汕頭市2023屆普通高考第二次模擬考試(理數(shù))

精選汕頭市2023屆普通高考第

二次模擬考試（理數(shù)）

汕頭市2023屆普通高考第二次模擬考試

數(shù)學(xué)（理科）

本試卷共4頁(yè),21小題,總分值150分.考

試用時(shí)120分鐘.

考前須知：

1.答卷前，考生首先檢查答題卡是否整潔

無(wú)缺損，監(jiān)考教師分發(fā)的考生信息條形

碼是否正確；之后務(wù)必用0.5毫米黑色

字跡的簽字筆在答題卡指定位置填寫(xiě)自

己的學(xué)校、姓名和考生號(hào)，同時(shí)，將監(jiān)

考教師發(fā)放的條形碼正向準(zhǔn)確粘貼在答

題卡的貼條形碼區(qū)，請(qǐng)保持條形碼整潔、

不污損.

2.選擇題每題選出答案后，用2B鉛筆把答

題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需

改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答

案，答案不能答在試卷上.不按要求填

涂的，答案無(wú)效.

3.非選擇題必須用0.5毫米黑色字跡的簽

字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上，請(qǐng)注意每題答

題空間，預(yù)先合理安排；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案;

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求

作答的答案無(wú)效.

4.作答選做題時(shí)，請(qǐng)先用2B鉛筆填涂選做

2

題的題號(hào)對(duì)應(yīng)的信息點(diǎn)，再做答.漏涂、

錯(cuò)涂、多涂的答案無(wú)效.

5.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，

將答題卡交回.

參考公式：

①體積公式：唳體=$腺體=/其中匕分別

是體積、底面積和高；

一、選擇題：（本大題共8小題，每題5分，總

分值40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一

項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的）.

1、集合A={1,2z2,zi},B={2,4},i為虛數(shù)單位,假設(shè)

AAB={2},那么純虛數(shù)z為（）

A.iB.-iC.2i

D.-2i

2、隨機(jī)變量x服從正態(tài)分布N（5,4）,且

P（X>Z）=P（X<"4）,那么人的值為（）

A.6B.7

C.8D.9

3、拋物線y=%的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）

4

A、2B、1C>1D>1

28

4、以下說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng)是（）

A?"log、a>log3b〃是“打嗎），充分不必要條件；

B.aa,0WR,使sin（a+0）=sina+sin0；

3

C.ameR,使f(x)=H。是塞函數(shù),且在(0,

+◎上單調(diào)遞增；

D.命題叼x￡R,x2+l>3x的否認(rèn)是

“Vx￡R,x2+l<3xz,；

x+y-2<0

5、口滿足約束條件<x-2>'-2<0,假設(shè)z=y—ax取得最

2x-y+2>0

大值的最優(yōu)解不唯一，那么實(shí)數(shù)〃的值為

A、；或一1B、2或；/\K

C、2或tD、2或1

6.某師傅用鐵皮制作一封閉的工件，料視圖值

如下圖(單位長(zhǎng)匕平

度：w圖中水平線與豎線垂直)，班玄制作

該工件用去的鐵皮

的面積為(制作過(guò)程鐵皮的損耗和厚度忽略不

計(jì))()

A?100(3+6)由2B.200(3+75w

2

C.300(3+石)a/D.300cw

7.某教研機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取某校20個(gè)班黑，蠲查各班

關(guān)蹩爆^學(xué)生人數(shù),根據(jù)所得數(shù)顯&湛羲

以組距為5

將數(shù)據(jù)分組成[0,5),[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),

[30,35),[35,40]時(shí),所作的頻率分布直方圖如下圖，

那么

原始莖葉圖可能是()

4

(■174076074074

1764410176544017744401764440

27554210275542102755521028765210

395320395320395320395520

ABCD

8.定義：假設(shè)函數(shù)小)的圖象經(jīng)過(guò)變換T后所得

圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的值域與小)的值域相同，那么稱

變換T是小)的同值變換.下面給出四個(gè)函數(shù)及其

對(duì)應(yīng)的變換7,其中T不屬于小)的同值變換的是

()

A./(x)=(x-1)2,T：將函數(shù)“X)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱

B.f(x)=2*T-1,將函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱

C./(x)=2x+3,T*將函數(shù)小)的圖象關(guān)于點(diǎn)(』)對(duì)

稱

D./(x)=sin"升T：將函數(shù)“X)的圖象關(guān)于點(diǎn)(—1,0)對(duì)

稱

二、填空題：(本大題共7小題，考生作答6小

題，每題5分，總分值30分.本大題分為必做

題和選做題兩局部.)

