汕頭市2023屆普通高考第二次模擬考試(理數(shù))

精選汕頭市2023屆普通高考第

二次模擬考試（理數(shù)）

汕頭市2023屆普通高考第二次模擬考試

數(shù)學（理科）

本試卷共4頁,21小題,總分值150分.考

試用時120分鐘.

考前須知：

1.答卷前，考生首先檢查答題卡是否整潔

無缺損，監(jiān)考教師分發(fā)的考生信息條形

碼是否正確；之后務必用0.5毫米黑色

字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫自

己的學校、姓名和考生號，同時，將監(jiān)

考教師發(fā)放的條形碼正向準確粘貼在答

題卡的貼條形碼區(qū)，請保持條形碼整潔、

不污損.

2.選擇題每題選出答案后，用2B鉛筆把答

題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需

改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答

案，答案不能答在試卷上.不按要求填

涂的，答案無效.

3.非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽

字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應位置上，請注意每題答

題空間，預先合理安排；如需改動，先

劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案;

不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求

作答的答案無效.

4.作答選做題時，請先用2B鉛筆填涂選做

2

題的題號對應的信息點，再做答.漏涂、

錯涂、多涂的答案無效.

5.考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，

將答題卡交回.

參考公式：

①體積公式：唳體=$腺體=/其中匕分別

是體積、底面積和高；

一、選擇題：（本大題共8小題，每題5分，總

分值40分.在每題給出的四個選項中，只有一

項為哪一項符合題目要求的）.

1、集合A={1,2z2,zi},B={2,4},i為虛數(shù)單位,假設

AAB={2},那么純虛數(shù)z為（）

A.iB.-iC.2i

D.-2i

2、隨機變量x服從正態(tài)分布N（5,4）,且

P（X>Z）=P（X<"4）,那么人的值為（）

A.6B.7

C.8D.9

3、拋物線y=%的焦點到準線的距離為（）

4

A、2B、1C>1D>1

28

4、以下說法錯誤的選項是（）

A?"log、a>log3b〃是“打嗎），充分不必要條件；

B.aa,0WR,使sin（a+0）=sina+sin0；

3

C.ameR,使f(x)=H。是塞函數(shù),且在(0,

+◎上單調遞增；

D.命題叼x￡R,x2+l>3x的否認是

“Vx￡R,x2+l<3xz,；

x+y-2<0

5、口滿足約束條件<x-2>'-2<0,假設z=y—ax取得最

2x-y+2>0

大值的最優(yōu)解不唯一，那么實數(shù)〃的值為

A、；或一1B、2或；/\K

C、2或tD、2或1

6.某師傅用鐵皮制作一封閉的工件，料視圖值

如下圖(單位長匕平

度：w圖中水平線與豎線垂直)，班玄制作

該工件用去的鐵皮

的面積為(制作過程鐵皮的損耗和厚度忽略不

計)()

A?100(3+6)由2B.200(3+75w

2

C.300(3+石)a/D.300cw

7.某教研機構隨機抽取某校20個班黑，蠲查各班

關蹩爆^學生人數(shù),根據(jù)所得數(shù)顯&湛羲

以組距為5

將數(shù)據(jù)分組成[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),

[30,35),[35,40]時,所作的頻率分布直方圖如下圖，

那么

原始莖葉圖可能是()

4

(■174076074074

1764410176544017744401764440

27554210275542102755521028765210

395320395320395320395520

ABCD

8.定義：假設函數(shù)小)的圖象經(jīng)過變換T后所得

圖象對應函數(shù)的值域與小)的值域相同，那么稱

變換T是小)的同值變換.下面給出四個函數(shù)及其

對應的變換7,其中T不屬于小)的同值變換的是

()

A./(x)=(x-1)2,T：將函數(shù)“X)的圖象關于y軸對稱

B.f(x)=2*T-1,將函數(shù)/(x)的圖象關于x軸對稱

C./(x)=2x+3,T*將函數(shù)小)的圖象關于點(』)對

稱

D./(x)=sin"升T：將函數(shù)“X)的圖象關于點(—1,0)對

稱

二、填空題：(本大題共7小題，考生作答6小

題，每題5分，總分值30分.本大題分為必做

題和選做題兩局部.)

