第1講數(shù)列小題原卷版

第1講數(shù)列小題【復(fù)習(xí)目錄】一、等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式 二、等差數(shù)列的性質(zhì)三、等差數(shù)列的函數(shù)特性 四、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和五、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 六、等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式七、等比數(shù)列的性質(zhì) 八、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和九、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì) 十、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 十一、數(shù)列的最值【考點(diǎn)歸納】1．等差數(shù)列的定義：an－an1=d(n≥2)2．等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d.3．等差中項(xiàng)：若a，b，c成等差數(shù)列，則2b=a+c.b叫做a與c的等差中項(xiàng)．4．等差數(shù)列的下標(biāo)和公式：若k＋l＝m＋n，則ak＋al＝am＋an.5．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\f(na1＋an,2)或Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d.6．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系Sn＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．7.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…構(gòu)成等差數(shù)列．(2)若{an}是等差數(shù)列，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))也是等差數(shù)列，其首項(xiàng)與{an}的首項(xiàng)相同，公差為eq\f(1,2)d.8．等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最值在等差數(shù)列{an}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值．9．等比數(shù)列的定義：＝q(n≥2)．10．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式：an＝a1·qn－1=am·qn－m．11．等比中項(xiàng)：若a，b，c成等比數(shù)列，則b2=a·c．b是a與c的等比中項(xiàng).12．等比數(shù)列的下標(biāo)和公式：若m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq.13．等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：Sn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(na1q＝1，,\f(a11－qn,1－q)＝\f(a1－anq,1－q)q≠1))14．等比數(shù)列的常用性質(zhì)在等比數(shù)列{an}中，若Sn為其前n項(xiàng)和，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數(shù)列(n為偶數(shù)且q＝－1除外)．???(1)已知Sn求an的常用方法是利用an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2))轉(zhuǎn)化為關(guān)于an的關(guān)系式，再求通項(xiàng)公式．(2)Sn與an關(guān)系問(wèn)題的求解思路方向1：利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．★★★已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式的典型方法(1)當(dāng)出現(xiàn)an＋1＝an＋f(n)時(shí)，用累加法求解．(2)當(dāng)出現(xiàn)eq\f(an＋1,an)＝f(n)時(shí)，用累乘法求解．???解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題的三種方法(1)用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列．(2)用作商比較法，根據(jù)eq\f(an＋1,an)(an>0或an<0)與1的大小關(guān)系進(jìn)行判斷．(3)函數(shù)法．???求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法(1)函數(shù)法，利用函數(shù)求最值．(2)利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)確定最大項(xiàng)，利用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)確定最小項(xiàng)．(3)比較法：若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)>0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或當(dāng)an>0時(shí)，\f(an＋1,an)>1))，則an＋1>an，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最小項(xiàng)為a1；若有an＋1－an＝f(n＋1)－f(n)<0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或當(dāng)an>0時(shí)，\f(an＋1,an)<1))，則an＋1<an，則數(shù)列{an}是遞減數(shù)列，所以數(shù)列{an}的最大項(xiàng)為a1.★★★判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法：對(duì)任意n∈N*，an＋1－an是同一常數(shù)．(2)等差中項(xiàng)法：對(duì)任意n≥2，n∈N*，滿足2an＝an＋1＋an－1.(3)通項(xiàng)公式法：對(duì)任意n∈N*，都滿足an＝pn＋q(p，q為常數(shù))．(4)前n項(xiàng)和公式法：對(duì)任意n∈N*，都滿足Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù))．???等比數(shù)列的三種常用判定方法(1)定義法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(2)等比中項(xiàng)法：若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．(3)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列．【題型歸納】題型一、等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式1．（2324高二上·福建寧德·期末）已知等差數(shù)列中，，，則等于（

）A． B． C． D．2．（2324高二上·浙江杭州·期末）若數(shù)列滿足遞推關(guān)系式，且，則（

）A． B． C． D．3．（2324高二上·云南昆明·期末）已知數(shù)列中，且，則為（

）A． B． C． D．題型二、等差數(shù)列的性質(zhì)4．（2223高二下·廣東汕尾·期末）在等差數(shù)列中，，，則（

）A．4 B．5 C．6 D．85．（2223高二下·江蘇鎮(zhèn)江·期末）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則（

