2025年高考數(shù)學一輪復習 講練測第07講 函數(shù)與方程（十一大題型）（講義）（含解析）

第07講函數(shù)與方程目錄TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透視·目標導航 202知識導圖·思維引航 303考點突破·題型探究 4知識點1：函數(shù)的零點與方程的解 4知識點2：二分法 5解題方法總結(jié) 6題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間 6題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍 9題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題 12題型四：嵌套函數(shù)的零點問題 17題型五：函數(shù)的對稱問題 21題型六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型 24題型七：唯一零點求值問題 27題型八：分段函數(shù)的零點問題 30題型九：零點嵌套問題 34題型十：等高線問題 38題型十一：二分法 4304真題練習·命題洞見 4505課本典例·高考素材 5206易錯分析·答題模板 54易錯點：不理解函數(shù)圖象與方程根的聯(lián)系 54答題模板：數(shù)形結(jié)合法解決零點問題 56

考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）零點存在性定理（2）二分法2024年II卷第6題，5分2024年天津卷第15題，5分2024年甲卷第14題，5分2023年天津卷第15題，5分2022年天津卷第15題，5分2021年天津卷第9題，5分2021年北京卷第15題，5分從近幾年高考命題來看，高考對函數(shù)與方程也經(jīng)常以不同的方式進行考查，比如：函數(shù)零點的個數(shù)問題、位置問題、近似解問題，以選擇題、填空題、解答題等形式出現(xiàn)在試卷中的不同位置，且考查得較為靈活、深刻，值得廣大師生關(guān)注．復習目標：（1）理解函數(shù)的零點與方程的解的聯(lián)系.（2）理解函數(shù)零點存在定理，并能簡單應(yīng)用.（3）了解用二分法求方程的近似解．