(一)必做題(9?13題)

9、不等式的解集為o

10.等差數(shù)列｛叫滿足。2+。4+。2012+。2014=8,且S,是該數(shù)

列的前〃和，那么立片O

11、如圖，設(shè)甲地到乙地有4條路可走，乙地到

5

丙地有5條路可走,那么，由甲地經(jīng)乙地到丙地,

再由丙地經(jīng)乙地返回甲地，共有種不同走

法。

第11題圖A

12.如圖，在AA6C中fNB=9點(diǎn)。在RCH9

那么cosZBA￡>=?//

13.執(zhí)行如下圖的程序框圖,如果輸入的;eR謂,

第12題圖

那么輸出的S的取值范圍是o

（二）選做題（14?15題，考生只能從中選做

一題）

14.（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題）在極坐標(biāo)系中，

定點(diǎn)小,?,點(diǎn)8在直線

「cos6+G/?sin9=09當(dāng)線段.最短時(shí),盧B的

極坐標(biāo)為

15.（幾何證明選做題）如圖4,必與圓。相切于A,

PCB為圓0

的割線，并且不過(guò)圓心09ZBPA^30°9PA=2y/3f

PC、那么圓。的半徑等于.

三、解答題，本大題共6小題，總分值80分.解

答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程、演算步驟。

16.（此題總分值12分）函數(shù)/（九）=Asin（￡x+?）,xeR,

且/（—2015）=3?

⑴求A的值；

（2）指出函數(shù)?。┰谛挠纳系膯握{(diào)區(qū)間（不要求

過(guò)程）

（3）假設(shè)+/（7+1）=|,ae[0,^]9求cos2a.

17.（此題總分值12分）隨著三星S6手機(jī)的上市,

很多消費(fèi)者覺(jué)得價(jià)格偏高，尤其是大局部學(xué)生可

望而不可及，因此我市沃爾瑪”三星手機(jī)專賣(mài)

店〃推出無(wú)抵押分期付款購(gòu)置方式，該店對(duì)最近

100名采用分期付款的購(gòu)置者進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，統(tǒng)計(jì)結(jié)

果如下表所示：

7

付款分1分2分3分4分5

方式期期期期期

頻

3525a10b

數(shù)

分3期付款的頻率為0.15,并且該店銷(xiāo)售一部三

星S6手機(jī)，顧客分1期付款，其利潤(rùn)為1000元;

分2期或3期付款，其利潤(rùn)為1500元；分4期

或5期付款，其利潤(rùn)為2000元，以頻率作為概

率，以此樣本估計(jì)總體，試解決以下問(wèn)題.

(1)求事件A：“購(gòu)置的3名顧客中，恰好有1

名顧客分4期付款〃的概率；

蕨搦慈舞重部三星s'手機(jī)的利潤(rùn)，求x

18.(本小題總分值14分)如圖，在三棱錐P下ABC

中，PA1面ABC9ZBAC=120°f且AB=AC^APfM為PB的中

點(diǎn)，N在BcJl，且4、)

(1)求證：MN1AB；

⑵求二面角P-AN-M的余弦值.V

19.(此題總分值14分)數(shù)列⑷的前〃項(xiàng)和為s”,

首項(xiàng)可=i,且對(duì)

于任意〃eM都有2s,一〃6用=0.數(shù)列也J滿足”,=工,T(n)

是數(shù)

8

列h｝的前〃項(xiàng)和，

(1)求數(shù)列㈤的通項(xiàng)公式；

(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)心2時(shí)，

n+7(1)+T⑵+7(3)+……+T("-1)=nT(n).

(3)設(shè)A,=Ja。+M&3+.….?+Ja,a“+i,試證：

〃(〃+D,.,5+1)2

<&<?

