2025年高考數(shù)學一輪復習 講練測第03講 導數(shù)與函數(shù)的極值、最值（七大題型）（講義）（含解析）

第03講導數(shù)與函數(shù)的極值、最值目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：函數(shù)的極值 4知識點2：函數(shù)的最大（小）值 5解題方法總結 6題型一：求函數(shù)的極值與極值點 7題型二：根據(jù)極值、極值點求參數(shù) 11題型三：求函數(shù)的最值（不含參） 17題型四：求函數(shù)的最值（含參） 20題型五：根據(jù)最值求參數(shù) 26題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的綜合應用 30題型七：不等式恒成立與存在性問題 3704真題練習·命題洞見 4105課本典例·高考素材 4406易錯分析·答題模板 46易錯點：對f(x0)為極值的充要條件理解不清 46答題模板：求可導函數(shù)f(x)的極值 46

考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）函數(shù)的極值（2）函數(shù)的最值2024年I卷第10題，6分2024年II卷第16題，15分2024年II卷第11題，6分2024年甲卷第21題，12分2023年乙卷第21題，12分2023年II卷第22題，12分2022年乙卷第16題，5分2022年I卷第10題，5分2022年甲卷第6題，5分高考對最值、極值的考查相對穩(wěn)定，屬于重點考查的內(nèi)容．高考在本節(jié)內(nèi)容上無論試題怎樣變化，我們只要把握好導數(shù)作為研究函數(shù)的有力工具這一點，將函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等本質(zhì)問題利用圖像直觀明了地展示出來，其余的就是具體問題的轉化了．最終的落腳點一定是函數(shù)的單調(diào)性與最值，因為它們是導數(shù)永恒的主題．復習目標：（1）借助函數(shù)圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要和充分條件．（2）會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值．（3）會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值．

知識點1：函數(shù)的極值（1）函數(shù)的極小值如果對附近的所有點都有，而且在點附近的左側，右側，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作．（2）函數(shù)的極大值函數(shù)在點附近有定義，如果對附近的所有點都有，而且在點附近的左側，右側，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作．（3）極小值點、極大值點統(tǒng)稱為極值點，極小值和極大值統(tǒng)稱為極值．（4）求極值的步驟①先確定函數(shù)的定義域；②求導數(shù)；③求方程的解；④檢驗在方程的根的左右兩側的符號，如果在根的左側附近為正，在右側附近為負，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側附近為負，在右側附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值．注：①可導函數(shù)在點處取得極值的充要條件是：是導函數(shù)的變號零點，即，且在左側與右側，的符號導號．②是為極值點的既不充分也不必要條件，如，，但不是極值點．另外，極值點也可以是不可導的，如函數(shù)，在極小值點是不可導的，于是有如下結論：為可導函數(shù)的極值點；但為的極值點．【診斷自測】（2024·遼寧·三模）下列函數(shù)中，既是定義域上的奇函數(shù)又存在極小值的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對A，，，故為偶函數(shù)，不符題意；對B，，為奇函數(shù)，，得，當時，時，故的極小值，故B正確；對C，為偶函數(shù)，不符題意；對D，無極值，不符題意，故選：B知識點2：函數(shù)的最大（?。┲担?）函數(shù)在區(qū)間上有最值的條件：如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值.（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大（?。┲档牟襟E：①求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；②將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點必是開區(qū)間的點，不能是區(qū)間的端點；③函數(shù)的最值必在極值點或區(qū)間端點處取得．【診斷自測】函數(shù)的最小值為．【答案】【解析】函數(shù)，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，，所以的最小值為.故答案為：.解題方法總結（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域為，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲担缰涤驗?