2024-2025學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué) 第1章 空間向量與立體幾何 4 二面角教案 新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

2024-2025學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何4二面角教案新人教B版選擇性必修第一冊(cè)學(xué)校授課教師課時(shí)授課班級(jí)授課地點(diǎn)教具課程基本信息1.課程名稱：空間向量與立體幾何

2.教學(xué)年級(jí)和班級(jí)：高三年級(jí)1班

3.授課時(shí)間：2024年10月10日

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)（45分鐘）

二、教學(xué)內(nèi)容及目標(biāo)

1.教學(xué)內(nèi)容：

（1）復(fù)習(xí)平面向量的概念及運(yùn)算；

（2）引入空間向量的概念，掌握空間向量的運(yùn)算；

（3）學(xué)習(xí)二面角的定義及其計(jì)算方法；

（4）運(yùn)用空間向量與二面角解決立體幾何問題。

2.教學(xué)目標(biāo)：

（1）理解并掌握空間向量的概念及運(yùn)算；

（2）掌握二面角的定義及其計(jì)算方法；

（3）能夠運(yùn)用空間向量與二面角解決立體幾何問題。

三、教學(xué)步驟

1.導(dǎo)入：復(fù)習(xí)平面向量的概念及運(yùn)算，引導(dǎo)學(xué)生思考向量的擴(kuò)展到空間向量的必要性。

2.新課講解：

（1）講解空間向量的概念，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)物模型直觀理解空間向量；

（2）介紹空間向量的運(yùn)算，如加法、減法、數(shù)乘等；

（3）引入二面角的定義，通過實(shí)物模型展示二面角的形狀；

（4）講解二面角的計(jì)算方法，如用向量表示法計(jì)算二面角。

3.例題講解：選取典型例題，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用空間向量與二面角解決立體幾何問題。

4.課堂練習(xí)：布置練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)。

5.總結(jié)：對(duì)本節(jié)課的主要內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)空間向量與二面角在立體幾何中的重要性。

四、課后作業(yè)

1.復(fù)習(xí)本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，整理筆記；

2.完成課后練習(xí)題，加深對(duì)空間向量與二面角的理解。

五、教學(xué)評(píng)價(jià)

1.課堂表現(xiàn)：觀察學(xué)生在課堂上的參與程度、提問回答等情況，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)；

2.課后作業(yè)：檢查學(xué)生完成作業(yè)的情況，評(píng)估學(xué)生對(duì)課堂所學(xué)知識(shí)的掌握程度。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.邏輯推理：通過學(xué)習(xí)空間向量與二面角，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，使其能夠運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決立體幾何問題。

2.直觀想象：通過實(shí)物模型和幾何圖形的觀察，培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象力，使其能夠形象地理解空間向量與二面角的概念和運(yùn)用。

3.數(shù)學(xué)建模：通過典型例題和課堂練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，使其能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用空間向量與二面角解決。

4.數(shù)學(xué)運(yùn)算：通過空間向量的運(yùn)算和二面角的計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，使其能夠熟練運(yùn)用運(yùn)算規(guī)則進(jìn)行空間向量與二面角的計(jì)算。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)

（1）空間向量的概念及其表示方法：學(xué)生需要理解空間向量是從起點(diǎn)到終點(diǎn)的有向線段，以及如何用有序數(shù)對(duì)表示空間向量。

（2）空間向量的運(yùn)算規(guī)則：學(xué)生需要掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘等運(yùn)算規(guī)則，以及這些運(yùn)算在立體幾何中的應(yīng)用。

（3）二面角的定義及其計(jì)算方法：學(xué)生需要理解二面角是由兩個(gè)平面相交所形成的角，以及如何用向量表示法計(jì)算二面角。

（4）運(yùn)用空間向量與二面角解決立體幾何問題：學(xué)生需要學(xué)會(huì)如何運(yùn)用空間向量與二面角的知識(shí)解決立體幾何問題，如求解空間距離、角度和體積等。

2.教學(xué)難點(diǎn)