知識點1：函數(shù)的零點與方程的解1、函數(shù)零點的概念對于函數(shù)，我們把使的實數(shù)叫做函數(shù)的零點.2、方程的根與函數(shù)零點的關(guān)系方程有實數(shù)根函數(shù)的圖像與軸有公共點函數(shù)有零點.3、零點存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖像是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，即存在，使得也就是方程的根.【診斷自測】已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)且滿足，當時，，則函數(shù)的零點個數(shù)為.【答案】4【解析】因為函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)且滿足，所以，所以，所以函數(shù)的周期為2.由可得，所以函數(shù)的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像與的圖像交點個數(shù)，對于的定義域為，因為，所以為偶函數(shù)，所以畫出和在軸右側(cè)的圖像如圖所示，有2個交點，又和都是偶函數(shù)，所以軸左邊也有2個交點，綜上所述，的圖像與的圖像交點個數(shù)為4，即的零點個數(shù)為4.故答案為：4.知識點2：二分法1、二分法的概念對于區(qū)間上連續(xù)不斷且的函數(shù)，通過不斷地把函數(shù)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值.2、用二分法求函數(shù)零點近似值的步驟（1）確定區(qū)間，驗證，給定精度.（2）求區(qū)間的中點.（3）計算.若則就是函數(shù)的零點；若，則令（此時零點）.若，則令（此時零點）（4）判斷是否達到精確度，即若，則函數(shù)零點的近似值為（或）；否則重復第（2）~（4）步.用二分法求方程近似解的計算量較大，因此往往借助計算完成.【診斷自測】用二分法研究函數(shù)的零點時，第一次經(jīng)過計算得，，則其中一個零點所在區(qū)間和第二次應(yīng)計算的函數(shù)值分別為（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】因為，由零點存在性知：零點，根據(jù)二分法，第二次應(yīng)計算，即，故選：D.解題方法總結(jié)函數(shù)的零點相關(guān)技巧：①若連續(xù)不斷的函數(shù)在定義域上是單調(diào)函數(shù)，則至多有一個零點.②連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰的兩個零點之間的所有函數(shù)值同號.③連續(xù)不斷的函數(shù)通過零點時，函數(shù)值不一定變號.④連續(xù)不斷的函數(shù)在閉區(qū)間上有零點，不一定能推出.題型一：求函數(shù)的零點或零點所在區(qū)間【典例1-1】已知函數(shù)則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】當時，由，得或0（舍去）；當時，由解得或.故共有3個零點.故選：C.【典例1-2】函數(shù)的一個零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因為的定義域為，且在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)的唯一一個零點所在的區(qū)間是.故選：B.【方法技巧】求函數(shù)零點的方法：（1）代數(shù)法，即求方程的實根，適合于宜因式分解的多項式；（2）幾何法，即利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)找出零點，適合于宜作圖的基本初等函數(shù).【變式1-1】定義在上的單調(diào)函數(shù)滿足：，則方程的解所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題設(shè)為定值，且，所以，則，易知，故，由，則，顯然在第一象限有一個交點，又在上分別單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，由，，，故方程解在上.故選：C【變式1-2】已知函數(shù)，，的零點分別為a，b，c，則．【答案】3【解析】如圖，在平面直角坐標系中，作函數(shù)，，的圖象，它們的圖象與函數(shù)的交點的橫坐標就是.因為，互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，與垂直，所以.又，所以.所以.故答案為：3【變式1-3】（2024·高三·山西太原·期中）已知是函數(shù)的零點，則.【答案】【解析】由題可知，，所以，令,則單調(diào)遞增，且,所以，所以，所以.故答案為：【變式1-4】（2024·四川成都·模擬預測）已知函數(shù)，，則函數(shù)的零點是．【答案】和和【解析】由于，故，令，則或或（舍去），又因為，所以或或，故函數(shù)的零點是和和，故答案為：和和【變式1-5】設(shè)是函數(shù)的一個零點，若且，則下列結(jié)論一定錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由，定義域為，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又因為為的零點，所以，所以當，.對A：當，可知，所以，只有時，從而滿足題意，故A不一定錯誤；對B：當，則，，從而滿足題意，故B一定正確；對C：當，則，不滿足題意，故C一定錯誤；對D：當，則，滿足題意，故D一定正確；綜上所述：故C正確.故選：C.題型二：利用函數(shù)的零點確定參數(shù)的取值范圍【典例2-1】（2024·高三·浙江紹興·期末）已知命題：函數(shù)在內(nèi)有零點，則命題成立的一個必要不充分條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，由函數(shù)在內(nèi)有零點，得，解得，即命題成立的充要條件是，顯然成立，不等式、、都不一定成立，而成立，不等式恒成立，反之，當時，不一定成立，所以命題成立的一個必要不充分條件是.故選：D【典例2-2】（2024·四川巴中·一模）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，則實數(shù)a的取值集合為（

）A． B．或.C． D．或.【答案】D【解析】由函數(shù)，若，可得，令，即，解得，符合題意；若，令，即，可得，當時，即，解得，此時，解得，符合題意；當時，即且，則滿足，解得且，若，可得，令，即，解得或，其中，符合題意；若，可得，令，即，解得或，其中，符合題意；綜上可得，實數(shù)的取值范圍為或.故選：D.【方法技巧】本類問題應(yīng)細致觀察、分析圖像，利用函數(shù)的零點及其他相關(guān)性質(zhì)，建立參數(shù)的等量關(guān)系，列關(guān)于參數(shù)的不等式，解不等式，從而解決.【變式2-1】（2024·山西陽泉·三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點．則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為函數(shù)在區(qū)間存在零點，所以，即，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：B.【變式2-2】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則的最小值為（

