人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三17.4勾股定理章末題型過(guò)關(guān)卷(學(xué)生版+解析)

第17章勾股定理章末題型過(guò)關(guān)卷【人教版】考試時(shí)間：60分鐘；滿(mǎn)分：100分姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________考卷信息：本卷試題共23題，單選10題，填空6題，解答7題，滿(mǎn)分100分，限時(shí)60分鐘，本卷題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可衡量學(xué)生掌握本章內(nèi)容的具體情況！一．選擇題（共10小題，滿(mǎn)分30分，每小題3分）1．（3分）（2022春?三門(mén)峽期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，下列結(jié)論中不正確的是（）A．如果a：b：c＝1：1：2，那么△ABC是直角三角形 B．如果∠A＝∠B﹣∠C，那么△ABC是直角三角形 C．如果a=35c，b=45cD．如果b2＝a2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°2．（3分）（2022秋?石獅市期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，∠B＝90°，∠D＝α．則∠BCD的大小為（）A．α B．90°﹣α C．45°+α D．135°﹣α3．（3分）（2022春?隨縣期末）如圖，已知釣魚(yú)竿AC的長(zhǎng)為10m，露在水面上的魚(yú)線BC長(zhǎng)為6m，某釣魚(yú)者想看看魚(yú)鉤上的情況，把魚(yú)竿AC轉(zhuǎn)動(dòng)到AC'的位置，此時(shí)露在水面上的魚(yú)線B'C'為8m，則BB'的長(zhǎng)為（）A．1m B．2m C．3m D．4m4．（3分）（2022?臺(tái)灣）如圖，△ABC中，有一點(diǎn)P在AC上移動(dòng)．若AB＝AC＝5，BC＝6，則AP+BP+CP的最小值為（）A．8 B．8.8 C．9.8 D．105．（3分）（2022?岷縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，分別以三角形的三條邊為邊向外作正方形，面積分別記為S1，S2，S3．若S1＝9，S2＝16，則S3的值為（）A．7 B．10 C．20 D．256．（3分）（2022?平邑縣一模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則∠BAC與∠DAC的大小關(guān)系為（）A．∠BAC＞∠DAC B．∠BAC＜∠DAC C．∠BAC＝∠DAC D．無(wú)法確定7．（3分）（2022?周村區(qū)一模）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成銳角三角形的是（）A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，4，4 D．3，4，58．（3分）（2022?邯鄲三模）在證明勾股定理時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)了方案：甲：如圖，用四個(gè)全等的直角三角形拼成，其中四邊形ABDE和四邊形CFGH均是正方形，通過(guò)用兩種方法表示正方形ABDE的面積來(lái)進(jìn)行證明；乙：兩個(gè)全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，頂點(diǎn)F在BC邊上，頂點(diǎn)C、D重合，通過(guò)用兩種方法表示四邊形ACBE的面積來(lái)進(jìn)行證明．對(duì)于甲、乙兩種方案，下列判斷正確的是（）A．甲、乙均對(duì) B．甲對(duì)、乙不對(duì) C．甲不對(duì)，乙對(duì) D．甲、乙均不對(duì)9．（3分）（2022春?康縣期末）若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)為4和5，則第三邊長(zhǎng)為（）A．3 B．41 C．8 D．3或4110．（3分）（2022?東西湖區(qū)模擬）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求學(xué)生在4×4的正方形ABCD網(wǎng)格中（小正方形的邊長(zhǎng)為1）畫(huà)直角三角形，要求三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，而且三邊與AB或AD都不平行，則畫(huà)出的形狀不同的直角三角形有（）種．