(一)必做題(9?13題)

9、不等式的解集為o

10.等差數(shù)列｛叫滿足。2+。4+。2012+。2014=8,且S,是該數(shù)

列的前〃和，那么立片O

11、如圖，設甲地到乙地有4條路可走，乙地到

5

丙地有5條路可走,那么，由甲地經(jīng)乙地到丙地,

再由丙地經(jīng)乙地返回甲地，共有種不同走

法。

第11題圖A

12.如圖，在AA6C中fNB=9點。在RCH9

那么cosZBA￡>=?//

13.執(zhí)行如下圖的程序框圖,如果輸入的;eR謂,

第12題圖

那么輸出的S的取值范圍是o

（二）選做題（14?15題，考生只能從中選做

一題）

14.（坐標系與參數(shù)方程選做題）在極坐標系中，

定點小,?,點8在直線

「cos6+G/?sin9=09當線段.最短時,盧B的

極坐標為

15.（幾何證明選做題）如圖4,必與圓。相切于A,

PCB為圓0

的割線，并且不過圓心09ZBPA^30°9PA=2y/3f

PC、那么圓。的半徑等于.

三、解答題，本大題共6小題，總分值80分.解

答須寫出文字說明、證明過程、演算步驟。

16.（此題總分值12分）函數(shù)/（九）=Asin（￡x+?）,xeR,

且/（—2015）=3?

⑴求A的值；

（2）指出函數(shù)?。┰谛挠纳系膯握{區(qū)間（不要求

過程）

（3）假設+/（7+1）=|,ae[0,^]9求cos2a.

17.（此題總分值12分）隨著三星S6手機的上市,

很多消費者覺得價格偏高，尤其是大局部學生可

望而不可及，因此我市沃爾瑪”三星手機專賣

店〃推出無抵押分期付款購置方式，該店對最近

100名采用分期付款的購置者進行統(tǒng)計，統(tǒng)計結

果如下表所示：

7

付款分1分2分3分4分5

方式期期期期期

頻

3525a10b

數(shù)

分3期付款的頻率為0.15,并且該店銷售一部三

星S6手機，顧客分1期付款，其利潤為1000元;

分2期或3期付款，其利潤為1500元；分4期

或5期付款，其利潤為2000元，以頻率作為概

率，以此樣本估計總體，試解決以下問題.

(1)求事件A：“購置的3名顧客中，恰好有1

名顧客分4期付款〃的概率；

蕨搦慈舞重部三星s'手機的利潤，求x

18.(本小題總分值14分)如圖，在三棱錐P下ABC

中，PA1面ABC9ZBAC=120°f且AB=AC^APfM為PB的中

點，N在BcJl，且4、)

(1)求證：MN1AB；

⑵求二面角P-AN-M的余弦值.V

19.(此題總分值14分)數(shù)列⑷的前〃項和為s”,

首項可=i,且對

于任意〃eM都有2s,一〃6用=0.數(shù)列也J滿足”,=工,T(n)

是數(shù)

8

列h｝的前〃項和，

(1)求數(shù)列㈤的通項公式；

(2)用數(shù)學歸納法證明：當心2時，

n+7(1)+T⑵+7(3)+……+T("-1)=nT(n).

(3)設A,=Ja。+M&3+.….?+Ja,a“+i,試證：

〃(〃+D,.,5+1)2

<&<?

22

20.(本小題總分值14分)a>0,且awl函數(shù)

x

f(x)=loSa(l-a)o

(1)求函數(shù)小)的定義域，判斷并證明個)的單

調性；

(2)當a=eQ為自然對數(shù)的底數(shù))時，設

h(x)=(1-efM)(x2-m+l),假設函數(shù)h(x)的極值存在，求

實數(shù)”的取值范圍以及函數(shù)3)的極值。

2L(本小題總分值14分)橢圓CM討

￡+￡=l(a>…)的一個焦點為F(V2,0)

其短軸上的一個端點到廠的距

M

(1)求橢圓C的離心率及其械

(2)點P是圓G：，+y2=4上的動總

過點。作橢圓。的切線/從交圓G于點

求證：線段W的長為定值。

數(shù)學(理科)參考答案

9

一、選擇題：DBADCAAB

二、填空題：

13

9、(-oo,l)10、403011、40012、

14

13、[-3,6]

14、/

111乃_,],

1,----FLKTCZ￡Z

6)

15、r=7?

說明:

14.填0,陰?【解析】A點的直角坐標為4(0-2),直線

的直角坐標方程x+^/3y=0,

AB9

ll,nin此時夕=|。/=’(-2)2一(⑹2f,由

41+網(wǎng)

夕cos0+\/3/9sin6=0

知，*等，所以點B的極坐標為］用.

15.填7.【解析】因為ZBPA=30。，PA=2』9所以PD=4f

AD=2f由切割線定理可得灰=PC依，由此可得PB=12,

于是08=89CD=39由相交弦定理可得

CDDB=ADED9即3x8=2(2r-2),于是r=7?