）A． B．e C． D．【答案】D【解析】設(shè)零點為t，則，因此，考慮函數(shù)，其導函數(shù)，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而的最小值為．故選：D.【變式2-3】若方程在區(qū)間上有解，其中，則實數(shù)的取值范圍為．（結(jié)果用表示）【答案】【解析】因為方程，即在區(qū)間上有解，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間上有交點．因為，所以，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當時，在區(qū)間上，，，則，解得．當時，因為，，．令，解得，又，所以，則，解得，綜上，實數(shù)的取值范圍為．故答案為：．題型三：方程根的個數(shù)與函數(shù)零點的存在性問題【典例3-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數(shù)的圖像經(jīng)過四個象限，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】的圖像經(jīng)過四個象限，，且當，，令，在和上均至少存在一個實根．又,．實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【典例3-2】設(shè)函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，對任意，都有，且當時，，若函數(shù)（其中）恰有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍為.【答案】【解析】∵，則函數(shù)關(guān)于直線對稱，又∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則，即，則，故函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，又∵，即，故函數(shù)關(guān)于點對稱，令，則，原題等價于與有3個交點，且的定義域為，如圖所示，則可得，解得，故答案為：【方法技巧】方程的根或函數(shù)零點的存在性問題，可以依據(jù)區(qū)間端點處函數(shù)值的正負來確定，但是要確定函數(shù)零點的個數(shù)還需要進一步研究函數(shù)在這個區(qū)間的單調(diào)性，若在給定區(qū)間上是單調(diào)的，則至多有一個零點；如果不是單調(diào)的，可繼續(xù)分出小的區(qū)間，再類似做出判斷.【變式3-1】（2024·河南·二模）已知函數(shù)是偶函數(shù)，對任意，均有，當時，，則函數(shù)的零點有個.【答案】4【解析】函數(shù)是偶函數(shù)，說明函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，說明的周期是2，在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象與的圖象，如圖所示：如圖所示，共有4個不同的交點，即有4個零點.故答案為：4.【變式3-2】已知函數(shù)的四個零點是以0為首項的等差數(shù)列，則.【答案】或【解析】因為，所以，所以關(guān)于直線對稱，令得或，由題意這兩個方程各有兩個根，且四個根是以0為首項的等差數(shù)列，①若0為的根，則另一個根為6，則，又關(guān)于直線對稱，且四個根是以0為首項的等差數(shù)列，所以等差數(shù)列的公差為，所以的兩根為，所以，所以，所以；②若0為的根，則另一個根為6，則即，又關(guān)于直線對稱，且四個根是以0為首項的等差數(shù)列，所以等差數(shù)列的公差為，所以的兩根為，所以，所以.綜上，或.故答案為：或【變式3-3】（2024·全國·模擬預測）若函數(shù)有三個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】令，得；設(shè)，則方程，即，易知，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得，易知當時，，當時，，且當趨近于時，趨近于0，當趨近于時，趨近于，作出的大致圖象如圖所示．數(shù)形結(jié)合可得，且方程在上有兩個不同的實數(shù)根．解法一：由，得或．當時，，此時方程在上至多有一個實數(shù)根，不合題意，當時，設(shè)方程在上的兩個實數(shù)根分別為，則，所以需，得，故實數(shù)的取值范圍是．解法二：設(shè)方程的兩個不同的實數(shù)根分別為，則，或，．①當，時，由，得，則在上有兩個不同的實數(shù)根，即在上有兩個不同的實數(shù)根，由，得或，與，矛盾．②當，時，若方程在上有兩個不同的實數(shù)根，則，解得．故答案為：【變式3-4】（2024·陜西商洛·模擬預測）已知關(guān)于的方程且有兩個不等實根，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】關(guān)于的方程且有兩個不等實根，即關(guān)于的方程且有兩個不等實根，即函數(shù)與且函數(shù)的圖象有兩個交點，由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象可知，當時，函數(shù)與且函數(shù)的圖象有且只有1個交點，，聯(lián)立，得.令，則，且在上單調(diào)遞增，，即，即，令，當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，又當時，，且，若要，則需要，畫出大致圖象如圖所示，由圖知，，解得.故選：A.題型四：嵌套函數(shù)的零點問題【典例4-1】設(shè)函數(shù)，若方程有6個不同的實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】畫出的圖象如下圖所示，由圖可知要使有個解，則需，依題意，方程有6個不同的實數(shù)解，令，則有兩個不相等的實數(shù)根，且，令，則，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.故選：B【典例4-2】（2024·高三·河南·期末）已知函數(shù)，若方程有三個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由函數(shù)，可得，當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)，當時，，且，畫出函數(shù)的圖象，如圖所示，令，要使得有三個不同的實數(shù)解，則有兩個不同的實數(shù)根和，且或，若且時，此時無解；若且時，令，只需要，解得.故選：C.【方法技巧】2、二次函數(shù)作為外函數(shù)可以通過參變分離減少運算，但是前提就是函數(shù)的基本功一定要扎實、過關(guān).【變式4-1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·二模）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程恰有3個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，令，得，當時，，遞增；當時，，遞減；所以當時，取得極大值，圖象如圖所示：方程，即為，解得或，由函數(shù)的圖象知：只有一個解，所以有兩個解，所以，解得，故選：A【變式4-2】已知函數(shù)若方程有5個不同的實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的大致圖象如圖所示，令，則可化為，因為方程有5個不同的實數(shù)解，所以在上各有一個實數(shù)解或的一個解為，另一個解在內(nèi)或的一個解為，另一個解在內(nèi).當在上各有一個實數(shù)解時，設(shè)，則解得；當?shù)囊粋€解為時，，此時方程的另一個解為，不在內(nèi)，不滿足題意；當?shù)囊粋€解為時，，此時方程有兩個相等的根，不滿足題意.綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.故選：A【變式4-3】（2024·高三·上?！て谥校┮阎瘮?shù)，，下列四個結(jié)論中，正確的結(jié)論有（