A．3 B．4 C．5 D．6二．填空題（共6小題，滿(mǎn)分18分，每小題3分）11．（3分）（2022?綿陽(yáng)校級(jí)自主招生）如圖，一牧童在A處放羊，牧童的家在B處，A、B距河岸的距離AC、BD分別為500m和700m，且C、D兩地相距500m，天黑前牧童要將羊趕往河邊喝水再回家，那么牧童至少應(yīng)該走m．12．（3分）（2022?岳麓區(qū)校級(jí)自主招生）如圖Rt△ABC中，AC＝12，BC＝5，分別以AB，AC，BC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為．13．（3分）（2022?無(wú)棣縣二模）觀察下列一組數(shù)：列舉：3、4、5，猜想：32＝4+5；列舉：5、12、13，猜想：52＝12+13；列舉：7、24、25，猜想：72＝24+25；…列舉：13、b、c，猜想：132＝b+c；請(qǐng)你分析上述數(shù)據(jù)的規(guī)律，結(jié)合相關(guān)知識(shí)求得b＝，c＝．14．（3分）（2022?浙江自主招生）如圖，設(shè)AD、BE、CF為三角形ABC的三條高，若AB＝6，BC＝5，AE﹣EC=115，則線段BE的長(zhǎng)為15．（3分）（2022秋?蘭考縣期末）周長(zhǎng)為24，斜邊長(zhǎng)為10的直角三角形面積為．16．（3分）（2022春?鐵東區(qū)期末）甲、乙兩艘客輪同時(shí)離開(kāi)港口，航行的速度都是40m/min，甲客輪用15min到達(dá)點(diǎn)A，乙客輪用20min到達(dá)點(diǎn)B．若A，B兩點(diǎn)的直線距離為1000m，甲客輪沿著北偏東30°的方向航行，則乙客輪的航行方向可能是．三．解答題（共7小題，滿(mǎn)分52分）17．（6分）（2022秋?伊川縣期末）如圖所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB=9（1）求CD的長(zhǎng)；（2）求AD的長(zhǎng)；（3）求證：△ABC是直角三角形．18．（6分）（2022春?肥東縣期末）如圖，已知等腰三角形ABC的底邊BC＝20cm，D是腰AB上的一點(diǎn)，且BD＝12cm，CD＝16cm．（1）求證：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的周長(zhǎng)，19．（8分）（2022春?合肥期末）早在我國(guó)西漢時(shí)期算書(shū)《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫做“整數(shù)直角三角形”，那么這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”．在一次“構(gòu)造勾股數(shù)”的探究性學(xué)習(xí)中，老師給出了下表（其中m，n為正整數(shù)，且m＞n）：m23344…n11212…a22+1232+1232+2242+1242+22…b4612816…c22﹣1232﹣1232﹣2242﹣1242﹣22…（1）探究a，b，c與m，n之間的關(guān)系并用含m，n的代數(shù)式表示：a＝，b＝，c＝．（2）以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形是否一定為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（8分）（2022秋?泰興市期末）閱讀理解并解答問(wèn)題如果a、b、c為正整數(shù)，且滿(mǎn)足a2+b2＝c2，那么，a、b、c叫做一組勾股數(shù)．（1）請(qǐng)你根據(jù)勾股數(shù)的意思，說(shuō)明為什么3、4、5是一組勾股數(shù)；（2）寫(xiě)出一組不同于3、4、5的勾股數(shù)；（3）如果m表示大于1的整數(shù)，且a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，請(qǐng)你根據(jù)勾股數(shù)的意思，說(shuō)明a、b、c為勾股數(shù)．21．（8分）（2022春?章貢區(qū)期末）在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測(cè)得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）問(wèn)CH是否為從村莊C到河邊的最近路？（即問(wèn)：CH與AB是否垂直？）