，則對不等式有解問題有以下結論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解（5）對于任意的，總存在，使得；（6）對于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對于任意的，使得；（8）若存在，對于任意的，使得；（9）對于任意的，使得；（10）對于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．題型一：求函數(shù)的極值與極值點【典例1-1】“是函數(shù)的一個極值點”是“在處導數(shù)為0”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】當時，，則在處導數(shù)為0，但0不是它的極值點；當時，則在處導數(shù)不存在，但0是它的極值點；因此題干兩條件是既不充分也不必要條件.故選：D.【典例1-2】如圖，可導函數(shù)在點處的切線為，設，則下列說法正確的是（

）A． B．C．是的極大值點 D．是的極小值點【答案】C【解析】因函數(shù)在點處的切線為，即，則，于是，，由圖知，當時，，此時，當時，，此時.對于B項，由上分析，B項顯然錯誤；對于C,D項，由上分析，當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減,即當時，取得極大值，且，故C項正確，D項錯誤；對于A項，由上分析時，取得極大值，也是最大值，則有，故A項錯誤.故選：C.【方法技巧】1、因此，在求函數(shù)極值問題中，一定要檢驗方程根左右的符號，更要注意變號后極大值與極小值是否與已知有矛盾．2、原函數(shù)出現(xiàn)極值時，導函數(shù)正處于零點，歸納起來一句話：原極導零．這個零點必須穿越軸，否則不是極值點．判斷口訣：從左往右找穿越（導函數(shù)與軸的交點）；上坡低頭找極小，下坡抬頭找極大．【變式1-1】（2024·遼寧鞍山·二模）的極大值為．【答案】【解析】，當時，，當時，，故在、上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有極大值.故答案為：.【變式1-2】（2024·河南·三模）已知函數(shù)，且在處的切線方程是．(1)求實數(shù)，的值；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值．【解析】（1）因為，所以，又在處的切線方程為，所以，，解得，．（2）由（1）可得定義域為，則，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，則在處取得極小值，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，因此極小值為，無極大值．【變式1-3】（2024·北京東城·二模）已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的極值點個數(shù).【解析】（1）因為則，可得，可知切點坐標為，切線斜率，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）令，則，令，因為的定義域為，且，可知為偶函數(shù)，因為，若，則，取，構建，則，當時，；當時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，故在內(nèi)存在唯一零點，當時，，即；當時，，即；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，對于，結合偶函數(shù)對稱性可知：在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，又因為在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，由復合函數(shù)單調(diào)性可知：在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上的有2個極值點，極值點個數(shù)為2.【變式1-4】已知函數(shù)，其中．討論的極值點的個數(shù)．【解析】由題意知，函數(shù)的定義域為，，設，，顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，與同號，①當時，，，所以函數(shù)在內(nèi)有一個零點，且，，，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以函數(shù)在上有且僅有一個極值點；②當時，同①可知，函數(shù)在上有且僅有一個極值點1；③當時，，，因為，所以，，又，所以函數(shù)在內(nèi)有一個零點，且，，，，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；所以函數(shù)在上有且僅有一個極值點；綜上所述，函數(shù)在上有且僅有一個極值點．題型二：根據(jù)極值、極值點求參數(shù)【典例2-1】（2024·廣西·模擬預測）設，若為函數(shù)的極大值點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由三次函數(shù)的性質(zhì)可知，要使為函數(shù)的極大值點，則：當時，函數(shù)大致圖象如圖（1）所示，則，此時；當時，函數(shù)大致圖象如圖（2）所示，則，此時.綜上：.故選：C.【典例2-2】（2024·高三·陜西咸陽·期中）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，定義域為，所以，因為函數(shù)既有極大值也有極小值，所以方程有兩個不相等的正根，設兩根為，則有，解得，所以的取值范圍為，故選：A.