）①方程有2個不同的實數(shù)解；②方程有2個不同的實數(shù)解；③方程有且只有1個實數(shù)解；④當時，方程有2個不同的實數(shù)解.A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】C【解析】對于①，，則，又，所以，所以，所以，所以方程有2個不同的實數(shù)解，正確；對于②，，則，又，所以，無解，所以方程無解，錯誤；對于③，，則，又，所以，所以，所以，所以方程有且只有1個實數(shù)解，正確；對于④，，則，又，所以，所以當時，，方程無解，當時，，方程的解為，當時，方程的解為，所以當時，方程至多有2個不同的實數(shù)解，錯誤；故選：C題型五：函數(shù)的對稱問題【典例5-1】已知函數(shù)，若的圖象上存在兩個點關(guān)于原點對稱，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由函數(shù)解析式可得，函數(shù)圖象如下圖示，如圖，要使的圖象上存在兩個點關(guān)于原點對稱，只需，即即可.故選：D【典例5-2】（2024·云南昭通·模擬預測）已知函數(shù)，若函數(shù)圖象上存在點且圖象上存在點，使得點和點關(guān)于坐標原點對稱，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，則點在的圖象上，，即.令，則，令，則，此時遞增，令，則，此時遞減，最小值為.故選：A.【方法技巧】轉(zhuǎn)化為零點問題【變式5-1】（2024·四川內(nèi)江·一模）已知函數(shù)，，，若與的圖象上分別存在點?，使得?關(guān)于直線對稱，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由于關(guān)于點的坐標之間的關(guān)系得函數(shù)關(guān)于對稱的函數(shù)為，進而將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)圖象在區(qū)間有交點，即方程在區(qū)間上有解，故，進而得.設(shè)是函數(shù)的圖象上的任意一點，其關(guān)于對稱的點的坐標為，所以，所以函數(shù)關(guān)于對稱的函數(shù)為.由于與的圖象上分別存在點?，使得?關(guān)于直線對稱，故函數(shù)與函數(shù)圖象在區(qū)間有交點，所以方程在區(qū)間上有解，所以，即，所以.故選：C.【變式5-2】（2024·四川·三模）定義在R上的函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，且函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)圖象的對稱中心是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為為奇函數(shù)，所以，即，故的對稱中心為，即，由于函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，且關(guān)于的對稱點為，故的對稱中心為.故選：D【變式5-3】（2024·河北邯鄲·二模）若直角坐標平面內(nèi)兩點滿足條件：①點都在的圖像上；②點關(guān)于原點對稱，則對稱點對是函數(shù)的一個“兄弟點對”（點對與可看作一個“兄弟點對”．已知函數(shù)，則的“兄弟點對”的個數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】設(shè)，則點關(guān)于原點的對稱點為，于是，，只需判斷方程根的個數(shù)，即與圖像的交點個數(shù)，因為，；，；，；作出兩函數(shù)的圖象，由圖知，與的圖象有5個交點，所以的“兄弟點對”的個數(shù)為5個．故選：D．題型六：函數(shù)的零點問題之分段分析法模型【典例6-1】（2024·黑龍江·高三大慶市東風中學?？计谥校┰O(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】令,則，設(shè)，令，，則，發(fā)現(xiàn)函數(shù)在上都是單調(diào)遞增，在上都是單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當時，得，所以函數(shù)至少存在一個零點需滿足，即．應(yīng)選答案D．【典例6-2】（2024·福建廈門·廈門外國語學校?？家荒＃┤糁辽俅嬖谝粋€，使得方程成立．則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】原方程化簡得:有解,令,,當時,,所以f(x)在單調(diào)遞減,當x<e時,,所以f(x)在單調(diào)遞增..所以.選B.【方法技巧】分類討論數(shù)學思想方法【變式6-1】設(shè)函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），若函數(shù)至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意得，函數(shù)至少存在一個零點，且，可構(gòu)造函數(shù)和，因為，開口向上，對稱軸為，所以為單調(diào)遞減，為單調(diào)遞增；而，則，由于，所以為單調(diào)遞減，為單調(diào)遞增；可知函數(shù)及均在處取最小值，所以在處取最小值，又因為函數(shù)至少存在一個零點，只需即可，即：解得：.故選：D.【變式6-2】已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）至少存在一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】令，即令，則函數(shù)與函數(shù)的圖象至少有一個交點易知，函數(shù)表示開口向上，對稱軸為的二次函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，作出函數(shù)與函數(shù)的草圖，如下圖所示由圖可知，要使得函數(shù)與函數(shù)的圖象至少有一個交點只需，即解得：故選：B題型七：唯一零點求值問題【典例7-1】（2024·安徽蕪湖·二模）在數(shù)列中，為其前n項和，首項，且函數(shù)的導函數(shù)有唯一零點，則=（

