人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊舉一反三11.3三角形的內(nèi)角【十大題型】(學(xué)生版+解析)

專題11.3三角形的內(nèi)角【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1三角形內(nèi)角和定理的證明】 1【題型2應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度】 3【題型3三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】 3【題型4三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】 4【題型5三角形折疊中的角度問題】 5【題型6應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】 7【題型7應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】 8【題型8三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】 10【題型9直角三角形的判定】 11【題型10應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)倒角】 12【知識(shí)點(diǎn)1三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理】（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．【題型1三角形內(nèi)角和定理的證明】【例1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）定理：三角形的內(nèi)角和是180°．已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三個(gè)內(nèi)角．求證：∠C+∠D+∠CED=180°．有如下四個(gè)說法：①*表示內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；②@表示∠BEC；③上述證明得到的結(jié)論，只有在銳角三角形中才適用；④上述證明得到的結(jié)論，適用于任何三角形．其中正確的是（

）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③【變式1-1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖,將鉛筆放置在三角形ABC的邊AB上，筆尖方向?yàn)辄c(diǎn)A到點(diǎn)B的方向，把鉛筆依次繞點(diǎn)A、點(diǎn)C、點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠A、∠C、∠B的度數(shù)，觀察筆尖方向的變化，該操作說明了．【變式1-2】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如圖所示的四種輔助線，其中能證明“△ABC的內(nèi)角和是180°”的有（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式1-3】（2023春·福建南平·八年級(jí)福建省南平第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在證明“三角形內(nèi)角和等于180”這一命題時(shí)，小彬的思路如下．請(qǐng)寫出“求證”部分，補(bǔ)充第一步推理的依據(jù)并按他的思路完成后續(xù)證明．已知：如圖，△ABC求證：證明：如圖，在BC邊上取點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F．∵DE∥AB，∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依據(jù)：）．∵DF∥AC，∴∠1＝∠3【題型2應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度】【例2】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，那么這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為【變式2-1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）若△ABC的三個(gè)內(nèi)角之比為1:3:5，那么△ABC中最大角的度數(shù)為．【變式2-2】（2023春·廣東江門·八年級(jí)校考階段練習(xí)）在△ABC中，∠C=40°，且∠B:∠A=4:3，則∠B的度數(shù)為【變式2-3】（2023春·廣東梅州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù)．

【題型3三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】【例3】（2023春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC經(jīng)過平移得到△DEF，DE分別交BC，AC于點(diǎn)G，H，若∠B=97°，∠C=40°，則∠GHC的度數(shù)為（）

A．147° B．40° C．97° D．43°【變式3-1】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是A、B、C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向．從C島看A、B島的視角∠ACB為多少？【變式3-3】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)B、C在線段AD的異側(cè)，點(diǎn)E、F分別是線段AB、CD上的點(diǎn)，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）求證：AB//CD；（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求證：∠B=∠C；（3）在（2）的條件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度數(shù)．【題型4三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】【例4】（2023春·廣東惠州·八年級(jí)惠州一中校考期中）如圖，∠A=70°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，則∠BPC的度數(shù)為（）

A．105° B．115° C．125° D．135°【變式4-1】（2023春·廣東東莞·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，∠EAD=5°，∠C=50°，求∠B的度數(shù)．

【變式4-2】（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在CB的延長線上，AB與EF交于點(diǎn)G，∠AGE=∠CED，ED平分∠CEF．(1)求證：AB∥(2)若∠F=30°，∠AGE=50°，求∠C的度數(shù)．【變式4-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分線于點(diǎn)P，CP與DE相交于點(diǎn)G，∠ACF的平分線CQ與DP相交于點(diǎn)Q．(1)若∠A=50°，∠B=60°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________(2)若∠A=50°，當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，∠DPC、∠Q的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說明理由；(3)若∠A=x°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代數(shù)式表示）；(4)若△PCQ中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的∠A的度數(shù)．【題型5三角形折疊中的角度問題】【例5】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠A=20°，點(diǎn)D在邊AC上（如圖1），先將△ABD沿著BD翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，A'B交AC于點(diǎn)E（如圖2），再將△BCE沿著BE翻折，點(diǎn)C恰好落在BD上的點(diǎn)C'處，此時(shí)∠CA．66° B．23° C．46° D．69°【變式5-1】（2023春·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠A=60°，將△ABC沿DE翻折后，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處．若∠A'EC=70°，則∠A'DE的度數(shù)為（

）A．55° B．60° C．65° D．70°【變式5-2】（2023春·甘肅定西·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，將點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿MN和EF折疊，使點(diǎn)A、A．22° B．21° C．20° D．19°【變式5-3】（2023·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）已知，在△ABC中，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將∠B沿E、D所在直線進(jìn)行翻折得到∠EFD．(1)如圖，若∠B=50°，則∠AEF+∠FDC=______；(2)在圖中細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)了∠AEF，∠FDC，∠B之間的關(guān)系，請(qǐng)您替小明寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系并證明．【題型6應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】【例6】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，a∥b，一塊含45°的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)落在直線b上，若∠1=58°54A．103°6' B．104°6' C．【變式6-1】（2023春·八年級(jí)單元測試）如圖所示，有一塊直角三角板DEF（足夠大），其中∠EDF=90°，把直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，三角板DEF的兩邊DE、DF恰好分別經(jīng)過B、C．(1)若∠A=40°，則∠ABC+∠ACB=°，∠DBC+∠DCB=°，∠ABD+∠ACD=°．(2)若∠A=55°，則∠ABD+∠ACD=°．(3)請(qǐng)你猜想一下∠ABD+∠ACD與∠A所滿足的數(shù)量關(guān)系．【變式6-2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合按如圖放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列結(jié)論：①如果∠2=30°，則AC∥②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC∥AD，則④如果∠CAD=150°，則∠4=∠C．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式6-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小宋對(duì)三角板在平行線間的擺放進(jìn)行了探究(1)如圖（1），已知a∥b，小宋把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線b上．若∠1=40°，直接寫出∠2的度數(shù)；若∠1=m°，直接寫出∠2的度數(shù)（用含(2)如圖（2），將一副三角板和一張對(duì)邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個(gè)三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)與45°角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊b重合，含45°角的三角板的另一個(gè)頂點(diǎn)在紙條的另一邊a上，求∠1的度數(shù)．【題型7應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】【例7】（2023春·廣東潮州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F(xiàn)為射線AE上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且FD⊥BC于D；