【方法技巧】根據(jù)函數(shù)的極值（點）求參數(shù)的兩個要領（1）列式：根據(jù)極值點處導數(shù)為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數(shù)法求解；（2）驗證：求解后驗證根的合理性．【變式2-1】已知函數(shù)在處取得極小值，則的值為．【答案】【解析】由求導，，依題意，，即，解得或.當，時，，，，當時，，在上單調(diào)遞減，當時，，在單調(diào)遞增，即時，函數(shù)取得極小值，符合題意，此時；當，時，，，因，即函數(shù)在上為增函數(shù)，無極值，與題意不符，舍去.故答案為：.【變式2-2】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)在上恰有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】解法一：

由題意可得，因為函數(shù)在上恰有兩個極值點，所以在上有兩個變號零點．令，可得，令，則直線與函數(shù)，的圖象有兩個不同的交點，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，當時，，所以在上單調(diào)遞減，又，當x趨近于0時，趨近于+∞，當x趨近于π時，趨近于+∞，所以可作出的圖象如圖所示，數(shù)形結合可知，即實數(shù)a的取值范圍是，故選：D．解法二

由題意可得．因為函數(shù)在上恰有兩個極值點，所以在上有兩個變號零點．當時，在上恒成立，不符合題意．當時，令，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，因為，，所以，則，即實數(shù)a的取值范圍是，故選：D．【變式2-3】（2024·四川·模擬預測）已知函數(shù)的導函數(shù)，若不是的極值點，則實數(shù).【答案】3【解析】由，設，若不是函數(shù)的極值點，則必有，即，所以．當時，，故當時，，當時，，因此是的極值點，不是極值點，滿足題意，故．故答案為：3【變式2-4】若函數(shù)存在唯一極值點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】，則，若函數(shù)存在唯一極值點，則在上有唯一的根，所以由可得，則有唯一的根，直線與函數(shù)的圖象有一個交點（非切點），又，所以當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以，函數(shù)的極大值為，且當時，，當時，，則函數(shù)得圖象如下圖所示：所以，當時，即當時，直線與函數(shù)的圖象有一個交點（非切點），因此，實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【變式2-5】（2024·四川綿陽·模擬預測）若是函數(shù)的兩個極值點且，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】因為，所以.因為函數(shù)有兩個極值點，所以是方程的兩個根，則有，所以，同理可得.設，則，由，則，即，由，則，即，所以，令，則，令，則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，又，所以，又，所以.由，則，令，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，所以，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.【變式2-6】已知函數(shù)，若是的極大值點，則a的取值范圍是．【答案】【解析】由函數(shù)，得，令，由是的極大值點，易得，且在上單調(diào)遞減，即，所以，即，當時，，符合題意；當時，，，則，，則，，則，，在上單調(diào)遞減，在上，在上，，符合題意；所以a的取值范圍是.故答案為：【變式2-7】已知和分別是函數(shù)（且）的極大值點和極小值點．若，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】由已知，至少要有兩個變號零點和，構造函數(shù)，對其求導，,若，則在上單調(diào)遞減，此時若，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時若和分別是函數(shù)的極大值點和極小值點，則，不合題意；若，則在上單調(diào)遞增，此時若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，則，此時若和分別是函數(shù)的極大值點和極小值點，且，則需滿足，即，，，故，所以．故答案為：題型三：求函數(shù)的最值（不含參）【典例3-1】函數(shù)的最小值為．【答案】【解析】∵函數(shù)，∴，令，得，當時，，為減函數(shù)，當時，，為增函數(shù)，∴在處取極小值，也是最小值，∴函數(shù)最小值為.故答案為：.【典例3-2】函數(shù)（為常數(shù)）在上有最大值3，則在上的最小值為．【答案】【解析】因為，所以，當時，；當時，，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，，所以的最大值為，則，又，，所以的最大值為.故答案為：.【方法技巧】求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，在得到極值的基礎上，結合區(qū)間端點的函數(shù)值，與的各極值進行比較得到函數(shù)的最值．【變式3-1】（2024·浙江杭州·二模）函數(shù)的最大值為．【答案】【解析】令，則，故，令，則，當時，，當時，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，即函數(shù)的最大值為.