）A．26 B．63 C．57 D．25【答案】C【解析】因為，所以，由題意可知：有唯一零點.令，可知為偶函數(shù)且有唯一零點，則此零點只能為0，即，代入化簡可得：，又，所以，，，，所以.故選：C【典例7-2】（2024·貴州畢節(jié)·模擬預測）若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)（

）A．2 B． C．4 D．1【答案】A【解析】由，得，即函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，要使函數(shù)有唯一的零點，則，即，得．故選：A．【方法技巧】利用函數(shù)零點的情況求參數(shù)的值或取值范圍的方法：（1）利用零點存在性定理構(gòu)建不等式求解.（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域(最值)問題求解.（3）轉(zhuǎn)化為兩個熟悉的函數(shù)圖像的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解.【變式7-1】在數(shù)列中，，且函數(shù)的導函數(shù)有唯一零點，則的值為（

）．A．1021 B．1022 C．1023 D．1024【答案】A【解析】由在上有唯一零點，而，所以為偶函數(shù)，則，故，且，所以是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則，則.故選：A【變式7-2】（2024·遼寧沈陽·模擬預測）已知函數(shù)分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則正實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知條件可知由函數(shù)奇偶性易知令，為偶函數(shù).當時，，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，僅有一個極小值點圖象右移一個單位，所以僅在處有極小值，則函數(shù)只有一個零點，即，解得，故選：A【變式7-3】（2024·江西·二模）已知函數(shù)，分別是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且，若函數(shù)有唯一零點，則實數(shù)的值為（