（1）空間向量的直觀理解：學(xué)生可能難以形象地理解空間向量的概念，特別是對(duì)于三維空間中的向量。

（2）空間向量運(yùn)算的規(guī)則：學(xué)生可能對(duì)空間向量的加法、減法和數(shù)乘等運(yùn)算規(guī)則理解不深，導(dǎo)致在實(shí)際應(yīng)用中出錯(cuò)。

（3）二面角的計(jì)算方法：學(xué)生可能難以理解二面角的定義，以及如何用向量表示法進(jìn)行計(jì)算。

（4）立體幾何問題的解決方法：學(xué)生可能不知道如何將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用空間向量與二面角的知識(shí)解決。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都有《2024-2025學(xué)年新教材高考數(shù)學(xué)第1章空間向量與立體幾何》的教材或?qū)W習(xí)資料。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源，如空間向量的示意圖、二面角的模型圖等。

3.實(shí)驗(yàn)器材：如果涉及實(shí)驗(yàn)，確保實(shí)驗(yàn)器材的完整性和安全性，如立體幾何模型、向量標(biāo)尺等。

4.教室布置：根據(jù)教學(xué)需要，布置教室環(huán)境，如在講臺(tái)附近設(shè)置黑板和投影儀，學(xué)生桌椅排列成適合小組討論和實(shí)驗(yàn)操作的布局。教學(xué)過程1.導(dǎo)入（5分鐘）

同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平面向量的概念及運(yùn)算，今天我們將學(xué)習(xí)空間向量與立體幾何中的一個(gè)重要概念——二面角。希望大家能夠積極參與，共同探索空間向量與二面角的奧秘。

2.新課講解（15分鐘）

（1）空間向量（5分鐘）

同學(xué)們，空間向量是從起點(diǎn)到終點(diǎn)的有向線段，我們可以用有序數(shù)對(duì)來表示空間向量。假設(shè)有一個(gè)空間向量A→=(x,y,z)，其中x,y,z分別為該向量在x軸、y軸、z軸上的分量。

（2）二面角（5分鐘）

3.例題講解（15分鐘）

現(xiàn)在，我們來解決一些實(shí)際問題，看看如何運(yùn)用空間向量與二面角來解決立體幾何問題。

例1：已知空間向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→與向量B→的夾角。

解：首先，我們計(jì)算向量A→與向量B→的點(diǎn)積，即A→·B→=1×4+2×5+3×6=26。然后，我們計(jì)算向量A→和向量B→的模長，分別為|A→|=√(1^2+2^2+3^2)=√14和|B→|=√(4^2+5^2+6^2)=√77。因此，向量A→與向量B→的夾角θ的余弦值為cosθ=A→·B→/(|A→||B→|)=26/(√14×√77)=2/7。所以，向量A→與向量B→的夾角為arccos(2/7)。

例2：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，CD=4，求二面角D-AA1-B的大小。

解：首先，我們找出長方體的對(duì)角線AC1，其長度為AC1=√(AB^2+BC^2+CD^2)=√(2^2+3^2+4^2)=√29。然后，我們找出平面AA1B1B和平面CC1DD1的法向量n1→和n2→。由于n1→垂直于平面AA1B1B，我們可以取n1→=AB→×BC→=(3,2,-1)。同理，我們可以取n2→=CD→×AC1→=(4,3,-2)。因此，二面角D-AA1-B的大小為θ=arccos|n1→·n2→|/|n1→||n2→|=arccos(1)/√(3^2+2^2+1^2)√(4^2+3^2+(-2)^2)=π/3。

4.課堂練習(xí)（15分鐘）

現(xiàn)在，我們來做一些課堂練習(xí)，鞏固一下今天所學(xué)的知識(shí)。

練習(xí)1：已知空間向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→與向量B→的夾角。

練習(xí)2：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，CD=4，求二面角D-AA1-B的大小。

5.總結(jié)（5分鐘）

6.課后作業(yè)（5分鐘）

同學(xué)們，課后請(qǐng)完成教材上的練習(xí)題，并預(yù)習(xí)下一節(jié)課的內(nèi)容。教學(xué)資源拓展六、教學(xué)資源拓展

1.拓展資源

（1）空間向量與立體幾何的相關(guān)論文和學(xué)術(shù)文章，以便學(xué)生能夠更深入地了解空間向量與立體幾何的理論基礎(chǔ)。

（2）空間向量與立體幾何的在線課程和教學(xué)視頻，如Coursera、edX等平臺(tái)上的相關(guān)課程，以便學(xué)生能夠從不同角度和層面理解知識(shí)。