請(qǐng)通過(guò)計(jì)算加以說(shuō)明；（2）求原來(lái)的路線AC的長(zhǎng)．22．（8分）（2022春?延津縣期中）如圖，有一架秋千，當(dāng)他靜止時(shí)，踏板離地的垂直高度DE＝0.6m，將他往前推送2.4m（水平距離BC＝2.4m）時(shí)，秋千的踏板離地的垂直高度BF＝1.2m，秋千的繩索始終拉得很直，求繩索AD的長(zhǎng)度．23．（8分）（2022秋?羅湖區(qū)期中）（1）如圖1，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為4cm，寬為3cm，高為12cm．求該長(zhǎng)方體中能放入木棒的最大長(zhǎng)度；（2）如圖2，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為4cm，寬為3cm，高為12cm．現(xiàn)有一只螞蟻從點(diǎn)A處沿長(zhǎng)方體的表面爬到點(diǎn)G處，求它爬行的最短路程．（3）若將題中的長(zhǎng)方體換成透明圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm，底面周長(zhǎng)為10cm，在容器內(nèi)壁離底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁且離容器上沿3cm的點(diǎn)A處．求螞蟻吃到飯粒需要爬行的最短路程是多少？第17章勾股定理章末題型過(guò)關(guān)卷【人教版】一．選擇題（共10小題，滿(mǎn)分30分，每小題3分）1．（3分）（2022春?三門(mén)峽期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別記為a，b，c，下列結(jié)論中不正確的是（）A．如果a：b：c＝1：1：2，那么△ABC是直角三角形 B．如果∠A＝∠B﹣∠C，那么△ABC是直角三角形 C．如果a=35c，b=45cD．如果b2＝a2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°【分析】利用勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理，進(jìn)行計(jì)算逐一判斷即可解答．【解答】解：A、∵a：b：c＝1：1：2，∴設(shè)a＝k，b＝k，c=2k∴a2+b2＝k2+k2＝2k2，c2＝（2k）2＝2k2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形，故A不符合題意；B、∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，故B不符合題意；C、∵a=35c，b=∴a2+b2＝（35c）2+（45c）2＝c∴△ABC為直角三角形，故C不符合題意；D、∵b2＝a2﹣c2，∴b2+c2＝a2，∴△ABC為直角三角形，∴∠A＝90°，故D符合題意；故選：D．2．（3分）（2022秋?石獅市期末）如圖，在四邊形ABCD中，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，∠B＝90°，∠D＝α．則∠BCD的大小為（）A．α B．90°﹣α C．45°+α D．135°﹣α【分析】由于∠B＝90°，AB＝BC＝2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC＝45°，而CD＝3，DA＝1，易得AC2+DA2＝CD2，可證△ACD是直角三角形，于是有∠CAD＝90°，從而易求∠BAD，進(jìn)而得出∠BCD．【解答】解：連接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC=AB2又∵CD＝3，DA＝1，∴AC2+DA2＝8+1＝9，CD2＝9，∴AC2+DA2＝CD2，∴△ACD是直角三角形，∴∠CAD＝90°，∴∠DAB＝45°+90°＝135°，∵∠D＝α，∴∠BCD＝360°﹣90°﹣135°﹣α＝135°﹣α，故選：D．3．（3分）（2022春?隨縣期末）如圖，已知釣魚(yú)竿AC的長(zhǎng)為10m，露在水面上的魚(yú)線BC長(zhǎng)為6m，某釣魚(yú)者想看看魚(yú)鉤上的情況，把魚(yú)竿AC轉(zhuǎn)動(dòng)到AC'的位置，此時(shí)露在水面上的魚(yú)線B'C'為8m，則BB'的長(zhǎng)為（）A．1m B．2m C．3m D．4m【分析】根據(jù)勾股定理分別求出AB和AB′，再根據(jù)BB′＝AB﹣AB′即可得出答案．【解答】解：∵AC＝10m，BC＝6m，∴AB=AC2∵AC′＝10m，B′C′＝8m，∴AB′=AC'2∴BB′＝AB﹣AB′＝8﹣6＝2（m）；故選：B．