高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)全程規(guī)劃(新高考地區(qū)專用)考點(diǎn)11平面向量及其應(yīng)用(20種題型6個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn))專項(xiàng)練習(xí)(原卷版+解析)

考點(diǎn)11平面向量及其應(yīng)用（20種題型6個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）一、真題多維細(xì)目表一、真題多維細(xì)目表考題考點(diǎn)考向2022新高考1，第3題平面向量的概念及線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算2022新高考2，第4題數(shù)量積的綜合應(yīng)用由夾角相等求參數(shù)值2021新高考1，第10題數(shù)量積的定義及夾角與模問(wèn)題利用坐標(biāo)運(yùn)算求解向量的模，數(shù)量積2021新高考2，第15題數(shù)量積的綜合應(yīng)用平面向量的數(shù)量積2021全國(guó)乙理，第14題數(shù)量積的定義及夾角與模問(wèn)題由向量垂直求參數(shù)2020新高考2，第3題平面向量的概念及線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算2020新高考1，第7題數(shù)量積的綜合應(yīng)用求數(shù)量積的取值范圍二二、命題規(guī)律與備考策略高考對(duì)本章內(nèi)容的考查以平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算為主，考查與平面向量基本定理相關(guān)的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的夾角、向量的模。試題以中低檔為主，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值為5分。高考對(duì)本章的考查依然是基礎(chǔ)與能力并存，在知識(shí)形成過(guò)程、知識(shí)遷移種滲透數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)，重視函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與劃歸思想。三三、2023真題搶先刷，考向提前知一．選擇題（共4小題）1．（2023?甲卷）已知向量＝（3，1），＝（2，2），則cos?+，﹣?＝（）A． B． C． D．2．（2023?甲卷）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，則cos?﹣，﹣?＝（）A． B． C． D．3．（2023?乙卷）正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB的中點(diǎn)，則?＝（）A． B．3 C．2 D．54．（2023?新高考Ⅰ）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），則（）A．λ+μ＝1 B．λ+μ＝﹣1 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1二．填空題（共1小題）5．（2023?新高考Ⅱ）已知向量，滿足|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，則||＝．四四、考點(diǎn)清單1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.兩個(gè)向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa．4．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．5．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．6．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b?x1y2－x2y1＝0．7．向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角．(2)范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.(3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直．8．平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則|a||b|·cos_θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘積9.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.10．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝011.平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用(1)解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問(wèn)題解決．(2)還應(yīng)熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、幾何意義、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換、正、余弦定理等知識(shí)．<常用結(jié)論>1．五個(gè)特殊向量(1)要注意0與0的區(qū)別，0是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量，且|0|＝0.(2)單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同．(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量．(4)與向量a平行的單位向量有兩個(gè)，即向量eq\f(a,|a|)和－eq\f(a,|a|).2．五個(gè)常用結(jié)論(1)一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特別地，一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．