一次函數(shù)的圖象與直線的方程 直線的傾斜角、斜率及其關(guān)系 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

北師大版

數(shù)學(xué)

選擇性必修第一冊(cè)第一章直線與圓1.1一次函數(shù)的圖象與直線的方程1.2直線的傾斜角、斜率及其關(guān)系課標(biāo)定位素養(yǎng)闡釋1.在平面直角坐標(biāo)系中,結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素.2.理解直線的傾斜角的概念,明確直線的傾斜角的唯一性.3.理解直線的斜率的概念,明確直線的傾斜角與斜率、方向向量的關(guān)系.培養(yǎng)觀察、探索和抽象概括的能力,運(yùn)用數(shù)學(xué)語言的表達(dá)能力,數(shù)學(xué)交流與評(píng)價(jià)能力.4.掌握過兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式,并能運(yùn)用該公式解決有關(guān)問題.幫助進(jìn)一步理解數(shù)形結(jié)合思想,滲透幾何問題代數(shù)化的解析幾何研究思想.自主預(yù)習(xí)新知導(dǎo)學(xué)一、一次函數(shù)的圖象與直線的方程【問題思考】1.在初中,我們學(xué)習(xí)過一次函數(shù)y=kx+b(k≠0),知道它的圖象是一條直線(設(shè)為l),那么滿足y=kx+b(k≠0)的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y)與直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系?提示:一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象是一條直線,它是以滿足y=kx+b的每一對(duì)x,y的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的.同時(shí)函數(shù)解析式y(tǒng)=kx+b可以看作二元一次方程.在解析幾何中研究直線時(shí),就是利用直線與方程的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系,建立直線的方程,并通過方程來研究直線的有關(guān)問題.3.下列點(diǎn)在一次函數(shù)y=-x-2的圖象上的是(

).A.(1,1) B.(-3,0) C.(2,-1) D.(3,0)答案:B二、直線的傾斜角和斜率【問題思考】1.(1)在平面直角坐標(biāo)系中,只知道直線上的一點(diǎn),能不能確定這條直線呢?提示:不能.(2)如圖1-1-1,在平面直角坐標(biāo)系中,過定點(diǎn)P的四條直線l1,l2,l3,l4相對(duì)于x軸的傾斜程度是否相同?提示:不相同.圖1-1-1①

②

圖1-1-2(4)圖1-1-2①②中的坡度與角α,β存在等量關(guān)系嗎?提示:存在.題圖①中,坡度=tan

α,題圖②中,坡度=tan

β.2.(1)直線的傾斜角在平面直角坐標(biāo)系中,對(duì)于一條與x軸相交的直線l,把x軸(正方向)按

逆時(shí)針方向繞著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線l首次重合

時(shí)所成的角,稱為直線l的傾斜角.通常傾斜角用α表示.當(dāng)直線l和x軸

平行或重合

時(shí),規(guī)定它的傾斜角為0.因此,直線的傾斜角α的取值范圍為

[0,π).(2)直線的斜率在直線l上任取兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),記Δx=x2-x1(Δx≠0),Δy=y2-y1,則比值

反映了直線l的傾斜程度.的大小與兩點(diǎn)P1,P2在直線上的位置無關(guān).稱(其中x1≠x2)為經(jīng)過不同兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線l的斜率.3.已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),Q(-2,1),則直線l的斜率為

.

三、直線的斜率與傾斜角、方向向量的關(guān)系【問題思考】1.(1)為什么當(dāng)直線的傾斜角為時(shí),直線沒有斜率?提示:當(dāng)傾斜角α=時(shí),tan

α不存在,由斜率的定義可知,此時(shí)直線的斜率不存在.(2)傾斜角相等的直線的傾斜程度是否相同?提示:相同.2.(1)直線的斜率與傾斜角的關(guān)系(2)直線的斜率與方向向量的關(guān)系若k是直線l的斜率,則v=(1,k)是它的一個(gè)方向向量;若直線l的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)為(x,y),其中x≠0,則它的斜率

.3.若直線l的傾斜角為60°,則直線l的斜率為(

).解析:直線l的斜率k=tan

60°=.故選A.答案:A【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號(hào)里畫“√”,錯(cuò)誤的畫“×”.(1)直線的傾斜角α的取值范圍是[0°,180°].(

)(2)斜率相等的兩直線傾斜角相等.(

)(3)直線的斜率越大,其傾斜角也越大.(

)(4)若直線的斜率k=tanθ,則θ一定為該直線的傾斜角.(

)×√××合作探究釋疑解惑探究一直線的傾斜角和斜率的求法【例1】

(1)已知一條直線的傾斜角為45°,求這條直線的斜率;(2)求經(jīng)過兩點(diǎn)A(2,3),B(m,4)的直線的斜率.解:(1)直線的斜率k=tan