10

三、解答題：

16、解：（1）由題意：

，/OA1CA”—2015萬吟—」（一1007吟Zk\

/（-2015）=A人sinl--------F（—I=Asm\-ZJ/

-1007^+1008^-

=Asin

2

=Asin]=A??….（2分）

所以A=3.......（4

分）

⑵函數(shù)f（x）的單調增區(qū)間為同、[5,8],……（5

分）

單調減區(qū)間為[⑸……（6分）

⑶因為

/4a八/4a八）「乃Aa八，乃1,0?（萬，4a，八，不、

'（乃）（乃）（4乃4J14兀4J

=3sina+3sin（a+=3sina+3cosa=（（7分）

J^T以sina+cosa=（,ae[0,7i\（8分）

方法一:

由（sina+cosa）2=與可得：2sinacosa=~~~<。,

即sin2a=—II......（9分）

又因為ae[0,乃]，sina+cosa=—>0

5

11

91

所:以白^]洋所以2ae乃,芳9所以cos2a<0...........(10

分）

所以由sin22a+cos2la-1得到：……（U分）

cos2a=-Jl-sin22a=-Jl-（--）2=---??….（12分）

24

方法二：由(sina+cosa)2=上可得:2sinacosa=-----<0,

25

又因為ae[0,?],所以W，乃，所以

coscr<0,sincr>0（9分）

49

所以1-2sinacosa=（sincr-cosa）2

25

所以sina-cosa=（.,，….（10分）

分

律

1解4z1

(1

一

聯(lián)立sina+cosa一-5-5\

月f以cos2a=cos?a-sin2a=-]...........（12分）

也可以cos2a=2cos2a-1=-（??????（12分）

還可以cos2a=l-2sin2a-~~?.….(12分)

說明:此題主要考察三角函數(shù)的性質，倍角公式,

三角特殊值的理解記憶，誘導公式，同角三角函

數(shù)的根本關系以及取值的符號規(guī)律?？此坪唵?

由于涉及的根底知識很多，很容易出錯。能很好

12

的考查學生的耐心與細心。

17、解：（1）由題意知：隨機抽取一位購置者,

分4期付款的概率為O』……（1分）

所以

P（A）-CjxO.lx0.92-0.243.................................................................（3分）

（2）由j^=0.15,得”=15,

因為35+25+4+10+6=100,所以

b=\5,..................（4分）

記分期付款的期數(shù)為一依題意得?（"1）=。35,

PC=2）=0.25,PC=3）=0.15,p（g=4）=0.1,PC=5）=0.15,

因為X的可能取值為1000元,1500元，2000元

并且易知

P（X=1000）=24=1）=0.35,......................................................................（5

分）

P(X=1500)=P(g=2)+PC=3)=0.4,.................................................................

(6分)

P(X=2500)=P4=4)+PC=5)=0.1+0.15=0.25...............................................

…(7分)

101520

X

000000

所以X的分布0.30.2列

P0.4

55

為...........（10分）

所以x的數(shù)學期望為

E（X）=1000x0.35+1500x0.4+2000x0.25=1450（7G）.........................（12

分）

說明：此題考查獨立重復事件的概率，離散型隨

機事件的分布列與數(shù)學期望。

18、解：（1）不妨設AC=AP=lf

在AABC

BC2=12+12-2xlxlcosl20°=3,

??BC—、/5,

BN=gc=與,..........................（2分）

所以空=網(wǎng)，

BCAB'

又NABC=/NBA,

?\△NBAs/\ABC,且ANBA也為等腰三角

形......（4分）

也可以利用勾股定理證明/NAC=90。

（也可以直接過點A作BC的垂線,

垂足為點H,然后證明點H與點N重合。）

14

（法一）取AB中點Q,連接MQ、NQ,JNQ工AB,

MQ//PA

,**PAI.面ABC，

?e?PALABfMQLABf...............（6分）

所以AB_L平面MNQ,又MNu平面

MNQ

AAB±MN.................（7分）

oo

（法二）NBAN-30°f那么ZA^C-120-30-90°,以A為坐

標原點，麗的方向為x軸正方向，建立

如下圖的空間直角坐標系

可得A（0,0,0），B（g,—2,0）,

22

M（坐,—：，］,N（9,0,0）,...........................（5分）

,~TD1/百11、

??AB=（-；；-,一不0）,MN=（：,：,一二）

221242

那么初痂=0,所以MN1AB...................（7

分）

.Z

（2）同（1）法二建立空間直角坐標系,

C（0,l,0）,/

平面PAN的法向量可取為前=（0,1,0）,.............（9

分）

設平面ANM的法向量為m=（x,y,z），

AM=g,—；$,AN=（y-,0,0）,.............（10分）

15

—x--y+-z=Q

那么m-AM=0即4：2，可取

m?AN=02=0

I3

m=（0,2,1）f（12分）

/.cos<m,AC>=竺"=撞9（13分）

\m\\AC\5

故平面MAN與平面PAN的夾角的余弦值

..........................（14分）

說明：此題考查空間點線面的位置關系，空

間垂直關系，二面角的求法等。

19、解：（1）由題意可知：①當〃=1時，2s「％=0,

所以％=2,=2%=2（1分）

②又有2s,M一（〃+1）*=。，所以

2（S“T一S,.）-（〃+Da.+〃。，,+1=。

所以2a田一（〃+1）氏+2+〃4用=0????.....................（2分）

所以（〃+1）。/2=（〃+2）?！?1艮口對任意〃e=

%+in+1

由①可知”=申,所以對

q1

如.......（3分）

an?

