專題2-1 函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、中心對(duì)稱、軸對(duì)稱、周期性）（解析版）

專題2-1函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、中心對(duì)稱、軸對(duì)稱、周期性）目錄TOC\o"1-1"\h\u題型01奇偶性基礎(chǔ) 1題型02中心對(duì)稱型函數(shù) 3題型03軸對(duì)稱型函數(shù) 6題型04斜直線軸對(duì)稱型 8題型05“正余弦”型對(duì)稱 10題型06伸縮型對(duì)稱 13題型07一元三次函數(shù)型中心對(duì)稱 15題型08“局部周期”型函數(shù)性質(zhì) 18題型09雙函數(shù)型對(duì)稱 20題型10原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)型雙函數(shù)對(duì)稱 22題型11放大鏡型函數(shù)性質(zhì) 25題型12抽象函數(shù)賦值型性質(zhì) 29題型13對(duì)稱型恒成立求參 31題型14構(gòu)造“對(duì)稱”型函數(shù) 33高考練場(chǎng) 35題型01奇偶性基礎(chǔ)【解題攻略】奇偶函數(shù)的性質(zhì)①偶函數(shù)?f(－x)＝f(x)?關(guān)于y軸對(duì)稱?對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性相反；②奇函數(shù)?f(－x)＝－f(x)?關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?對(duì)稱區(qū)間的單調(diào)性相同；③奇函數(shù)在x＝0處有意義時(shí)，必有結(jié)論f(0)＝0；奇偶性的判定①“奇±奇”是奇，“偶±偶”是偶，“奇×/÷奇”是偶，“偶×/÷偶”是偶，“奇×/÷偶”是奇；②奇(偶)函數(shù)倒數(shù)或相反數(shù)運(yùn)算，奇偶性不變； ③奇(偶)函數(shù)的絕對(duì)值運(yùn)算，函數(shù)的奇偶性均為偶函數(shù)．【典例1-1】（2023秋·山西·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)為奇函數(shù)，則的值是（

）A．0 B． C．12 D．10【答案】D【分析】由奇函數(shù)的性質(zhì)可知，由此可以求出的值，進(jìn)而可以求出.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以，即，即或，顯然函數(shù)的定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，有，從而有，當(dāng)時(shí)，有，但，所以，即，所以.故選：D.【典例1-2】（2023秋·北京昌平·高三北京市昌平區(qū)前鋒學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知，則（