（3）空間向量與立體幾何的數(shù)學(xué)競(jìng)賽題目和解答，如AMC、AIME等競(jìng)賽的相關(guān)題目，以便學(xué)生能夠通過競(jìng)賽提高自己的數(shù)學(xué)能力。

（4）空間向量與立體幾何的應(yīng)用案例和實(shí)際問題，如工程設(shè)計(jì)、物理建模等領(lǐng)域中的應(yīng)用案例，以便學(xué)生能夠了解空間向量與立體幾何在實(shí)際生活中的應(yīng)用。

2.拓展建議

（1）建議學(xué)生閱讀空間向量與立體幾何的相關(guān)論文和學(xué)術(shù)文章，加深對(duì)理論知識(shí)的理解和掌握。

（2）建議學(xué)生參加空間向量與立體幾何的在線課程和教學(xué)視頻，從不同角度和層面學(xué)習(xí)知識(shí)，提高學(xué)習(xí)效果。

（3）建議學(xué)生參加空間向量與立體幾何的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，通過競(jìng)賽提高自己的數(shù)學(xué)能力，培養(yǎng)解決問題的思維和能力。

（4）建議學(xué)生尋找空間向量與立體幾何的應(yīng)用案例和實(shí)際問題，了解知識(shí)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，提高學(xué)習(xí)的興趣和動(dòng)力。典型例題講解為了更好地幫助同學(xué)們理解和掌握空間向量與立體幾何的知識(shí)，下面我將講解一些典型的例題。

例題1：已知空間向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→與向量B→的夾角。

解：首先，我們計(jì)算向量A→與向量B→的點(diǎn)積，即A→·B→=1×4+2×5+3×6=26。然后，我們計(jì)算向量A→和向量B→的模長，分別為|A→|=√(1^2+2^2+3^2)=√14和|B→|=√(4^2+5^2+6^2)=√77。因此，向量A→與向量B→的夾角θ的余弦值為cosθ=A→·B→/(|A→||B→|)=26/(√14×√77)=2/7。所以，向量A→與向量B→的夾角為arccos(2/7)。

例題2：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，CD=4，求二面角D-AA1-B的大小。

解：首先，我們找出長方體的對(duì)角線AC1，其長度為AC1=√(AB^2+BC^2+CD^2)=√(2^2+3^2+4^2)=√29。然后，我們找出平面AA1B1B和平面CC1DD1的法向量n1→和n2→。由于n1→垂直于平面AA1B1B，我們可以取n1→=AB→×BC→=(3,2,-1)。同理，我們可以取n2→=CD→×AC1→=(4,3,-2)。因此，二面角D-AA1-B的大小為θ=arccos|n1→·n2→|/|n1→||n2→|=arccos(1)/√(3^2+2^2+1^2)√(4^2+3^2+(-2)^2)=π/3。

例題3：已知空間向量A→=(1,0,1)和B→=(0,1,1)，求向量A→與向量B→的夾角。

解：首先，我們計(jì)算向量A→與向量B→的點(diǎn)積，即A→·B→=1×0+0×1+1×1=1。然后，我們計(jì)算向量A→和向量B→的模長，分別為|A→|=√(1^2+0^2+1^2)=√2和|B→|=√(0^2+1^2+1^2)=√2。因此，向量A→與向量B→的夾角θ的余弦值為cosθ=A→·B→/(|A→||B→|)=1/(√2×√2)=1/2。所以，向量A→與向量B→的夾角為arccos(1/2)=π/3。

例題4：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，求二面角A-BC-D的大小。

解：首先，我們找出正方體的對(duì)角線AC1，其長度為AC1=√(AB^2+BC^2+CD^2)=√(2^2+2^2+2^2)=2√3。然后，我們找出平面ABCD的法向量n→，取n→=AB→×BC→=(2,2,-2)。因此，二面角A-BC-D的大小為θ=arccos(n→·CD→)/|n→||CD→|=arccos(2/2√3)=π/6。