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且∠C=50°，∠B=30°時(shí)，求∠EFD的度數(shù)；(2)如果點(diǎn)F在線段AE上（不與點(diǎn)A重合）時(shí)，如圖2，直接寫出∠EFD、∠C、∠B的數(shù)量關(guān)系．【變式7-1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB∥CD，E為線段CD上一點(diǎn)，∠BAD＝n°，n＝15xy，且x?1+(1)求n的值．(2)求證：∠PEC﹣∠APE＝135°．(3)若P點(diǎn)在射線DA上運(yùn)動(dòng)，直接寫出∠APE與∠PEC之間的數(shù)量關(guān)系．（不考慮P與A、D重合的情況）【變式7-2】（2023春·河南漯河·八年級(jí)?？计谀┮阎鰽BC．（1）如圖（1），∠C>∠B，若AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD與∠B，∠C之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并說明理由．（2）如圖（2），AE平分∠BAC，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，F(xiàn)M⊥BC于點(diǎn)M，∠EFM與∠B，∠C之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【變式7-3】（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連結(jié)CE．(1)如圖1，若CE平分∠ACD，過點(diǎn)E作EM⊥CE交CD于點(diǎn)M，試說明∠A＝2∠CME；(2)如圖2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度數(shù)．(3)如圖3，過點(diǎn)E作EM⊥CE交∠DCE的平分線于點(diǎn)M，MN⊥CM交AB于點(diǎn)N，CH⊥AB，垂足為H．若∠ACH＝12∠ECH請(qǐng)直接寫出∠MNB與∠A【題型8三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】【例8】（2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門一中校考期中）新定義：在△ABC中，若存在最大內(nèi)角是最小內(nèi)角度數(shù)的n倍(n為大于1的正整數(shù))，則稱△ABC為“n倍角三角形”.例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，則∠C＝30°，因?yàn)椤螦最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC為“3倍角三角形”.(1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，則△DEF為“_______倍角三角形”.(2)如圖，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)D，若△ABD為“6倍角三角形”，請(qǐng)求出∠ABD的度數(shù).【變式8-1】（2023春·安徽六安·八年級(jí)?？计谥校┒x：當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“倍角三角形”，其中α稱為“倍角”，如果一個(gè)“倍角三角形”的一個(gè)內(nèi)角為99°，那么倍角α的度數(shù)是（

）A．99° B．99°或49.5° C．99°或54° D．99°或49.5°或54°【變式8-2】（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）我們定義：【概念理解】在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”.【簡單應(yīng)用】如圖1，∠MON=72°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與O，B重合）（1）∠ABO＝，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求證：△AOC是“完美三角形”．【應(yīng)用拓展】如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，在DC上取點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度數(shù)．【變式8-3】（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）定義：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2α+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．(1)若△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠C>90°，∠A=56°，則∠B=_____°；(2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．①如圖，若AD是∠BAC的角平分線，請(qǐng)你判斷△ABD是否為“準(zhǔn)互余三角形”？并說明理由．②點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，△ABE是“準(zhǔn)互余三角形”，若∠B=28°，求∠AEB的度數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)2直角三角形的判定】有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．【題型9直角三角形的判定】【例9】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，∠C=90°，∠1=∠2，求證△ADE是直角三角形．【變式9-1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2:3:5，那么這個(gè)三角形是（

A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【變式9-2】（2023春·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在下列條件：①∠A+∠B+∠C=180°；②∠A:∠B:∠C=1:2:3；③∠A=∠B=2∠C；④∠A=12∠B=13∠C；A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)【變式9-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖AB∥CD，AC平分∠BAD，BD平分∠ADC，AC和BD交于點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)3直角三角形的性質(zhì)】直角三角形兩個(gè)內(nèi)角互余．【題型10應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)倒角】【例10】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AD為△ABC的高，AE、BF為△ABC的角平分線，∠CBF=30°，∠AFB=70°．(1)∠BAD=度．(2)求∠DAE的度數(shù)．(3)若點(diǎn)M為線段BC上任意一點(diǎn)，當(dāng)△MFC為直角三角形時(shí)，直接寫出∠BFM的度數(shù)．【變式10-1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，已知Rt△ABC和Rt△DEF，∠BAC=∠EDF=90°，點(diǎn)F、A、D、C共線，AB、EF相交于點(diǎn)M，且EF⊥BC，則圖中與∠E相等的角有（

）個(gè)．A．5 B．4 C．3 D．2【變式10-2】（2023春·八年級(jí)單元測試）如圖，已知∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足是D，則圖中與∠B互余的角有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【變式10-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD=∠B．（1）如圖1，求證：CD⊥AB；（2）將△ADC沿CD所在直線翻折，A點(diǎn)落在BD邊所在直線上，記為A′點(diǎn)．①如圖2，若∠B=34°，求∠A′CB的度數(shù)；②若∠B=n°，請(qǐng)直接寫出∠A′CB的度數(shù)（用含n的代數(shù)式表示）．

專題11.3三角形的內(nèi)角【十大題型】【人教版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1三角形內(nèi)角和定理的證明】 1【題型2應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度】 4【題型3三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】 6【題型4三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】 10【題型5三角形折疊中的角度問題】 16【題型6應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】 20【題型7應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】 25【題型8三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】 32【題型9直角三角形的判定】 37【題型10應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)倒角】 40【知識(shí)點(diǎn)1三角形的內(nèi)角及內(nèi)角和定理】（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．【題型1三角形內(nèi)角和定理的證明】【例1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）定理：三角形的內(nèi)角和是180°．已知：∠CED、∠C、∠D是△CED的三個(gè)內(nèi)角．求證：∠C+∠D+∠CED=180°．有如下四個(gè)說法：①*表示內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；②@表示∠BEC；③上述證明得到的結(jié)論，只有在銳角三角形中才適用；④上述證明得到的結(jié)論，適用于任何三角形．其中正確的是（

）

A．①② B．②③ C．②④ D．①③【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠2=∠D，∠1+∠BEC=180°，即可推出結(jié)論．【詳解】解：證明：如圖，作點(diǎn)E作直線AB，使得AB∥∴∠2=∠D（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∴∠1+∠BEC=180°，∴∠1+∠D+∠CED=180°．①*表示兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；故①不正確，不符合題意；②@表示∠BEC，故②正確，符合題意；③④上述證明得到的結(jié)論，在任何三角形均適用；故③不正確，不符合題意；④正確，符合題意；綜上：正確的有②④，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的證明，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【變式1-1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖,將鉛筆放置在三角形ABC的邊AB上，筆尖方向?yàn)辄c(diǎn)A到點(diǎn)B的方向，把鉛筆依次繞點(diǎn)A、點(diǎn)C、點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠A、∠C、∠B的度數(shù)，觀察筆尖方向的變化，該操作說明了．【答案】三角形內(nèi)角和等于180°【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)后反方向說明旋轉(zhuǎn)度數(shù)等于180°解答．【詳解】解：筆尖方向發(fā)生了由點(diǎn)B到點(diǎn)A的方向，∵鉛筆依次繞點(diǎn)A、點(diǎn)C、點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)∠A、∠C、∠B的度數(shù)，∴旋轉(zhuǎn)角度之和為∠A＋∠B＋∠C，∵筆尖方向變?yōu)辄c(diǎn)B到點(diǎn)A的方向，∴旋轉(zhuǎn)角度之和為180°，∴這種變化說明三角形內(nèi)角和等于180°．故答案為：三角形內(nèi)角和等于180°．【點(diǎn)睛】本題考查了平角的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，理解旋轉(zhuǎn)度數(shù)之和與三角形的內(nèi)角和的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）在探究證明“三角形的內(nèi)角和是180°”時(shí)，綜合實(shí)踐小組的同學(xué)作了如圖所示的四種輔助線，其中能證明“△ABC的內(nèi)角和是180°”的有（