）A．為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增B．為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減C．為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增D．為奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞減【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)定義判斷函數(shù)的奇偶性以及結(jié)合指數(shù)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；【詳解】結(jié)合奇偶性定義，可知函數(shù)為奇函數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，在單調(diào)遞增，故在單調(diào)遞增，故選；C.【變式1-1】．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若為奇函數(shù)，則的解集為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用奇函數(shù)的定義求出a值，再由函數(shù)單調(diào)性求解不等式作答.【詳解】由為奇函數(shù)，得，解得，于是，而是減函數(shù)，是增函數(shù)，函數(shù)是R上的減函數(shù)，不等式，因此，所以不等式的解集為.故選：D【變式1-2】（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知是奇函數(shù)，則在處的切線方程是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義求出，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，即可得解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，化簡(jiǎn)可得，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意方程成立，故，所以，故，所以切線方程為，即.故選：B【變式1-3】．（2023秋·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)，，若對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由解析式、奇偶性定義判斷的單調(diào)性、奇偶性，再將條件化為在上恒成立，即可求范圍.【詳解】由在上單調(diào)遞增，且，即為奇函數(shù)，所以，則在上恒成立，所以.故選：C題型02中心對(duì)稱型函數(shù)【解題攻略】中心對(duì)稱結(jié)論：（1）若函數(shù)滿足，則的一個(gè)對(duì)稱中心為（2）若函數(shù)滿足，則的一個(gè)對(duì)稱中心為（3）若函數(shù)滿足，則的一個(gè)對(duì)稱中心為.【典例1-1】.已知函數(shù)，則存在非零實(shí)數(shù)，使得（）A． B．C． D．【答案】D【分析】判斷函數(shù)的奇偶性并求出其值域，根據(jù)值域可判斷A錯(cuò)誤；由函數(shù)的奇偶性可推出，此式不成立，故B錯(cuò)誤；由所給等式可知，此時(shí)不成立，故C錯(cuò)誤；由三角函數(shù)誘導(dǎo)公式可知，代入等式可得成立，故D正確.【詳解】，，，是定義在R上的奇函數(shù)，令，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，又函數(shù)為奇函數(shù)，，函數(shù)的值域?yàn)?，，不存在使得成立，A錯(cuò)誤；，若成立，則，又函數(shù)的值域?yàn)?，所以不成立，B錯(cuò)誤；若成立，則，不成立，C錯(cuò)誤；，則成立，故D正確.故選：D【典例1-2】函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為_(kāi)__________.【答案】-7【分析】由函數(shù)解析式可得兩函數(shù)圖象均關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0）對(duì)稱，進(jìn)而探討函數(shù)的單調(diào)性，然后畫(huà)出圖象的大致形狀，即可求得兩圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.【詳解】易知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0）對(duì)稱，設(shè)函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)為，則它關(guān)于（-1,0）的對(duì)稱點(diǎn)為，將其代入的解析式得：，即，于是函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（-1,0）對(duì)稱.又，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減.于是x=-2時(shí)，的極小值為，而，x=0時(shí)，的極大值為，而.現(xiàn)作出兩個(gè)函數(shù)的大致圖象，如圖：于是得到圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為：﹣1+（﹣2）×3=﹣7.故答案為：-7.【變式1-1】.設(shè)函數(shù)的最大值為5，則的最小值為（）A． B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)題意，設(shè)，利用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，得出是奇函數(shù)，結(jié)合條件得出的最大值和最小值，從而得出的最小值.解：由題可知，，設(shè)，其定義域?yàn)?，又，即，由于，即，所以是奇函?shù)，而，由題可知，函數(shù)的最大值為5，則函數(shù)的最大值為：5-3=2，由于是奇函數(shù)，得的最小值為-2，所以的最小值為：-2+3=1.故選：B.【變式1-2】已知函數(shù)，，若使關(guān)于的不等式成立，則實(shí)數(shù)的范圍為_(kāi)__________.【答案】【分析】證明函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，再判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而把不等式變形后應(yīng)用單調(diào)性化簡(jiǎn)，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值，利用換元法可得結(jié)果．【詳解】顯然函數(shù)定義域是，，∴的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，原不等式可化為，即，(*)設(shè)，則，∵，∴，∴，∴，即，，由得，∴，∴是增函數(shù)，不等式(*)化為，(**)令，∵，∴，不等式(**)化為，，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在，使不等式成立，當(dāng)時(shí)，的最小值為2．∴．故答案為：．【變式1-3】.函數(shù)的圖像可能是（）A． B．C． D．天津市耀華中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題【答案】D【分析】分析給定函數(shù)的奇偶性可排除兩個(gè)選項(xiàng)，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)并求出在0處的導(dǎo)數(shù)值即可判斷作答.【詳解】令，則其的定義域?yàn)?，，則函數(shù)是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，于是排除選項(xiàng)A，B；，于是得，即函數(shù)圖象在原點(diǎn)處切線斜率大于0，顯然選項(xiàng)C不滿足，D滿足.故選：D題型03軸對(duì)稱型函數(shù)【解題攻略】軸對(duì)稱性的常用結(jié)論如下：若函數(shù)滿足,則的一條對(duì)稱軸為若函數(shù)滿足,則的一條對(duì)稱軸為若函數(shù)滿足,則的一條對(duì)稱軸為(4)f(a－x)＝f(b＋x)?f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(a＋b,2)對(duì)稱；【典例1-1】．（2023上·重慶·高三重慶市忠縣忠州中學(xué)校校聯(lián)考）已知定義在上的函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，且對(duì)都有，若，則的取值范圍是．【答案】【分析】先根據(jù)條件得到函數(shù)的對(duì)稱性和單調(diào)性，進(jìn)而根據(jù)函數(shù)性質(zhì)解不等式即可.【詳解】函數(shù)為偶函數(shù)，即函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，又對(duì)都有，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由得，解得或故答案為：.【典例1-2】（2023上·江西景德鎮(zhèn)·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)滿足關(guān)系式，且對(duì)于，，滿足恒成立，若不等式對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【答案】【分析】由已知判定函數(shù)的對(duì)稱性與單調(diào)性，利用單調(diào)性去函數(shù)符號(hào)解一元二次不等式恒成立問(wèn)題即可.【詳解】由于，可知函數(shù)關(guān)于直線軸對(duì)稱，又對(duì)于恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則恒成立，則.故答案為：.【變式1-1】．（2023上·江蘇南通·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)定義在上的函數(shù)在單調(diào)遞減，且為偶函數(shù)，若，，且有，則的最小值為.【答案】【分析】由題意可得的對(duì)稱軸為，函數(shù)在單調(diào)遞增，若，，且有，則，結(jié)合基本不等式求解最值即可．【詳解】為偶函數(shù)，則，則的對(duì)稱軸為，函數(shù)在單調(diào)遞減，則函數(shù)在單調(diào)遞增，若，，且有，則，即，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且，，即時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為．故答案為：【變式1-2】（2023上·山東濟(jì)南·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則的值為．【答案】39【分析】先得到的圖象也關(guān)于對(duì)稱，觀察到為的兩個(gè)零點(diǎn)，故由對(duì)稱性可知，的另外兩個(gè)零點(diǎn)分別為，從而得到方程組，求出，令，求導(dǎo)得到其單調(diào)性和極值情況，畫(huà)出的圖象，進(jìn)而得到的圖象，根據(jù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合得到，從而得到答案.【詳解】由得，令，由于的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以的圖象也關(guān)于對(duì)稱，顯然為的兩個(gè)零點(diǎn)，故由對(duì)稱性可知，的另外兩個(gè)零點(diǎn)分別為，即，解得，故，令，則，故當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減，又，，畫(huà)出的圖象如下，