22

20.(本小題總分值14分)a>0,且awl函數(shù)

x

f(x)=loSa(l-a)o

(1)求函數(shù)小)的定義域，判斷并證明個(gè))的單

調(diào)性；

(2)當(dāng)a=eQ為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))時(shí)，設(shè)

h(x)=(1-efM)(x2-m+l),假設(shè)函數(shù)h(x)的極值存在，求

實(shí)數(shù)”的取值范圍以及函數(shù)3)的極值。

2L(本小題總分值14分)橢圓CM討

￡+￡=l(a>…)的一個(gè)焦點(diǎn)為F(V2,0)

其短軸上的一個(gè)端點(diǎn)到廠的距

M

(1)求橢圓C的離心率及其械

(2)點(diǎn)P是圓G：，+y2=4上的動(dòng)總

過(guò)點(diǎn)。作橢圓。的切線/從交圓G于點(diǎn)

求證：線段W的長(zhǎng)為定值。

數(shù)學(xué)(理科)參考答案

9

一、選擇題：DBADCAAB

二、填空題：

13

9、(-oo,l)10、403011、40012、

14

13、[-3,6]

14、/

111乃_,],

1,----FLKTCZ￡Z

6)

15、r=7?

說(shuō)明:

14.填0,陰?【解析】A點(diǎn)的直角坐標(biāo)為4(0-2),直線

的直角坐標(biāo)方程x+^/3y=0,

AB9

ll,nin此時(shí)夕=|。/=’(-2)2一(⑹2f,由

41+網(wǎng)

夕cos0+\/3/9sin6=0

知，*等，所以點(diǎn)B的極坐標(biāo)為］用.

15.填7.【解析】因?yàn)閆BPA=30。，PA=2』9所以PD=4f

AD=2f由切割線定理可得灰=PC依，由此可得PB=12,

于是08=89CD=39由相交弦定理可得

CDDB=ADED9即3x8=2(2r-2),于是r=7?

10

三、解答題：

16、解：（1）由題意：

，/OA1CA”—2015萬(wàn)吟—」（一1007吟Zk\

/（-2015）=A人sinl--------F（—I=Asm\-ZJ/

-1007^+1008^-

=Asin

2

=Asin]=A??….（2分）

所以A=3.......（4

分）

⑵函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為同、[5,8],……（5

分）

單調(diào)減區(qū)間為[⑸……（6分）

⑶因?yàn)?/p>

/4a八/4a八）「乃Aa八，乃1,0?（萬(wàn)，4a，八，不、

'（乃）（乃）（4乃4J14兀4J

=3sina+3sin（a+=3sina+3cosa=（（7分）

J^T以sina+cosa=（,ae[0,7i\（8分）

方法一:

由（sina+cosa）2=與可得：2sinacosa=~~~<。,

即sin2a=—II......（9分）

又因?yàn)閍e[0,乃]，sina+cosa=—>0

5

11

91

所:以白^]洋所以2ae乃,芳9所以cos2a<0...........(10

分）

所以由sin22a+cos2la-1得到：……（U分）

cos2a=-Jl-sin22a=-Jl-（--）2=---??….（12分）

24

方法二：由(sina+cosa)2=上可得:2sinacosa=-----<0,

25

又因?yàn)閍e[0,?],所以W，乃，所以

coscr<0,sincr>0（9分）

49

所以1-2sinacosa=（sincr-cosa）2

25

所以sina-cosa=（.,，….（10分）

分

律

1解4z1

(1

一

聯(lián)立sina+cosa一-5-5\

月f以cos2a=cos?a-sin2a=-]...........（12分）

也可以cos2a=2cos2a-1=-（??????（12分）

還可以cos2a=l-2sin2a-~~?.….(12分)

說(shuō)明:此題主要考察三角函數(shù)的性質(zhì)，倍角公式,

三角特殊值的理解記憶，誘導(dǎo)公式，同角三角函

數(shù)的根本關(guān)系以及取值的符號(hào)規(guī)律?？此坪?jiǎn)單,

由于涉及的根底知識(shí)很多，很容易出錯(cuò)。能很好

12

的考查學(xué)生的耐心與細(xì)心。

17、解：（1）由題意知：隨機(jī)抽取一位購(gòu)置者,

分4期付款的概率為O』……（1分）

所以

P（A）-CjxO.lx0.92-0.243.................................................................（3分）

（2）由j^=0.15,得”=15,

因?yàn)?5+25+4+10+6=100,所以

b=\5,..................（4分）

記分期付款的期數(shù)為一依題意得?（"1）=。35,

PC=2）=0.25,PC=3）=0.15,p（g=4）=0.1,PC=5）=0.15,

因?yàn)閄的可能取值為1000元,1500元，2000元

并且易知

P（X=1000）=24=1）=0.35,......................................................................（5

分）

P(X=1500)=P(g=2)+PC=3)=0.4,.................................................................

