2021年屆上海市普陀區(qū)高三下學期質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試題解析

精選word文檔下載可編輯精選word文檔下載可編輯試卷第=22頁，總=sections44頁2020屆上海市普陀區(qū)高三下學期質(zhì)量調(diào)研數(shù)學試題一、單選題1．對于拋物線，“方程”是“焦點到準線的距離等于2”的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分也非必要條件答案：A根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)，結合充分條件和必要條件的判定方法，即可求解.解：由拋物線方程，可得，所以拋物線的焦點到準線的距離為2，即充分性是成立的；反之不成立，焦點到準線的距離為2，此時拋物線的方程可能是，即必要性不成立，綜上可得，“方程”是“焦點到準線的距離等于2”的充分非必要條件.故選：A.點評：本題主要考查了充分條件和必要條件的判定，以及拋物線的標準方程及幾何性質(zhì)的應用，意在考查推理與運算能力，屬于基礎題.2．已知集合，，，從這三個集合中各取一個元素構成空間直角坐標系中向量的坐標，則可確定不同向量的個數(shù)為（）A．33 B．34 C．35 D．36答案：A根據(jù)題意，先求得不考慮限定條件確定的不同的點的個數(shù)，進而考慮集合中的相同元素2，出現(xiàn)了3個重復的情況，進而計算可得答案.解：由題意，不考慮限定條件確定的不同點的個數(shù)為,但集合中有相同元素2，由三個數(shù)確定的不同點的個數(shù)只有三個，故所求的個數(shù)為個.故選：A.點評：本題主要考查了排列、組合的綜合運用，注意從反面分析，并且注意到集合中有相同元素2從而導致出現(xiàn)重復的情況，著重考查分析問題和解答問題的能力.3．已知平面，B，，，且，，且，則下列敘述錯誤的是（）A．直線與是異面直線B．直線在上的射影可能與平行C．過有且只有一個平面與平行D．過有且只有一個平面與垂直答案：D利用反證法判斷選項正確；舉例說明選項正確；由公理3的推論結合過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行判斷選項正確；由異面直線垂直及線面關系判斷選項錯誤．解：對于選項，若直線與是共面直線，設與共面，不共線的三點，，均在與內(nèi)，與重合，又不共線的三點，，均在與內(nèi)，與重合，則與重合，與矛盾，故直線與是異面直線，所以選項正確；對于選項，當，，且二面角為銳二面角時，直線在上的射影與平行，所以選項正確；對于選項，在上任取一點，過該點作的平行線，則由與確定一個平面，該平面與平行，若過另外有平面與平行，由直線與平面平行的性質(zhì)，可得過直線外的一點有兩條直線與平行，與過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行矛盾，所以選項正確；對于選項，只有當與異面垂直時，過有且只有一個平面與，否則，不存在過與垂直的平面，故選項錯誤．故選：D．點評：本題考查空間中直線與直線、直線與平面位置關系的判定及應用，著重考查異面直線的性質(zhì)，考查空間想象能力與思維能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．4．定義域均為的三個函數(shù)，，滿足條件：對任意，點與點都關于點對稱，則稱是關于的“對稱函數(shù)”．已知函數(shù)，，是關于的“對稱函數(shù)”，記的定義域為，若對任意，都存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：C求得的解析式，利用三角代換得到的值域；判斷在，遞增，可得其值域，再由題意可得的值域包含在的值域內(nèi)，可得的不等式組，解不等式可得所求范圍．解：由函數(shù)，，是關于的“對稱函數(shù)”，可得，，令，，可得的值域為，，而在，遞增，可得的值域為，，由題意可得，，，即有，即為，解得或，則的范圍是，故選：．點評：本題考查函數(shù)的新定義的理解和運用，考查函數(shù)恒成立問題解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想和函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡運算能力，屬于中檔題．二、填空題5．數(shù)組“2，1.5，2.9，4.8，5，4.3”的中位數(shù)為______.答案：3.6把這組數(shù)據(jù)按從小到大排列，計算它的中位數(shù)即可．解：解：該組數(shù)據(jù)按從小到大排列為：1.5，2，2.9，4.3，4.8，5；所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為．故答案為：3.6．點評：本題考查了中位數(shù)的定義與計算問題，屬于基礎題．6．若增廣矩陣為的線性方程組的解為，則實數(shù)______.答案：1根據(jù)增廣矩陣的概念直接求解.解：由增廣矩陣為的線性方程組的解為，則，得.故答案為：1.點評：本題考查了對增廣矩陣的理解與應用，屬于基礎題.7．已知i為虛數(shù)單位，若復數(shù)z滿足，則實數(shù)a的值為______.