2025年高考數(shù)學一輪復習講義 考點歸納與方法總結 第05講 一元二次不等式及其應用（精講）（含解析）

2025年高考數(shù)學一輪復習講義及高頻考點歸納與方法總結（新高考通用）第05講一元二次不等式及其應用（精講）①不含參數(shù)的一元二次不等式的解法②含參數(shù)的一元二次不等式的解法③一元二次不等式中的恒成立和有解問題④一元二次不等式中的參數(shù)和方程根的分布問題⑤分式不等式與絕對值不等式的解法一、必備知識整合一、必備知識整合1.一元二次不等式一元二次不等式，其中，是方程的兩個根，且（1）當時，二次函數(shù)圖象開口向上.（2）=1\*GB3①若，解集為.=2\*GB3②若，解集為.=3\*GB3③若，解集為.(2)當時，二次函數(shù)圖象開口向下.=1\*GB3①若，解集為=2\*GB3②若，解集為2.分式不等式（1）（2）（3）（4）3.絕對值不等式（1）（2）；；（3）含有兩個或兩個以上絕對值符號的不等式，可用零點分段法和圖象法求解1.已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為，即關于的不等式的解集為．已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為．2.已知關于的不等式的解集為（其中），解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為．3.已知關于的不等式的解集為，解關于的不等式．由的解集為，得:的解集為即關于的不等式的解集為，以此類推．4.已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；5.已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；6.已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足；7.已知關于的一元二次不等式的解集為，則一定滿足．二、考點分類精講二、考點分類精講【題型一不含參數(shù)的一元二次不等式的解法】解一元二次不等式的四個步驟【典例1】（單選題）（2024·全國·模擬預測）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】解一元二次不等式可得集合，求得，同理求得集合，可求.【詳解】由，得，解得或，則，所以．由，得，解得，則．所以．故選：C．一、單選題1．（2024·黑龍江·二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題解出一元二次不等式，再取解集范圍內的自然數(shù)，從而求得B集合的解集，再求其與集合A的交集即可得出結果.【詳解】，又，.故選：B2．（23-24高三下·湖北武漢·階段練習）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求解集合,再利用交集運算進行求解.【詳解】，，所以.故選：B3．（2024高三下·全國·專題練習）已知集合，，，則=（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】化簡結合，結合集合的運算律求結論.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以函數(shù)值域為，所以，不等式的解集為或，所以或，∴或，則．故選：B．二、填空題4．（2024·全國·模擬預測）已知集合，，則.【答案】【分析】根據(jù)題意解一元二次不等式可求得集合，再利用交集運算可得答案.【詳解】由題知，或，于是.故答案為：5．（2024·河南南陽·模擬預測）已知集合，則中的元素個數(shù)為.【答案】3【分析】求解一元二次不等式解得集合，再求，即可求得其元素個數(shù).【詳解】由，得，所以，，故中的元素共有3個.故答案為：.6．（2024·湖南·二模）已知集合，若集合恰有兩個元素，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】解二次不等式化簡集合，再利用二次不等式解的形式與交集的結果即可得解.【詳解】因為，，又集合恰有兩個元素，所以恰有兩個元素1和2，所以.故答案為：.三、解答題7．（22-23高一·江蘇·假期作業(yè)）解下列不等式：(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)或(3)【分析】（1）因式分解可得結果；（2）配方法可得結果；（3）配方法可得結果.【詳解】（1）由，得，得，所以不等式的解集為.（2）由得，得，得，得或，即或，所以原不等式的解集為或.（3）由得，所以.所以原不等式的解集為.8．（2023高三·全國·專題練習）解下列不等式：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)．【分析】（1）（2）根據(jù)三個“二次”的關系解一元二次不等式即可；（3）轉化寫出不等式的等價形式，再根據(jù)一元二次不等式的解法計算可得.【詳解】（1）原不等式等價于，，解方程，得，，作出函數(shù)的圖象，如圖①所示，由圖可得，原不等式的解集為．（2）∵，∴方程有兩個相等的實數(shù)根，即，作出函數(shù)的圖象，如圖②所示，由圖可得原不等式的解集為．（3）原不等式可化為，∵，∴方程無實數(shù)根，∴原不等式的解集為．【題型二含參數(shù)的一元二次不等式的解法】解含參不等式的分類討論依據(jù)【典例1】（23-24高三上·福建莆田·階段練習）解關于的不等式：.【答案】答案見詳解【分析】討論時，分別解出不等式即可.【詳解】若，不等式化為，解得；不等式的解集為；若，則不等式化為，且時，，①若，則若，即時，原不等式的解集為；若，即時，原不等式的解集為；若，即時，原不等式的解集為；②若，則，且不等式變化為，解得或，原不等式的解集；綜上所述，當時，不等式的解集為；當，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；一、單選題1．（23-24高三上·貴州貴陽·期中）已知集合，，若，則的一個值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】觀察選項，根據(jù)集合運算的定義判斷即可．【詳解】不等式整理得，觀察選項當時，不等式解得，所以，，則都可以）．故選：D．2．（2023高三·全國·專題練習）已知“”是“”成立的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式求題設條件中范圍，根據(jù)必要不充分條件判斷包含關系，進而求的取值范圍.【詳解】由得：或，所以或；由得：，所以.因為是的必要不充分條件，即且，所以是或的真子集，所以或，解得或.故選：A3．（23-24高一上·河北石家莊·階段練習）若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別解出這兩個不等式，由充分不必要條件判斷解集的包含關系，列不等式求解實數(shù)的取值范圍.【詳解】不等式，解得，不等式，解得或，若“”是“”的充分不必要條件，∴或，解得：或，則實數(shù)可以是.故選：A．4．（23-24高一上·湖北武漢·期中）已知關于的不等式恰有四個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】化不等式為，分，和三種情況討論，求得不等式的解集，結合題意即可求解．【詳解】不等式，可化為，當時，不等式的解集為空集，不合題意；當時，不等式的解集為，要使不等式恰有四個整數(shù)解，則，當時，不等式的解集為，要使不等式恰有四個整數(shù)解，則，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是．故選：C．二、多選題5．（23-24高三上·浙江紹興·期末）已知，關于x的一元二次不等式的解集可能是（

