高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案(新高考)第61講圓的方程(原卷版+解析)

第61講圓的方程1、圓的定義及方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓標(biāo)準(zhǔn)方程圓心C：半徑：一般方程圓心：半徑：2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)理論依據(jù)：點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系．(2)三種情況圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)．①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?．常用結(jié)論(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為1、（2022?甲卷（文））設(shè)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為．2、（2022?乙卷（文））過四點(diǎn)，，，中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為．3、【2020年新課標(biāo)2卷理科】若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．1、方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓的充要條件是()A．eq\f(1,4)<m<1B．m<eq\f(1,4)或m>1C．m<eq\f(1,4)D．m>12、圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()A．(2,3)，3 B．(－2,3)，eq\r(3)C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq\r(13)3、若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．4、若圓C的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別是A(－1，2)，B(1，4)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．5、若已知圓過點(diǎn)A(2，－3)，B(－2，－5)，C(0，1)，則圓的方程為_________________________．考向一圓的方程例1、(1)已知圓C經(jīng)過P(－2，4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6，則圓C的方程為___________________________；(2)已知圓心在直線y＝－4x上，且圓與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)，則該圓的方程是________________________；(3)若一個(gè)圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(7)，則該圓的方程為___________________．變式1、(1)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓的方程為________________.(2)已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且截直線x－y－3＝0所得的弦長(zhǎng)為eq\r(6)，則圓C的方程為________.變式2、根據(jù)下列條件，求圓的方程．經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上；方法總結(jié)：求圓的方程的方法：(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．(2)待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值.考向二與圓有關(guān)的最值問題例2、已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．變式1、已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上求eq\f(y,x)的最大值和最小值．變式2、已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．變式3、若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值．(1)eq\f(y,x－4)；(2)3x－4y；(3)x2＋y2.變式4、（深圳市高級(jí)中學(xué)集團(tuán)期末試題）已知點(diǎn)，點(diǎn)，R是圓上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________．方法總結(jié)：(1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問題的解法：一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．(2)與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：①形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題．考向三與圓有關(guān)的軌跡問題例3、已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2，0)，B(1，1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．變式、（東莞市高三期末試題）已知點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)分別為A、B，且，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為____________．方法總結(jié)：求與圓有關(guān)的軌跡問題的方法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線等定義列方程．(3)幾何法：利用圓的幾何性質(zhì)列方程．(4)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式等．1、【2020年新課標(biāo)3卷文科】在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線2、（2022年重慶市高三模擬試卷）寫出一個(gè)同時(shí)滿足下列條件①②的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：______．①圓心在直線上，②與軸相切．3、（2022年江蘇省泰州市高三模擬試卷）“”是“點(diǎn)在圓外”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓P在x軸上截得線段長(zhǎng)為2eq\r(2)，在y軸上截得線段長(zhǎng)為2eq\r(3)．(1)求圓心P的軌跡方程；(2)若P點(diǎn)到直線y＝x的距離為eq\f(\r(2),2)，求圓P的方程．