(2)若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．(3)若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心．(4)在△ABC中，AD，BE，CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點(diǎn)G(如圖所示)，易知G為△ABC的重心，則有如下結(jié)論：①eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；②eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))；③eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．(5)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.3．基底需要的關(guān)注三點(diǎn)(1)基底e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底．(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一．(3)如果對(duì)于一組基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，則可以得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))4．共線向量定理應(yīng)關(guān)注的兩點(diǎn)(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.(2)判斷三點(diǎn)是否共線，先求每?jī)牲c(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，然后按兩向量共線進(jìn)行判定．5．兩個(gè)結(jié)論(1)已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(2)已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).6．兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線．7．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.五五、題型方法一．向量的概念與向量的模（共2小題）1．（2023?葉城縣校級(jí)模擬）已知，，若與模相等，則＝（）A．3 B．4 C．5 D．62．（2023?廣西模擬）已知和是兩個(gè)正交單位向量，且，則k＝（）A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4二．向量相等與共線（共2小題）3．（2023?南通模擬）若向量滿足，則向量一定滿足的關(guān)系為（）A． B．存在實(shí)數(shù)λ，使得 C．存在實(shí)數(shù)m，n，使得 D．4．（2023?湖北模擬）已知向量，則“與共線”是“存在唯一實(shí)數(shù)λ使得”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件三．平面向量的線性運(yùn)算（共1小題）5．（2023?濟(jì)南三模）在△ABC中，若，則△ABC面積的最大值為（）A． B． C．1 D．四．向量的加法（共1小題）6．（2023?浙江模擬）設(shè)M是平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，則＝（）A． B． C． D．五．向量的減法（共1小題）7．（2023?防城港模擬）在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，則＝（）A． B． C． D．六．向量的三角形法則（共2小題）8．（2023?普寧市校級(jí)二模）設(shè)是單位向量，＝3，＝﹣3，||＝3，則四邊形ABCD（）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形9．（2023?西寧模擬）在△ABC中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則＝（）A．2+ B．﹣2 C．2﹣ D．+2七．向量加減混合運(yùn)算（共1小題）10．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）已知＝（1，），＝（2，0），則|﹣3|＝（）A．2 B．2 C．24 D．28八．兩向量的和或差的模的最值（共3小題）11．（2023?安徽模擬）△ABC中，||＝2||，則sinA的最大值為（）A． B． C． D．12．（2023?張家口一模）已知向量，，都是單位向量，若，則的最大值為（）A． B．2 C． D．13．（2023?市中區(qū)校級(jí)一模）若平面向量，，滿足，，，，則的最小值為．九．向量數(shù)乘和線性運(yùn)算（共2小題）14．（2023?石獅市校級(jí)模擬）我國(guó)古代入民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽．如圖，大正方形ABCD是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，E為BF的中點(diǎn)，則＝（）A． B． C． D．15．（2023?湖南模擬）如圖，正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD的中點(diǎn)，若＝λ+μ，則λ+μ＝（）A．2 B． C． D．一十．平面向量數(shù)量積的含義與物理意義（共2小題）16．（2023?天門模擬）已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A．1 B．﹣1 C． D．17．（2023?淮北二模）已知向量，滿足?＝10，且＝（﹣3，4），則在上的投影向量為（）A．（﹣6，8） B．（6，﹣8） C．（﹣，） D．（，﹣）一十一．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共3小題）18．（2023?射洪市校級(jí)模擬）已知平面向量，，的夾角為60°，，則實(shí)數(shù)t（）A．﹣1 B．1 C． D．±119．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，，則的最小值為（）A．