）A．或 B．C． D．【答案】ACD【分析】分，，三種情況結合與的大小關系討論，可得不等式的解集.【詳解】當時，；當時，或，故A正確；當時，，若，則解集為空集；若，則不等式的解為：，故D正確；若，則不等式的解為：，故C正確.故選：ACD三、填空題6．（23-24高三下·上?！るA段練習）設，若關于的不等式的解集是區(qū)間的真子集，則的取值范圍是．【答案】【分析】解一元二次不等式結合真子集的概念即可得解.【詳解】因為，所以，又不等式的解集是區(qū)間的真子集，則.故答案為：.四、解答題7．（23-24高一上·安徽蚌埠·階段練習）解關于的不等式：．【答案】答案見解析【分析】分成，，三種情況得出一元二次不等式的解集..【詳解】原不等式等價于，方程的兩根為，當時，原不等式的解為；當時，原不等式的無解；當時，原不等式的解為．綜上，當時，原不等式的解集是；當時，原不等式的解集是；當時，原不等式的解集是．8．（2024高三·全國·專題練習）（1）解關于實數(shù)的不等式：．（2）解關于實數(shù)的不等式：．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；【分析】對不等式所對應方程的判別式進行判斷，分情況討論參數(shù)即可求得（1）（2）中的不等式解集.【詳解】（1）易知方程的，由得，解得，當時，的解集為，當時，的解集為，當時，的解集為．（2）對方程，當時，即時,不等式的解集為當時，即或時,的根為，不等式的解集為；綜上可得，時,不等式的解集為，或時，不等式的解集為.9．（23-24高三上·河南南陽·階段練習）解關于x的不等式．【答案】當時，不等式的解集為；當時，則不等式的解集為；當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.【分析】先對進行分類討論，再結合對應方程的根的大小分類討論即可求解.【詳解】當時，即，則不等式的解集為；當時，由，即，當時，，則不等式的解集為；當時，則，若，即時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；綜上：當時，不等式的解集為；當時，則不等式的解集為；當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.【題型三一元二次不等式中的恒成立和有解問題】【典例1】（單選題）（2024·浙江·模擬預測）若不等式的解為全體實數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】分類討論與兩種情況，結合二次不等式恒成立問題的解決方法即可得解.【詳解】當時，不等式可化為，顯然不合題意；當時，因為的解為全體實數(shù)，所以，解得；綜上：.故選：C.【典例2】（單選題）（2024高三·全國·專題練習）若命題“”為真命題，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可得不等式在R上有解，結合計算即可求解.【詳解】由題意可知，不等式在R上有解，∴，解得，∴實數(shù)m的取值范圍是.故選：A.一、單選題1．（22-23高二下·遼寧阜新·期末）若命題“，”為真命題，則實數(shù)m的取值范圍是（