）A．1 B．2 C．2023 D．20246．（2122高二上·陜西銅川·期末）在等差數(shù)列中，，則的值為（

）A．6 B．12 C．24 D．48題型三、等差數(shù)列的函數(shù)特性7．（2324高二上·福建寧德·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．若，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為（

）A． B． C． D．8．（2122高二下·北京房山·期末）已知無(wú)窮等差數(shù)列為遞增數(shù)列，為數(shù)列前n項(xiàng)和，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．?dāng)?shù)列有最大項(xiàng)C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，9．（2223高二下·安徽合肥·期末）記等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的值為．題型四、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和10．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A．48 B．52 C．54 D．5611．（2223高二下·廣東揭陽(yáng)·期末）已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，數(shù)列為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，，，則（

）A．6 B．7 C． D．12．（2223高二下·陜西漢中·期末）在等差數(shù)列中，，則的前2023項(xiàng)和（

）A．2023 B．4046 C．6069 D．8092題型五、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)13．（2223高二下·湖北·期末）已知等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，且，則（

）A． B． C． D．14．（2223高二上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A． B． C． D．15．（2223高二上·河南許昌·期末）設(shè)等差數(shù)列、的前項(xiàng)和分別為、，若對(duì)任意的，都有，則．題型六、等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式16．（2223高二上·江蘇常州·期末）已知等比數(shù)列滿足，，則（

）A．26 B．78 C．104 D．13017．（2324高三上·陜西安康·階段練習(xí)）已知數(shù)列是遞增的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為.若，，則（

）A． B． C．或 D．－3或18．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若，則（

）A． B． C． D．題型七、等比數(shù)列的性質(zhì)19．（2023·四川成都·一模）在等比數(shù)列中，，是方程兩根，若，則m的值為（

）A．3 B．9 C． D．20．（2023·吉林·一模）在等比數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．1121．（2223高二上·安徽宣城·期末）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，其公比為4，且，則（

）A． B． C． D．題型八、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（2324高二上·四川宜賓·期末）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則（

）A． B． C． D．23．（2023·河南開(kāi)封·一模）記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，，則（

）A．6 B．8 C．9 D．1224．（2223高二下·黑龍江牡丹江·期末）已知定義數(shù)列為數(shù)列的“差數(shù)列”，若的“差數(shù)列”的第項(xiàng)為，則數(shù)列的前2023項(xiàng)和（

）A． B． C． D．題型九、等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)25．（2223高二上·廣東深圳·期末）設(shè)等比數(shù)列的公比為，其前項(xiàng)和為，前項(xiàng)之積為，且滿足，，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C．是數(shù)列中的最大值 D．26．（2023·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為.若，，則（

）A． B． C． D．27．（2122高二上·重慶·期末）已知等比數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．題型十、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用28．（2324高二上·甘肅·期末）《周髀算經(jīng)》記載：一年有二十四個(gè)節(jié)氣，每個(gè)節(jié)氣晷長(zhǎng)損益相同（晷是按照日影測(cè)定時(shí)刻的儀器，晷長(zhǎng)即為所測(cè)量影子的長(zhǎng)度），夏至?小暑?大暑?立秋?處暑?白露?秋分?寒露?霜降?立冬?小雪?大雪是連續(xù)十二個(gè)節(jié)氣，其日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列.經(jīng)記錄測(cè)算，夏至?處暑?霜降三個(gè)節(jié)氣日影子長(zhǎng)之和為16.5尺，這十二節(jié)氣的所有日影子長(zhǎng)之和為84尺，則大雪的日影子長(zhǎng)為（

）A．1尺 B．1.5尺 C．11.5尺 D．12.5尺29．（2324高二上·黑龍江哈爾濱·期末）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里出現(xiàn)了如圖所示的楊輝三角，這是中國(guó)數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就．在楊輝三角中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，……．則此數(shù)列的前15項(xiàng)之和為（