故答案為：.【變式3-2】當時，函數(shù)取得極值，則在區(qū)間上的最大值為．【答案】16【解析】由題意得，因為時，函數(shù)取得極值，故，即，當或時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故時，函數(shù)取得極小值，故符合題意，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，而，，則在區(qū)間上的最大值為16，故答案為：16【變式3-3】（2024·高三·山東青島·開學考試）已知，則的最小值為.【答案】38【解析】設，，設，由，得，則，，得，當時，，在區(qū)間單調(diào)遞減，當時，，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當時，取得最小值，即的最小值為.故答案為：題型四：求函數(shù)的最值（含參）【典例4-1】已知函數(shù).(1)當時，求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求在上的最小值.【解析】（1）當時，，，當時，，當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)有極小值，無極大值.綜上：的減區(qū)間是，增區(qū)間是，極小值為0，無極大值.（2），當時，，所以在上單調(diào)遞增，所以；當時，令，得，（?。┊敃r，則，所以在上單調(diào)遞增，所以；（ⅱ）當時，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則；綜上：當時，在上的最小值為；當時，在上的最小值為.【典例4-2】（2024·四川南充·二模）設函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間；(2)設，證明函數(shù)在區(qū)間上存在最小值A，且．【解題思路】（1）根據(jù)函數(shù)解析式明確定義域，求導，根據(jù)導數(shù)與單調(diào)性的關系，可得答案；（2）根據(jù)函數(shù)解析式求導，整理導數(shù)，利用（1）的結論，結合隱零點做題思路，可得答案.【解析】（1）由，則，所以的定義域為，求導可得，當且僅當時等號成立，的增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間.（2），由（1）知，在上單調(diào)遞增，由知，，，使且時，，由，則，時，，由，則，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，在上存在最小值，且，又得：，即，，設，，在上單調(diào)遞增，，，又，故.【方法技巧】若所給的閉區(qū)間含參數(shù)，則需對函數(shù)求導，通過對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)的最值．【變式4-1】（2024·四川自貢·一模）函數(shù)的最小值為.(1)判斷與2的大小，并說明理由：(2)求函數(shù)的最大值.【解題思路】（1）先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出最小值，其中滿足；再由得；，求出；最后利用對勾函數(shù)的單調(diào)性即可求解.（2）先利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求出最大值，其中滿足；再由及（1）中，，得；最后由函數(shù)在上單調(diào)遞增，得，代入，即可求出結果.【解析】（1）.理由如下：由可得：函數(shù)定義域為；.在上單調(diào)遞增.，存在唯一的，使得，即.當時，；當時，.即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故.；，即.因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，，即故.（2）由，得：函數(shù)定義域為，，.在上單調(diào)遞減.當時，；當時，.存在唯一的，使得，即.當時，；當時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.故.，即.由（1）知：，則.令函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增.函數(shù)在上單調(diào)遞增，..故函數(shù)的最大值為.【變式4-2】已知函數(shù).(1)當時，求在處的切線方程；(2)討論在區(qū)間上的最小值.【解析】（1）當時，，則，所以，則在處的切線方程為，即，所以當時，函數(shù)在處的切線方程為．（2）函數(shù)，則，當時，，此時單調(diào)遞增；當時，，此時單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)的最小值；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)的最小值；當時，函數(shù)的最小值．綜上可得.【變式4-3】已知函數(shù)，當時，記在區(qū)間的最大值為，最小值為，求的取值范圍.【解題思路】討論的范圍，利用導數(shù)求出函數(shù)單調(diào)性進行最大值和最小值的判斷，求出，再構造函數(shù)求出的取值范圍.【解析】由求導得，若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為，而，故所以區(qū)間上最大值為，所以，設函數(shù)，，當時，從而單調(diào)遞減，而，所以，即的取值范圍是，若，在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以區(qū)間上最小值為，而，故所以區(qū)間上最大值為，所以，而，所以，即的取值范圍是.