）A．或 B．或 C． D．【答案】D【解析】已知，①且，分別是上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則，得：，②①+②得：∴令∵有唯一零點，且是偶函數(shù)，所以，∴∴或若時，則當時，則令解得，∴（不合題意舍去）若時，則∵在上單調(diào)遞減∴∵是偶函數(shù)∴只有唯一零點0∴只有唯一零點2023綜上：.故選：D.題型八：分段函數(shù)的零點問題【典例8-1】已知函數(shù)，若實數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．0或1 B．1或2 C．1或3 D．2或3【答案】D【解析】函數(shù)的零點個數(shù)即函數(shù)與的函數(shù)圖象交點個數(shù)問題，畫出的圖象與，的圖象，如下：故函數(shù)的零點個數(shù)為2或3.故選：D【典例8-2】（2024·北京西城·一模）設(shè)，函數(shù)若恰有一個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】畫出函數(shù)的圖象如下圖所示：函數(shù)可由分段平移得到，易知當時，函數(shù)恰有一個零點，滿足題意；當時，代表圖象往上平移，顯然沒有零點，不符合題意；當時，圖象往下平移，當時，函數(shù)有兩個零點；當時，恰有一個零點，滿足題意，即；綜上可得的取值范圍是.故選：D【方法技巧】已知函數(shù)零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.【變式8-1】已知函數(shù)若函數(shù)有3個零點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】要使函數(shù)有三個零點，則有三個不相等的實根，即與的圖象有三個交點，當時，在上單調(diào)遞減，；當時，在上單調(diào)遞增，；當時，在上單調(diào)遞增，；由與的圖象有三個交點，結(jié)合函數(shù)圖象可得，故選：A.【變式8-2】（2024·高三·北京通州·期末）已知函數(shù)（1）若，則的零點是.（2）若無零點，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】（1）若，則，令可得，即的零點是（2）若無零點,則如圖所示

當此時，應(yīng)有，當如圖所示，

此時應(yīng)有，綜上可得.【變式8-3】（2024·山西·模擬預測）已知函數(shù)若函數(shù)有三個零點，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)當時，方程．可得．解得，函數(shù)有一個零點，則當時，函數(shù)有兩個零點，即，在時有兩個解．設(shè)，其開口向上，對稱軸為：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，且，解得．故選：C．【變式8-4】已知函數(shù)，令，則下列說法正確的（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為B．當時，有3個零點C．當時，的所有零點之和為D．當時，有1個零點【答案】D【解析】的圖像如下：由圖像可知，的增區(qū)間為，故A錯誤當時，如圖當時，與有3個交點，當時，與有2個交點，當時，與有1個交點，所以當時與有3個交點或2個交點或1個交點，即有3個零點或2個零點或1個零點，故B不正確；當時，由可得，由可得所以的所有零點之和為，故C錯誤；當時，由B選項可知：與有1個交點，即有1個零點，故D正確；故選：D題型九：零點嵌套問題【典例9-1】設(shè)定義在R上的函數(shù)滿足有三個不同的零點且則的值是（

）A．81 B．-81 C．9 D．-9【答案】A【解析】由有三個不同的零點知：有三個不同的實根，即有三個不同實根，若，則，整理得，若方程的兩根為，∴，而，∴當時，即在上單調(diào)遞減；當時，即在上單調(diào)遞增；即當時有極小值為，又，有，即.∵方程最多只有兩個不同根，∴，即，，∴.故選：A【典例9-2】若關(guān)于的方程恰有三個不同的實數(shù)解，，，且，其中，則的值為（

）A．-6 B．-4 C．-3 D．-2【答案】A【解析】依題意可知，由整理得①，即關(guān)于的方程恰有三個不同的實數(shù)解，，，且，令，則或，則①轉(zhuǎn)化為，即，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知是方程的一個根，所以，所以，解得或，所以是方程的根，即的根，所以，所以.故選：A【方法技巧】解決函數(shù)零點問題，常常利用數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學思想.【變式9-1】已知函數(shù)有三個不同的零點，且，則的值為（

）A．3 B．6 C．9 D．36【答案】D【解析】因為，所以，因為，所以有三個不同的零點，令，則，所以當時，當時，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，當時，令，則必有兩個根、，不妨令、，且，，即必有一解，有兩解、，且，故故選：D【變式9-2】已知函數(shù)有三個不同的零點，且，則的值為（