(6分)

P(X=2500)=P4=4)+PC=5)=0.1+0.15=0.25...............................................

…(7分)

101520

X

000000

所以X的分布0.30.2列

P0.4

55

為...........（10分）

所以x的數(shù)學(xué)期望為

E（X）=1000x0.35+1500x0.4+2000x0.25=1450（7G）.........................（12

分）

說(shuō)明：此題考查獨(dú)立重復(fù)事件的概率，離散型隨

機(jī)事件的分布列與數(shù)學(xué)期望。

18、解：（1）不妨設(shè)AC=AP=lf

在AABC

BC2=12+12-2xlxlcosl20°=3,

??BC—、/5,

BN=gc=與,..........................（2分）

所以空=網(wǎng)，

BCAB'

又NABC=/NBA,

?\△NBAs/\ABC,且ANBA也為等腰三角

形......（4分）

也可以利用勾股定理證明/NAC=90。

（也可以直接過(guò)點(diǎn)A作BC的垂線,

垂足為點(diǎn)H,然后證明點(diǎn)H與點(diǎn)N重合。）

14

（法一）取AB中點(diǎn)Q,連接MQ、NQ,JNQ工AB,

MQ//PA

,**PAI.面ABC，

?e?PALABfMQLABf...............（6分）

所以AB_L平面MNQ,又MNu平面

MNQ

AAB±MN.................（7分）

oo

（法二）NBAN-30°f那么ZA^C-120-30-90°,以A為坐

標(biāo)原點(diǎn)，麗的方向?yàn)閤軸正方向，建立

如下圖的空間直角坐標(biāo)系

可得A（0,0,0），B（g,—2,0）,

22

M（坐,—：，］,N（9,0,0）,...........................（5分）

,~TD1/百11、

??AB=（-；；-,一不0）,MN=（：,：,一二）

221242

那么初痂=0,所以MN1AB...................（7

分）

.Z

（2）同（1）法二建立空間直角坐標(biāo)系,

C（0,l,0）,/

平面PAN的法向量可取為前=（0,1,0）,.............（9

分）

設(shè)平面ANM的法向量為m=（x,y,z），

AM=g,—；$,AN=（y-,0,0）,.............（10分）

15

—x--y+-z=Q

那么m-AM=0即4：2，可取

m?AN=02=0

I3

m=（0,2,1）f（12分）

/.cos<m,AC>=竺"=撞9（13分）

\m\\AC\5

故平面MAN與平面PAN的夾角的余弦值

..........................（14分）

說(shuō)明：此題考查空間點(diǎn)線面的位置關(guān)系，空

間垂直關(guān)系，二面角的求法等。

19、解：（1）由題意可知：①當(dāng)〃=1時(shí)，2s「％=0,

所以％=2,=2%=2（1分）

②又有2s,M一（〃+1）*=。，所以

2（S“T一S,.）-（〃+Da.+〃。，,+1=。

所以2a田一（〃+1）氏+2+〃4用=0????.....................（2分）

所以（〃+1）。/2=（〃+2）?！?1艮口對(duì)任意〃e=

%+in+1

由①可知”=申,所以對(duì)

q1

如.......（3分）

an?

以an=a〕x—x—x……x=1X—X—x……x—^―=n

%a2a?_,12n-\

即知=〃對(duì)任意〃€也成立。.......（5分）

（2）由（1）可知勿,，現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法

n

證明如下

①當(dāng)“=2時(shí)，左邊=2+T⑴=2+々=2+1=3,

右邊=2T（2）=2x（l+g）=3=左邊，所以〃=2時(shí)結(jié)論

成立.......（6分J?

16

②假設(shè)當(dāng)”女人2)時(shí)結(jié)論成立，即

左+T⑴+T(2)+T(3)++T(k1)=kT(k)成立........