綜上得的取值范圍是.【變式4-4】已知函數(shù).(1)當時，求函數(shù)在點處的切線方程；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；(3)當時，求函數(shù)在上的最大值.【解題思路】（1）利用導數(shù)的幾何意義即可得解；（2）利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值的關系，分類討論的取值范圍即可得解；（3）根據(jù)的取值范圍，結合（2）中結論得到的單調(diào)性，從而得到其最值.【解析】（1）因為，當時，，則，所以，，所以函數(shù)在點處的切線方程為，即.（2）因為，則，令得或，當時，，令，得或；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，；當時，，在上單調(diào)遞增，沒有極值；當時，，令，得或；令，得；所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，；綜上：當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，，；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，沒有極值；當時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，，；（3）因為，所以，，由（2）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因為，，所以.題型五：根據(jù)最值求參數(shù)【典例5-1】（2024·河南南陽·一模）已知函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則整數(shù)的一個取值可以是．【答案】（答案不唯一，中的任意整數(shù)均可）【解析】由可知，，又在上有最小值，所以在上有變號零點且在零點兩側的函數(shù)值左負右正，令，則在上有變號零點且在零點兩側的函數(shù)值左負右正，所以，解得，又因為，所以.故答案為：（答案不唯一，中的任意整數(shù)均可）.【典例5-2】已知，若函數(shù)有最小值，則實數(shù)的最大值為.【答案】/【解析】當時，，，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，且，當時，，若，在上單調(diào)遞增，此時沒有最小值，若，在上單調(diào)遞減，要想函數(shù)有最小值，則，解得，故實數(shù)的最大值為.故答案為：【方法技巧】已知函數(shù)最值，求參數(shù)的范圍，列出有關參數(shù)的方程或不等式，然后求其參數(shù)值或范圍．【變式5-1】（2024·廣西南寧·一模）已知函數(shù)的最小值為，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】因為，所以，若，則時，，故在上單調(diào)遞減，時，，故在上單調(diào)遞增，所以當時，有最小值，滿足題意；若，則當無限趨近于負無窮大時，無限趨向于負無窮大，沒有最小值，不符合題意；綜上，，所以實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【變式5-2】（2024·廣東·二模）已知函數(shù)的最小值為0，則a的值為.【答案】/0.5【解析】由，且，令，則，即在上遞增，所以在上遞增，又，，，，所以，使，且時，，時，，所以在上遞減，在上遞增，所以由，得，令函數(shù)，，所以在上是增函數(shù)，注意到，所以，所以.故答案為：【變式5-3】已知函數(shù)的最小值為1，則的取值范圍為.【答案】【解析】，，設，，，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；故，故有解，即，，，即，，設，，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；，畫出函數(shù)圖像，如圖所示：根據(jù)圖像知，解得或，即.故答案為：.【變式5-4】若函數(shù)的最小值為0，則實數(shù)a的最大值為.【答案】/【解析】由題意知，令，原函數(shù)變?yōu)?令，則，易知當，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即對于，，即，當且僅當時取最小值，所以當，取得最小值0，即只需方程有解即可；也即函數(shù)與函數(shù)圖象有交點即可；令，則，當時，；當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，在同一坐標系下畫出兩函數(shù)圖象如下圖所示：即即滿足題意；所以.故答案為：題型六：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的綜合應用【典例6-1】已知，g（x）＝f（x）＋ax-3，其中a∈（0，＋∞）．（1）判斷f（x）的單調(diào)性并求其最值；（2）若g（x）存在極大值，求a的取值范圍，并證明此時g（x）的極大值小于0．【解題思路】（1）求出，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關系即可求解.（2），令，則，可得，求出導函數(shù)，且，討論或，確定函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極大值，并求出極大值，即可求解.