）.A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】根據(jù)判別式得到不等式，求出答案.【詳解】“，”為真命題，故，解得或.故選：A2．（23-24高一上·江蘇徐州·期末）若命題“，”是假命題，則實數(shù)的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】根據(jù)特稱命題與全稱命題的真假性質，結合一元二次不等式的解集的性質進行求解即可.【詳解】因為命題“，”是假命題，所以命題“，”是真命題，因此有，所以實數(shù)的最小值為，故選：C3．（2023·福建廈門·二模）不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分和兩種情況討論求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】當時，，得，與題意矛盾，當時，則，解得，綜上所述，，所以不等式（）恒成立的一個充分不必要條件是A選項.故選：A.4．（2024高三·全國·專題練習）已知命題p：?x∈[1，9]，x2－ax＋36≤0.若p是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．[37，＋∞)B．[13，＋∞)C．[12，＋∞)D．(－∞，13]【答案】C【詳解】∵p：?x∈[1，9]，使得x2－ax＋36≤0為真命題，即?x∈[1，9]，使得x2－ax＋36≤0成立，即a≥x＋能成立．設f(x)＝x＋，則f(x)＝x＋≥2＝12，當且僅當x＝，即x＝6時，取等號，即f(x)min＝12，∴a≥12，故實數(shù)a的取值范圍是[12，＋∞).故選C.5．（2024高三·全國·專題練習）若不等式對一切恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】對二次項系數(shù)進行分類討論可得符合題意，當時利用判別式可求得結果.【詳解】當，即時，不等式為對一切恒成立．當時，需滿足，即，解得.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是．故選：C6．（23-24高三下·山東菏澤·階段練習）已知條件：“不等式的解集是空集”，則條件：“”是條件的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先分和兩種情況討論求出的范圍，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】因為不等式的解集是空集，所以不等式的解集是，當即時，若，則，舍；若，則，；當時，則，解得，綜上所述，所以條件是條件的充分不必要條件．故選：A．二、填空題7．（2024·遼寧丹東·一模）已知集合，，若，則的取值范圍是．【答案】【分析】由題意可得，則有，即可得解.【詳解】因為，，所以，則不等式無解，所以，解得.故答案為：.8．（2024·遼寧·三模）若“，使”是假命題，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】將問題轉化為“在上恒成立”，再利用對勾函數(shù)的單調性求得最值，從而得解.【詳解】因為“，使”是假命題，所以“，”為真命題，其等價于在上恒成立，又因為對勾函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為.故答案為：.三、解答題9．（2024高三·全國·專題練習）已知函數(shù)(1)若函數(shù)在上是單調函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.(2)當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二次函數(shù)的性質，建立不等式即可求出結果；（2）根據(jù)題意得，當時，恒成立，構造函數(shù)，將問題轉化為即可求解.【詳解】（1）函數(shù)的對稱軸為，又函數(shù)在上是單調函數(shù)，或，解得或，∴實數(shù)a的取值范圍為；.（2）當，時，恒成立，即恒成立，令，恒成立，函數(shù)的對稱軸，，故m的范圍為.10．（2024高三·全國·專題練習）設函數(shù)．(1)若對于一切實數(shù)，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)若對于，恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）分和兩類情況，當時采用驗證法即可；當時根據(jù)一元二次不等式和二次函數(shù)之間的關系建立不等式組即可求出實數(shù)的取值范圍.（2）方法一：先利用分離參數(shù)法得出；再求出函數(shù)在上的最小值即可求解.方法二：先將問題轉化為在上恒成立；再分類討論，利用函數(shù)的單調性求出函數(shù)的最大值即可求解.【詳解】（1）要使恒成立，若，顯然；若，則，解得．綜上：實數(shù)的取值范圍是．（2）方法一：由得：，即.因為，所以．因為函數(shù)在上單調遞增，所以函數(shù)在上單調遞減，當時，函數(shù)在上取得最小值，最小值為，所以只需即可，所以的取值范圍是．方法二：由，得，即.令，當時，在上是增函數(shù)，則，解得，所以；當時，恒成立；當時，在上是減函數(shù)，則，解得，所以．綜上所述，的取值范圍是．【題型四一元二次不等式中的參數(shù)和方程根的分布問題】一元二次不等式與韋達定理及判別式結合問題思路1．牢記二次函數(shù)的基本性質．2．含參的注意利用根與系數(shù)的關系找關系進行代換．【典例1】（單選題）（23-24高三上·云南德宏·期末）已知關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)一元二次不等式的解集與對應一元二次方程的根之間的關系求出的值，再解不等式.【詳解】根據(jù)題意，方程的兩根為2和3，則，則為，其解集為.故選：D.【典例2】（單選題）（23-24高一上·山東淄博·階段練習）已知方程有兩個不等正實根，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A．或 B．C． D．或【答案】D【分析】應用二次方程根的分布等價于對應二次函數(shù)零點的分布問題，求解實數(shù)m的取值范圍即可.【詳解】因為方程有兩個不等正實根，設兩根為，則等價于函數(shù)有兩個不相等且大于0的零點，所以或，故選：D一、單選題1．（2024高三上·廣東·學業(yè)考試）若不等式的解集為，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，是方程的兩個根，且，利用韋達定理運算求解.【詳解】由題意知，是方程的兩個根，且，則，解得，所以.故選：D.2．關于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得和為方程的兩根且，利用韋達定理得到，，代入不等式，解不等式即可.【詳解】因為不等式的解集為，所以和為方程的兩根且，，解得，則不等式可化為，因為，所以，解得，所以不等式的解集為：.故選：A3．（23-24高一上·甘肅武威·開學考試）關于的一元二次方程有兩個不相等的正實數(shù)根，則的取值范圍是（