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想作出相應(yīng)的平行線，把三角形的內(nèi)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義解決此題．【詳解】解：①．由EF∥AB，則∠ECA=∠A，∠②．由CE∥AB，則∠A=∠FCE，∠③．由CD⊥AB于D，則∠ADC④．由DF∥AC，得∠EDF=∠AED，∠A=∠FDB．由ED∥BC，得共有：①②④符合條件，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和的定理的證明，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想以及平角的定義是解決本題的關(guān)鍵．【變式1-3】（2023春·福建南平·八年級(jí)福建省南平第一中學(xué)校考階段練習(xí)）在證明“三角形內(nèi)角和等于180”這一命題時(shí)，小彬的思路如下．請(qǐng)寫出“求證”部分，補(bǔ)充第一步推理的依據(jù)并按他的思路完成后續(xù)證明．已知：如圖，△ABC求證：證明：如圖，在BC邊上取點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F．∵DE∥AB，∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依據(jù)：）．∵DF∥AC，∴∠1＝∠3【答案】∠A+∠B+∠C=180°，兩直線平行，同位角相等，后續(xù)證明見解析．【分析】首先過點(diǎn)D作AB、AC的平行線，利用兩直線平行，同位角相等，可將△ABC的三個(gè)角放到一個(gè)平角里面，根據(jù)平角=180°即可證明；【詳解】已知：如圖，△ABC求證：∠A+∠B+∠C=180°證明：如圖，在BC邊上取點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F．∵DE∥AB，∴∠A＝∠1，∠B＝∠2（依據(jù)：兩直線平行，同位角相等）．∵DF∥AC，∴∠1＝∠3∴∠3=∠A又∵DF∥AC∴∠4=∠C又∵∠4+∠3+∠2=180°∴∠A+∠B+∠C=180°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)定理和三角形的內(nèi)角和．熟練掌握平行線的性質(zhì)和平角的度數(shù)為180°是解決本題的關(guān)鍵．【題型2應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度】【例2】（2023春·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為60°，那么這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為【答案】30°或150°【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分別從銳角三角形與鈍角三角形分析求解即可求出答案．【詳解】根據(jù)題意得：AB=AC,BD⊥AC，如圖（1）所示，∠ABD=60°，則∠A=30°，即頂角為30°；如圖（2）所示，∠ABD=60°，則∠DAB=30°，∴∠BAC=150°，即頂角為150°；故答案為：30°或150°．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形，三角形的內(nèi)角和定理，注意掌握分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）若△ABC的三個(gè)內(nèi)角之比為1:3:5，那么△ABC中最大角的度數(shù)為．【答案】100°【分析】三角形的內(nèi)角和為180°，然后按比例分配即可．【詳解】解：由題意得，最大角為180°×5故答案為：100°．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2023春·廣東江門·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，∠C=40°，且∠B:∠A=4:3，則∠B的度數(shù)為【答案】80°【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°即可進(jìn)行解答．【詳解】解：∵∠C=40∴∠B+∠A=180°?40°=140°，∴∠B=140°×4故答案為：80°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180°．【變式2-3】（2023春·廣東梅州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù)．

【答案】101°【分析】連接AD，如圖所示，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理列出等式，從而根據(jù)題中已知條件作差即可得到答案．【詳解】解：連接AD，如圖所示：

在△ABC中，∠ABC+∠A+∠ACB=180°①，在△BCD中，∠DBC+∠D+∠DCB=180°②，∴由①?②得∠A?∠D+∠ABC?∠DBC+∠ACB?∠DCB∵∠A=51°，∠ABD=20°，∠ACD=30°，∴51°?∠D+20°+30°=0，即∠D=101°．【點(diǎn)睛】本題考查求角度問題，涉及三角形內(nèi)角和定理，數(shù)形結(jié)合，找到各個(gè)角之間的關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．【題型3三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用】【例3】（2023春·四川成都·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，△ABC經(jīng)過平移得到△DEF，DE分別交BC，AC于點(diǎn)G，H，若∠B=97°，∠C=40°，則∠GHC的度數(shù)為（）

A．147° B．40° C．97° D．43°【答案】D【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定義可得∠A=43°，再根據(jù)平移性質(zhì)可得∠D=∠A，AC∥DF，得到【詳解】解：∵∠B=97°，∠C=40°，∴∠A=180°?97°?40°=43°，由平移的性質(zhì)可知∠D=∠A=43°，AC∥∴∠GHC=∠D=43°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定義、平移的性質(zhì)，熟練掌握三角形內(nèi)角和等于180°以及平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式3-1】（2023春·山東濟(jì)寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是A、B、C三島的平面圖，C島在A島的北偏東50°方向，B島在A島的北偏東80°方向，C島在B島的北偏西40°方向．從C島看A、B島的視角∠ACB為多少？【答案】90°【分析】根據(jù)題意在圖中標(biāo)注方向角，得到有關(guān)角的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)解答即可．【詳解】解：由題意得，∠DAB＝80°，∵DA∥EB，∴∠EBA＝180°﹣∠DAB＝100°，又∠EBC＝40°，∴∠ABC＝∠EBA﹣∠EBC＝60°，∵∠DAB＝80°，∠DAC＝50°，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝90°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式3-2】（2023春·八年級(jí)單元測試）如圖，防城港市的一條公路修到海邊時(shí)，需要拐彎繞海而過，如果第一次拐角是∠A=130°，第二次拐的角是∠B=160°，第三次拐的角是∠C，這時(shí)的道路恰好和第一次拐之前的道路平行，則∠C度數(shù)為．【答案】150°【分析】法一：過B作BD∥AE，運(yùn)用平行線性質(zhì)及已知條件，可得∠ABD=∠A=130°，BD∥法二：延長AB、FC，交于點(diǎn)D，運(yùn)用平行線性質(zhì)及已知條件，可得∠A=∠BDC=130°，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，求得∠BCD=180°?∠CBD?∠BDC=30°，從而求得∠BCF．【詳解】解：法一，如圖，過B作BD∥∵BD∥AE，∴∠ABD=∠A=130°．∵BD∥AE，∴BD∥∵∠ABC=160°，∠ABD=130°，∴∠DBC=∠ABC?∠ABD=160°?130°=30°．∵BD∥∴∠DBC+∠C=180°，∵∠DBC=30°，∴∠C=180°?∠DBC=150°．法二，如圖，延長AB、FC，交于點(diǎn)D，∵AE∥CD，∴∠A=∠BDC=130°．∵∠ABC=160°，∴∠CBD=180°?∠ABC=20°，在△CBD中，∵∠CBD=20°，∠BDC=130°，∴∠BCD=180°?∠CBD?∠BDC=30°，∴∠BCF=180°?∠BCD=150°．故答案為：150°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）已知：如圖，點(diǎn)B、C在線段AD的異側(cè)，點(diǎn)E、F分別是線段AB、CD上的點(diǎn)，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．（1）求證：AB//CD；（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求證：∠B=∠C；（3）在（2）的條件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）108°【分析】（1）根據(jù)對(duì)頂角相等結(jié)合已知條件得出∠AEG＝∠C，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行即可證得結(jié)論；（2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代換得∠DGC+∠AHF=180°可判斷EC//BF，兩直線平行同位角相等得出∠B=∠AEG，結(jié)合（1）得出結(jié)論；（3）由（2）證得EC//BF，得∠BFC+∠C=180°，求得∠C的度數(shù)，由三角形內(nèi)角和定理求得∠D的度數(shù)．【詳解】證明：（1）∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC∴∠AEG=∠C

