北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)舉一反三系列5.2簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形【七大題型】同步練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題5.2簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形【七大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解】 1【題型2利用角平分線的性質(zhì)求解】 2【題型3尺規(guī)作垂直平分線】 3【題型4尺規(guī)作角平分線】 5【題型5利用等腰三角形的性質(zhì)求解】 6【題型6尺規(guī)作等腰三角形】 7【題型7直線上與已知兩點(diǎn)組成等腰三角形的點(diǎn)】 8【知識(shí)點(diǎn)1線段垂直平分線的性質(zhì)】線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解】【例1】（2022春·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．AB=AD B．AC平分∠BCDC．AB=BD D．△BEC≌△DEC【變式1-1】（2022秋·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠BAD的度數(shù)為（A．65° B．60° C．55° D．45°【變式1-2】（2022秋·山東泰安·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，BC=8cm，AB的中垂線交BC于E，AC的中垂線交BC于G，則△AGE的周長(zhǎng)等于________．【變式1-3】（2022秋·湖北荊門·八年級(jí)校考期中）如圖，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分別是AC、BC的垂直平分線上一點(diǎn)．（1）若△CDE的周長(zhǎng)為4，求AB的長(zhǎng)；（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度數(shù)；（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），則∠DCE=___________.【知識(shí)點(diǎn)2角平分線的性質(zhì)】角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.【題型2利用角平分線的性質(zhì)求解】【例2】（2022秋·天津河?xùn)|·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OBA．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB【變式2-1】（2022秋·四川自貢·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別是20、30、40，其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于多少？【變式2-2】（2022秋·河南周口·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AD//BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點(diǎn)P，作PE⊥AB于點(diǎn)E．若PE=9，則兩平行線AD與BC間的距離為_______．【變式2-3】（2022秋·北京·八年級(jí)校考期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，CD=2，若△ABD的面積為5，求AB的長(zhǎng)．【題型3尺規(guī)作垂直平分線】【例3】（2022秋·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖△ABC．(1)尺規(guī)作圖BC邊上的中線AD；(2)如果AB=5，AC=8，求ΔACD與Δ(3)直接寫出ΔABC與Δ【變式3-1】（2022秋·福建廈門·八年級(jí)廈門市第九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知線段AB和點(diǎn)E且線段AB和線段EF關(guān)于直線CD對(duì)稱，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)E．（Ⅰ）用尺規(guī)作圖畫出直線CD；（Ⅱ）畫出點(diǎn)F．【變式3-2】（2022春·廣東深圳·七年級(jí)?？计谀┌聪铝幸笞鲌D．（1）尺規(guī)作圖：如圖1，已知直線及其兩側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線l上求一點(diǎn)P，使A、B到P距離相等．（2）在5×5的方格圖2中畫出兩個(gè)不全等的腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，使它的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．【變式3-3】（2022·陜西西安·?？级＃┤鐖D，已知△ABC，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點(diǎn)D，使得S△ABD【知識(shí)點(diǎn)1角平分線的作法】①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.②分別以D、E為圓心，大于12③畫射線OC.即射線OC即為所求.【題型4尺規(guī)作角平分線】【例4】（2022春·陜西西安·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知線段a及∠α．用直尺和圓規(guī)，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=12∠α【變式4-1】（2022春·山西·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AD//BC，BE平分（1）尺規(guī)作圖：作∠BAD的平分線交BE于點(diǎn)F；（2）在（1）的條件下，ΔABF按角分類時(shí)，它是什么三角形，請(qǐng)說明理由．【變式4-2】（2022秋·河北唐山·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知C、D是兩個(gè)村莊，OA、OB為兩條公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)客運(yùn)站P，使它到兩個(gè)村莊的距離相等，且到兩條公路的距離也相等，你能確定P點(diǎn)的位置嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中用尺規(guī)找到P的位置．