為.8．（2324高二上·上?！て谀┲本€的傾斜角的大小為.9．（2223高二上·北京·期中）若直線：與直線：平行，則．四、解答題10．（2324高二上·山東臨沂·期中）已知△ABC的邊AB，AC所在直線的方程分別為，，點在邊BC上．(1)若△ABC為直角三角形，求邊BC所在直線的方程；(2)若P為BC的中點，求邊BC所在直線的一般方程．11．（2324高二上·河南新鄉(xiāng)·階段練習）已知的三個頂點分別為．求：(1)邊中線所在的直線方程；(2)的平分線所在的直線方程．【創(chuàng)新拓展】一、單選題1．（2324高三上·山東青島·期末）“”是“直線與平行”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件二、多選題2．（2324高二上·福建廈門·階段練習）已知直線，則（

）A．無論如何變化，直線恒過定點B．無論如何變化，直線一定不經(jīng)過第三象限C．無論如何變化，直線必經(jīng)過第一、二、三象限D(zhuǎn)．當取不同數(shù)值時，可得到一組平行直線三、填空題3．（2324高二上·寧夏銀川·階段練習）在平面直角坐標系中，設(shè)，為不同的兩點，直線l的方程為，設(shè)，其中a，b，c均為實數(shù)，下列四個說法中：①存在實數(shù)δ，使點N在直線l上；②若，則過M，N兩點的直線與直線l重合；③若，則直線l經(jīng)過線段的中點；所有結(jié)論正確的說法的序號是.四、解答題4．（2324高二上·重慶黔江·階段練習）（1）已知斜率為負的直線過點，且與兩坐標軸圍成的面積是54，求直線的方程；（2）在中，已知邊上的中線所在直線的方程依次是與，求所在直線方程.5.已知集合A＝eq\b\l