∴AB//CD（2）∵∠AGE=∠DGC，∠AGE+∠AHF=180°∴∠DGC+∠AHF=180°∴EC//BF

∴∠B=∠AEG由（1）得∠AEG=∠C

∴∠B=∠C（3）由（2）得EC//BF∴∠BFC+∠C=180°∵∠BFC=4∠C

∴∠C=36°

∴∠DGC=36°∵∠C+∠DGC+∠D=180°

∴∠D=108°【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟記“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”、“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”及“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”是解題的關(guān)鍵．【題型4三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用】【例4】（2023春·廣東惠州·八年級(jí)惠州一中校考期中）如圖，∠A=70°，P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，則∠BPC的度數(shù)為（）

A．105° B．115° C．125° D．135°【答案】C【分析】先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再由角平分線的性質(zhì)求出∠PBC+∠PCB的度數(shù)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°?70°=110°．∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC+∠PCB=1∴∠BPC=180°?55°=125°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理、角平分線的相關(guān)計(jì)算，熟知三角形內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023春·廣東東莞·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的高，AE是∠BAC的平分線，∠EAD=5°，∠C=50°，求∠B的度數(shù)．

【答案】40°【分析】利用角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理解答即可．【詳解】解：∵AD是BC邊上的高，∴∠ADC=90°．∵∠C=50°，∴∠DAC=90°?∠C=40°，∴∠EAC=∠EAD+∠DAC=45°．∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE=∠EAC=45°．∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=50°，∴∠B=90°?∠BAD=40°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理及其推論，直角三角形的兩個(gè)銳角互余，垂直的定義，熟練利用三角形的內(nèi)角和定理解答是解題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023春·黑龍江大慶·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，點(diǎn)E在AC上，點(diǎn)F在CB的延長線上，AB與EF交于點(diǎn)G，∠AGE=∠CED，ED平分∠CEF．(1)求證：AB∥(2)若∠F=30°，∠AGE=50°，求∠C的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠C=50°【分析】（1）由角平分線的定義可得∠DEF=∠CED，結(jié)合∠AGE=∠CED可得∠AGE=∠DEF，根據(jù)“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可證AB∥（2）由ED平分∠CEF可得∠CEF=2∠CED=100°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】（1）證明：∵ED平分∠CEF，∴∠DEF=∠CED，∵∠AGE=∠CED，∴∠AGE=∠DEF，∴AB∥（2）解：∵∠AGE=∠CED，∴∠CED=50°，∵ED平分∠CEF，∴∠CEF=2∠CED=100°，∵∠C+∠CEF+∠F=180°，∠F=30°，∴∠C=180°-【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的定義，平行線的判定，三角形內(nèi)角和定理等，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定方法，牢記三角形內(nèi)角和為180度．【變式4-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，DP平分∠ADE，交∠ACB的平分線于點(diǎn)P，CP與DE相交于點(diǎn)G，∠ACF的平分線CQ與DP相交于點(diǎn)Q．(1)若∠A=50°，∠B=60°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________(2)若∠A=50°，當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，∠DPC、∠Q的度數(shù)是否發(fā)生變化？并說明理由；(3)若∠A=x°，則∠DPC=____________°，∠Q=____________°；（用含x的代數(shù)式表示）；(4)若△PCQ中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的∠A的度數(shù)．【答案】(1)115，25(2)不發(fā)生變化，理由見解析(3)90+12(4)45°，60°，120°，135°【分析】（1）由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；（2）同理由平行線的性質(zhì)，角平分線的定義結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可求解；（3）將（2）中∠A=50°換成∠A=x°，同理即可求解；（4）設(shè)∠A=x°，由（3）可知∠QPC=(90?12x)°，∠Q=12x°．再由∠PCQ=90°不變，即可分類討論①當(dāng)∠PCQ=3∠CPQ時(shí)，②當(dāng)∠PCQ=3∠Q時(shí)，③當(dāng)∠CPQ=3∠Q時(shí)和④當(dāng)【詳解】（1）∵∠A=50°，∴∠ACB=180°?∠A?∠B=70°．∵CP平分∠ACB，∴∠BCP=∠ACP=1∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B=60°，∠PGD=∠BCP=35°．∵DP平分∠ADE，∴∠PDG=1∴∠DPC=180°?∠PDG?∠PGD=115°；∵∠DPC=115°，∴∠QPC=180°?115°=65°．∵CP平分∠ACB，CQ平分∠ACF，∴∠ACP=12∠ACB∵∠ACB+∠ACF=180°，∴∠ACP+∠ACQ=90°，即∠PCQ=90°，∴∠Q=90°?∠QPC=25°．故答案為：115，25；（2）當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，∠DPC、∠Q的度數(shù)不發(fā)生變化理由如下：∵∠A=50°，∴∠ACB+∠B=130°．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠PGD=∠PCB．∵DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，∴∠PDE=12∠ADE=∴∠DPC=180°?=180°?=180°?=115°．∴∠QCP=65°由（1）可知∠PCQ=90°不變，∴∠Q=90°?∠QPC=25°．∴當(dāng)∠B的度數(shù)發(fā)生變化時(shí)，∠DPC、∠Q的度數(shù)不發(fā)生變化；（3）∵∠A=x°，∴∠ACB+∠B=180°?x°．∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠PGD=∠PCB．∵DP平分∠ADE，CP平分∠ACB，∴∠PDE=12∠ADE=∴∠DPC=180°?=180°?=180°?=(90+1∴∠QPC=180°?(90+1由（1）可知∠PCQ=90°不變，∴∠Q=90°?∠QPC=90°?(90?1故答案為：(90+12x)（4）設(shè)∠A=x°，由（3）可知∠QPC=(90?12x)°∵∠PCQ=90°，∴可分類討論：①當(dāng)∠PCQ=3∠CPQ時(shí)，∴(90?1解得：x=120，∴∠A=120°；②當(dāng)∠PCQ=3∠Q時(shí)，∴12解得：x=60，∴∠A=60°；③當(dāng)∠CPQ=3∠Q時(shí)，∴(90?1解得：x=90，x=45∴∠A=45°；④當(dāng)3∠CPQ=∠Q時(shí)，∴3×(90?1解得：x=135，∴∠A=135°．綜上可知∠A=45°或60°或120°或135°．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)．利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想是解題關(guān)鍵．【題型5三角形折疊中的角度問題】【例5】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在△ABC中，∠A=20°，點(diǎn)D在邊AC上（如圖1），先將△ABD沿著BD翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，A'B交AC于點(diǎn)E（如圖2），再將△BCE沿著BE翻折，點(diǎn)C恰好落在BD上的點(diǎn)C'處，此時(shí)∠CA．66° B．23° C．46° D．69°【答案】D【分析】根據(jù)翻折后對(duì)應(yīng)角相等得到∠ABC'=∠C'【詳解】解：由題意可得∠ABC'=∠設(shè)∠ABC=x，則∠ABC∵三角形的內(nèi)角和等于180°，∴在△ABC中，∠A+∠ABC=180°?∠C，即20°+x=180°?∠C；在△BCE中，∠CEB+∠CBE=180°?∠C，即66°+1∴20°+x=66°+1解得：x=69°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查翻折后對(duì)應(yīng)角相等，利用三角形的內(nèi)角和等于180°，設(shè)未知數(shù)并建立等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題的難點(diǎn)是∠C是兩個(gè)三角形的公共角，由此列方程求解．【變式5-1】（2023春·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠A=60°，將△ABC沿DE翻折后，點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)A'處．若∠A'EC=70°，則∠A'DE的度數(shù)為（