）A．3 B．4 C．9 D．16【答案】C【解析】，，有三個不同的零點.令，在遞增，在上遞減，.時，.令，必有兩個根，，且，有一解，有兩解，且，故.故選：C【變式9-3】（2024·四川成都·一模）已知函數(shù)有三個零點、、且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，得，整理得，令，原方程化為，設(shè)，則，令，解得，且，當時，，則單調(diào)遞增，當時，，則單調(diào)遞減，則在時，有最大值為，則當時，有一個解，當時，有兩個解，當時，有一個解，當時，無解，因為原方程為，由題可知有三個零點，因此方程有兩個不等實根、，設(shè)，則有，，若，則，故舍去，若，則，，有，即有，，代入得，矛盾，故舍去，若則，，，設(shè)，則，得到，所以.故選：D.題型十：等高線問題【典例10-1】已知函數(shù)，若方程恰有四個不同的實數(shù)解，分別記為，，，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，所以如下圖示，要使恰有四個不同的實數(shù)解，則，不妨設(shè)，由圖知：，且，即，令，可得或，令，可得或，所以，而在上遞減，故，綜上，.故選：A【典例10-2】已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)解，，，，且，則的最小值為（

）A． B．8 C． D．【答案】D【解析】函數(shù)圖像如圖所示，，，，，由，∴，當且僅當時，等號成立，此時；，當且僅當時等號成立，此時.所以的最小值為.故選：D【方法技巧】數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想方法【變式10-1】已知函數(shù)，若有四個不同的解且，則的取值范圍是．【答案】【解析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)圖象，如圖所示，易知，所以，則，而由二次函數(shù)對稱性可知，，所以，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，，所以.故答案為：.【變式10-2】（2024·陜西咸陽·模擬預測）已知函數(shù)，若方程有四個根，且，則下列說法錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸為直線，當時，在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，當時，在上遞減，函數(shù)值集合為，在上遞增，函數(shù)值集合為，方程的根是直線與函數(shù)圖象交點的橫坐標，方程有四個根，即直線與函數(shù)圖象有4個交點，在同一坐標系內(nèi)作出直線與函數(shù)的圖象，如圖，觀察圖象知，，，AD正確；顯然，而，則，即，，，B正確；顯然，，C錯誤.故選：C【變式10-3】（2024·陜西商洛·一模）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有3個實數(shù)解，且則的最小值是（