【變式4-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知△ABC．（1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，作∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)E，且AD、BE交于點(diǎn)O（保留作圖痕跡）（2）連接OC，若AB=6，BC=4，AC=8，求S△ABO【題型5利用等腰三角形的性質(zhì)求解】【例5】（2022秋·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知∠AOB=45°，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，它關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)分別為M，N，則△MON是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【變式5-1】（2022秋·安徽合肥·八年級(jí)?？计谀┮粋€(gè)等腰三角形的邊長(zhǎng)分別是4cm和7cm，則它的周長(zhǎng)是______．【變式5-2】（2022春·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在等邊△ABC中AB=2，BD是AC邊上的高，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE=CD，則BE的長(zhǎng)為___________．【變式5-3】（2022春·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE分別交AC、AB于點(diǎn)D、(1)若∠A＝50°，求(2)若AB＝7，BC的長(zhǎng)為5，求【題型6尺規(guī)作等腰三角形】【例6】（2022秋·江蘇宿遷·八年級(jí)南師附中宿遷分校?？计谥校┮阎鰽BC的三邊長(zhǎng)分別為4、4、6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫_______條．【變式6-1】（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知等腰三角形底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高的長(zhǎng)為?，求作這個(gè)等腰三角形．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【變式6-2】（2012秋·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）(1)已知角a和線段c如圖所示,求作等腰三角形ABC,使其底角∠B=a,腰長(zhǎng)AB="c,"要求僅用直尺和圓規(guī)作圖,并保留作圖痕跡.（不寫作法）(2)若a=45O,c=2,求此三角形ABC的面積.【變式6-3】（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)南京市第二十九中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，已知線段a，h，用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作一個(gè)等腰三角形ABC(保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)．(1)△ABC的底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高為h；(2)△ABC的腰長(zhǎng)為a，腰上的高為h．【題型7直線上與已知兩點(diǎn)組成等腰三角形的點(diǎn)】【例7】（2022秋·廣西百色·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)網(wǎng)格線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)．已知圖中A，B兩個(gè)格點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趫D中再尋找另一個(gè)格點(diǎn)C，使△ABC成為等腰三角形，則滿足條件的點(diǎn)C有（

）個(gè)．A．6 B．8 C．10 D．12【變式7-1】（2022秋·廣西百色·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖．在△ABC中，∠ABC=70°，∠BAC=40°．點(diǎn)P為直線CB上一動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P與△ABC三個(gè)頂點(diǎn)中的兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)造成等腰三角形，那么滿足條件的點(diǎn)P的位置有（）A．4個(gè) B．6個(gè) C．8個(gè) D．9個(gè)【變式7-2】（2022秋·廣西百色·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知△ABC中，∠ACB=90°,∠A=30°，在直線BC或射線AC取一點(diǎn)P，使得△PAB是等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P有（

）A．2個(gè) B．4個(gè) C．5個(gè) D．7個(gè)專題5.2簡(jiǎn)單的軸對(duì)稱圖形【七大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解】 1【題型2利用角平分線的性質(zhì)求解】 4【題型3尺規(guī)作垂直平分線】 7【題型4尺規(guī)作角平分線】 11【題型5利用等腰三角形的性質(zhì)求解】 15【題型6尺規(guī)作等腰三角形】 17【題型7直線上與已知兩點(diǎn)組成等腰三角形的點(diǎn)】 22【知識(shí)點(diǎn)1線段垂直平分線的性質(zhì)】線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等.反過來，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.【題型1利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解】【例1】（2022春·山東淄博·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，四邊形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足為E，下列結(jié)論不一定成立的是（