故的圖象是將圖象位于軸下方部分沿著軸翻折到軸上方即可，如下：

要想有且僅有4個(gè)零點(diǎn)，則，故.故答案為：39【變式1-3】．（2023上·陜西榆林·高三校考階段練習(xí)）函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且圖象關(guān)于對(duì)稱，在區(qū)間上，，則.【答案】/0.25【分析】根據(jù)對(duì)稱性和奇函數(shù)分析可得，進(jìn)而結(jié)合指對(duì)數(shù)運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：，則，可得，又因?yàn)?，即，則，所以.故答案為：.題型04斜直線軸對(duì)稱型【解題攻略】關(guān)于斜直線軸對(duì)稱，可以借鑒圓錐曲線中直線的對(duì)稱性來(lái)處理（1）點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則有；（2）直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決.如果斜直線軸對(duì)稱，還有以下經(jīng)驗(yàn)公式：如果對(duì)稱軸所在的直線斜率是，即直線是型，可以利用反解對(duì)稱軸法直接求出對(duì)稱變換式子(1)如果關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為；(2)如果關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則的坐標(biāo)為．【典例1-1】（2023上·重慶·高三西南大學(xué)附中?？迹┮阎瘮?shù)為奇函數(shù)，的函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，，則.【答案】/【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性可得關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，將代入即可求解.【詳解】由，用替換可得：，所以關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故，設(shè)，由于關(guān)于對(duì)稱，又當(dāng)時(shí)，，由于點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則在上，故，所以，解得，故.故答案為：【典例1-2】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，且其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，若當(dāng)時(shí)，，則.【答案】【分析】求得，又由，可得,根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，即可求解.【詳解】設(shè)點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，則關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，則，由時(shí)，，則，又，則，則，由圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則.故答案為：.【變式1-1】（2023上·遼寧大連·高三大連八中校考期中）已知函數(shù)，若曲線關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為．【答案】【分析】直線關(guān)于對(duì)稱，可從定義域出發(fā)判斷對(duì)稱軸的位置，進(jìn)一步結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性利用特殊值法即可得到實(shí)數(shù)的值，檢驗(yàn)后，即可的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，的定義域?yàn)閯t則的定義域?yàn)?，即函?shù)的定義域?yàn)?，又因?yàn)榍€關(guān)于直線對(duì)稱，則定義域也關(guān)于對(duì)稱，即，由對(duì)稱的性質(zhì)可知?jiǎng)t令可得代入函數(shù)得，則所以，則.當(dāng)時(shí)，驗(yàn)證是否關(guān)于對(duì)稱：成立；則.故答案為：.【變式1-2】（2023上·上海浦東新·高三華師大二附中校考）已知函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，且關(guān)于直線成軸對(duì)稱圖形，則．【答案】【分析】在函數(shù)的圖象上任取點(diǎn)，可得該點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)，代入函數(shù)式并比較求出b，再將給定點(diǎn)代入求出a得解.【詳解】在函數(shù)的圖象任取點(diǎn)，則該點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)在的圖象上，即，整理得，而有，因此，即有，又函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則，解得，所以.故答案為：6．1．Y=x對(duì)稱【變式1-3】（2021上·高一?？颊n時(shí)練習(xí)）若函數(shù)的圖象與且的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，根據(jù)對(duì)稱性可知解得的值即為所求.【詳解】令，即，解得：；與圖象關(guān)于對(duì)稱，.故選：A.題型05“正余弦”型對(duì)稱【解題攻略】（1）兩中心；（2）兩垂直軸則；（3）一個(gè)中心，一條軸，則【典例1-1】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值集合是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)條件判斷函數(shù)周期為，求出函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的解析式，將函數(shù)的零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖像，即可求解.【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)，，，即，的周期為.時(shí)，，，，，周期為4，，當(dāng)，當(dāng)，做出函數(shù)圖像，如下圖所示：令，當(dāng)，，，兩邊平方得，，此時(shí)直線與在函數(shù)圖像相切，與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，同理，直線與在函數(shù)圖像相切，與函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn)，則要使函數(shù)在內(nèi)與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，則滿足，周期為4，范圍也表示為，所以所有的取值范圍是.故選:D.【典例1-2】.定義在上的偶函數(shù)f（x）滿足f（－x）＋f（x－2）＝0，當(dāng)時(shí)，（已知），則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)條件，推出函數(shù)的對(duì)稱性，周期性和單調(diào)性，將自變量轉(zhuǎn)到區(qū)間內(nèi)，再根據(jù)單調(diào)性即可比較大小.【詳解】∵，，∴，∴的圖像關(guān)于直線和點(diǎn)對(duì)稱，∴的周期為4，當(dāng)時(shí)，，在遞增，由對(duì)稱性知在，遞減∴，，，又，，由條件知，，∴；故選：A.【變式1-1】已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A．函數(shù)是周期函數(shù)；B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；C．函數(shù)為上的偶函數(shù)；D．函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)周期性、對(duì)稱性、奇偶性、單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A，，所以是周期為的周期函數(shù)，故A正確.對(duì)于B，函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于對(duì)稱，向左平移個(gè)單位得到，橫坐標(biāo)再擴(kuò)大為原來(lái)的倍，所以關(guān)于對(duì)稱，故B正確.對(duì)于C，關(guān)于對(duì)稱，則，，所以為偶函數(shù)，故C正確.對(duì)于D，由于是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，軸兩側(cè)函數(shù)對(duì)應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性相反，故D錯(cuò)誤.故選：D【變式1-2】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先證明為奇函數(shù)，再進(jìn)行合理賦值逐個(gè)分析判斷.【詳解】對(duì)A：∵為偶函數(shù)，則兩邊求導(dǎo)可得∴為奇函數(shù)，則令，則可得，則，A成立；對(duì)B：令，則可得，則，B成立；∵，則可得，則可得兩式相加可得：，∴關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱則，D成立又∵，則可得，則可得∴以4為周期的周期函數(shù)根據(jù)以上性質(zhì)只能推出，不能推出，C不一定成立故選：C.【變式1-3】.定義在上的函數(shù)滿足，；且當(dāng)時(shí)，．則方程所有的根之和為（

）A．6 B．12 C．14 D．10【答案】D【分析】根據(jù)題意可得為奇函數(shù)，關(guān)于直線對(duì)稱且周期為4，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)分析單調(diào)性，從而畫(huà)出簡(jiǎn)圖，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求解零點(diǎn)和即可.【詳解】∵，∴為奇函數(shù)，又∵，∴關(guān)于直線對(duì)稱．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，一個(gè)周期為4，關(guān)于中心對(duì)稱．由，∴所有實(shí)根之和為.故選：D．題型06伸縮型對(duì)稱【解題攻略】伸縮變換y＝f(ax)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的a倍，橫坐標(biāo)不變),\s\do5(0<a<1，縱坐標(biāo)縮短為原來(lái)的a倍，橫坐標(biāo)不變))y＝af(x)【典例1-1】（2023秋·湖南懷化·高三統(tǒng)考）已知不是常函數(shù)，且是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，若的最小正周期為1，則（

）A． B．1是的一個(gè)周期C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性和奇函數(shù)即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.【詳解】的最小正周期為1，則，所以是以2為周期的周期函數(shù)，因此，故B錯(cuò)誤；對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于C，由周期得，又，因此，故C正確；對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤，故選：C.【典例1-2】（2023·河南·長(zhǎng)葛市第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且f（2x＋1）為偶函數(shù)，f（x－1）的圖象關(guān)于點(diǎn)（3，3）成中心對(duì)稱，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（