4．（3分）（2022?臺(tái)灣）如圖，△ABC中，有一點(diǎn)P在AC上移動(dòng)．若AB＝AC＝5，BC＝6，則AP+BP+CP的最小值為（）A．8 B．8.8 C．9.8 D．10【分析】若AP+BP+CP最小，就是說(shuō)當(dāng)BP最小時(shí)，AP+BP+CP才最小，因?yàn)椴徽擖c(diǎn)P在AC上的那一點(diǎn)，AP+CP都等于AC．那么就需從B向AC作垂線段，交AC于P．先設(shè)AP＝x，再利用勾股定理可得關(guān)于x的方程，解即可求x，在Rt△ABP中，利用勾股定理可求BP．那么AP+BP+CP的最小值可求．【解答】解：從B向AC作垂線段BP，交AC于P，設(shè)AP＝x，則CP＝5﹣x，在Rt△ABP中，BP2＝AB2﹣AP2，在Rt△BCP中，BP2＝BC2﹣CP2，∴AB2﹣AP2＝BC2﹣CP2，∴52﹣x2＝62﹣（5﹣x）2解得x＝1.4，在Rt△ABP中，BP=5∴AP+BP+CP＝AC+BP＝5+4.8＝9.8．故選：C．5．（3分）（2022?岷縣模擬）如圖，在Rt△ABC中，分別以三角形的三條邊為邊向外作正方形，面積分別記為S1，S2，S3．若S1＝9，S2＝16，則S3的值為（）A．7 B．10 C．20 D．25【分析】由正方形的面積公式可知S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+AB2＝BC2，即S1+S2＝S3，由此可求S3．【解答】解：在Rt△ABC中，AC2+AB2＝BC2，由正方形面積公式得S1＝AB2，S2＝AC2，S3＝BC2，∵S1＝9，S2＝16，∴S3＝S1+S2＝9+16＝25．故選：D．6．（3分）（2022?平邑縣一模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，A，B，C，D是網(wǎng)格線交點(diǎn)，則∠BAC與∠DAC的大小關(guān)系為（）A．∠BAC＞∠DAC B．∠BAC＜∠DAC C．∠BAC＝∠DAC D．無(wú)法確定【分析】連接CD，BC，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，根據(jù)勾股定理求出AB、AC、BC、AD、CD的長(zhǎng)，根據(jù)求出的結(jié)果得出BC＝AC，AD＝CD，AC2+BC2＝AB2，AD2+CD2＝AC2，求出△ACB和△ADC都是等腰直角三角形，再得出選項(xiàng)即可．【解答】解：連接CD，BC，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，由勾股定理得：AB2＝22+42＝4+16＝20，BC2＝12+32＝1+9＝10，AC2＝12+32＝1+9＝10，AD2＝12+22＝1+4＝5，CD2＝12+22＝1+4＝5，所以BC＝AC，AD＝CD，AC2+BC2＝AB2，AD2+CD2＝AC2，即△ACB和△ADC都是等腰直角三角形，所以∠BAC＝∠DAC＝45°，故選：C．7．（3分）（2022?周村區(qū)一模）下列長(zhǎng)度的三條線段能組成銳角三角形的是（）A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，4，4 D．3，4，5【分析】根據(jù)勾股定理求出以較短的兩條邊為直角邊的三角形的斜邊的長(zhǎng)度，然后與較長(zhǎng)的邊進(jìn)行比較作出判斷即可．【解答】解：A、∵22B、∵2+3＝5，∴不能組成三角形；C、∵32D、∵32故選：C．8．（3分）（2022?邯鄲三模）在證明勾股定理時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)分別設(shè)計(jì)了方案：甲：如圖，用四個(gè)全等的直角三角形拼成，其中四邊形ABDE和四邊形CFGH均是正方形，通過(guò)用兩種方法表示正方形ABDE的面積來(lái)進(jìn)行證明；乙：兩個(gè)全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，頂點(diǎn)F在BC邊上，頂點(diǎn)C、D重合，通過(guò)用兩種方法表示四邊形ACBE的面積來(lái)進(jìn)行證明．對(duì)于甲、乙兩種方案，下列判斷正確的是（）A．甲、乙均對(duì) B．甲對(duì)、乙不對(duì) C．甲不對(duì)，乙對(duì) D．甲、乙均不對(duì)【分析】甲：根據(jù)題意，我們可在圖中找等量關(guān)系，由中間的小正方形的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)直角三角形的面積，列出等式化簡(jiǎn)即可得出勾股定理的表達(dá)式；乙：根據(jù)三角形的面積和梯形的面積公式用兩種方法求得四邊形ACBE的面積，于是得到結(jié)論．