）A．8 B．11 C．13 D．16【答案】C【解析】由函數(shù)，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，由圖可知，則，因為，所以，設(shè)函數(shù)，則，當時，；當時，，所以，即的最小值是.故選：C.【變式10-4】（2024·陜西渭南·一模）已知，若存在實數(shù)（），當（）時，滿足，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】作出的圖象如圖，由題，，，所以，令（），則當時，；當時，.，當時，，在上單調(diào)遞減；當時，，在上單調(diào)遞增.所以，且，所以的取值范圍為.故選：D.題型十一：二分法【典例11-1】（2024·遼寧大連·一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對于非線性可導函數(shù)在附近一點的函數(shù)值可用代替，該函數(shù)零點更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個方法，解方程，選取初始值，在下面四個選項中最佳近似解為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，則，令，即，可得，迭代關(guān)系為，取，則，，故選：D.【典例11-2】（2024·廣東梅州·二模）用二分法求方程近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，，所以函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點，所以用二分法求方程近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是.故選：B.【方法技巧】所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點的近似值的方法叫做二分法.求方程的近似解就是求函數(shù)零點的近似值.【變式11-1】以下每個圖象表示的函數(shù)都有零點，但不能用二分法求函數(shù)零點的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】根據(jù)二分法的思想，函數(shù)在區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，且，即函數(shù)的零點是變號零點，才能將區(qū)間一分為二，逐步得到零點的近似值．對各選項的函數(shù)圖象分析可知，A，B，D都符合條件，而選項C不符合，因為圖象經(jīng)過零點時函數(shù)值的符號沒有發(fā)生變化，因此不能用二分法求函數(shù)零點．故選：C.【變式11-2】用二分法求函數(shù)在區(qū)間上的零點，要求精確度為時，所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【解析】因為開區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)這一次操作，區(qū)間長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，所以?jīng)過次操作后，區(qū)間長度變?yōu)?，令，解得，且，故所需二分區(qū)間的次數(shù)最少為7.故選：C.【變式11-3】一塊電路板的線段之間有個串聯(lián)的焊接點，知道電路不通的原因是焊口脫落造成的，要想用二分法的思想檢測出哪處焊口脫落，至少需要檢測（）A．次 B．次C．次 D．次【答案】B【解析】利用二分法檢測，每次取中點，焊接點數(shù)減半，不妨設(shè)需要次檢測，則，即，因為，故的最小值為，即至少需要檢測次.故選：B.1．（2024年新課標全國Ⅱ卷數(shù)學真題）設(shè)函數(shù)，，當時，曲線與恰有一個交點，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】解法一：令，即，可得，令，原題意等價于當時，曲線與恰有一個交點，注意到均為偶函數(shù)，可知該交點只能在y軸上，可得，即，解得，若，令，可得因為，則，當且僅當時，等號成立，可得，當且僅當時，等號成立，則方程有且僅有一個實根0，即曲線與恰有一個交點，所以符合題意；綜上所述：.解法二：令，原題意等價于有且僅有一個零點，因為，則為偶函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知的零點只能為0，即，解得，若，則，又因為當且僅當時，等號成立，可得，當且僅當時，等號成立，即有且僅有一個零點0，所以符合題意；故選：D.2．（2024年天津高考數(shù)學真題）若函數(shù)恰有一個零點，則的取值范圍為．【答案】【解析】令，即，由題可得，當時，，有，則，不符合要求，舍去；當時，則，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點，由，可得或，當時，則，則，即，整理得，當時，即，即，當，或（正值舍去），當時，或，有兩解，舍去，即當時，在時有唯一解，則當時，在時需無解，當，且時，由函數(shù)關(guān)于對稱，令，可得或，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，令，即，故時，圖象為雙曲線右支的軸上方部分向右平移所得，由的漸近線方程為，即部分的漸近線方程為，其斜率為，又，即在時的斜率，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞增，故有，解得，故符合要求；當時，則，即函數(shù)與函數(shù)有唯一交點，由，可得或，當時，則，則，即，整理得，當時，即，即，當，（負值舍去）或，當時，或，有兩解，舍去，即當時，在時有唯一解，則當時，在時需無解，當，且時，由函數(shù)關(guān)于對稱，令，可得或，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，同理可得：時，圖象為雙曲線左支的軸上方部分向左平移所得，部分的漸近線方程為，其斜率為，又，即在時的斜率，令，可得或（舍去），且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故有，解得，故符合要求；綜上所述，.故答案為：.3．（2022年新高考天津數(shù)學高考真題）設(shè)，對任意實數(shù)x，記．若至少有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】設(shè)，，由可得.要使得函數(shù)至少有個零點，則函數(shù)至少有一個零點，則，解得或.①當時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：此時函數(shù)只有兩個零點，不合乎題意；②當時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，要使得函數(shù)至少有個零點，則，所以，，解得；③當時，，作出函數(shù)、的圖象如下圖所示：由圖可知，函數(shù)的零點個數(shù)為，合乎題意；④當時，設(shè)函數(shù)的兩個零點分別為、，要使得函數(shù)至少有個零點，則，可得，解得，此時.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.4．（2022年新高考北京數(shù)學高考真題）若函數(shù)的一個零點為，則；．【答案】1【解析】∵，∴∴故答案為：1，5．（2023年天津高考數(shù)學真題）設(shè),函數(shù),若恰有兩個零點，則的取值范圍為．【答案】【解析】（1）當時，，即，若時，，此時成立；若時，或，若方程有一根為，則，即且；若方程有一根為，則，解得：且；若時，，此時成立．（2）當時，，即，若時，，顯然不成立；若時，或，若方程有一根為，則，即；若方程有一根為，則，解得：；若時，，顯然不成立；綜上，當時，零點為，；當時，零點為，；當時，只有一個零點；當時，零點為，；當時，只有一個零點；當時，零點為，；當時，零點為．所以，當函數(shù)有兩個零點時，且．故答案為：．1．已知函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