(7分)

③那么當(dāng)〃=左+1時(shí)，

女+1+7(1)+T(2)+7(3)++T(Z—1)+T(k)

=kT(k)+T(k)+1=(左+V)T(k)+1

一+D(?+出)=伏+1)小1)..........(9分)

綜上，當(dāng)心2時(shí)，

n+T(l)+7(2)+T(3)+……+T("-1)=nT(n)結(jié)論成立。

.......(10分)

(3)由(1)知=JlX2+X3+...+J〃(幾+1)9

先證左邊式子：

由于向77-1-1)>4^=2

所以

4=71^2+72^3+….+,〃5+1)>1+2+3+….+〃=1)

.......(12分)

再證右邊式子：由于歷而〈生產(chǎn)=〃+4

22

所以A〃=JlX2+5/2x3+...+J九(AZ+1)<1+2+...+n+~

_n(n+1)?〃—+2幾，(〃+1)2.......(14分)

2222〃

綜上，對(duì)任意都有誓以從

說(shuō)明：本小題第一小問(wèn)5分，由于做法寫(xiě)法不一,

17

可以根據(jù)情況，只要能夠有效算出通項(xiàng)公式％=〃

的都給5分。第二小問(wèn)5分，能表達(dá)歸納法步驟

沒(méi)有做對(duì)的給1分，做對(duì)的情況根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)給分，

第3問(wèn)兩個(gè)不等式各2分，共4分。此題考查了

通項(xiàng)公式的求法，數(shù)學(xué)歸納法，以及放縮法證明

數(shù)列型不等式的根本方法。方法指向明確，屬于

常見(jiàn)的通性通法的考查。

20、解：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用等根底

知識(shí)、考查分類整合思想、推理和運(yùn)算能力。(1)

由題意知1-優(yōu)>0,....................(1分)

所以對(duì)于任意"。，且"1都有

……口分)

所以①當(dāng)0<”1時(shí),函數(shù)小)的定義域?yàn)?。,同；且

在(04)是減函數(shù)。……在分)

②當(dāng)4>1時(shí)，函數(shù)/(x)的定乂域?yàn)?一8,0)；且在(-8,0)

是減函數(shù)?！?5分)

說(shuō)明：也可以利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性來(lái)說(shuō)明單

調(diào)性(判斷單調(diào)性2分，定義域各1分，給出1.優(yōu)>0

給1分，本小題共5分)。

(2)由(1)知

Mx)=ex(x2-〃?+l)(x<0),所以/(x)=ex(x24-2x-m+l)??….(6分)

令〃(x)=0,即f+2x—m+1=0,由題意應(yīng)有ANO,即加20........(7分)

①當(dāng)m=0時(shí)，//(x)=o有實(shí)根X=-1,在x=-l點(diǎn)左右兩

18

側(cè)均有如）〉0故無(wú)極值

……（8分）

②當(dāng)0<m<l時(shí)，如）=0有兩個(gè)實(shí)根玉=—1—Vm,x2=—l+Vm???

（9分）

當(dāng)x變化時(shí)，如）、砥）的變化情況如下表所示:

X（一00,玉）為(%,%)X2(々,0)

hf(x)+0■0+

極極

h(x)/

大值小值

③??小幻的極大值為2e+赤（1+瘋）,〃（x）的極小值為

2e-"詬（1一詬）...（12分）

④當(dāng)於1時(shí)，仇x）=0在定義域內(nèi)有一個(gè)實(shí)根，

x=-1-Vm

同上可得網(wǎng)幻的極大值為2/3（1+而.......[13

分）

綜上所述，me（0,+oo）時(shí)，函數(shù)/z（x）有極值；

當(dāng)0<機(jī)<1時(shí)〃（x）的極大值為2e?詬（1+詬），〃（x）的極小值

為2e*篇（1-詬）

當(dāng)m>\時(shí)，〃（x）的極大值為

2e+而（1+而）..........（14分）

說(shuō)明：此題考查由指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)構(gòu)造的復(fù)

合函數(shù)的定義域，單調(diào)性，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函

19

數(shù)性質(zhì)的根本方法，此題很好的考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)

本質(zhì)的認(rèn)識(shí)與理解。

21＞解：（1）由題意容易知道：

a=V3,c=V29??...............（1分）

所以b=yja1-c1=1.........................（2

分）

所以e，邛，.......