【解答】甲：證明：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，設(shè)AC＝b，BC＝a，AB＝c．由圖可知S正方形ABDE＝4S△ABC+S正方形FCHG∵S正方形ABDE＝c2，S△ABC=12ab，正方形FCHG邊長(zhǎng)為a﹣∴c2＝4×12ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+即c2＝a2+b2．故甲對(duì)；乙：證明：∵四邊形ACBE的面積＝S△ACB+S△ABE=12AB?DG+12AB?EG=12AB?（DG+EG）=1四邊形ACBE的面積＝S四邊形ACFE+S△EFB=12×（AC+EF）?CF+12BF?EF=12（b+a）b+12（a﹣b）?a=12b2+12∴12c2=12a2+即a2+b2＝c2．故乙對(duì)，故選：A．9．（3分）（2022春?康縣期末）若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)為4和5，則第三邊長(zhǎng)為（）A．3 B．41 C．8 D．3或41【分析】分5是直角邊、5是斜邊兩種情況，再由勾股定理即可得出答案．【解答】解：當(dāng)5是直角邊時(shí)，則第三邊為：42當(dāng)5是斜邊時(shí)，則第三邊為：52綜上所述，第三邊的長(zhǎng)為3或41，故選：D．10．（3分）（2022?東西湖區(qū)模擬）在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師要求學(xué)生在4×4的正方形ABCD網(wǎng)格中（小正方形的邊長(zhǎng)為1）畫(huà)直角三角形，要求三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，而且三邊與AB或AD都不平行，則畫(huà)出的形狀不同的直角三角形有（）種．A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，而且三邊與AB或AD都不平行，畫(huà)出的形狀不同的直角三角形即可．【解答】解：如圖所示：直角邊之比為1：2，如圖①和②；直角邊之比為1：3，如圖③直角邊之比為1：1，如圖④和⑤．形狀不同的直角三角形共有3種情況．故選：A．二．填空題（共6小題，滿(mǎn)分18分，每小題3分）11．（3分）（2022?綿陽(yáng)校級(jí)自主招生）如圖，一牧童在A處放羊，牧童的家在B處，A、B距河岸的距離AC、BD分別為500m和700m，且C、D兩地相距500m，天黑前牧童要將羊趕往河邊喝水再回家，那么牧童至少應(yīng)該走1300m．【分析】本題可以把兩線段的和最小的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間線段最短的問(wèn)題解決．轉(zhuǎn)化的方法是作A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，求解對(duì)稱(chēng)點(diǎn)與B之間的距離即可．【解答】解：作A關(guān)于CD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E，連接BE，并作BF⊥AC于點(diǎn)F．則EF＝BD+AC＝500+700＝1200m，BF＝CD＝500m．在Rt△BEF中，根據(jù)勾股定理得：BE=BF12．（3分）（2022?岳麓區(qū)校級(jí)自主招生）如圖Rt△ABC中，AC＝12，BC＝5，分別以AB，AC，BC為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為30．【分析】利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)陰影部分的面積等于陰影部分所在的兩個(gè)半圓的面積加上△ABC的面積減去大半圓的面積，列式計(jì)算即可得解．【解答】解：∵AC＝12，BC＝5，∴AB=AC∴陰影部分的面積=12π（122）2+12π（52）2+1=1448π+258＝30．故答案為：30．13．（3分）（2022?無(wú)棣縣二模）觀察下列一組數(shù)：列舉：3、4、5，猜想：32＝4+5；列舉：5、12、13，猜想：52＝12+13；列舉：7、24、25，猜想：72＝24+25；…列舉：13、b、c，猜想：132＝b+c；請(qǐng)你分析上述數(shù)據(jù)的規(guī)律，結(jié)合相關(guān)知識(shí)求得b＝84，c＝85．