例題5：已知空間向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→與向量B→的夾角的余弦值。

解：首先，我們計(jì)算向量A→與向量B→的點(diǎn)積，即A→·B→=1×4+2×5+3×6=26。然后，我們計(jì)算向量A→和向量B→的模長，分別為|A→|=√(1^2+2^2+3^2)=√14和|B→|=√(4^2+5^2+6^2)=√77。因此，向量A→與向量B→的夾角θ的余弦值為cosθ=A→·B→/(|A→||B→|)=26/(√14×√77)=2/7。所以，向量A→與向量B→的夾角的余弦值為2/7。課堂小結(jié)，當(dāng)堂檢測(cè)課堂小結(jié)：

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了空間向量與立體幾何中的二面角。我們首先介紹了空間向量的概念及其表示方法，然后學(xué)習(xí)了空間向量的運(yùn)算規(guī)則，包括加法、減法和數(shù)乘。接著，我們引入了二面角的定義，并學(xué)習(xí)了如何用向量表示法計(jì)算二面角。最后，我們通過典型例題的講解，使同學(xué)們能夠運(yùn)用空間向量與二面角解決實(shí)際問題。

當(dāng)堂檢測(cè)：

下面進(jìn)行當(dāng)堂檢測(cè)，請(qǐng)同學(xué)們認(rèn)真完成。

1.已知空間向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→與向量B→的夾角。

2.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，CD=4，求二面角D-AA1-B的大小。

3.已知空間向量A→=(1,0,1)和B→=(0,1,1)，求向量A→與向量B→的夾角。

4.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，求二面角A-BC-D的大小。

5.已知空間向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→與向量B→的夾角的余弦值。

請(qǐng)同學(xué)們?cè)谝?guī)定時(shí)間內(nèi)完成上述題目，我們將進(jìn)行批改和講解。板書設(shè)計(jì)①空間向量的概念及其表示方法

1.空間向量是從起點(diǎn)到終點(diǎn)的有向線段，用有序數(shù)對(duì)表示。

2.空間向量的運(yùn)算規(guī)則：加法、減法和數(shù)乘。

3.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：解決空間距離、角度和體積等問題。

②二面角的定義及其計(jì)算方法

1.二面角是由兩個(gè)平面相交所形成的角，用向量表示法計(jì)算。

2.二面角的計(jì)算步驟：找出法向量、計(jì)算點(diǎn)積、求解夾角。

3.二面角在立體幾何中的應(yīng)用：求解空間角度、判斷空間位置關(guān)系等。

③空間向量與二面角解決立體幾何問題的實(shí)例

1.例題：已知空間向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→與向量B→的夾角。

2.例題：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，BC=3，CD=4，求二面角D-AA1-B的大小。

3.例題：已知空間向量A→=(1,0,1)和B→=(0,1,1)，求向量A→與向量B→的夾角。

4.例題：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知AB=2，求二面角A-BC-D的大小。

5.例題：已知空間向量A→=(1,2,3)和B→=(4,5,6)，求向量A→與向量B→的夾角的余弦值。

九、板書設(shè)計(jì)

①空間向量的概念及其表示方法

②二面角的定義及其計(jì)算方法

③空間向量與二面角解決立體幾何問題的實(shí)例

九、板書設(shè)計(jì)

①空間向量的概念及其表示方法

②二面角的定義及其計(jì)算方法

③空間向量與二面角解決立體幾何問題的實(shí)例

④板書設(shè)計(jì)應(yīng)具有藝術(shù)性和趣味性

⑤板書設(shè)計(jì)應(yīng)條理清楚、重點(diǎn)突出、簡潔明了反思改進(jìn)措施在這次教學(xué)過程中，我深刻反思了自己的教學(xué)方法和學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，認(rèn)為有許多可以改進(jìn)的地方。以下是我對(duì)本次教學(xué)的反思和改進(jìn)措施：

一、教學(xué)特色創(chuàng)新

1.引入實(shí)際案例：在講解空間向量與二面角的概念時(shí)，我引入了實(shí)際生活中的案例，如建筑設(shè)計(jì)中的空間向量應(yīng)用，使學(xué)生更直觀地理解了空間向量的概念和應(yīng)用。

2.利用多媒體教