第61講圓的方程1、圓的定義及方程定義平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫做圓標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圓心C：(a，b)半徑：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)圓心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系(1)理論依據(jù)：點(diǎn)與圓心的距離與半徑的大小關(guān)系．(2)三種情況圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點(diǎn)M(x0，y0)．①(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點(diǎn)在圓上；②(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?點(diǎn)在圓外；③(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?點(diǎn)在圓內(nèi)．常用結(jié)論(1)二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A＝C≠0，,B＝0，,D2＋E2－4AF＞0.))(2)以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.1、（2022?甲卷（文））設(shè)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為．【答案】．【解析】由點(diǎn)在直線上，可設(shè)，由于點(diǎn)和均在上，圓的半徑為，求得，可得半徑為，圓心，故的方程為，故答案為：．2、（2022?乙卷（文））過四點(diǎn)，，，中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為．【答案】（或或或．【解析】設(shè)過點(diǎn)，，的圓的方程為，即，解得，，，所以過點(diǎn)，，圓的方程為．同理可得，過點(diǎn)，，圓的方程為．過點(diǎn)，，圓的方程為．過點(diǎn)，，圓的方程為．故答案為：（或或或3、【2020年新課標(biāo)2卷理科】若過點(diǎn)（2，1）的圓與兩坐標(biāo)軸都相切，則圓心到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由于圓上的點(diǎn)在第一象限，若圓心不在第一象限，則圓與至少與一條坐標(biāo)軸相交，不合乎題意，所以圓心必在第一象限，設(shè)圓心的坐標(biāo)為，則圓的半徑為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意可得，可得，解得或，所以圓心的坐標(biāo)為或，圓心到直線的距離均為；圓心到直線的距離均為圓心到直線的距離均為；所以，圓心到直線的距離為.故選：B.1、方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓的充要條件是()A．eq\f(1,4)<m<1B．m<eq\f(1,4)或m>1C．m<eq\f(1,4)D．m>1【答案】B【解析】：方程可化為(x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1，由題意知，4m2－5m＋1＞0，解得m<eq\f(1,4)或m>1，故選B．2、圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標(biāo)和半徑分別是()A．(2,3)，3 B．(－2,3)，eq\r(3)C．(－2，－3)，13 D．(2，－3)，eq\r(13)【答案】D【解析】圓的方程可化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，所以圓心坐標(biāo)是(2，－3)，半徑r＝eq\r(13).3、若坐標(biāo)原點(diǎn)在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內(nèi)部，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為________．【答案】(－eq\r(2)，eq\r(2))【解析】∵原點(diǎn)(0,0)在圓(x－m)2＋(y＋m)2＝4的內(nèi)部，∴(0－m)2＋(0＋m)2<4，解得－eq\r(2)<m<eq\r(2).4、若圓C的直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分別是A(－1，2)，B(1，4)，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．【答案】x2＋(y－3)2＝2【解析】設(shè)圓心C的坐標(biāo)為(a，b)，則a＝eq\f(－1＋1,2)＝0，b＝eq\f(2＋4,2)＝3，故圓心C(0，3)，半徑r＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×eq\r([1－(－1)]2＋(4－2)2)＝eq\r(2)，所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－3)2＝2.5、若已知圓過點(diǎn)A(2，－3)，B(－2，－5)，C(0，1)，則圓的方程為_________________________．【答案】x2＋y2＋2x＋4y－5＝0【解析】設(shè)圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由題意可知點(diǎn)A(2，－3)，B(－2，－5)，C(0，1)滿足上式，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D－3E＋F＋13＝0，,2D＋5E－F－29＝0，,E＋F＋1＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝4，,F＝－5，))故所求圓的方程是x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.考向一圓的方程例1、(1)已知圓C經(jīng)過P(－2，4)，Q(3，－1)兩點(diǎn)，且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為6，則圓C的方程為___________________________；【答案】x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0【解析】設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，將P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2D－4E－F＝20①，,3D－E＋F＝－10②.))又令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0③.設(shè)x1，x2是方程③的兩根，由|x1－x2|＝6，即(x1＋x2)2－4x1x2＝36，得D2－4F＝36④.由①②④，解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－8或D＝－6，E＝－8，F(xiàn)＝0，故所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y＝0.