）A．114 B．116 C．124 D．12630．（2023·廣東揭陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）在《增減算法統(tǒng)宗》中有這樣一則故事：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難；次日腳痛減一半，如此六日過(guò)其關(guān)”.其大意是：有人要去某關(guān)口，路程為里，第一天健步行走，從第二天起由于腳痛，每天走的路程都為前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.則此人后天共走的里程數(shù)為（

）A． B． C． D．題型十一、數(shù)列的最值31．（2324高三上·遼寧·期中）已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n和為，若，且，則滿足的n的最大值為.32．（2223高二下·湖南湘潭·期末）有窮等差數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，若，則的最小值是.33．（2223高二下·浙江杭州·期末）已知數(shù)列滿足，，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則滿足的正整數(shù)的最小值為．【專題強(qiáng)化】一、單選題34．（2324高二上·河南·期末）已知是公比為2的等比數(shù)列，若，則（

）A．100 B．80 C．50 D．4035．（2324高二上·湖南·期末）如圖，三角形蜘蛛網(wǎng)是由一些正三角形環(huán)繞而成的圖形，每個(gè)正三角形的頂點(diǎn)都是其外接正三角形各邊的中點(diǎn)．現(xiàn)有17米長(zhǎng)的鐵絲材料用來(lái)制作一個(gè)網(wǎng)格數(shù)最多的三角形蜘蛛網(wǎng)，若該三角形蜘蛛網(wǎng)中最大的正三角形的邊長(zhǎng)為3米，則最小的正三角形的邊長(zhǎng)為（

）A．米 B．米 C．米 D．米36．（2324高二上·湖南·期末）在數(shù)列中，已知，，若，則（

）A．2 B．3 C．4 D．537．（2024·四川綿陽(yáng)·二模）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．38．（2324高二上·湖北·期末）定義：在數(shù)列中，若對(duì)任意的都滿足為常數(shù)，則稱數(shù)列為等差比數(shù)列．已知等差比數(shù)列中，，，則（

）A． B．C． D．39．（2324高二上·四川宜賓·期末）一只蜜蜂從蜂房出發(fā)向右爬，每次只能爬向右側(cè)相鄰的兩個(gè)蜂房(如圖)，例如：從蜂房只能爬到號(hào)或號(hào)蜂房，從號(hào)蜂房只能爬到號(hào)或號(hào)蜂房……以此類推，用表示蜜蜂爬到號(hào)蜂房的方法數(shù)，則（

）A． B．C． D．40．（2324高二上·安徽合肥·期末）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足，（），則的取值范圍是（

）A． B． C． D．41．（2324高二上·重慶·期末）已知數(shù)列滿足，且，數(shù)列滿足，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．42．（2324高二上·北京·期末）正項(xiàng)等比數(shù)列中，是方程的兩根，則的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．543．（2223高二上·江蘇常州·期末）已知數(shù)列滿足，若，則的前2022項(xiàng)和為（

）A． B． C． D．44．（2324高二上·河北衡水·階段練習(xí)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，數(shù)列中最大的項(xiàng)為第（

）項(xiàng)．A．4 B．5 C．6 D．7二、多選題45．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（

）A． B． C． D．46．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列的公差為d，前n項(xiàng)和為，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．若，則時(shí)最大C．若，則使為負(fù)值的n的值有6個(gè) D．若，則47．（2324高二上·廣東深圳·期末）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，下列說(shuō)法不正確的是（

）A．若，則成等比數(shù)列B．若為等差數(shù)列，則為等比數(shù)列C．若，則數(shù)列為等差數(shù)列D．若，則數(shù)列為等比數(shù)列48．（2324高二上·福建寧德·期末）數(shù)列是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列 D．、、成等比數(shù)列49．（2324高二上·重慶·期末）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，，則下列結(jié)論正確的有（

）A．是遞減數(shù)列 B．C． D．使成立的的最小值為404650．（2324高二上·山東煙臺(tái)·期末）《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有五人分五錢，令上二人所得與下三人等.問(wèn)各得幾何.”其意思為“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得與丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差數(shù)列，問(wèn)五人各得多少錢？”.關(guān)于這個(gè)問(wèn)題，下列說(shuō)法正確的是（

）A．戊得錢是