45°=1.(2)當(dāng)m=2時(shí),直線AB的斜率不存在;1.求直線的斜率通常有兩種方法:一是已知直線的傾斜角α(α≠90°)時(shí),可利用斜率的定義,即k=tan

α求得;二是已知直線所經(jīng)過的兩點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí),可利用過兩點(diǎn)的直線的斜率公式計(jì)算求得.2.利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)遵循的原則(1)運(yùn)用公式

的前提是“x1≠x2”,即直線不與x軸垂直,因?yàn)楫?dāng)直線與x軸垂直時(shí),斜率的計(jì)算公式無意義.(2)斜率公式

與兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2)的先后順序無關(guān),也就是說公式中的x1與x2,y1與y2可以同時(shí)交換位置.3.若兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)中含有參數(shù),則應(yīng)先討論橫坐標(biāo)是否相等,再確定直線的斜率.【變式訓(xùn)練1】

(1)經(jīng)過點(diǎn)A(-1,2),B(3,-2)的直線的傾斜角為(

).A.135° B.120° C.60° D.45°(2)已知經(jīng)過點(diǎn)M(0,b)與點(diǎn)N(-,1)的直線的傾斜角為120°,則b=

.

答案:(1)A

(2)-2探究二直線的斜率與方向向量的關(guān)系【例2】

已知直線l的斜率為,求它的一個(gè)方向向量的坐標(biāo).解:設(shè)P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2)為直線l上的兩點(diǎn),則直線l的一個(gè)方向向量v=(x2-x1,y2-y1).由直線的斜率求方向向量的坐標(biāo)實(shí)際上只是求了一個(gè)符合條件的向量的坐標(biāo),根據(jù)向量共線的條件可知,所有與所求向量共線的向量都是直線的方向向量.已知直線的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)(x,y),其中x≠0,則該直線的斜率

,從而可由k=tan

α求得傾斜角α.探究三直線斜率的綜合應(yīng)用【例3】

若經(jīng)過點(diǎn)P(1-a,1+a),Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

解析:因?yàn)橹本€的傾斜角為鈍角,所以1-a≠3,即a≠-2.即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-2,1).答案:(-2,1)若把本例中的“鈍角”改為“銳角”,其他條件不變,試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:因?yàn)橹本€的傾斜角是銳角,即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(-∞,-2)∪(1,+∞).已知直線的傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍時(shí),要注意對(duì)傾斜角分銳角和鈍角兩種情況進(jìn)行分析求解;已知斜率的取值范圍求傾斜角的取值范圍時(shí),應(yīng)對(duì)斜率分正值和負(fù)值兩種情況進(jìn)行分析求解.【變式訓(xùn)練3】

若直線l的斜率k≤1,求傾斜角α的取值范圍.解:∵tan

45°=1,∴當(dāng)0≤k≤1時(shí),0°≤α≤45°;當(dāng)k<0時(shí),90°<α<180°.∴當(dāng)k≤1時(shí),傾斜角α的取值范圍是{α|0°≤α≤45°或90°<α<180°}.

思想方法數(shù)形結(jié)合思想在求直線的斜率和傾斜角中的應(yīng)用【典例】

已知點(diǎn)A(-3,4),B(3,2),P(1,0),過點(diǎn)P的直線l與線段AB有公共點(diǎn).(1)求直線l的斜率k的取值范圍;(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍.(1)要使直線l與線段AB有公共點(diǎn),則直線l的斜率k的取值范圍是(-∞,-1]∪[1,+∞).圖1-1-31.已知線段AB的端點(diǎn)及線段外一點(diǎn)P,過點(diǎn)P的直線l與線段AB有交點(diǎn)的情況下,求直線l的斜率的取值范圍的方法:(1)連接PA,PB;(2)分別求出直線PA,PB的斜率;(3)結(jié)合圖形,寫出滿足條件的直線l斜率的取值范圍.2.數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想,在解析幾何中經(jīng)常用到,借助圖形的直觀性很容易闡明數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系,而且也會(huì)使復(fù)雜的問題直觀化、簡單化、具體化,從而使問題快速得到解決.隨堂練習(xí)1.已知經(jīng)過點(diǎn)P(-2,m),Q(m,4)的直線的斜率為1,則m的值為(

).A.1 B.4C.1或3 D.1或4答案:A答案:D答案:C4.（多選題）下列說法中正確的是(

).A.任何一條直線都有唯一的傾斜角B.一條直線的傾斜角可以為-30°C.傾斜角為0°的直線只有一條,即x軸D.按照傾斜角的概念,直線傾斜角的集合{α|0°≤α<180°}中每一個(gè)傾斜角α都有唯一確定的一條直線與它對(duì)應(yīng)答案:AC