(2)已知圓心在直線y＝－4x上，且圓與直線l：x＋y－1＝0相切于點(diǎn)P(3，－2)，則該圓的方程是________________________；【答案】(x－1)2＋(y＋4)2＝8【解析】過切點(diǎn)且與x＋y－1＝0垂直的直線方程為x－y－5＝0，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心為(1，－4)，所以半徑r＝eq\r((3－1)2＋(－2＋4)2)＝2eq\r(2)，故所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.(3)若一個(gè)圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(7)，則該圓的方程為___________________．【答案】(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9【解析】因?yàn)樗髨A的圓心在直線x－3y＝0上，所以設(shè)所求圓的圓心為(3a，a).因?yàn)樗髨A與y軸相切，所以半徑r＝3|a|.因?yàn)樗髨A在直線y＝x上截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(7)，圓心(3a，a)到直線y＝x的距離d＝eq\f(|2a|,\r(2))，所以d2＋(eq\r(7))2＝r2，即2a2＋7＝9a2，所以a＝±1.故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.變式1、(1)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓的方程為________________.【答案】x2＋y2－2x＝0【解析】法一設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,1＋1＋D＋E＋F＝0，,4＋2D＋F＝0，))解得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝0，故圓的方程為x2＋y2－2x＝0.法二設(shè)O(0，0)，A(1，1)，B(2，0)，則kOA＝1，kAB＝－1，所以kOA·kAB＝－1，即OA⊥AB，所以△OAB是以角A為直角的直角三角形，則線段BO是所求圓的直徑，則圓心為C(1，0)，半徑r＝eq\f(1,2)|OB|＝1，圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.(2)已知圓C的圓心在直線x＋y＝0上，圓C與直線x－y＝0相切，且截直線x－y－3＝0所得的弦長(zhǎng)為eq\r(6)，則圓C的方程為________.【答案】(x－1)2＋(y＋1)2＝2【解析】法一∵所求圓的圓心在直線x＋y＝0上，∴可設(shè)所求圓的圓心為(a，－a).∵所求圓與直線x－y＝0相切，∴半徑r＝eq\f(2|a|,\r(2))＝eq\r(2)|a|.又所求圓截直線x－y－3＝0所得的弦長(zhǎng)為eq\r(6)，圓心(a，－a)到直線x－y－3＝0的距離d＝eq\f(|2a－3|,\r(2))，∴d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)＝r2，即eq\f(（2a－3）2,2)＋eq\f(3,2)＝2a2，解得a＝1，∴圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.法二設(shè)所求圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則圓心(a，b)到直線x－y－3＝0的距離d＝eq\f(|a－b－3|,\r(2))，∴r2＝eq\f(（a－b－3）2,2)＋eq\f(3,2)，即2r2＝(a－b－3)2＋3.①∵所求圓與直線x－y＝0相切，∴eq\f(|a－b|,\r(12＋（－1）2))＝r.②又∵圓心在直線x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③聯(lián)立①②③，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,r＝\r(2)，))故圓C的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝2.變式2、根據(jù)下列條件，求圓的方程．經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)，B(3，－2)，且圓心在直線2x－y－3＝0上；【解析】(1)由題意知kAB＝2，AB中點(diǎn)為(4,0)，設(shè)圓心C(a，b)．因?yàn)閳A過A(5,2)，B(3，－2)兩點(diǎn)，所以圓心一定在線段AB的垂直平分線上，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a－4)＝－\f(1,2)，,2a－b－3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝1，))所以C(2,1)，所以r＝|CA|＝eq\r(5－22＋2－12)＝eq\r(10)，所以所求圓的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝10.方法總結(jié)：求圓的方程的方法：(1)直接法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．(2)待定系數(shù)法：①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值.考向二與圓有關(guān)的最值問題例2、已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上，求x＋y的最大值和最小值．【解析】設(shè)t＝x＋y，則y＝－x＋t，t可視為直線y＝－x＋t在y軸上的截距，所以x＋y的最大值和最小值就是直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)直線縱截距的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)在y軸上的截距．由直線與圓相切，得圓心到直線的距離等于半徑，即eq\f(|2＋(－3)－t|,\r(2))＝1，解得t＝eq\r(2)－1或t＝－eq\r(2)－1，所以x＋y的最大值為eq\r(2)－1，最小值為－eq\r(2)－1.變式1、已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上求eq\f(y,x)的最大值和最小值．【解析】eq\f(y,x)可視為點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)連線的斜率，eq\f(y,x)的最大值和最小值就是與該圓有公共點(diǎn)的過原點(diǎn)的直線斜率的最大值和最小值，即直線與圓相切時(shí)的斜率．設(shè)過原點(diǎn)的直線的方程為y＝kx，由直線與圓相切，得圓心到直線的距離等于半徑，即eq\f(|2k＋3|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝－2＋eq\f(2\r(3),3)或k＝－2－eq\f(2\r(3),3)，所以eq\f(y,x)的最大值為－2＋eq\f(2\r(3),3)，最小值為－2－eq\f(2\r(3),3).變式2、已知點(diǎn)(x，y)在圓(x－2)2＋(y＋3)2＝1上eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值和最小值．