）A．B．C．D．且【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布，結合韋達定理即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知；，由韋達定理可得，解得，故選：B4．（23-24高三上·四川·階段練習）若關于的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，依題意可得，解得即可.【詳解】令，因為方程在區(qū)間上有兩個不相等的實數(shù)解，所以，即，解得，所以的取值范圍是．故選：A．二、多選題5．（23-24高一上·江蘇南京·期末）已知關于的不等式的解集是，則（

）A．B．C．D．不等式的解集是或【答案】ABD【分析】由一元二次不等式的解和韋達定理逐項判斷即可.【詳解】由題意可知，1，3是方程的兩個根，且，，A：由以上可知，故A正確；B：當時，代入方程可得，故B正確；C：因為，不等式的解集是，故將代入不等式左邊為，故C錯誤；D：原不等式可變?yōu)?，且，約分可得，解集為或，故D正確；故選：ABD6．（23-24高一上·甘肅·期末）已知不等式的解集為，不等式的解集為，不等式的解集是，則（

）A．B．C．D．【答案】AD【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，分別求得集合，結合集合并集，交集的運算及韋達定理，即可求解.【詳解】由不等式，即，解得，即，又由，解得，即，，A正確，B錯誤；，則是的兩根，則，，C錯誤，D正確.故選：AD三、填空題7．（2023高三·全國·專題練習）方程有一正一負根的充要條件是【答案】【分析】根據(jù)一元二次方程根的分布即可求解.【詳解】有一正一負根故答案為：四、解答題8．（23-24高一上·江西新余·期中）設函數(shù)．(1)若不等式的解集為，求的值；(2)若，且對任意恒成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式和其對應一元二次方程根的關系確定，解得答案.（2）變換得到，根據(jù)均值不等式計算最值得到答案.【詳解】（1）不等式的解集為，則，解得.（2）若，則，對任意，都有恒成立，即，（當且僅當時等號成立），故，即.9．（2023高三·全國·專題練習）關于的方程滿足下列條件，求的取值范圍．(1)有兩個正根；(2)一個根大于，一個根小于；(3)一個根在內，另一個根在內；(4)一個根小于，一個根大于；(5)兩個根都在內．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】根據(jù)二次方程根的分布的性質逐一解決每個小問.【詳解】（1）令，設的兩個根為.由題得，解得.（2）若方程的一個根大于，一個根小于，則，解得（3）若方程一個根在內，另一個根在內，則，解得（4）若方程的一個根小于，一個根大于，則，解得（5）若方程的兩個根都在內，則，解得【題型五分式不等式與絕對值不等式的解法】絕對值不等式和分式不等式解法1．分式不等式化為二次或高次不等式處理．2．根式不等式絕對值不等式分類討論或用幾何意義或者平方處理．【典例1】（23-24高一上·江蘇揚州·期中）求下列不等式的解集(1)；(2)(3)【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）將原不等式等價轉換為，解一元二次不等式即可.（2）將原不等式等價轉換為，解一元二次不等式即可.（3）將原不等式等價轉換為，解一元二次不等式即可.【詳解】（1）由題意，解不等式得或，從而不等式的解集為.（2）由題意，解不等式得，從而不等式的解集為.（3）由題意，解不等式得，從而不等式的解集為.一、單選題1．（2024·全國·模擬預測）設集合，則集合M的真子集個數(shù)為（

）A．8 B．7 C．32 D．31【答案】B【分析】根據(jù)不等式的解法，求得集合，結合集合真子集的求法，即可求解.【詳解】由不等式，解得，因為，所以，所以集合M的真子集個數(shù)為.故選：B．2．（23-24高三下·陜西·階段練習）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】解分式不等式求解集合A，解一元二次不等式求解集合B，然后利用交集運算求解即可.【詳解】因為，，所以.故選：D3．（2024·陜西安康·模擬預測）已知集合，則的元素個數(shù)為（

）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】解不等式確定集合，再根據(jù)集合定義確定，然后由交集定義計算后可得．【詳解】或，