）A．AB=AD B．AC平分∠BCDC．AB=BD D．△BEC≌△DEC【答案】A【詳解】解：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD，故A成立，∴AC平分∠BCD，BE=DE．故B成立，∴∠BCE=∠DCE．在Rt△BCE和Rt△DCE中，∵BE=DE，BC=DC，∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL）．故D成立，沒有可證明AB=BD的條件，故C不一定成立，【變式1-1】（2022秋·江蘇南通·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于12AC的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN，交BC于點(diǎn)D，連接AD，則∠BAD的度數(shù)為（A．65° B．60° C．55° D．45°【答案】D【分析】根據(jù)內(nèi)角和定理求得∠BAC=95°，由中垂線性質(zhì)知DA=DC，即∠DAC=∠C=30°，從而得出答案．【詳解】解：在△ABC中，∵∠B=55°，∠C=30°，∴∠BAC=180°?∠B?∠C=95°，由作圖可知MN為AC的中垂線，∴DA=DC，∴∠DAC=∠C=30°，∴∠BAD=∠BAC?∠DAC=65°，【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖—基本作圖，熟練掌握中垂線的作圖和性質(zhì)以及等邊對(duì)等角是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】（2022秋·山東泰安·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在△ABC中，BC=8cm，AB的中垂線交BC于E，AC的中垂線交BC于G，則△AGE的周長(zhǎng)等于________．【答案】8【分析】根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)可得：EA=EB，GA=GC，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】解：由AB的中垂線交BC于E，AC的中垂線交BC于G，∴EA=EB，GA=GC，則△AGE的周長(zhǎng)=EA+GA+EG=EB+GC+EG=BC=8，故答案是：8．【點(diǎn)睛】本題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)．【變式1-3】（2022秋·湖北荊門·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分別是AC、BC的垂直平分線上一點(diǎn)．（1）若△CDE的周長(zhǎng)為4，求AB的長(zhǎng)；（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度數(shù)；（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），則∠DCE=___________.【答案】（1）4；（2）20°；（3）2α-180°.【分析】（1）根據(jù)線段的垂直平分線的性質(zhì)得到DC=DA，EC=EB，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠A+∠B的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠DCA+∠ECB，根據(jù)題意計(jì)算即可；（3）根據(jù)（2）的方法解答．【詳解】（1）∵D、E分別是AC、BC的垂直平分線上一點(diǎn)，∴DC=DA，EC=EB，∵△CDE的周長(zhǎng)=DC+DE+EC=4，∴DA+DE+EB=4，即AB的長(zhǎng)為4；（2）∵∠ACB=100°，∴∠A+∠B=80°，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，∴∠DCA+∠ECB=80°，∴∠DCE=100°-80°=20°；（3）∵∠ACB=α，∴∠A+∠B=180°-α，∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，∴∠DCA+∠ECB=180°-α，∴∠DCE=α-180°+α=2α-180°，故答案為：2α-180°．【知識(shí)點(diǎn)2角平分線的性質(zhì)】角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

用符號(hào)語(yǔ)言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE＝PF.【題型2利用角平分線的性質(zhì)求解】【例2】（2022秋·天津河?xùn)|·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OBA．PA=PB B．PO平分∠APB C．OA=OB【答案】D【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的判定和三角形全等的判定和性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判定即可．【詳解】解：對(duì)A、B、C選項(xiàng)，∵OP平分∠AOB，PA⊥OA∴PA=∵在RtΔPAO和RtΔPBO中∴RtΔOPA∴∠APO=∠BPO∴PO平分∠APBD．∵PA=PB，∴OP垂直平分AB，但AB不一定垂直平分OP，故D錯(cuò)誤，符合題意．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，垂直平分線的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意證明RtΔOPA【變式2-1】（2022秋·四川自貢·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別是20、30、40，其三條角平分線將△ABC分為三個(gè)三角形，則S△ABO：S△BCO：S△CAO等于多少？【答案】2:3:4【分析】由角平分線的性質(zhì)可得，點(diǎn)O到三角形三邊的距離相等，即三個(gè)三角形的AB、BC、CA的高相等，利用面積公式即可求解．【詳解】過點(diǎn)O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，OF⊥BC于F，∵O是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，∴OD=OE=OF，∵AB=20，BC=30，AC=40，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=AB:BC:AC=2：3：4．