答案：5根據(jù)兩個復數(shù)相等，實部和實部相等，虛部和虛部相等，即可得出結果.解：設，則可得，所以.故答案為：5點評：本題考查了共軛復數(shù)、兩個復數(shù)相等的轉(zhuǎn)化，考查了理解辨析能力和數(shù)學運算能力，屬于容易題.8．已知等比數(shù)列（）滿足，則_______．答案：2利用等比數(shù)列的性質(zhì)求得關于的方程，解方程即可得到答案.解：，.故答案為：2.點評：本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查運算求解能力，屬于基礎題.9．已知實數(shù)x、y滿足條件.則目標函數(shù)的最大值為______.答案：2作出約束條件所表示的可行域，當目標函數(shù)所表示的直線過點時，目標函數(shù)取得最大值.解：作出約束條件所表示的可行域，易得點，當直線過點時，直線在軸上的截距達到最大，，故答案為：點評：本題考查線性規(guī)劃問題，考查數(shù)形結合思想，考查運算求解能力，求解時注意利用直線截距的幾何意義進行求解.10．A，B，C，D四位同學參加甲、乙兩項志愿者活動，兩人一組，則A，B兩位同學在同一組的概率為______.（結果用最簡分數(shù)表示）答案：古典概型，列出基本事件的總數(shù)和滿足條件的基本事實個數(shù)，即可求出結果.解：試驗發(fā)生包含的事件是將A，B，C，D四個人平均分成兩組，基本事件的總數(shù)：共有，即滿足條件的基本事件是A，B兩人恰好在同一組，共有1種根據(jù)古典概型概率公式得到?故答案為：點評：本題考查古典概型，考查理解辨析能力、邏輯推理能力和數(shù)學運算能力，是一個基礎題.11．已知一個半圓柱的高為4，其俯視圖如圖所示，其左視圖的面積為8，則該半圓柱的表面積為______.答案：由圓柱的主視圖和左視圖知該圓柱的底面直徑為4，高為3，由此能求出該幾何體的表面積，得到答案.解：由題意，其左視圖為矩形，其左視圖的面積為8，半圓柱的高為4，可得半圓的半徑為2，由于半圓柱的表面積為兩個底面半圓面積加側面展開圖形的面積，即.故答案為：.點評：本題主要考查了空間幾何體的三視圖的應用，以及圓柱的表面積的計算問題，同時考查了圓柱的結構特征的應用，屬于基礎題.12．設，若，則______.答案：160變形，再賦值可得解.解：原式，令，即得：，所以．所以展開式中含項為：．故．故答案為：160．點評：本題考查二項式定理的應用，以及利用通項法研究特定項的問題，屬于基礎題．13．設是等差數(shù)列的前n項和（）若，則______.答案：由等差數(shù)列前項和公式有，代入已知條件可求得公差，再計算數(shù)列極限．解：∵數(shù)列是等差數(shù)列，（其中是公差），，∵，，．即，．故答案為：點評：本題考查等差數(shù)列的前項和，考查數(shù)列的極限．關鍵是掌握等差數(shù)列前項和公式：，屬于中檔題．14．在中，角、、的對邊分別為、、，若，則角的大小為____________．答案：根據(jù)行列式的性質(zhì)整理得到；再結合余弦定理可得結論．解：因為，即；.故答案為：．點評：本題主要考查行列式的性質(zhì)以及余弦定理的應用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．15．在平面四邊形中，，，若點M是邊上的任一動點，則的最小值為______.答案：連接，則可證是等邊三角形，建立平面直角坐標系，設，用表示出，則根據(jù)配方法得出最小值．解：解：連接，，，，，，，，是等邊三角形，以為原點，以為軸，以為軸建立平面直角坐標系，則，，，，，設，，則，，，，當時，取得最小值．故答案為：．點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，坐標法是常用方法之一，屬于中檔題．16．設雙曲線r：（）的左、右焦點分別為，，點M在r的右支上，向量是直線的一個方向向量，若，則r的焦距為______.答案：由題意可得直線的斜率為，且，設，由雙曲線的定義可得，在三角形中，分別運用正弦定理、余弦定理，解方程可得，進而得到焦距．解：解：向量是直線的一個方向向量，可得直線的斜率為，且，設，由雙曲線的定義可得，在三角形中，由正弦定理可得，即，解得，由余弦定理可得，即為，解得，，則焦距．故答案為：．點評：本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，考查三角形的正弦定理、余弦定理的運用，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．三、解答題17．設函數(shù)是偶函數(shù).（1）求實數(shù)的值及；（2）設函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)為，當時，（且）時，求實數(shù)的取值范圍.答案：（1），；（2）.（1）根據(jù)偶函數(shù)的對稱性，先得到，再利用偶函數(shù)的概念求解當時的解析式；（2）先利用反函數(shù)的概念求解出的值，再求解不等式的解集.解：解：（1）因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以定義域關于原點對稱且，則，當時，，則，，故.（2）函數(shù)在區(qū)間上的反函數(shù)為，則，即，即，則或，即或則實數(shù)的取值范圍為.