以an=a〕x—x—x……x=1X—X—x……x—^―=n

%a2a?_,12n-\

即知=〃對任意〃€也成立。.......（5分）

（2）由（1）可知勿,，現(xiàn)用數(shù)學歸納法

n

證明如下

①當“=2時，左邊=2+T⑴=2+々=2+1=3,

右邊=2T（2）=2x（l+g）=3=左邊，所以〃=2時結論

成立.......（6分J?

16

②假設當”女人2)時結論成立，即

左+T⑴+T(2)+T(3)++T(k1)=kT(k)成立........

(7分)

③那么當〃=左+1時，

女+1+7(1)+T(2)+7(3)++T(Z—1)+T(k)

=kT(k)+T(k)+1=(左+V)T(k)+1

一+D(?+出)=伏+1)小1)..........(9分)

綜上，當心2時，

n+T(l)+7(2)+T(3)+……+T("-1)=nT(n)結論成立。

.......(10分)

(3)由(1)知=JlX2+X3+...+J〃(幾+1)9

先證左邊式子：

由于向77-1-1)>4^=2

所以

4=71^2+72^3+….+,〃5+1)>1+2+3+….+〃=1)

.......(12分)

再證右邊式子：由于歷而〈生產(chǎn)=〃+4

22

所以A〃=JlX2+5/2x3+...+J九(AZ+1)<1+2+...+n+~

_n(n+1)?〃—+2幾，(〃+1)2.......(14分)

2222〃

綜上，對任意都有誓以從

說明：本小題第一小問5分，由于做法寫法不一,

17

可以根據(jù)情況，只要能夠有效算出通項公式％=〃

的都給5分。第二小問5分，能表達歸納法步驟

沒有做對的給1分，做對的情況根據(jù)標準給分，

第3問兩個不等式各2分，共4分。此題考查了

通項公式的求法，數(shù)學歸納法，以及放縮法證明

數(shù)列型不等式的根本方法。方法指向明確，屬于

常見的通性通法的考查。

20、解：本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)應用等根底

知識、考查分類整合思想、推理和運算能力。(1)

由題意知1-優(yōu)>0,....................(1分)

所以對于任意"。，且"1都有

……口分)

所以①當0<”1時,函數(shù)小)的定義域為(。,同；且

在(04)是減函數(shù)。……在分)

②當4>1時，函數(shù)/(x)的定乂域為(一8,0)；且在(-8,0)

是減函數(shù)。……(5分)

說明：也可以利用復合函數(shù)的單調性來說明單

調性(判斷單調性2分，定義域各1分，給出1.優(yōu)>0

給1分，本小題共5分)。

(2)由(1)知

Mx)=ex(x2-〃?+l)(x<0),所以/(x)=ex(x24-2x-m+l)??….(6分)

令〃(x)=0,即f+2x—m+1=0,由題意應有ANO,即加20........(7分)

①當m=0時，//(x)=o有實根X=-1,在x=-l點左右兩

18

側均有如）〉0故無極值

……（8分）

②當0<m<l時，如）=0有兩個實根玉=—1—Vm,x2=—l+Vm???

（9分）

當x變化時，如）、砥）的變化情況如下表所示:

X（一00,玉）為(%,%)X2(々,0)

hf(x)+0■0+

極極

h(x)/

大值小值

③??小幻的極大值為2e+赤（1+瘋）,〃（x）的極小值為

2e-"詬（1一詬）...（12分）

④當於1時，仇x）=0在定義域內(nèi)有一個實根，

x=-1-Vm

同上可得網(wǎng)幻的極大值為2/3（1+而.......[13

分）

綜上所述，me（0,+oo）時，函數(shù)/z（x）有極值；

當0<機<1時〃（x）的極大值為2e?詬（1+詬），〃（x）的極小值

為2e*篇（1-詬）

當m>\時，〃（x）的極大值為

2e+而（1+而）..........（14分）

說明：此題考查由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)構造的復

合函數(shù)的定義域，單調性，以及利用導數(shù)研究函

19

數(shù)性質的根本方法，此題很好的考查學生對數(shù)學

本質的認識與理解。

21＞解：（1）由題意容易知道：

a=V3,c=V29??...............（1分）

所以b=yja1-c1=1.........................（2

分）

所以e，邛，.......