故答案為：2：3：4．【點(diǎn)睛】此題主要考查角平分線的性質(zhì)和三角形面積的求法，難度不大，作輔助線很關(guān)鍵．【變式2-2】（2022秋·河南周口·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AD//BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點(diǎn)P，作PE⊥AB于點(diǎn)E．若PE=9，則兩平行線AD與BC間的距離為_______．【答案】18；【分析】過點(diǎn)P作MN⊥AD，根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．【詳解】過點(diǎn)P作MN⊥AD∵AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點(diǎn)P，PE⊥AB于點(diǎn)E∴AP⊥BP，PN⊥BC∴PM=PE=9，PE=PN=9∴MN=9+9=18故答案為18．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì),根據(jù)題意作出輔助線是解決問題的關(guān)鍵．【變式2-3】（2022秋·北京·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線，CD=2，若△ABD的面積為5，求AB的長(zhǎng)．【答案】5【分析】過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，利用角平分線的性質(zhì)可得DE=DC=2，然后利用三角形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E，∵AD是∠BAC的平分線，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=DC=2，∵△ABD的面積為5，∴1∴AB=5，∴AB的長(zhǎng)為5．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．【題型3尺規(guī)作垂直平分線】【例3】（2022秋·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖△ABC．(1)尺規(guī)作圖BC邊上的中線AD；(2)如果AB=5，AC=8，求ΔACD與Δ(3)直接寫出ΔABC與Δ【答案】(1)見詳解；(2)3(3)S【分析】（1）先作BC的垂直平分線找到D點(diǎn)，連接AD即可；（2）根據(jù)中線得到BD=CD，直接用兩周長(zhǎng)作差即可得到答案；（3）根據(jù)中線性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）解：根據(jù)題意分別以A，B為圓心大于12BC為半徑畫圓弧交于兩側(cè)各一點(diǎn)，連接兩點(diǎn)交BC于一點(diǎn)即為中點(diǎn)D，連接（2）解：∵AD是BC邊上的中線，∴BD=CD，CΔ∵AB=5，AC=8，∴C（3）解：由題意可得，∵AD是BC邊上的中線，∴SΔ【點(diǎn)睛】本題考查三角形中線作法及三角形中線的性質(zhì)，三角形中線分得線段相等及面積相等的兩個(gè)三角形．【變式3-1】（2022秋·福建廈門·八年級(jí)廈門市第九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，已知線段AB和點(diǎn)E且線段AB和線段EF關(guān)于直線CD對(duì)稱，點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)E．（Ⅰ）用尺規(guī)作圖畫出直線CD；（Ⅱ）畫出點(diǎn)F．【答案】（Ⅰ）詳見解析；（II）詳見解析.【分析】（Ⅰ）連接AE，作出AE的垂直平分線即可；（Ⅱ）作出B點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)F即可．【詳解】解：（Ⅰ）如圖所示：連接AE，作出AE的垂直平分線CD，直線CD即為所求；（Ⅱ）如圖所示：過B點(diǎn)作關(guān)于直線CD的垂線BO并延長(zhǎng)，并在延長(zhǎng)線上截取BO=FO，則點(diǎn)F即為所求．【點(diǎn)睛】此題主要考查了作圖與軸對(duì)稱變換，根據(jù)已知正確找出圖形變化特點(diǎn)是解題關(guān)鍵．【變式3-2】（2022春·廣東深圳·七年級(jí)?？计谀┌聪铝幸笞鲌D．（1）尺規(guī)作圖：如圖1，已知直線及其兩側(cè)兩點(diǎn)A、B，在直線l上求一點(diǎn)P，使A、B到P距離相等．（2）在5×5的方格圖2中畫出兩個(gè)不全等的腰長(zhǎng)為5的等腰三角形，使它的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．【答案】見解析【分析】(1)連接AB，線段中垂線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等，作AB的中垂線與直線l的交點(diǎn)就是點(diǎn)P；(2)第一個(gè)三角形為等腰直角三角形，腰長(zhǎng)就是五個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)；直角邊分別為3和4的直角三角形的斜邊作為第二個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng).【詳解】解：（1）如圖所示：點(diǎn)P就是所求的點(diǎn)；（2）如圖所示：△ABC和△DBC是滿足條件的三角形．【變式3-3】（2022·陜西西安·?？级＃┤鐖D，已知△ABC，請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在AC邊上求作一點(diǎn)D，使得S△ABD【答案】見解析【分析】根據(jù)S△ABD=S△BCD，可以得到D點(diǎn)為AC的中點(diǎn)，則作AC的垂直平分線與【詳解】解：如圖，點(diǎn)D為所求作的點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了作線段的垂直平分線，熟知三角形的中線可將三角形面積等分是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)點(diǎn)1角平分線的作法】①以O(shè)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，交OA于D，交OB于E.②分別以D、E為圓心，大于12③畫射線OC.即射線OC即為所求.