）A．55° B．60° C．65° D．70°【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到∠A'DE=∠ADE，∠A'ED=∠AED，結(jié)合∠A'EC=70°，得到【詳解】．根據(jù)折疊的性質(zhì)，得到∠A'DE=∠ADE，因?yàn)椤螦'EC=70°，所以∠A'ED=因?yàn)椤螦=60°，所以∠A'DE=故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023春·甘肅定西·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，將點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿MN和EF折疊，使點(diǎn)A、A．22° B．21° C．20° D．19°【答案】C【分析】根據(jù)∠A＝20°，∠B＝60°，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿MN和EF折疊，使點(diǎn)A、B與點(diǎn)【詳解】因?yàn)椤螦＝20°，∠B＝60°，點(diǎn)A與點(diǎn)B分別沿MN和EF折疊，使點(diǎn)所以∠A=因?yàn)椤螦CB=所以100°=解得∠NCF=故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023·全國·八年級(jí)假期作業(yè)）已知，在△ABC中，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)D是BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將∠B沿E、D所在直線進(jìn)行翻折得到∠EFD．(1)如圖，若∠B=50°，則∠AEF+∠FDC=______；(2)在圖中細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)了∠AEF，∠FDC，∠B之間的關(guān)系，請(qǐng)您替小明寫出這個(gè)數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)100°；(2)∠AEF+∠FDC=2∠B，證明見解析．【分析】（1）先由三角形內(nèi)角和求出∠BDE+∠BED=130°，再由折疊的性質(zhì)得∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=130°，進(jìn)而可求出∠AEF+∠FDC的度數(shù)；（2）先由三角形內(nèi)角和求出∠BDE+∠BED=180°?∠B，再由折疊的性質(zhì)得∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=180°?∠B，進(jìn)而可求出∠AEF，∠FDC，∠B之間的關(guān)系．【詳解】（1）在△BDE中，∠B=50°，∴∠BDE+∠BED=180°?∠B=180由折疊的性質(zhì)，可知：∠FDE=∠BDE，∠FED=∠BED，∴∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=130°．又∵∠∠BDE+∠FDE+∠FDC=180°，∠BED+∠FED+∠AEF=180°，∴∠AEF+∠FDC=180°?(∠BED+∠FED)+180°?(∠BDE+∠FDE)=360°?(∠BDE+∠BED)?(∠FDE+∠FED)=360°?130°?130°=100°．故答案為：100°；（2）∠AEF+∠FDC=2∠B．證明：在△BDE中，∠B+∠BDE+∠BED=180°，∴∠BDE+∠BED=180°?∠B．由折疊的性質(zhì)，可知：∠FDE=∠BDE,∠FED=∠BED，∴∠FDE+∠FED=∠BDE+∠BED=180°?∠B．又∵∠BDE+∠FDE+∠FDC=180°,∠BED+∠FED+∠AEF=180°，∴∠AEF+∠FDC=180°?(∠BED+∠FED)+180°?(∠BDE+∠FDE)=360°?(∠BDE+∠BED)?(∠FDE+∠FED)=360°?(180°?∠B)?(180°?∠B)=2∠B，即∠AEF+∠FDC=2∠B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和，以及折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【題型6應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題】【例6】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，a∥b，一塊含45°的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)落在直線b上，若∠1=58°54A．103°6' B．104°6' C．【答案】C【分析】設(shè)∠2的同位角為∠3，∠3的鄰補(bǔ)角為∠5，三角板的一個(gè)銳角為∠4，根據(jù)等腰三角板的特點(diǎn)可求出∠4，根據(jù)三角形內(nèi)角和即可求出∠5，再根據(jù)平角的性質(zhì)即可求出∠3，進(jìn)而根據(jù)兩直線平行同位角相等即可求出∠2．【詳解】設(shè)∠2的同位角為∠3，∠3的鄰補(bǔ)角為∠5，三角板的一個(gè)銳角為∠4，如圖，∵直角三角板含一個(gè)45°的銳角，∴該三角板為等腰三角形，∴∠4=45°，∵∠1=58°54′，又∵在三角形中有∠1+∠4+∠5=180°，∴∠5=180°-(∠1+∠4)=180°-(58°54′+45°)=180°-103°54′=76°6′，∵∠3+∠5=180°，∴∠3=180°-∠5=180°-76°6′=103°54′，∵a∥∴∠2=∠3，∴∠2=103°54′，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的內(nèi)角和等知識(shí)，掌握兩直線平行同位角相等是解答本題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023春·八年級(jí)單元測試）如圖所示，有一塊直角三角板DEF（足夠大），其中∠EDF=90°，把直角三角板DEF放置在銳角△ABC上，三角板DEF的兩邊DE、DF恰好分別經(jīng)過B、C．(1)若∠A=40°，則∠ABC+∠ACB=°，∠DBC+∠DCB=°，∠ABD+∠ACD=°．(2)若∠A=55°，則∠ABD+∠ACD=°．(3)請(qǐng)你猜想一下∠ABD+∠ACD與∠A所滿足的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)140；90；50(2)35(3)∠ABD+∠ACD=90°?∠A【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°?∠A=140°，∠DBC+∠DCB=180°?∠DBC=90°，進(jìn)而整理可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ABC+∠ACB=180°?∠A=125°，∠DBC+∠DCB=180°?∠DBC=90°，進(jìn)而整理可求出∠ABD+∠ACD的度數(shù)；（3）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理有90°+(∠ABD+∠ACD)+∠A=180°，整理得∠ABD+∠ACD=90°?∠A．【詳解】（1）解：∵在△ABC中，∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°?40°=140°，∵在△DBC中，∠BDC=90∴∠DBC+∠DCB=180°?90°=90°，∴∠ABD+∠ACD=140°?90°=50°．故答案為：140；90；50．（2）解：∵在△ABC中，∠A=55°，∴∠ABC+∠ACB=180°?55°=125°，∵在△DBC中，∠BDC=90∴∠DBC+∠DCB=180°?90°=90°，∴∠ABD+∠ACD=125°?90°=35°．故答案為：35．（3）解：∠ABD+∠ACD與∠A之間的數(shù)量關(guān)系為：∠ABD+∠ACD=90°?∠A．證明如下：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°?∠A，在△DBC中，∠DBC+∠DCB=90°，∴∠ABC+∠ACB?(∠DBC+∠DCB)=180°?∠A?90°，∴∠ABD+∠ACD=90°?∠A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和為180°．【變式6-2】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一副三角板的直角頂點(diǎn)重合按如圖放置，∠C=45°，∠D=30°，小明得到下列結(jié)論：①如果∠2=30°，則AC∥②∠BAE+∠CAD=180°；③如果BC∥AD，則④如果∠CAD=150°，則∠4=∠C．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定和三角形內(nèi)角和定理逐個(gè)判斷即可．【詳解】解：∵∠2＝30°，∠CAB＝90°，∴∠1＝60°，∵∠E＝60°，∴∠1＝∠E，∴AC∥DE，故①正確；∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠BAE+∠CAD＝90°﹣∠1+90°+∠1＝180°，故②正確；∵BC∥AD，∠∴∠3＝∠B＝45°，∵∠2+∠3＝∠DAE＝90°，∴∠2＝45°，故③錯(cuò)誤；∵∠CAD＝150°，∠BAE+∠CAD＝180°，∴∠BAE＝30°，∵∠E＝60°，∴∠BOE＝∠BAE+∠E＝90°，∴∠4+∠B＝90°，∵∠B＝45°，∴∠4＝45°，∵∠C＝45°，∴∠4＝∠C，故④正確；所以其中正確的結(jié)論有①②④共3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)和判定，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小宋對(duì)三角板在平行線間的擺放進(jìn)行了探究(1)如圖（1），已知a∥b，小宋把三角板的直角頂點(diǎn)放在直線b上．若∠1=40°，直接寫出∠2的度數(shù)；若∠1=m°，直接寫出∠2的度數(shù)（用含(2)如圖（2），將一副三角板和一張對(duì)邊平行的紙條按下列方式擺放，兩個(gè)三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的直角頂點(diǎn)與45°角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊b重合，含45°角的三角板的另一個(gè)頂點(diǎn)在紙條的另一邊a上，求∠1的度數(shù)．【答案】(1)130o，(90+m)o(2)15o【分析】（1）根據(jù)兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及平角的定義來解決此題；（2）如圖，先由兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出∠DBA+∠FCA=180o，再根據(jù)三角板中各角的度數(shù)計(jì)算拼接后圖形中有關(guān)角的度數(shù)，再通過三角形內(nèi)角和等于180度計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵a∥∴∠2+∠3=180°，由題意和圖知，∠1+∠3=90o，∠1=40o∴∠2=180o-（90o-∠1）=90o+∠1=90o+40o=130o；若∠1=m°，那么∠2=（90+m）o（2）解：如圖，把圖中各點(diǎn)標(biāo)上字母，延長CA交直線a于點(diǎn)B，由題意知，∵a∥∴∠DBA+∠FCA=180o，∵∠FCA=60o，∴∠DBA=120o，∵∠DAE=45o，∠FAC=90o，∴∠BAD=180o-∠DAE-∠FAC=45o在△ABD中，∠1+∠DBA+∠BAD=180o，∴∠1=180o-45o-120o=15o；【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的性質(zhì)和三角板中的角度計(jì)算問題，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合．【題型7應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系】【例7】（2023春·廣東潮州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F(xiàn)為射線AE上一點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），且FD⊥BC于D；

