圓錐曲線的方程專題五講義高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

人教A版數(shù)學(xué)圓錐曲線的方程專題五知識(shí)點(diǎn)一根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù),根據(jù)弦長求參數(shù)典例1、已知橢圓E經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)圓，直線l與圓C相切于，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且，求直線l的方程.

隨堂練習(xí)：已知點(diǎn)B是圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)P.（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程；（2）直線與E交于點(diǎn)M，N，且，求m的值.典例2、已知橢圓與的離心率相同，過的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓、的交點(diǎn)從上到下依次為、、、，且，求的值．

隨堂練習(xí)：已知①如圖，長為，寬為的矩形，以?為焦點(diǎn)的橢圓恰好過兩點(diǎn)②設(shè)圓的圓心為，直線過點(diǎn)，且與軸不重合，直線交圓于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的平行線交于，判斷點(diǎn)的軌跡是否橢圓（1）在①②兩個(gè)條件中任選一個(gè)條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)（1）所得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，若直線被橢圓截得的弦長等于短軸長，求的值.典例3、已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓C上.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與橢圓C交于P，Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M是線段PQ的中點(diǎn)，直線過點(diǎn)M，且與直線l垂直.記直線與y軸的交點(diǎn)為N，是否存在非零實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

隨堂練習(xí)：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，離心率為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為3.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為橢圓的下頂點(diǎn)，為橢圓的上頂點(diǎn)，過點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn).若，求的值.知識(shí)點(diǎn)二過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程,根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程,求橢圓中的最值問題典例4、已知橢圓：，，為橢圓的左右焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線：，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線分別交直線、直線于、兩點(diǎn)，求最小值.

隨堂練習(xí)：已知橢圓的焦點(diǎn)在軸，且右焦點(diǎn)到左頂點(diǎn)的距離為．（1）求橢圓的方程和焦點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）與軸不垂直且不重合的直線與橢圓相交于不同的，兩點(diǎn)，直線與軸的交點(diǎn)為，點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為．①求面積的最大值；②當(dāng)面積取得最大值時(shí)，求證：．典例5、已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為．過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交橢圓于兩點(diǎn)，的周長為．（1）求橢圓的方程；（2）求的取值范圍．

隨堂練習(xí)：已知橢圓經(jīng)過兩點(diǎn)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且直線與以線段為直徑的圓交于另一點(diǎn)（異于點(diǎn)），求的最大值.典例6、已知橢圓的離心率為，橢圓C與y軸交于A，B兩點(diǎn)，且．（1）求橢圓C的方程．（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)P在y軸的右側(cè)．直線PA，PB與直線分別交于M，N兩點(diǎn)．若以MN為直徑的圓與x軸交于兩點(diǎn)E，F(xiàn)，求點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍及的最大值．