點評：本題考查偶函數(shù)的性質(zhì)及根據(jù)奇偶性求解函數(shù)的解析式，考查反函數(shù)的概念，難度一般.解答時要緊扣奇偶性的概念及就函數(shù)的性質(zhì)求解，注意利用原函數(shù)與反函數(shù)的關系.18．設函數(shù)．（1）當時，若函數(shù)的最大值為，求函數(shù)的最小正周期；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不存在零點，求正實數(shù)的取值范圍．答案：（1）；（2）.（1）利用三角函數(shù)的恒等變換的公式，以及正弦型函數(shù)的性質(zhì)，求得函數(shù)的解析式，即可求得函數(shù)的最小正周期，得到答案；（2）（2）由于函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不存在零點，得到，列出不等式，即可求解.解：（1）由題意，函數(shù)，因為函數(shù)的最大值為，可得，即，解得，解得，又因為，所以，所以函數(shù)，故函數(shù)的最小正周期為.（2）由于函數(shù)，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不存在零點，則，即，則，由于，所以且，又因為，所以或，所以正實數(shù)的取值范圍．點評：本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換，以及正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)的綜合應用，其中解答中熟記三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關鍵，著重考查轉(zhuǎn)換能力，以及推理與運算能力，屬于中檔試題.19．某小區(qū)樓頂成一種“楔體”形狀，該“楔體”兩端成對稱結構，其內(nèi)部為鋼架結構（未畫出全部鋼架，如圖1所示，俯視圖如圖2所示），底面是矩形，米，米，屋脊到底面的距離即楔體的高為1.5米，鋼架所在的平面與垂直且與底面的交線為，米，為立柱且O是的中點.（1）求斜梁與底面所成角的大?。ńY果用反三角函數(shù)值表示）；（2）求此模體的體積.答案：（1）；（2）350（立方米）.（1）連接，由題可知平面，是直線與底面所成角，由俯視圖可知，，在中進行計算即可得解；（2）由題可知，該“楔體”兩端成對稱結構，鋼架所在的平面與垂直，結合俯視圖可知，可將該“楔體”分割成一個直三棱柱和兩個相同的四棱錐，然后由題中條件結合椎體和柱體體積公式計算即可.解：（1）如下圖，連接，依題意為立柱，即平面，則是直線與底面所成角，由俯視圖可知，，則，在中，，即，則斜梁與底面所成角的大小為；（2）依題意，該“楔體”兩端成對稱結構，鋼架所在的平面與垂直，結合俯視圖可知，可將該“楔體”分割成一個直三棱柱和兩個相同的四棱錐，則直三棱柱的體積（立方米），兩個四棱錐的體積（立方米），則所求的楔體的體積（立方米）.點評：本題考查線面角的計算，考查幾何體體積的計算，考查空間想象能力和計算能力，屬于?？碱}.20．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，上頂點為M，過點M且斜率為的直線與交于另一點N，過原點的直線l與交于P，Q兩點（1）求周長的最小值：（2）是否存在這樣的直線，使得與直線平行的弦的中點都在該直線上?若存在，求出該直線的方程：若不存在，請說明理由.（3）直線l與線段相交，且四邊形的面積，求直線l的斜率k的取值范圍.答案：（1）10；（2）存在滿足條件的直線，其方程為；（3）.（1）根據(jù)橢圓的對稱性和橢圓的定義，可知當弦的長度最小值時，的周長取得最小值；（2）設與直線平行的弦所在的直線方程為，將其代入曲線的方程，根據(jù)韋達定理和中點坐標公式可得中點坐標，消去參數(shù)可得結果；（3）設直線l的方程為，代入曲線，解得兩個交點坐標，聯(lián)立直線與曲線的方程，解得的坐標，求出點到直線的距離，然后求出四邊形的面積，根據(jù)解不等式可得結果.解：（1）連接，又直線l過原點，由橢圓的對稱性得，則的周長，要使得的周長最小，即過原點的弦最短，由橢圓的性質(zhì)可知，當弦與的短軸重合時最短，即弦的最小值為4，則周長的最小值為10.（2）依題意，設與直線平行的弦所在的直線方程為，與的交點坐標為，，平行弦中點的坐標為，聯(lián)立，化簡整理得，當即時，平行弦存在，則，，則，故存在滿足條件的直線，其方程為.（3）設直線l的方程為，點，.（不妨設），由消去并化簡得，即，，依題意，直線的方程為，由，得，解得或，所以，，所以，，則.又l與線段有交點且為四邊形，所以，即，點P，Q到直線的距離分別為，，則，又，即.化簡整理得，，解得，又，所以.則所求的直線l的斜率k的取值范圍為.點評：本題考查了橢圓的定義和橢圓的對稱性，考查了直線與橢圓的位置關系，點到直線的距離，考查了運算求解能力，屬于中檔題.21．對于無窮數(shù)列的某一項，若存在，有成立，則稱具有性質(zhì).（1）設，若對任意的，都具有性質(zhì)，求的最小值；（2）設等差數(shù)列的首項，公差為，前項和為，若對任意的數(shù)列中的項都具有性質(zhì)，求實數(shù)的取值范圍；（3）設數(shù)列的首項，當時，存在滿足，且此數(shù)列中恰有一