【分析】認(rèn)真觀察三個(gè)數(shù)之間的關(guān)系：首先發(fā)現(xiàn)每一組的三個(gè)數(shù)為勾股數(shù)，第一個(gè)數(shù)為從3開(kāi)始連續(xù)的奇數(shù)，第二、三個(gè)數(shù)為連續(xù)的自然數(shù)；進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)第一個(gè)數(shù)的平方是第二、三個(gè)數(shù)的和；最后得出第n組數(shù)為（2n+1），（(2n+1)2?1【解答】解：在32＝4+5中，4=32?1在52＝12+13中，12=52?1…則在13、b、c中，b=132?1214．（3分）（2022?浙江自主招生）如圖，設(shè)AD、BE、CF為三角形ABC的三條高，若AB＝6，BC＝5，AE﹣EC=115，則線段BE的長(zhǎng)為24【分析】可設(shè)AE＝x，EC＝y(tǒng)，則根據(jù)勾股定理和已知條件可得方程組，解方程組可求AE的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理可求線段BE的長(zhǎng)．【解答】解：設(shè)AE＝x，EC＝y(tǒng)，則36?x解得x=18則BE=A故答案為：24515．（3分）（2022秋?蘭考縣期末）周長(zhǎng)為24，斜邊長(zhǎng)為10的直角三角形面積為24．【分析】設(shè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為a，b，由周長(zhǎng)與斜邊的關(guān)系得a+b＝14，中由完全平方公式和勾股定理求出ab的值，即可求出三角形的面積．【解答】解：設(shè)直角三角形兩直角邊長(zhǎng)為a，b，∵該直角三角形的周長(zhǎng)為24，其斜邊長(zhǎng)為10，∴24﹣（a+b）＝10，即a+b＝14，由勾股定理得：a2+b2＝102＝100，∵（a+b）2＝142，∴a2+b2+2ab＝196，即100+2ab＝196，∴ab＝48，∴直角三角形的面積=12故答案為：24．16．（3分）（2022春?鐵東區(qū)期末）甲、乙兩艘客輪同時(shí)離開(kāi)港口，航行的速度都是40m/min，甲客輪用15min到達(dá)點(diǎn)A，乙客輪用20min到達(dá)點(diǎn)B．若A，B兩點(diǎn)的直線距離為1000m，甲客輪沿著北偏東30°的方向航行，則乙客輪的航行方向可能是南偏東60°或北偏西60°．【分析】首先根據(jù)速度和時(shí)間計(jì)算出行駛路程，再根據(jù)勾股定理逆定理結(jié)合路程可判斷出甲和乙兩艘輪船的行駛路線呈垂直關(guān)系，進(jìn)而可得答案．【解答】解：如圖：∵甲乙兩艘客輪同時(shí)離開(kāi)港口，航行的速度都是每分鐘40m，甲客輪用15分鐘到達(dá)點(diǎn)A，乙客輪用20分鐘到達(dá)點(diǎn)B，∴甲客輪走了40×15＝600（m），乙客輪走了40×20＝800（m），∵A、B兩點(diǎn)的直線距離為1000m，∴6002+8002＝10002，∴∠AOB＝90°，∵甲客輪沿著北偏東30°的方向航行，∴乙客輪的航行方向可能是南偏東60°，同理可得：乙客輪的航行方向也可能是北偏西60°．綜上所述：乙客輪的航行方向可能是南偏東60°或北偏西60°．故答案為：南偏東60°或北偏西60°．三．解答題（共7小題，滿(mǎn)分52分）17．（6分）（2022秋?伊川縣期末）如圖所示，已知△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝4，BC＝3，DB=9（1）求CD的長(zhǎng)；（2）求AD的長(zhǎng)；（3）求證：△ABC是直角三角形．【分析】（1）直接利用勾股定理求出DC的長(zhǎng)即可；（2）利用（1）中所求，直接利用勾股定理求出DA的長(zhǎng)即可；（3）利用（2）中所求進(jìn)而勾股定理的逆定理求出即可．【解答】（1）解：在Rt△BCD中，DC=B（2）解：在Rt△CDA中AD=A（3）證明：∵BC2＝9，AC2＝16，（BD+AD）2＝25，∴BC2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．18．（6分）（2022春?肥東縣期末）如圖，已知等腰三角形ABC的底邊BC＝20cm，D是腰AB上的一點(diǎn)，且BD＝12cm，CD＝16cm．（1）求證：△BCD是直角三角形；（2）求△ABC的周長(zhǎng)，【分析】（1）求出BD2+CD2＝BC2，再根據(jù)勾股定理的逆定理得出即可；（2）設(shè)AB＝AC＝xcm，則AD＝（x﹣12）cm，根據(jù)勾股定理求出x，求出AC＝AB＝15cm，再求出周長(zhǎng)即可．