【題型4尺規(guī)作角平分線】【例4】（2022春·陜西西安·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知線段a及∠α．用直尺和圓規(guī)，求作△ABC，使BC=a，∠B=∠α，∠C=12∠α【答案】見解析【分析】先作∠α的平分線得到12∠α，作射線BM，在射線BM上截取BC=a，在BC上方作∠NBM=∠α，∠TCB=12∠α，射線CT交BN于點(diǎn)【詳解】解：如圖，△ABC即為所求作．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，涉及尺規(guī)作圖-作角平分線、作一個(gè)角等于已知角、作線段，屬于中考?？碱}型，熟練掌握五種基本作圖是解答的關(guān)鍵．【變式4-1】（2022春·山西·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AD//BC，BE平分（1）尺規(guī)作圖：作∠BAD的平分線交BE于點(diǎn)F；（2）在（1）的條件下，ΔABF按角分類時(shí)，它是什么三角形，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）圖見解析；（2）直角三角形，證明見解析．【分析】（1）根據(jù)角平分線的做法作圖即可；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)證明∠AFB=90°即可得到結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖所示，AF即為所求（2）ΔABF按角分類時(shí)，它是直角三角形．理由如下：∵BE，AF分別為∠ABC和∠BAD的平分線，∴∠ABE=12∠ABC∵AD//∴∠ABC+∠BAD=180°．∴∠ABE+∠BAF=90°．在ΔABF中，∠AFB=180°?∠ABF+∠BAF∴ΔABF是直角三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖，以及平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，關(guān)鍵是靈活運(yùn)用它們的性質(zhì)解決問題．【變式4-2】（2022秋·河北唐山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，已知C、D是兩個(gè)村莊，OA、OB為兩條公路，現(xiàn)計(jì)劃修建一個(gè)客運(yùn)站P，使它到兩個(gè)村莊的距離相等，且到兩條公路的距離也相等，你能確定P點(diǎn)的位置嗎？請(qǐng)?jiān)趫D中用尺規(guī)找到P的位置．【答案】答案見解析【分析】先連接CD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)作出線段CD的垂直平分線MN，再作出∠AOB的平分線OF，MN與OF相交于P點(diǎn)，則點(diǎn)P即為所求點(diǎn)．【詳解】點(diǎn)P為線段CD的垂直平分線與∠AOB的平分線的交點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)C、D的距離相等，到AO、BO的距離也相等，作圖如下：【點(diǎn)睛】此題考查角平分線性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)作圖，熟練地應(yīng)用角平分線的作法以及線段垂直平分線作法是解決問題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2022·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，已知△ABC．（1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，作∠ABC的角平分線交AC于點(diǎn)E，且AD、BE交于點(diǎn)O（保留作圖痕跡）（2）連接OC，若AB=6，BC=4，AC=8，求S△ABO【答案】（1）見解析；（2）3：2：4【分析】（1）依據(jù)題干要求作出圖形即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得△ABO中AB邊上的高和△ACO中AC邊上的高以及△BCO中BC邊上的高相等，從而得到S△ABO【詳解】解：（1）如圖，即為所作圖形；（2）∵AO平分∠BAC，BE平分∠ABC，∴OC平分∠ACB，∴點(diǎn)O到AB、BC和AC的距離相等，即△ABO中AB邊上的高和△ACO中AC邊上的高以及△BCO中BC邊上的高相等，∵AB=6，BC=4，AC=8，∴S△ABO【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到三角形的高相等．【題型5利用等腰三角形的性質(zhì)求解】【例5】（2022秋·山東德州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知∠AOB=45°，其內(nèi)部有一點(diǎn)P，它關(guān)于OA，OB的對(duì)稱點(diǎn)分別為M，N，則△MON是（

）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，繼而可得OM=OP=ON,∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，根據(jù)等腰直角三角形的判定即可求解．【詳解】∵點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)分別是M、N，∴OA垂直平分PM，OB垂直平分PN，∴OM=OP=ON,∴∠MOA=∠POA，∠NOB=∠POB，∴∠MON=2∠AOB=2×45°=90°，∴△MON是等腰直角三角形故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查等腰直角三角形的判定，軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)．【變式5-1】（2022秋·安徽合肥·八年級(jí)?？计谀┮粋€(gè)等腰三角形的邊長(zhǎng)分別是4cm和7cm，則它的周長(zhǎng)是______．【答案】15或18厘米【分析】由等腰三角形的邊長(zhǎng)分別是4cm和7cm，故其三邊為4、4、7或4、7、7，分別求出其周長(zhǎng)即可.【詳解】∵一個(gè)等腰三角形的邊長(zhǎng)分別是4cm和7cm，∴第三邊可能為4cm或7cm，即三邊為4、4、7或4、7、7，求得周長(zhǎng)分別為15cm,18cm,故填15或18.【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形的三邊關(guān)系，分情況討論是易錯(cuò)點(diǎn).