﹣2 B． C． D．20．（2023?虹口區(qū)校級(jí)三模）已知平面向量滿足，則的取值范圍是．一十二．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（共2小題）21．（2023?廣州三模）已知向量，，且，則＝（）A．3 B．4 C．5 D．622．（2023?丹東模擬）已知向量，，則＝（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5一十三．向量的投影（共2小題）23．（2023?翠屏區(qū)校級(jí)模擬）已知向量，若，則在方向上的投影為（）A．1 B．﹣1 C． D．24．（2023?宜賓模擬）已知點(diǎn)M是圓C：（x﹣4）2+y2＝4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是直線y＝x上除原點(diǎn)O外的任意一點(diǎn)，則向量在向量上的投影的最大值是（）A． B． C． D．一十四．投影向量（共2小題）25．（2023?東莞市校級(jí)三模）已知向量，則向量在向量方向上的投影向量為（）A．（6，﹣3） B． C． D．26．（2023?開(kāi)福區(qū)校級(jí)二模）已知單位向量，的夾角為60°，則向量在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．一十五．平面向量的基本定理（共3小題）27．（2023?斗門區(qū)校級(jí)三模）在梯形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，，則＝（）A． B． C． D．28．（2023?浠水縣校級(jí)三模）在平行四邊形ABCD中，．若，則m﹣n＝（）A． B． C． D．29．（2023?鎮(zhèn)江三模）在△ABC中，＝3，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)．若存在實(shí)數(shù)λ，μ使得，則λ+μ＝（請(qǐng)用數(shù)字作答）．一十六．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（共2小題）30．（2023?浙江二模）若，，則＝（）A．（﹣2，﹣2） B．（﹣2，2） C．（2，﹣2） D．（2，2）31．（2023?興慶區(qū)校級(jí)二模）已知向量，，，若，則m+n＝（）A．5 B．6 C．7 D．8一十七．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示（共2小題）32．（2023?河南三模）已知向量，若，則實(shí)數(shù)x＝（）A．5 B．4 C．3 D．233．（2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬）已知向量，，且．則sinα的值為（）A． B．0 C．±1 D．不存在一十八．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角（共3小題）34．（2023?北京模擬）若向量，，則與的夾角等于（）A． B． C． D．35．（2023?郴州模擬）已知向量滿足，則向量的夾角為（）A． B． C． D．36．（2023?渝中區(qū)校級(jí)模擬）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角大小為．一十九．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系（共2小題）37．（2023?西寧二模）若向量，，且，則＝（）A． B．4 C． D．38．（2023?江西模擬）已知向量，，，則x的值為（）A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣4二十．平面向量的綜合題（共2小題）39．（2023?龍華區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，E是AB的中點(diǎn)，＝2，＝，EF與AD交于點(diǎn)M，則＝（）A．+ B．+ C．+ D．+40．（2023?金山區(qū)二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為．六六、易錯(cuò)分析易錯(cuò)點(diǎn)一、忽略向量共線致誤1、已知向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi)_______．2、已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a與b的夾角為θ.若θ為銳角,則λ的取值范圍是__________．易錯(cuò)點(diǎn)二、對(duì)向量共線定理及平面向量基本定理理解不準(zhǔn)確致誤3、給出下列命題：(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底；(2)平面向量的基底不唯一,只要基底確定后,平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示；(3)若a,b共線,則且存在且唯一；(4)λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,則λ1＝λ2,μ1＝μ2.其中真命題的個(gè)數(shù)為A.1B.2C.3D.4易錯(cuò)點(diǎn)三、對(duì)兩兩夾角相等理解不準(zhǔn)確4、若單位向量?jī)蓛蓨A角相等,則的模為.易錯(cuò)點(diǎn)四、確定向量夾角忽略向量的方向致錯(cuò)5、已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1,則eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.6、在中,M是BC的中點(diǎn),AM=1,點(diǎn)P在AM上且滿足,則等于（）A．B.C.D.易錯(cuò)點(diǎn)五、向量基本概念模糊致錯(cuò)7、下列五個(gè)命題：若a∥b,b∥c,則a∥c；若A,B,C,D是同一平面內(nèi)的四點(diǎn)且eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→))，則ABCD為平行四邊形；若,則；；其中正確的命題有______個(gè)。易錯(cuò)點(diǎn)六、忽視平面向量基本定理的成立條件8、下列各組向量中，可以作為基底的是（）A、=（0，0），=（1，-2）B、=（-1，2），=（5，7）C、=（3，5），=（6，10）D、=（2，-3），=（4，-6）七七、刷基礎(chǔ)一．