【解答】（1）證明：∵在△BDC中，BC＝20cm，BD＝12cm，CD＝16cm．∴BD2+CD2＝BC2，∴∠BDC＝90°，∴△BCD是直角三角形；（2）解：設(shè)AB＝AC＝xcm，則AD＝（x﹣12）cm，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+CD2＝AC2，即（x﹣12）2+162＝x2，解得：x=50即AB＝AC=503∵BC＝20cm，∴△ABC的周長(zhǎng)是AB+AC+BC=503cm+503cm+2019．（8分）（2022春?合肥期末）早在我國(guó)西漢時(shí)期算書(shū)《周髀算經(jīng)》就有“勾三股四弦五”的記載．如果一個(gè)直角三角形三邊長(zhǎng)都是正整數(shù)，這樣的直角三角形叫做“整數(shù)直角三角形”，那么這三個(gè)整數(shù)叫做一組“勾股數(shù)”．在一次“構(gòu)造勾股數(shù)”的探究性學(xué)習(xí)中，老師給出了下表（其中m，n為正整數(shù)，且m＞n）：m23344…n11212…a22+1232+1232+2242+1242+22…b4612816…c22﹣1232﹣1232﹣2242﹣1242﹣22…（1）探究a，b，c與m，n之間的關(guān)系并用含m，n的代數(shù)式表示：a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2．（2）以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形是否一定為直角三角形？請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）根據(jù)給出的數(shù)據(jù)總結(jié)即可；（2）分別計(jì)算出a2、b2、c2，根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行判斷．【解答】解：（1）觀察得，a＝m2+n2，b＝2mn，c＝m2﹣n2．故答案為：m2+n2，2mn，m2﹣n2；（2）以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形，理由如下：∵a2＝（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，b2+c2＝m4﹣2m2n2+n4+4m2n2＝m4+2m2n2+n4，∴a2＝b2+c2，∴以a，b，c為邊長(zhǎng)的三角形一定為直角三角形．20．（8分）（2022秋?泰興市期末）閱讀理解并解答問(wèn)題如果a、b、c為正整數(shù)，且滿(mǎn)足a2+b2＝c2，那么，a、b、c叫做一組勾股數(shù)．（1）請(qǐng)你根據(jù)勾股數(shù)的意思，說(shuō)明為什么3、4、5是一組勾股數(shù)；（2）寫(xiě)出一組不同于3、4、5的勾股數(shù)；（3）如果m表示大于1的整數(shù)，且a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，請(qǐng)你根據(jù)勾股數(shù)的意思，說(shuō)明a、b、c為勾股數(shù)．【分析】（1）直接利用勾股數(shù)的定義去驗(yàn)證即可；（2）根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿(mǎn)足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱(chēng)為勾股數(shù)，即可寫(xiě)出一組勾股數(shù)；（3）得到a2+b2＝c2即可得到這是一組勾股數(shù)．【解答】解：（1）∵3、4、5是正整數(shù)，且32+42＝52，∴3、4、5是一組勾股數(shù)；（2）∵122+162＝202，且12，16，20都是正整數(shù)，∴一組勾股數(shù)可以是12，16，20．答案不唯一；（3）∵m表示大于1的整數(shù)，∴由a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1得到a、b、c均為正整數(shù)；又∵a2+b2＝（2m）2+（m2﹣1）2＝4m2+m4﹣2m2+1＝m4+2m2+1，而c2＝（m2+1）2＝m4+2m2+1，∴a2+b2＝c2，∴a、b、c為勾股數(shù)．21．（8分）（2022春?章貢區(qū)期末）在一條東西走向河的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測(cè)得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.