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合，且∠C=50°，∠B=30°時(shí)，求∠EFD的度數(shù)；(2)如果點(diǎn)F在線段AE上（不與點(diǎn)A重合）時(shí)，如圖2，直接寫出∠EFD、∠C、∠B的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)10°(2)∠EFD=【分析】（1）由三角形內(nèi)角和定理可得∠BAC=100°，∠CAD=40°，由角平分線的性質(zhì)易得∠EAC的度數(shù)，可得∠EFD；（2）由角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和得出∠BAE=90°?12(∠C+∠B)，外角的性質(zhì)得出∠AEC=90°+12【詳解】（1）解：∵∠C=50°，∠B=30°，∴∠BAC=180°?50°?30°=100°．∵AE平分∠BAC，∴∠CAE=50°．在△ACE中∠AEC=80°，在Rt△ADE中∠EFD=90°?80°=10°（2）∠EFD=證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∵∠AEC為△ABE的外角，∴∠AEC=∠B+90°?∵FD⊥BC，∴∠FDE=90°．∴∠EFD=90°?[90°+∴∠EFD=1【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，綜合利用角平分線的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理是解答此題的關(guān)鍵．【變式7-1】（2023春·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB∥CD，E為線段CD上一點(diǎn)，∠BAD＝n°，n＝15xy，且x?1+(1)求n的值．(2)求證：∠PEC﹣∠APE＝135°．(3)若P點(diǎn)在射線DA上運(yùn)動(dòng)，直接寫出∠APE與∠PEC之間的數(shù)量關(guān)系．（不考慮P與A、D重合的情況）【答案】(1)n＝45(2)見解析(3)①當(dāng)P在線段AD上時(shí)，∠PEC+∠APE＝225°②當(dāng)P在A點(diǎn)左邊時(shí)，∠PEC﹣∠APE＝45°【分析】（1）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求x＝1，y＝3，再代入n＝15xy計(jì)算可求n的值．（2）作PF∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠APF＝135°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠PEC＝∠FPE，根據(jù)等量關(guān)系即可求解；（3）分兩種情況：①當(dāng)P在線段AD上時(shí)；②當(dāng)P在A點(diǎn)左邊時(shí)；進(jìn)行討論即可求解．【詳解】（1）解：∵x?1+∴x﹣1＝0，y﹣3＝0，∴x＝1，y＝3，∴n＝15×1×3＝45；（2）證明：如圖1，過P作PF∥AB，則∠APF＝180°﹣∠BAD＝135°∵AB∥CD，∴CD∥PF，∴∠PEC＝∠FPE，∴∠PEC﹣∠APE＝∠APF＝135°；（3）解：分兩種情況：①當(dāng)P在線段AD上時(shí)，如圖2，∵AB∥CD，∴∠ADC＝∠BAD＝45°，∴∠DPE+∠DEP＝180°﹣45°＝135°，∴∠PEC+∠APE＝360°﹣135°＝225°；②當(dāng)P在A點(diǎn)左邊時(shí)，如圖3，∵∠PEC＝∠APE+∠PDE，∴∠PEC﹣∠APE＝∠PDE＝45°．【點(diǎn)睛】本題考查了非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，幾何圖形中角度的計(jì)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．【變式7-2】（2023春·河南漯河·八年級(jí)?？计谀┮阎鰽BC．（1）如圖（1），∠C>∠B，若AD⊥BC于點(diǎn)D，AE平分∠BAC，你能找出∠EAD與∠B，∠C之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并說明理由．（2）如圖（2），AE平分∠BAC，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，F(xiàn)M⊥BC于點(diǎn)M，∠EFM與∠B，∠C之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】（1）∠EAD=12(∠C-∠B)；理由見解析；（2）∠EFM=12(∠C－∠【分析】（1）分析題意，觀察圖形可知∠EAD=∠EAC-∠DAC，即若用∠B、∠C分別表示出∠EAC、∠DAC即可；首先根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及角平分線的定義即可用∠B、∠C表示出∠EAV，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得∠DAC=90°-∠C，據(jù)此可解答；對(duì)于（2）過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠EFM=∠EAD，再結(jié)合（1）的結(jié)論進(jìn)行解答即可【詳解】解：（1）∵AE平分∠BAC，∴∠EAC=12∠BAC=1又∵AD⊥BC，∴∠DAC=90o－∠C，∴∠EAD=∠EAC－∠DAC=12(180o－∠B－∠C)－(90o－∠C)=1即∠EAD=12（2）如圖，過點(diǎn)A作AD⊥BC于D，∵FM⊥BC，∴AD∥FM，∴∠EFM=∠EAD=12【點(diǎn)睛】本題的關(guān)鍵是利用三角形內(nèi)角和的關(guān)系用∠A表示出其他角【變式7-3】（2023春·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，AB∥CD，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，連結(jié)CE．