）①的一個(gè)周期為2

②③④直線是圖象的一條對(duì)稱軸A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由題意，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，可得，，且，根據(jù)函數(shù)周期性的定義，可判①的正誤；根據(jù)周期性的應(yīng)用，可判②的正誤；根據(jù)函數(shù)的周期性，進(jìn)行分組求和，根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性，可得，，可判③的正誤；根據(jù)函數(shù)的軸對(duì)稱性的性質(zhì)，可判④的正誤.【詳解】因?yàn)榕己瘮?shù)，所以，則，即函數(shù)關(guān)于直線成軸對(duì)稱，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱，則，且，對(duì)于①，，，則函數(shù)的周期，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，，故②正確；對(duì)于③，，則，，則，由，則，故③正確；對(duì)于④，，而函數(shù)不是偶函數(shù)，所以不恒成立，故④錯(cuò)誤.故選：B.【變式1-1】（2022秋·重慶南岸·高三重慶市第十一中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知是定義在上的函數(shù)，是奇函數(shù)，且是偶函數(shù)，則下列選項(xiàng)一定正確的是（

）A．函數(shù)的周期為2 B．函數(shù)的周期為3C． D．【答案】D【分析】根據(jù)賦值法結(jié)合周期定義得出函數(shù)的周期為，再由周期的性質(zhì)判斷CD.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，所以，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，所以，所以，所以，即函數(shù)的周期為，故AB不正確；又，，即，所以，故D正確；的值不確定，故C不正確.故選：D.【變式1-2】．（2022秋·吉林長(zhǎng)春·高三長(zhǎng)春市第二中學(xué)校考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，且是奇函?shù)，是偶函數(shù)，則一定有（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】推導(dǎo)出函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)一步可推導(dǎo)出函數(shù)為周期函數(shù)，確定該函數(shù)的周期，逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，令，則，即，則，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則，可得，所以，，故函數(shù)為周期函數(shù)，且周期為，對(duì)于A選項(xiàng)，，A對(duì)；對(duì)于BCD選項(xiàng)，，，但的值無(wú)法確定，BCD均錯(cuò).故選：A.【變式1-3】（2022秋·廣西玉林·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件得到函數(shù)的對(duì)稱性，根據(jù)對(duì)稱性求值，即可求解.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即.故選：A題型07一元三次函數(shù)型中心對(duì)稱【解題攻略】所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心，設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為函數(shù)的“拐點(diǎn)”．【典例1-1】．給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱為函數(shù)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”，且該“拐點(diǎn)”也是函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心，若函數(shù)，則（

）A．8082 B．2021 C．-8082 D．-2023【答案】C【分析】通過(guò)二次求導(dǎo)可得，可得，，所以的圖像的對(duì)稱中心為，即，據(jù)此規(guī)律求和即可.【詳解】由，可得，令可得，又，所以的圖像的對(duì)稱中心為，即，所以，故選：C【典例1-2】已知一元三次函數(shù)對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為其二階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)．若，則（

）A．0 B．4 C． D．【答案】B【分析】設(shè)對(duì)稱中心為，先求二階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)可得，由可解出，最后由，可得，可得結(jié)果【詳解】由題，，故二階導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)為，即對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為1，設(shè)對(duì)稱中心為，則，可解得，由，故，故選：B【變式1-1】在同一坐標(biāo)系中作出三次函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的圖象，下列可能正確的序號(hào)是（

）A．①② B．①③ C．③④ D．①④【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)之間的關(guān)系．把握住導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)變化趨勢(shì)選出不恰當(dāng)?shù)膱D象，從而可得出答案．【詳解】解：根據(jù)時(shí)，遞增，時(shí)，遞減可得，①②中函數(shù)的圖象的增減趨勢(shì)與導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)區(qū)間是吻合的，可能正確；而③中導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不為遞減，故錯(cuò)誤，④中導(dǎo)函數(shù)為負(fù)的區(qū)間內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)不為遞減，故錯(cuò)誤．故選：A.【變式1-2】設(shè)函數(shù)是的導(dǎo)數(shù)，經(jīng)過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，任意一個(gè)三次函數(shù)的圖象都有對(duì)稱中心，其中滿足，已知函數(shù)，則（

）A．0 B． C．1 D．【答案】C【分析】先求出的對(duì)稱中心，判斷出點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，即可求解.【詳解】，，令，解得，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．因?yàn)?，所以點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以．故選：C．【變式1-3】一般地，對(duì)于一元三次函數(shù)，若，則為三次函數(shù)的對(duì)稱中心，已知函數(shù)圖象的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為，且有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，用a表示，再求出的極大值與極小值，列式求解作答.【詳解】由函數(shù)求導(dǎo)得：，則，由解得，則有，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因此，當(dāng)時(shí)，取得極大值，當(dāng)時(shí)，取得極小值，因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，由三次函數(shù)圖象與性質(zhì)知，，于是得，解得，綜上得：，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：A題型08“局部周期”型函數(shù)性質(zhì)【解題攻略】局部周期函數(shù)，可類比以下函數(shù)圖像：【典例1-1】定義在0,+∞上的函數(shù)fx滿足f（i）f2021（ii）若方程fx?kx=0有且只有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)【答案】?4042?1,?【分析】（i）根據(jù)解析式，利用遞推法即可得出；（ii）利用圖象的平移變換得到函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合方法求得.【詳解】（i）f2021（ii）∵x≥1時(shí)，f(x)=f(x?1)?2，所以f(x)的圖象由在[0,1)之間的拋物線的一部分逐次向右平移1個(gè)單位，向下平移2個(gè)單位得到，如圖所示.已知l1由圖可知若方程fx?kx=0有且只有兩個(gè)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是故答案為：?4042；?1,?1【典例1-2】.已知fx=12x+a,x≤0,fx?1【答案】?2,+∞【詳解】構(gòu)造函數(shù)g（x）＝f（x）-a＝2作出函數(shù)g（x）=2?x若f（x）＝x有且僅有兩個(gè)實(shí)數(shù)解可轉(zhuǎn)化為g（x）與y＝x-a的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知，當(dāng)-a≥2時(shí)函數(shù)有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)-a＜2時(shí)函數(shù)有2個(gè)交點(diǎn)，即a＞-2時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)交點(diǎn).故答案為?2,+∞【變式1-1】（2021下·天津武清·高三天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)校）已知函數(shù)，若對(duì)于正數(shù)，直線與函數(shù)的圖像恰好有個(gè)不同的交點(diǎn)，則.【答案】【分析】由題意首先確定函數(shù)的性質(zhì)，然后結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系得到的表達(dá)式，最后裂項(xiàng)求和即可求得的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)周期為2，畫(huà)出函數(shù)圖象，如圖所示：與函數(shù)恰有個(gè)不同的交點(diǎn)，根據(jù)圖象知，直線與第個(gè)半圓相切，故，故，.故答案為：.【變式1-2】．（2021上·四川資陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，函數(shù)在處的切線為，若，則與的圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為．【答案】2或3.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，直線的方程為：，其與時(shí)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，則將直線的方程代入到中，得，由得，，當(dāng)時(shí)，，在定義域內(nèi)，此時(shí)在時(shí)，直線與有兩個(gè)交點(diǎn)，綜合有三個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，不在定義域內(nèi)，此時(shí)在時(shí)，直線與有一個(gè)交點(diǎn)，綜合只有兩個(gè)交點(diǎn)；結(jié)合上述兩種情況，與的圖象的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2或3.題型09雙函數(shù)型對(duì)稱【解題攻略】雙函數(shù)性質(zhì)：1.雙函數(shù)各自對(duì)應(yīng)的對(duì)稱中心和對(duì)稱軸等性質(zhì)2.雙函數(shù)之間存在著互相轉(zhuǎn)化或者互相表示的函數(shù)等量關(guān)系【典例1-1】（2023·廣西玉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，的定義域均為，是奇函數(shù)，且，，則（