【變式5-2】（2022春·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，在等邊△ABC中AB=2，BD是AC邊上的高，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)E，使CE=CD，則BE的長(zhǎng)為___________．【答案】3【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC=AB=2，根據(jù)BD是AC邊上的高線，可得AD=CD，再由題中條件CE=CD，即可求得BE．【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC=AB=2，∵BD是AC邊上的高線，∴D為AC的中點(diǎn)，∴AD=CD=1∵CE=CD，∴CE=1∴BE=BC+CE=2+1=3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的能力，得到AD=CD=1【變式5-3】（2022春·全國(guó)·八年級(jí)期中）如圖，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線DE分別交AC、AB于點(diǎn)D、(1)若∠A＝50°，求(2)若AB＝7，BC的長(zhǎng)為5，求【答案】(1)15°(2)12【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABC＝∠C＝65°，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵AB=AC，∠A=50°，∴∠ABC=∠C=1∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠ABD=∠A=50°，∴∠CBD=∠ABC?∠ABD=15°；（2）解：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴DB+DC=DA+DC=AC，∵AB=AC=7，BC=5，∴△CBD周長(zhǎng)為12．【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【題型6尺規(guī)作等腰三角形】【例6】（2022秋·江蘇宿遷·八年級(jí)南師附中宿遷分校?？计谥校┮阎鰽BC的三邊長(zhǎng)分別為4、4、6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫_______條．【答案】4【分析】分別以B、C為圓心，以AB、AC為半徑畫弧，作AB、AC的垂直平分線，即可得到答案.【詳解】解：如圖所示：當(dāng)AC=CD，AB=BG，AF=CF，AE=BE時(shí)，都能得到符合題意的等腰三角形（AD，AE，AF，AG分別為分割線）．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角的性質(zhì).正確作圖是解決本題的關(guān)鍵.【變式6-1】（2022秋·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知等腰三角形底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高的長(zhǎng)為?，求作這個(gè)等腰三角形．（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解析【分析】根據(jù)題目要求畫出線段a、h，再畫△ABC，使AB＝a，△ABC的高為h；首先畫一條射線，再畫垂線，然后截取高，再畫腰即可．【詳解】如圖所示，作圖：①畫射線AE，在射線上截取AB＝a，②作AB的垂直平分線，垂足為O，再截取CO＝h，③再連接AC、CB，△ABC即為所求．【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是掌握垂線的畫法，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．【變式6-2】（2012秋·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）(1)已知角a和線段c如圖所示,求作等腰三角形ABC,使其底角∠B=a,腰長(zhǎng)AB="c,"要求僅用直尺和圓規(guī)作圖,并保留作圖痕跡.（不寫作法）(2)若a=45O,c=2,求此三角形ABC的面積.【答案】（1）；（2）2．【詳解】試題分析：（1）可先作出2∠α的補(bǔ)角，即為等腰三角形的頂角，進(jìn)而作出腰，在腰的同側(cè)作出頂角，在頂角的另一邊截取腰長(zhǎng)，連接BC即可；（2）易得此三角形為等腰直角三角形，腰長(zhǎng)為2，利用面積公式可得三角形的面積．考點(diǎn)：作圖—復(fù)雜作圖；三角形的面積；特殊角的三角函數(shù)值．點(diǎn)評(píng)：得到頂角及度數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2022秋·江蘇南京·八年級(jí)南京市第二十九中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，已知線段a，h，用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作一個(gè)等腰三角形ABC(保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明)．(1)△ABC的底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高為h；(2)△ABC的腰長(zhǎng)為a，腰上的高為h．【答案】(1)作圖及理由見解析；(2)作圖及理由見解析．【分析】（1）首先作線段BC=a，再作出BC的垂直平分線，然后截取高為h，連接AB、CA即可．（2）首先作直線GH垂直于直線DE，垂足為F，再直線DE上取線段FC=h，然后AB=AC=a，連接AB、CB即可．【詳解】（1）解：作法：1.作線段BC=a，（如圖1）2.作線段BC的垂直平分線MN，最足為O，3.在直線MN上取線段OA=h，4.連接AB、AC，△ABC為所求作的三角形；理由：∵線段BC的垂直平分線是MN，OA=h，∴AB=AC，△ABC的高為h，∴△ABC為等腰三角形，∵BC=a，∴△ABC是底邊長(zhǎng)為a，底邊上的高為h的等腰三角形；（2）解：作法：1.作直線GH垂直于直線DE，垂足為F，（如圖2）2.在直線DE上取線段FC=h，3.以點(diǎn)C為圓心，a的長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線GH于點(diǎn)A，4.以點(diǎn)A為圓心，a的長(zhǎng)為半徑畫弧，交射線AF于點(diǎn)B，5.連接BC、AC，△ABC為所求作的三角形；理由：∵AB=AC=a，∴△ABC為等腰三角形，∵直線GH垂直于直線DE，垂足為F，F(xiàn)C=h，∴△ABC是腰長(zhǎng)為a，腰上的高為h的等腰三角形；【點(diǎn)睛】此題主要考查了復(fù)雜作圖，關(guān)鍵是正確掌握線段垂直平分線的作