【解析】（1）∵，∴當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，∴，且無最小值．（2），令，則，∴．令，∵函數(shù)是上的單調(diào)遞增函數(shù)，∴由復合函數(shù)的單調(diào)性可知，存在極大值存在極大值，且取到極大值取到極大值，其中，且．∵，∴，∴時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增，∴．①當時，，則在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增，則無極值點；②當時，，取，，有，，∴在上有唯一零點，設為，且時，，時，，∴當時，在上有唯一的極大值點．∵，∴，∴，令，則，∴在上單調(diào)遞增．又，∴，即的極大值小于0，綜上，有時，存在極大值，且此時的極大值小于0．【典例6-2】（2024·高三·湖南·期末）已知函數(shù)有兩個不同的極值點.（1）求的取值范圍.（2）求的極大值與極小值之和的取值范圍.（3）若，則是否有最小值？若有，求出最小值；若沒有，說明理由.【解題思路】（1）先求得函數(shù)的定義域和導函數(shù)，結合一元二次方程根的分布求得的取值范圍.（2）根據(jù)（1）求得，求得的表達式，并利用導數(shù)求得這個表達式的取值范圍.（3）由（2）假設，，則，求得的表達式，并利用導數(shù)研究這個表達式的單調(diào)性，由此判斷出這個表達式?jīng)]有最小值，也即沒有最小值.【解析】（1）定義域為，.因為有兩個不同的極值點，且，所以有兩個不同的正根，，解得.（2）因為，不妨設，所以，，所以.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即的極大值與極小值之和的取值范圍是.（3）由（2）知.因為，所以，所以.因為，所以.令，則，所以在上單調(diào)遞減，無最小值，故沒有最小值.【方法技巧】函數(shù)單調(diào)性、極值、最值的綜合應用通常會用到分類討論、數(shù)形結合的數(shù)學思想方法.【變式6-1】設(1)若，討論的單調(diào)性;(2)若，求的最大值(用表示);(3)若恰有三個極值點，直接寫出的取值范圍.【解題思路】（1）求出的導數(shù)，討論其符號可得其單調(diào)性；（2）求出函數(shù)的導數(shù)，利用隱零點及同構方法得到且，化簡后可得最大值；（3）由題設可得的導數(shù)有三個不同的變號零點，從而得到，有三個不同的變號零點，設，就、分類討論可得參數(shù)的取值范圍.【解析】（1）時，，故，令，則，故在上為減函數(shù)，而，故在上，即，在上，即.故的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2），設，，則，故在為減函數(shù)，而時，，而，故在上存在唯一的使得，且當時，即，當時，即故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，故，其中，即即，設，則，故為上的增函數(shù)，而，故，，故，故.（3）結合（2）可知，且，有三個不同的變號零點，而即，令，，則，故當或時，，當或時，，故在，上遞增；在，上遞減，而，故，若，則，而當時，，故在上恒成立即在上恒成立，所以在上為減函數(shù)，故至多有一個零點，不合題意.若即即，此時，因，故，而當時，，故在上有且只有兩個零點，設它們分別為，且，故當時，即，當時，即，故在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，因為，故，故，，令，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故，故.，設，，則，故在為增函數(shù)，故，所以，又時，，時，，故此時有三個不同的零點，綜上，.【變式6-2】（2024·海南·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍．(2)設函數(shù)有一個極大值為，一個極小值為，試問：是否存在最小值？若存在最小值，求出最小值；若不存在最小值，請說明理由．【解析】（1）函數(shù)的定義域為，由題意知，即在區(qū)間上恒成立．令，則不等式在上恒成立．設，則解得，則的取值范圍為．（2）因為，所以由題意知方程，即至少有兩個不同的實數(shù)根．令，則方程有且僅有兩個不同的正實數(shù)根．設為方程的兩個實數(shù)根，則解得．假設存在最小值，設與相對應的方程的兩個根為，所以當時，；當時，，所以，則．因為，所以，且，則．設，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以不存在最小值．題型七：不等式恒成立與存在性問題【典例7-1】已知函數(shù)，若存在，使得成立，則實數(shù)的取值范圍．【答案】【解析】因為，由，即，即，設，根據(jù)題意知存在，使得成立，即成立，由，可得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增，所以當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，所以，即實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【典例7-2】已知函數(shù)，．若，，使成立，則實數(shù)的取值范圍為．【答案】【解析】的定義域為，則，當時，∵，∴，∴當時，；當時，．故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，因為所以，∵，∴，∴在上為增函數(shù)．∴，依題意有，∴，∴，故答案為：．【方法技巧】在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價轉化的思想其轉化為函數(shù)的最值或值域問題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項構造輔助函數(shù)．【變式7-1】函數(shù)對任意成立，則的最小值為（