）A．f（x）為奇函數(shù) B．g（x）為奇函數(shù)C． D．【答案】D【分析】結(jié)合已知條件和是奇函數(shù)求出函數(shù)的周期，然后利用周期和已知條件得出為偶函數(shù)，進(jìn)而判斷選項(xiàng)；根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)，周期為4即可判斷選項(xiàng)；由得即可判斷選項(xiàng)；根據(jù)題干條件得到，再結(jié)合函數(shù)的周期即可判斷選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋?，又，則有，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，可得，即有與，即，所以是周期為4的周期函數(shù)，故也是周期為4的周期函數(shù)．因?yàn)椋?，所以為偶函?shù)．故錯(cuò)誤；由是奇函數(shù)，則，所以，又，所以，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；由得，所以選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)?，，所以，所以，所以選項(xiàng)正確．故選：.【典例1-2】（2023春·河南開(kāi)封·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知函數(shù)，的定義域?yàn)椋?，，若為偶函?shù)．，則（

）A．24 B．26 C．28 D．30【答案】B【分析】根據(jù)已知等式，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可以判斷出函數(shù)的周期，利用周期進(jìn)行求解即可.【詳解】由，而，所以可得，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，顯然有，所以函數(shù)的周期為8，在中，令，得，因?yàn)?，所以，由，由，所以故選：B【變式1-1】（2023秋·江西·高三校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，的定義域均為，且，.若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且，則（

）A．80 B．86 C．90 D．96【答案】C【分析】由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合已知函數(shù)等式推得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而可得的周期為4，求出的值，即可得答案.【詳解】解：因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且.因?yàn)?，所以，所以，所以，則，即的周期為4.因?yàn)?，且，所?因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，則.【變式1-2】（2023秋·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，且，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A．的圖象關(guān)于對(duì)稱 B．的圖象關(guān)于對(duì)稱C．4為的周期 D．【答案】D【分析】由為偶函數(shù)可得函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，由可得，故關(guān)于對(duì)稱，故可得4為的周期，然后通過(guò)計(jì)算逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可【詳解】由為偶函數(shù)可得，可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，故B正確；，把換成可得，兩式相加可得，故關(guān)于對(duì)稱，故A正確；，所以，可知4為的周期，故C正確；令，，，，所以，D不正確，故選:D.【變式1-3】（2022秋·四川成都·高三成都七中?？紝ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)的定義域均為為偶函數(shù)，且，，下列說(shuō)法正確的有（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱B．函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱C．函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)D．函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)【答案】C【分析】根據(jù)題中所給條件可判斷關(guān)于和對(duì)稱，進(jìn)而得的周期性，結(jié)合的周期性和的奇偶性即可判斷的周期性，結(jié)合選項(xiàng)即可逐一求解.【詳解】由得，又為偶函數(shù)，所以，進(jìn)而可得；因此可得的圖象關(guān)于對(duì)稱,又可得，結(jié)合為偶函數(shù)，所以，故的圖象關(guān)于對(duì)稱，因此，所以是以4為周期的周期，故D錯(cuò)誤，由于，所以且，因此的圖象關(guān)于對(duì)稱，函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，故C正確，B錯(cuò)誤，根據(jù)是以4為周期的周期函數(shù)，由，得，所以數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，故A錯(cuò)誤，故選：C題型10原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)型雙函數(shù)對(duì)稱【解題攻略】原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1若函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且圖像關(guān)于對(duì)稱，則其導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱性質(zhì)2奇函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為偶函數(shù)性質(zhì)3若函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且圖像關(guān)于對(duì)稱，則其導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱性質(zhì)4偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)性質(zhì)5若函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且圖像關(guān)于對(duì)稱，則其導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于對(duì)稱偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為奇函數(shù)性質(zhì)6若定義在R上的函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，且周期為T(mén)，則其導(dǎo)函數(shù)是周期函數(shù)，且周期也為T(mén)性質(zhì)7若函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，定義域?yàn)镈，其導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則圖像關(guān)于對(duì)稱，為定義域內(nèi)任意一點(diǎn)【典例1-1】（2023·四川成都·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，，且是偶函數(shù)，，，則（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】D【分析】根據(jù)是偶函數(shù)，可得出，從而可得，求出C，采用變量代換的方法，推出函數(shù)的周期，進(jìn)而求得函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的函數(shù)值，即可求得答案.【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，則，C為常數(shù)，即，又，令得，即，則，又，則，，故，函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，由，令，得，，所以，，，，則，則，故，故選：D【典例1-2】（2022上·四川遂寧·高三射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)定義域均為，為奇函數(shù)，，，則正確的有（