隨堂練習(xí)：已知焦點(diǎn)在軸上，中心在原點(diǎn)，離心率為的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)（不與定點(diǎn)重合）均在橢圓上，且直線與的斜率之和為1，為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求橢圓的方程；（2）求證直線經(jīng)過定點(diǎn)；（3）求的面積的最大值人教A版數(shù)學(xué)圓錐曲線的方程專題五答案典例1、答案：（1）（2）或解：（1）設(shè)橢圓E方程為，（t，且）將點(diǎn)代入橢圓方程得到,解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）不妨設(shè)直線l的方程為,因?yàn)樵撝本€與圓相切，所以，所以，將直線方程代入橢圓方程并消去x得：，則,，所以，聯(lián)立，解得，即或，則直線l的方程為或.隨堂練習(xí)：答案：（1），（2）.解:（1）由條件可得所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E是以為焦點(diǎn)的橢圓，設(shè)其方程為所以，所以所以方程為（2）設(shè)聯(lián)立可得所以由得因?yàn)樗钥山獾玫淅?、答案：（1）；（2）．解:（1）設(shè)橢圓的方程為，焦距為，將代入的方程可得，解得.由題意得，解得，因此的方程為；（2）設(shè)、、、，由，得（或），與、相交，只需當(dāng)時(shí)，，解得.當(dāng)時(shí)，，由韋達(dá)定理可得，所以，與的中點(diǎn)相同，所以，，即，整理可得，解得，滿足條件.隨堂練習(xí)：答案：（1）;（2）.解:（1）選①：由已知，將代入橢圓方程得：故橢圓方程為：選②：由題設(shè)可得如下示意圖，易知：△為等腰三角形且，∴，又，即，∴，則，∵，∴橢圓定義知：動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離和為定值4，∴的軌跡方程為.（2）聯(lián)立與橢圓方程可得：，且，若交點(diǎn)為，則，，∴直線被橢圓截得的弦長為，而短軸長為2，∴，解得.典例3、答案：（1）（2）不存在，理由見解析解：（1）由題意可得，解得，.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，，.聯(lián)立，整理得，則，解得，從而，.因?yàn)镸是線段PQ的中點(diǎn)，所以，則，故.直線的方程為，即.令，得，則，所以因?yàn)?，所以，解?因?yàn)椋圆淮嬖跐M足條件的.隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）.解：（1）由題意可得，，當(dāng)時(shí)，，所以得：，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由（1）可知，，，，過點(diǎn)且斜率為的直線方程為，聯(lián)立方程，可得，設(shè)，，則，，故，又，，，，所以，整理可得，解得.典例4、答案：（1）（2）4解：（1）設(shè)，則，所以，即.，則由橢圓定義，，則，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意直線的斜率必定不為零，于是可設(shè)直線：，聯(lián)立方程得，設(shè)，，由題意，，由韋達(dá)定理，，則，，，，，又，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào).隨堂練習(xí)：答案：（1）橢圓方程為焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，；（2）①；②證明見解析．解:（1）因?yàn)?，所以．又，所以．所以橢圓方程為焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為，．（2）（?。┓椒ㄒ唬涸O(shè)，，，所以，．聯(lián)立得．，，，即．點(diǎn)到直線的距離為．所以．當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立．（ⅱ）因?yàn)椋裕裕椒ǘ海á。┰O(shè)直線（），所以，．聯(lián)立方程化簡得．所以．所以．點(diǎn)到的距離為：．．當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立．（ⅱ）．因?yàn)?，所以．典?、答案：（1）（2）解：（1）由題，由橢圓定義，的周長為，所以所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)軸時(shí)，MN與x軸重合，不符合題意，當(dāng)直線與軸重合時(shí)，，所以；當(dāng)直線斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，由韋達(dá)定理所以同理所以綜上所述，的取值范圍是.隨堂練習(xí)：答案：（1）（2）最大值為解:（1）橢圓過點(diǎn)，，解得：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題易知直線的斜率不為，可設(shè)：由得：，則設(shè)，，則，又，以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為故圓心到直線的距離為，即（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）當(dāng)時(shí)，直線與橢圓有交點(diǎn)，滿足題意，且的最大值為典例6、答案：（1）（2）橫坐標(biāo)的取值范圍為，的最大值為2解：（1）由題意，可得，，得，解得：．橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）解法1：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為．∴，直線PA的方程為，同理：直線PB的方程為．直線PA與直線的交點(diǎn)為；直線PB與直線的交點(diǎn)為．∵線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴圓的方程為．令，則．∵，∴，∴．∵這個(gè)圓與x軸相交，該方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，∴，解得．設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，則．∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．解法2：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為．∴，直線PA的方程為，同理：直線PB的方程為．直線PA與直線的交點(diǎn)為；直線PB與直線的交點(diǎn)為．若以MN為直徑的圓與x軸相交，則，即，即．∵，∴，代入得到，解得．該圓的直徑為；圓心到x軸的距離為；該圓在x軸上截得的弦長為．∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．解法3：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為．∴，直線PA的方程為同理：直線PB的方程為．直線PA與直線的交點(diǎn)為；直線PB與直線的交點(diǎn)為．∴．圓心到x軸的距離為．若該圓與x軸相交，則，即．∵，∴，∴，解得．該圓在x軸上截得的弦長為．∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．解法4：記點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)H的坐標(biāo)為（4，0），設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為．由已知可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為．∴AP的直線方程為，BP的直線方程為．令，分別可得，．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N的坐標(biāo)為．若以MN為直徑的圓與x軸相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，∵，∴．．∵，∴，代入得到，∴．∴．∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．解法5：設(shè)直線OP與交于點(diǎn)T．∵軸，∴有，．∴，，即T是MN的中點(diǎn)．又設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則直線OP方程為．令，得，∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為．而，若以MN為直徑的圓與x軸相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則，即．∵，∴，∴，解得或．∵，∴，∴．∴該圓被x軸截得的弦長的最大值為2．隨堂練習(xí)：答案：（1）；（2）；（3）．解:（1）設(shè)橢圓（）的離心率為，可知，又因?yàn)?，所以．由定點(diǎn)在橢圓上可得，故，．所以橢圓的方程為．（2）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，設(shè)（），則．由