）A．4 B．3 C． D．2【答案】D【解析】由函數(shù)，可得，且，若時，恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以存在，使得時，，不符合題意，則有，當時，；當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，則，令，可得，當時，；當時，，所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，所以的最小值為.故選：D.【變式7-2】（2024·山東泰安·二模）已知函數(shù).(1)若的極大值為，求的值；(2)當時，若使得，求的取值范圍.【解析】（1）因為函數(shù)，可得，因為，令，解得或，當時，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以的極大值為，不符合題意；當時，即時，，在上單調(diào)遞增，無極大值；當時，即時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以極大值為，解得.（2）當時，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當時，，當時，當時，即時，當時，單調(diào)遞增，，又因為當時，，因為，所以，當時，使得，當時，即時，當時，單調(diào)遞增，，當時，若滿足題意，只需，即，當時，即時，當時，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增所以函數(shù)的最小值為，所以，又因為時，，若滿足題意，只需，即，因為，所以，所以，當時，不存在使得，綜上，實數(shù)的取值范圍為.【變式7-3】（2024·高三·陜西商洛·期中）已知函數(shù)，，若成立，則的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【解析】不妨設，則，，則．令，則，記，則所以在上單調(diào)遞增，由，可得，所以當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以．故選：A1．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）（多選題）設函數(shù)，則（

）A．當時，有三個零點B．當時，是的極大值點C．存在a，b，使得為曲線的對稱軸D．存在a，使得點為曲線的對稱中心【答案】AD【解析】A選項，，由于，故時，故在上單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，則在處取到極大值，在處取到極小值，由，，則，根據(jù)零點存在定理在上有一個零點，又，，則，則在上各有一個零點，于是時，有三個零點，A選項正確；B選項，，時，，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增，此時在處取到極小值，B選項錯誤；C選項，假設存在這樣的，使得為的對稱軸，即存在這樣的使得，即，根據(jù)二項式定理，等式右邊展開式含有的項為，于是等式左右兩邊的系數(shù)都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在這樣的，使得為的對稱軸，C選項錯誤；D選項，方法一：利用對稱中心的表達式化簡，若存在這樣的，使得為的對稱中心，則，事實上，，于是即，解得，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.方法二：直接利用拐點結論任何三次函數(shù)都有對稱中心，對稱中心的橫坐標是二階導數(shù)的零點，，，，由，于是該三次函數(shù)的對稱中心為，由題意也是對稱中心，故，即存在使得是的對稱中心，D選項正確.故選：AD2．（多選題）（2024年新課標全國Ⅰ卷數(shù)學真題）設函數(shù)，則（

）A．是的極小值點 B．當時，C．當時， D．當時，【答案】ACD【解析】對A，因為函數(shù)的定義域為R，而，易知當時，，當或時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是函數(shù)的極小值點，正確；對B，當時，，所以，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，錯誤；對C，當時，，而由上可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即，正確；對D，當時，，所以，正確；故選：ACD.3．（2022年高考全國乙卷數(shù)學（文）真題）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D4．（2022年高考全國甲卷數(shù)學（理）真題）當時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【解析】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.5．（多選題）（2023年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）若函數(shù)既有極大值也有極小值，則（

）．A． B． C． D．【答案】BCD【解析】函數(shù)的定義域為，求導得，因為函數(shù)既有極大值也有極小值，則函數(shù)在上有兩個變號零點，而，因