）①；②；③；④.A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)與奇偶性之間的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)對(duì)稱性和周期性，即可判斷求解.【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，則，因?yàn)椋?，故可得，所以，函?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，在等式中，令可得，則，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，即，可設(shè)，為常數(shù)，則，故，即，所以，函數(shù)為偶函數(shù)，由可得，從而可得，則，即，所以，函數(shù)為周期為的周期函數(shù)，故，在等式兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得，即，在等式中，令可得，因?yàn)楹瘮?shù)是周期為的周期函數(shù)，則，等式兩邊求導(dǎo)可得，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，所以，.而、的值根據(jù)已知條件無(wú)法推導(dǎo)其值，則②③對(duì)，①④錯(cuò).故選：C.【變式1-1】（2023·廣西梧州·蒼梧中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）設(shè)定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和，若，，且為奇函數(shù)，．現(xiàn)有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、對(duì)稱性、周期性三者之間的關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)相等即其他等式，綜合運(yùn)用各式之間的關(guān)系即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以，所以．因?yàn)?，所以，得，所以，所以，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，故①正確．因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，且．因?yàn)?，所以，則的周期，所以，故③錯(cuò)誤．因?yàn)?，所以的周期也?，所以，，所以，故②正確．因?yàn)?，，，，所以，所以④正確．故選:D.【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）設(shè)定義在R上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和．若，，且為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法中一定正確的是（

）A． B．C．， D．【答案】A【分析】由得，結(jié)合已知得，進(jìn)而有，由可判斷C項(xiàng)中的對(duì)稱性；由為奇函數(shù)可得的周期、對(duì)稱性及特殊值，從而化簡(jiǎn)判斷A正誤；B、D由，結(jié)合A即可判斷.【詳解】C：由，則，則，又，所以，令得，即.所以，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱，而，，則的圖象關(guān)于對(duì)稱，錯(cuò)；A：為奇函數(shù)，則關(guān)于對(duì)稱，且，∴，，，，∴.又，∴，∴的周期，∴，對(duì)；D：因?yàn)?，所以，所以，錯(cuò)；B：，錯(cuò).故選：A【變式1-3】7.設(shè)定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)與的導(dǎo)數(shù)分別為與，若，，且為奇函數(shù)，則下列說(shuō)法不正確的是（