【解析】eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)＝eq\r((x＋1)2＋(y－2)2)，求它的最值可視為求點(diǎn)(x，y)到定點(diǎn)(－1，2)的距離的最值，可轉(zhuǎn)化為求圓心(2，－3)到定點(diǎn)(－1，2)的距離與半徑的和或差．又圓心到定點(diǎn)(－1，2)的距離為eq\r(34)，所以eq\r(x2＋y2＋2x－4y＋5)的最大值為eq\r(34)＋1，最小值為eq\r(34)－1變式3、若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，求下列各式的最大值和最小值．(1)eq\f(y,x－4)；(2)3x－4y；(3)x2＋y2.【解析】(1)(方法1)令eq\f(y,x－4)＝k，則kx－y－4k＝0.∵x，y滿足x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，∴圓心(－1，2)到直線kx－y－4k＝0的距離不大于圓的半徑2，即eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(2＋5k)),\r(k2＋1))≤2，解得－eq\f(20,21)≤k≤0，∴eq\f(y,x－4)的最大值為0，最小值為－eq\f(20,21).(方法2)令eq\f(y,x－4)＝k，則y＝k(x－4)代入圓的方程，整理得(1＋k2)x2＋(2－4k－8k2)x＋16k2＋16k＋1＝0，∵上述方程有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝(2－4k－8k2)2－4(1＋k2)·(16k2＋16k＋1)≥0，化簡(jiǎn)整理得21k2＋20k≤0，解得－eq\f(20,21)≤k≤0，∴eq\f(y,x－4)的最大值為0，最小值為－eq\f(20,21).(2)(方法1)設(shè)3x－4y＝k，則3x－4y－k＝0，圓心(－1，2)到該直線的距離不大于圓的半徑，即eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－3－8－k)),\r(25))≤2，解得－21≤k≤－1，∴3x－4y的最大值為－1，最小值為－21.(方法2)設(shè)k＝3x－4y，即y＝eq\f(3,4)x－eq\f(k,4)，代入圓的方程，整理得25x2－(16＋6k)x＋k2＋16k＋16＝0，∵上述方程有實(shí)數(shù)根，∴Δ＝(－16－6k)2－4×25(k2＋16k＋16)≥0，化簡(jiǎn)整理得k2＋22k＋21≤0，解得－21≤k≤－1，∴3x－4y的最大值為－1，最小值為－21.(3)(方法1)先求出原點(diǎn)與圓心之間的距離d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－0))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－0))2)＝eq\r(5)，根據(jù)幾何意義，知x2＋y2的最大值為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)＋2))eq\s\up12(2)＝9＋4eq\r(5)，最小值為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(5)－2))eq\s\up12(2)＝9－4eq\r(5).(方法2)由(1)的方法知，圓的方程中的x，y變?yōu)閑q\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1＋2cosα，,y＝2＋2sinα))(α∈R)，x2＋y2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1＋2cosα))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋2sinα))eq\s\up12(2)＝9＋8sinα－4cosα＝9＋4eq\r(5)sin(α＋φ)∴x2＋y2的最大值為9＋4eq\r(5)，最小值為9－4eq\r(5).變式4、（深圳市高級(jí)中學(xué)集團(tuán)期末試題）已知點(diǎn)，點(diǎn)，R是圓上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為__________．【答案】##【解析】因?yàn)镽是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則設(shè)，其中.則，得，其中滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：.方法總結(jié)：(1)與圓有關(guān)的長(zhǎng)度或距離的最值問題的解法：一般根據(jù)長(zhǎng)度或距離的幾何意義，利用圓的幾何性質(zhì)數(shù)形結(jié)合求解．(2)與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型：①形如μ＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問題；②形如t＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問題；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問題．考向三與圓有關(guān)的軌跡問題例3、已知圓x2＋y2＝4上一定點(diǎn)A(2，0)，B(1，1)為圓內(nèi)一點(diǎn)，P，Q為圓上的動(dòng)點(diǎn)．(1)求線段AP中點(diǎn)的軌跡方程；(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程．【解析】(1)設(shè)AP的中點(diǎn)為M(x，y).由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2x－2，2y).因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上，所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，即(x－1)2＋y2＝1，故線段AP中點(diǎn)的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.(2)設(shè)PQ的中點(diǎn)為N(a，b).在Rt△PBQ中，PN＝BN.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，連接ON，則ON⊥PQ，所以O(shè)P2＝ON2＋PN2＝ON2＋BN2，所以a2＋b2＋(a－1)2＋(b－1)2＝4，化簡(jiǎn)，得a2＋b2－a－b－1＝0，故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.變式、（東莞市高三期末試題）已知點(diǎn)P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓的切線，切點(diǎn)分別為A、B，且，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的長(zhǎng)度為____________．【答案】【解析】因?yàn)?所以,所以，解得,設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,所以,解得,所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的長(zhǎng)度為.故答案為：.方法總結(jié)：求與圓