(1)如圖1，若CE平分∠ACD，過點(diǎn)E作EM⊥CE交CD于點(diǎn)M，試說明∠A＝2∠CME；(2)如圖2，若AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，且∠F＝70°，求∠ACE的度數(shù)．(3)如圖3，過點(diǎn)E作EM⊥CE交∠DCE的平分線于點(diǎn)M，MN⊥CM交AB于點(diǎn)N，CH⊥AB，垂足為H．若∠ACH＝12∠ECH請(qǐng)直接寫出∠MNB與∠A【答案】(1)見解析；(2)∠ACE=40°；(3)∠MNB=135°?∠A【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義分別計(jì)算∠A與∠CME，即可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)F作FM//AB，利用平行線的性質(zhì)和角平分線的定義和（1）的結(jié)論解答即可；（3）延長CM交AN的延長線于點(diǎn)F，設(shè)∠ACH=x，則∠ECH=2x，ECM=∠DCM=y，利用垂直的定義得到x+y=45°；利用三角形的內(nèi)角和定理分別用x，y的代數(shù)式表示出∠MNB與∠A，計(jì)算∠MNB+∠A即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵EM⊥CE，∴∠CEM=90°．∵∠AEC+∠CEM+∠BEM=180°，∴∠AEC+∠BEM=90°．∵AB//CD，∴∠AEC=∠ECD，∠CME=∠BEM．∴∠ECD+∠CME=90°．∴2∠ECD+2∠CME=180°．∵CE平分∠ACD，∴∠ACD=2∠ECD．∴∠ACD+2∠CME=180°．∵AB//CD，∴∠ACD+∠A=180°．∴∠A=2∠CME．（2）解：過點(diǎn)F作FM//AB，如圖，∵AB//CD，∴FM//AB//CD．∴∠AFM=∠BAF，∠CFM=∠DCF．∴∠AFM+∠CFM=∠BAF+∠DCF．即∠AFC=∠BAF+∠DCF．∵AF平分∠CAB，CF平分∠DCE，∴∠CAB=2∠BAF，∠DCE=2∠DCF．∴∠CAB+∠DCE=2(∠BAF+∠DCF)=2∠AFC．∵∠AFC=70°，∴∠CAB+∠DCE=140°．∵AB//CD，∴∠CAB+∠ACE+∠DCE=180°．∴∠ACE=180°?(∠CAB+∠DCE)=180°?140°=40°．（3）解：∠MNB與∠A之間的數(shù)量關(guān)系是：∠MNB=135°?∠A．延長CM交AN的延長線于點(diǎn)F，如圖，∵M(jìn)N⊥CM，∴∠NMF=90°．∴∠MNB=90°?∠F．同理：∠HCF=90°?∠F．∴∠MNB=∠HCF．∵∠ACH=1∴設(shè)∠ACH=x，則∠ECH=2x．∵CM平分∠DCE，∴設(shè)∠ECM=∠DCM=y．∴∠MNB=∠HCF=2x+y．∵AB//CD，CH⊥AB，∴CH⊥CD．∴∠HCD=90°．∴∠ECH+∠ECD=90°．∴2x+2y=90°．∴x+y=45°．∵CH⊥AB，∴∠A=90°?∠ACH=90°?x．∴∠A+∠MNB=90°?x+2x+y=90°+x+y=135°．∴∠MNB=135°?∠A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，平角的意義，過點(diǎn)F作FM//AB是解題的關(guān)鍵．【題型8三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合】【例8】（2023春·福建廈門·八年級(jí)廈門一中?？计谥校┬露x：在△ABC中，若存在最大內(nèi)角是最小內(nèi)角度數(shù)的n倍(n為大于1的正整數(shù))，則稱△ABC為“n倍角三角形”.例如，在△ABC中，若∠A＝90°，∠B＝60°，則∠C＝30°，因?yàn)椤螦最大，∠C最小，且∠A＝3∠C，所以△ABC為“3倍角三角形”.(1)在△DEF中，若∠E＝40°，∠F＝60°，則△DEF為“_______倍角三角形”.(2)如圖，在△ABC中，∠C＝36°，∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)D，若△ABD為“6倍角三角形”，請(qǐng)求出∠ABD的度數(shù).【答案】(1)2(2)18°或54°【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠D，根據(jù)n倍角三角形的定義判斷；（2）根據(jù)角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理求出∠ADB，n倍角三角形的定義分情況討論計(jì)算，得到答案．【詳解】（1）解：在△DEF中，∠E＝40°，∠F＝60°，則∠D＝180°﹣∠E﹣∠F＝80°，∴∠D＝2∠E，∴△DEF為“2倍角三角形”，故答案為：2；（2）解：∵∠C＝36°，∴∠BAC+∠ABC＝180°﹣36°＝144°，∵∠BAC、∠ABC的角平分線相交于點(diǎn)D，∴∠DAB＝12∠BAC，∠DBA＝12∠∴∠DAB+∠DBA＝12∴∠ADB＝180°﹣72°＝108°，∵△ABD為“6倍角三角形”，∴∠ADB＝6∠ABD或∠ADB＝6∠BAD，當(dāng)∠ADB＝6∠ABD時(shí)，∠ABD＝18°，當(dāng)∠ADB＝6∠BAD時(shí)，∠BAD＝18°，則∠ABD＝180°﹣108°﹣18°＝54°，綜上所述，∠ABD的度數(shù)為18°或54°．【點(diǎn)睛】本題考查的是新定義、三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義，正確理解n倍角三角形的定義是解題的關(guān)鍵．【變式8-1】（2023春·安徽六安·八年級(jí)?？计谥校┒x：當(dāng)三角形中一個(gè)內(nèi)角α是另一個(gè)內(nèi)角的兩倍時(shí)，我們稱此三角形為“倍角三角形”，其中α稱為“倍角”，如果一個(gè)“倍角三角形”的一個(gè)內(nèi)角為99°，那么倍角α的度數(shù)是（