）A． B．圖象關(guān)于直線對(duì)稱C． D．【答案】B【分析】根據(jù)為奇函數(shù)推出對(duì)稱中心為，根據(jù)可得，由，得，將代入，得的對(duì)稱軸為，進(jìn)而可得的周期，與的周期，再利用特值法求值即可.【詳解】由為奇函數(shù)，則過(guò)，圖象向右平移一個(gè)單位得過(guò)，A選項(xiàng)正確；又，則，因?yàn)?，所以，所以，令，得，則，所以，則關(guān)于直線對(duì)稱，兩邊求導(dǎo)得，函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；因?yàn)殛P(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，關(guān)于直線對(duì)稱，則的周期；所以，，所以，C選項(xiàng)正確；又函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以函數(shù)在左右兩側(cè)單調(diào)性相反，且，令，得，所以，，D選項(xiàng)正確；故選：B.題型11放大鏡型函數(shù)性質(zhì)【解題攻略】形如等“似周期函數(shù)”或者“類周期函數(shù)”，俗稱放大鏡函數(shù)，要注意以下幾點(diǎn)辨析：1.是從左往右放大，還是從右往左放大。2.放大（縮?。r(shí)，要注意是否函數(shù)值有0。3.放大（縮?。r(shí)，是否發(fā)生了上下平移。4.“放大鏡”函數(shù)，在尋找“切線”型臨界值時(shí)，計(jì)算容易“卡殼”，授課時(shí)要著重講清此處計(jì)算?！镜淅?-1】定義在上函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，則使得在上恒成立的的最小值是______________.【答案】【分析】由題設(shè)遞推關(guān)系及已知區(qū)間解析式，分析可得分段函數(shù)：在上有，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法求參數(shù)m的最小值.【詳解】由題設(shè)知，當(dāng)時(shí)，，故，同理：在上，，∴當(dāng)時(shí)，.函數(shù)的圖象，如下圖示.在上，，得或.由圖象知：當(dāng)時(shí)，.故答案為：.【典例1-2】.已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有下列結(jié)論：①函數(shù)在上單調(diào)遞增；②函數(shù)的圖象與直線有且僅有個(gè)不同的交點(diǎn)；③若關(guān)于的方程恰有個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則這個(gè)實(shí)數(shù)根之和為；④記函數(shù)在上的最大值為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為.其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是___________.【答案】①④【分析】作出函數(shù)的圖像，利用數(shù)形結(jié)合思想依次判斷選項(xiàng)①②③，利用等比數(shù)列求和判斷選項(xiàng)④；【詳解】當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿足方程；若，則，即若，則，即作出函數(shù)在時(shí)的圖像，如圖所示，對(duì)于①，由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由奇函數(shù)性質(zhì)知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故①正確；對(duì)于②，可知函數(shù)在時(shí)的圖像與與直線有1個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性知，的圖象與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，設(shè)，則關(guān)于的方程等價(jià)于，解得：或當(dāng)時(shí)，即對(duì)應(yīng)一個(gè)交點(diǎn)為；方程恰有4個(gè)不同的根，可分為兩種情況：（1），即對(duì)應(yīng)3個(gè)交點(diǎn)，且，，此時(shí)4個(gè)實(shí)數(shù)根的和為8；（2），即對(duì)應(yīng)3個(gè)交點(diǎn)，且，，此時(shí)4個(gè)實(shí)數(shù)根的和為4，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，函數(shù)在上的最大值為，即，由函數(shù)的解析式及性質(zhì)可知，數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列，則數(shù)列的前項(xiàng)和為，故④正確.故答案為：①④【變式1-1】已知定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)=4?A．在[1,6]上，方程f(x)?16x=0B．關(guān)于x的方程f(x)?12nC．當(dāng)x∈[2n?1,2n](n∈D．對(duì)于實(shí)數(shù)x∈[1,+∞)，不等式xf(x)≤6恒成立【答案】D【詳解】當(dāng)x∈（2，4]時(shí)，f（x）＝12當(dāng)x∈（4，8]時(shí)，f（x）＝12……當(dāng)x∈（2n－1，2n]時(shí)，f（x）＝12n?1（4－|則在[1，6）上，方程f（x）－16當(dāng)n＝1時(shí)，f（x）－12當(dāng)x∈（2n－1，2n]時(shí)，函數(shù)f（x）的圖象與x軸圍成的面積S＝12當(dāng)x∈（2n－1，2n]時(shí)，xf（x）的最大值為12考點(diǎn)：分段函數(shù)，圖象，性質(zhì)，零點(diǎn)，最值，不等式【變式1-2】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足，且當(dāng)時(shí)，．若對(duì)任意，都有，則m的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】作出圖示，求出當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式，求出成立的x的值，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想可得選項(xiàng)．【詳解】解：時(shí)，，，，即右移1個(gè)單位，圖像變?yōu)樵瓉?lái)的2倍．如圖所示：當(dāng)時(shí)，，令，解得，所以要使對(duì)任意，都有，則，，故選：B．【變式1-3】．定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足：，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．【答案】C【詳解】依題意，當(dāng)時(shí)，，故，畫(huà)出函數(shù)在上的圖象（圖略），由圖可知，函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，故，解得.題型12抽象函數(shù)賦值型性質(zhì)【典例1-1】（2023春·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是定義在上的函數(shù)，且在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，對(duì)，，都有.若，使得不等式成立，則實(shí)數(shù)的最大值為.【答案】【分析】由賦值法可得，，進(jìn)而可判斷函數(shù)的奇偶性，利用單調(diào)性將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得函數(shù)的單調(diào)性，即可可得最值，即可求解.【詳解】令，則，所以；令，則，所以；令，，則，所以，所以為偶函數(shù).因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減.不等式化為，因?yàn)?，，所以，取?duì)數(shù)得，即，由題設(shè)條件可知，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以，故實(shí)數(shù)的最大值為.故答案為：【典例1-2】．（2023·全國(guó)·高三對(duì)口高考）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y滿足，且，．給出下列結(jié)論：①；②為奇函數(shù)；③為周期函數(shù)；④在內(nèi)單調(diào)遞減．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】②③【分析】由條件通過(guò)賦值，并結(jié)合奇函數(shù)和周期函數(shù)的定義判斷②③，通過(guò)賦值并結(jié)合所給特殊值判斷①④.【詳解】因?yàn)椋?，取，得，則是奇函數(shù)，故②正確.取，得，即故③正確.取，得從而，故①不正確.取，得，根據(jù)③的結(jié)論知，故④不正確.故答案為：②③.【變式1-1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，且，，則．【答案】【分析】推導(dǎo)出，可得出，再利用等差數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，且，令可得，可得，令，則，所以，，所以，，所以，.故答案為：.【變式1-2】（2023·浙江·高三專題練習(xí)）若定義在上的函數(shù)滿足：，，且，則滿足上述條件的函數(shù)可以為.（寫(xiě)出一個(gè)即可）【答案】（答案不唯一也可）【分析】根據(jù)題意可得函數(shù)為偶函數(shù)，可取，在證明這個(gè)函數(shù)符合題意即可.【詳解】令，則，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，可取，則，所以，，所以函數(shù)符合題意.故答案為：.（答案不唯一也可）【變式1-3】（2022秋·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市一中?？迹┒x在R上的函數(shù)f(x)滿足x，yR，且f(0)0，f(a)=0(a>0).則下列結(jié)論正確的序號(hào)有.①f(0)=1；②；③；④.【答案】①②④【分析】根據(jù)給定的函數(shù)等式，對(duì)變量賦值依次計(jì)算判斷各個(gè)命題作答.【詳解】x，yR，且f(0)0，對(duì)于①，取，得，因此，①正確；對(duì)于②，取，得，，因此，，②正確；對(duì)于③，取，得，而f(a)=0，則有，由②知，于是，因此，，③錯(cuò)誤；對(duì)于④，取，得，因?yàn)閒(a)=0，，因此，④正確.故答案為：①②④題型13對(duì)稱型恒成立求參【解題攻略】一般地，已知函數(shù)，（1）若，，有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集.【典例1-1】．（2021上·江蘇南京·高三南京市中華中學(xué)?？计谀┒x在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】若對(duì)任意的，不等式恒成立，即對(duì)，不等式恒成立，，進(jìn)而可得答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，，故在上單調(diào)遞減，由，得的對(duì)稱軸為，若對(duì)任意，不等式恒成立，即對(duì)，不等式恒成立，，即，即，故實(shí)數(shù)的最大值為.故選：C.【典例1-2】（2020·湖南永州·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，.若對(duì)任意的，成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用奇函數(shù)求得的解析式，畫(huà)出其函數(shù)圖象的草圖，由不等式在閉區(qū)間上恒成立，結(jié)合的對(duì)稱性，有在中，或恒成立，進(jìn)而求a的范圍.【詳解】由題設(shè)知：，又是定義在上的奇函數(shù)，即，∴當(dāng)時(shí)，，即，而；當(dāng)時(shí)，，即，而；∴綜上，有，可得如下函數(shù)圖象，∴對(duì)任意的有成立，即在中，或或恒成立，∴或恒成立，即有或.故選：D.【變式1-1】（2021上·上海浦東新·高三上海市建平中學(xué)校考階段練習(xí)）已知，滿足對(duì)于任意的，都有，設(shè)，若對(duì)于任意的，，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】利用函數(shù)的圖象的對(duì)稱性求得，將整理為，由已知條件得到，求解即得.【詳解】∵對(duì)于任意的，都有，∴函數(shù)的對(duì)稱軸為，∴，∴,對(duì)于任意的，，都有成立，∴,解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是,故答案為：【變式1-2】（2018上·上海奉賢·高一上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，對(duì)任意非零實(shí)數(shù)，若等式成立，則正整數(shù)的值為.【答案】504【分析】根據(jù)題意得到，代入計(jì)算得到式子，計(jì)算得到答案.【詳解】，則則故答案為【變式1-3】已知是定義在R上的函數(shù)，且關(guān)于直線對(duì)稱.當(dāng)時(shí)，，若對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可知在上單調(diào)遞減，由關(guān)于直線對(duì)稱，可知為偶函數(shù)，從而可將題中不等式轉(zhuǎn)化為，整理得對(duì)任意的恒成立，進(jìn)而結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可求出的取值范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且是R上的增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，函數(shù)在上單調(diào)遞減，且；當(dāng)時(shí)，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且.∴函數(shù)在上單調(diào)遞減.∵關(guān)于直線對(duì)稱，∴關(guān)于對(duì)稱，即為偶函數(shù)，∴不等式可化為，∴恒成立，即，整理得，令，∴對(duì)任意的，恒成立，∴，即，解得.故選：D.題型14構(gòu)造“對(duì)稱”型函數(shù)【典例1-1】（2021上·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知滿足，滿足，則（

）A． B．C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)【答案】B【分析】把滿足，滿足，轉(zhuǎn)化為是函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性，即可求解.【詳解】由題意，滿足，滿足，即滿足，滿足，即是函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是函數(shù)和的圖象的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，設(shè)函數(shù)上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，可得，即，代入函數(shù)，可得，即函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以，所以.故選：B.【典例1-2】（2022上·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)且滿足，則.【答案】【分析】等式整理成表達(dá)式.構(gòu)造函數(shù)，判斷單調(diào)性與奇偶性找的關(guān)系.【詳解】，即即，同理又因?yàn)椋詷?gòu)造函數(shù)，所以，，即又因?yàn)?，即，所以是定義在上的奇函數(shù).所以式變?yōu)椋杭从蓛绾瘮?shù)知在上單調(diào)遞增，所以，，即.故答案為：【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，那么的值是．【答案】2【分析】由題意，構(gòu)造函數(shù)，則，又函數(shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，利用對(duì)稱性即可求解.【詳解】解：由題意，，設(shè)函數(shù)，則，因?yàn)?，所以函?shù)的圖象關(guān)于中心對(duì)稱，所以．故答案為：2.【變式1-2】（2021上·浙江寧波·高三余姚中學(xué)校考）已知滿足，若對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)k的最小值為．【答案】4【分析】觀察可構(gòu)造函數(shù),分析其性質(zhì)得出的關(guān)系再進(jìn)行不等式恒成立的運(yùn)用即可.【詳解】設(shè),則為往右平移兩個(gè)單位得來(lái).又為單調(diào)遞增的奇函數(shù),且關(guān)于對(duì)稱.故為單調(diào)遞增的函數(shù)且關(guān)于對(duì)稱.又可知關(guān)于對(duì)稱.故,即.又對(duì)任意的,恒成立.即恒成立.故判別式,得.故的最小值為4.故答案為4高考練場(chǎng)1.（2022秋·云南保山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若是奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)的奇偶性求出，得到函數(shù)的解析式，根據(jù)解析式求函數(shù)值即可.【詳解】由已知可得，則．因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，因?yàn)?，解得，所以，所?故選：D．2..已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為，則____________.【答案】10【分析】由已知得到函數(shù)是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)也關(guān)于對(duì)稱，由此可知兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)就關(guān)于對(duì)稱，根據(jù)點(diǎn)的對(duì)稱性，就可以得到的值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)滿足，即滿足，所以是關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)與圖像的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故交點(diǎn)成對(duì)出現(xiàn)，且每一對(duì)點(diǎn)都關(guān)于對(duì)稱，故.故答案為：10.3.（2023上·貴州貴陽(yáng)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則.【答案】2【分析】由題意條件得到的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，從而得到，再代入求值即可.【詳解】由可知，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，而函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以，所以，所以.故答案為：24.（2023上·上海閔行·高三校聯(lián)考期中）設(shè)曲線與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)曲線仍然是某函數(shù)的圖像，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】設(shè)是在點(diǎn)處的切線，進(jìn)而根據(jù)題意得直線關(guān)于對(duì)稱后的直線方程必為，曲線才能是某函數(shù)的圖像，進(jìn)而得的方程為，再聯(lián)立方程即可得，進(jìn)而得答案.【詳解】設(shè)是在點(diǎn)處的切線，因?yàn)榍€與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線關(guān)于對(duì)稱后的直線方程必為，曲線才能是某函數(shù)的圖像，如圖所示直線與的角為，所以的傾斜角為，所以的方程為故聯(lián)立方程得，即，則，即所以，解得所以的取值范圍為.故答案為：5.已知定義在上的函數(shù)滿足：，，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意，可得函數(shù)的對(duì)稱性，進(jìn)而得到周期性，整理函數(shù)值，可得答案.【詳解】，為奇函數(shù)，即圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則函數(shù)的周期，由，則，即，則，由，則，即，故選：B.6.．（2023秋·重慶九龍坡·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合函數(shù)的奇偶性、周期性等知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意，定義域?yàn)?，由于為偶函?shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以圖象關(guān)于直線對(duì)稱，為奇函數(shù)，，由，以替換，，所