）A．99° B．99°或49.5° C．99°或54° D．99°或49.5°或54°【答案】C【分析】根據(jù)題意設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是m、n、α且α=2m，由題意得α=99°或m=99°或n=99°，分這三種情況討論即可．【詳解】解：設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是m、n、α且α=2m，當(dāng)α=99°，則m=49.5°,n=31.5°,當(dāng)m=99°，則α=2m=198°（舍去）,當(dāng)n=99°，則m+α=180°-n=81°,∴3m=81°,∴m=27°,∴α=2m=54°．綜上：倍角α的度數(shù)為99°或54°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和定理即三角形內(nèi)角和是180°是解決本題的關(guān)鍵，注意分類討論方法的運(yùn)用．【變式8-2】（2023·全國·八年級(jí)專題練習(xí)）我們定義：【概念理解】在一個(gè)三角形中，如果一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角度數(shù)的4倍，那么這樣的三角形我們稱之為“完美三角形”．如：三個(gè)內(nèi)角分別為130°，40°，10°的三角形是“完美三角形”.【簡單應(yīng)用】如圖1，∠MON=72°，在射線OM上找一點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AB⊥OM交ON于點(diǎn)B，以A為端點(diǎn)作射線AD，交線段OB于點(diǎn)C（點(diǎn)C不與O，B重合）（1）∠ABO＝，△AOB__________（填“是”或“不是”）“完美三角形”；（2）若∠ACB＝90°，求證：△AOC是“完美三角形”．【應(yīng)用拓展】如圖2，點(diǎn)D在△ABC的邊AB上，連接DC，作∠ADC的平分線交AC于點(diǎn)E，在DC上取點(diǎn)F，使∠EFC+∠BDC=180°，∠DEF=∠B．若△BCD是“完美三角形”，求∠B的度數(shù)．【答案】【簡單應(yīng)用】：（1）18°，是；（2）詳見解析；【應(yīng)用拓展】：∠B=30°或∠B=80°【分析】（1）根據(jù)直角三角形兩銳角互余即可求出∠ABO=18°，由∠MON=4∠ABO，故為完美三角形；（2）根據(jù)垂直的性質(zhì)與三角形的內(nèi)角和求出∠OAC，即可得出△AOC是“完美三角形”（3）先由∠EFC+∠BDC=180°證得AD∥EF，DE∥BC，再根據(jù)△BCD是“完美三角形”，得出∠BDC=4∠B，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出∠B的度數(shù).【詳解】（1）∠ABO=90°-∠MON=18°，∵∠MON=4∠ABO∴△AOB是“完美三角形”；（2）證明：∵∠MON=72°,∠ACB=90°,∴ΔAOC是“完美三角形”（3）∵∠EFC+∠BDC=180°,∠ADC+∠BDC=180°∵ΔBCD是“完美三角形”∴∠BDC=4∠B【點(diǎn)睛】此題主要考查三角形的角度計(jì)算，解題的關(guān)鍵是熟知平行線的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì).【變式8-3】（2023春·江蘇·八年級(jí)期末）定義：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2α+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．(1)若△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠C>90°，∠A=56°，則∠B=_____°；(2)若△ABC是直角三角形，∠ACB=90°．①如圖，若AD是∠BAC的角平分線，請(qǐng)你判斷△ABD是否為“準(zhǔn)互余三角形”？并說明理由．②點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，△ABE是“準(zhǔn)互余三角形”，若∠B=28°，求∠AEB的度數(shù)．【答案】(1)17(2)①△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”，理由見解析；②121°或118°．【分析】（1）根據(jù)“準(zhǔn)互余三角形”的定義可得2∠B+∠A=90°，代入數(shù)據(jù)求出∠B即可；（2）①由直角三角形的性質(zhì)可得∠CAB+∠ABC=90°，結(jié)合角平分線的定義可得2∠DAB+∠ABC=90°，進(jìn)而可得△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”；②根據(jù)△ABE是“準(zhǔn)互余三角形”可得2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°，求出∠EAB=31°或∠EAB=34°，然后分別利用三角形內(nèi)角和定理計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵∠C>90°，∠A=56°，且△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∴2∠B+∠A=90°，∴∠B=17°，故答案為：17；（2）解：①△ABD是“準(zhǔn)互余三角形；理由：∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠CAB=2∠DAB，∴2∠DAB+∠ABC=90°，∴△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”；②∵點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，△ABE是“準(zhǔn)互余三角形”，∴2∠EAB+∠ABC=90°或∠EAB+2∠ABC=90°，∵∠ABC=28°，∴2∠EAB+28°=90°或∠EAB+2×28°=90°，∴∠EAB=31°或∠EAB=34°，當(dāng)∠EAB=31°，∠ABC=28°時(shí)，∠AEB=180°?31°?28°=121°，當(dāng)∠EAB=34°，∠ABC=28°時(shí)，∠AEB=180°?34°?28°=118°，∴∠AEB的度數(shù)為：121°或118°．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，直角三角形兩銳角互余，角平分線的定義，理解“準(zhǔn)互余三角形”的定義是解題的關(guān)鍵，同時(shí)滲透了分類討論的數(shù)學(xué)思想．【知識(shí)點(diǎn)2直角三角形的判定】有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形．【題型9直角三角形的判定】【例9】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，∠C=90°，∠1=∠2，求證△ADE是直角三角形．【答案】見解析【分析】由∠C=90°，推出∠A+∠2＝90°．再由∠1=∠2，得出∠A+∠1＝【詳解】∵∠C=90°，∴∠A+∠2＝∵∠1=∠2，∴∠A+∠1＝∴∠ADE＝∴△ADE是直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握直角三角形的定義和三角形的內(nèi)角和定理．【變式9-1】（2023·浙江·八年級(jí)假期作業(yè)）若一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2:3:5，那么這個(gè)三角形是（

A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形【答案】B【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比，即可求得三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再根據(jù)三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵三角形三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的比為2:3:5∴三個(gè)內(nèi)角分別為：22+3+5∴三角形是直角三角形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和和三角形的分類，熟練掌握三角形的內(nèi)角和是180°和三角形的分類是解題的關(guān)鍵．【變式9-2】（2023春·山東濱州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在下列條件：①∠A+∠B+∠C=180°；②∠A:∠B:∠C=1:2:3；③∠A=∠B=2∠C；④∠A=12∠B=13∠