選擇題（共11小題）1．（2023?鄭州模擬）若，均為單位向量，且，則k的值可能是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣32．（2023?廈門模擬）平面上的三個(gè)力1，2，3作用于同一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)．已知1＝（1，0），|2|＝2，?1，2?＝120°，則|3|＝（）A． B．1 C． D．23．（2023?南平模擬）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M滿足+＝2，則||＝（）A． B．1 C． D．4．（2023?云南模擬）若向量，則在上的投影向量為（）A． B． C．（33，44） D．5．（2023?梅河口市校級(jí)模擬）設(shè)非零向量滿足，則在上的投影向量為（）A． B． C． D．6．（2023?三模擬）已知，為單位向量，若|﹣2|＝，則?（﹣2）＝（）A．0 B．﹣1 C．1 D．27．（2023?長(zhǎng)沙縣校級(jí)三模）已知向量＝（2，1），＝（﹣1，3），則向量在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．8．（2023?西安二模）已知向量，，且，則sinαcosα＝（）A．3 B．﹣3 C． D．9．（2023?河南模擬）已知向量，，若，則＝（）A． B．5 C． D．1010．（2023?凱里市校級(jí)二模）若向量，，，且，則m＝（）A． B． C．﹣1 D．111．（2023?龍華區(qū)校級(jí)模擬）若平面向量與滿足＝﹣1，且||＝2，||＝1，則向量與的夾角為（）A． B． C． D．二．多選題（共3小題）（多選）12．（2023?金安區(qū)校級(jí)模擬）下列命題正確的有（）A．已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為，則z+一定是實(shí)數(shù) B．若為向量，則 C．若z1，z2為復(fù)數(shù)，則|z1z2|＝|z1|?|z2| D．若為向量，且，則（多選）13．（2023?泉州模擬）圓O為銳角△ABC的外接圓，AC＝2AB＝2，則的值可能為（）A． B． C． D．（多選）14．（2023?射洪市校級(jí)模擬）如圖，點(diǎn)C，D是線段AB的三等分點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A． B． C． D．三．填空題（共13小題）15．（2023?閬中市校級(jí)二模）已知為單位向量，且滿足，則＝．16．（2023?武功縣校級(jí)模擬）已知菱形EFGH中，，則＝．17．（2023?河南模擬）已知不共線，向量，，且，則k＝．18．（2023?船營(yíng)區(qū)校級(jí)模擬）已知向量，向量在方向上的投影向量坐標(biāo)為．19．（2023?張掖四模）已知向量，，且，則向量在方向上的投影為．20．（2023?虹口區(qū)校級(jí)模擬）將向量繞坐標(biāo)原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到，則＝．21．（2023?香坊區(qū)校級(jí)三模）已知向量，，若在方向上的投影向量為，則x的值為．22．（2023?洛陽(yáng)模擬）已知向量＝（x，1），＝（﹣3，2），若2＝（1，4），則＝．23．（2023?梅河口市校級(jí)一模）已知向量滿足，且，則與的夾角為．24．（2023?河南模擬）已知向量＝（2，﹣3），＝（﹣1，2），＝（4，3），若（λ）⊥，則|λ﹣|＝．25．（2023?黃浦區(qū)校級(jí)三模）已知平面向量，，若，則m＝．26．（2023?市中區(qū)校級(jí)模擬）已知向量，，與共線，則＝．27．（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）已知，若與平行，則實(shí)數(shù)k＝．八.八.刷真題一．選擇題（共8小題）1．（2022?全國(guó)）已知向量＝（x+2，1+x），＝（x﹣2，1﹣x）．若∥，則（）A．x2＝2 B．|x|＝2 C．x2＝3 D．|x|＝32．（2023?北京）已知向量，滿足+＝（2，3），﹣＝（﹣2，1），則||2﹣||2＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．13．（2022?乙卷）已知向量＝（2，1），＝（﹣2，4），則|﹣|＝（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2023?全國(guó)）設(shè)向量，，若，則x＝（）A．5 B．2 C．1 D．05．（2022?乙卷）已知向量，滿足||＝1，||＝，|﹣2|＝3，則?＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．26．（2022?新高考Ⅱ）已知向量＝（3，4），＝（1，0），＝+t，若＜，＞＝＜，＞，則t＝（）A．﹣6 B．﹣5 C．5 D．67．（2022?新高考Ⅰ）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA．記＝，＝，則＝（）A．3﹣2 B．﹣2+3 C．3+2 D．2+38．（2022?北京）在△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠C＝90°．P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC＝1，則?的取值范圍是（）A．[﹣5，3] B．[﹣3，5] C．[﹣6，4] D．[﹣4，6]二．填空題（共8小題）9．（2023?上海）已知向量＝（﹣2，3），＝（1，2），則?＝．10．（2022?甲卷）已知向量＝（m，3），＝（1，m+1）．若⊥，則m＝．11．（2023?天津）在△ABC中，∠A＝60°，||＝1，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為CD的中點(diǎn)，若設(shè)＝，＝，則可用，表示為；若＝，則?的最大值為．12．（2022?上海）若平面向量||＝||＝||＝λ，且滿足?＝0，?＝2，?＝1，則λ＝．13．（2022?甲卷）設(shè)向量，的夾角的余弦值為，且||＝1，||＝3，則（2+）?＝．14．（2022?上海）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在邊BC上，則?的最小值為．15．（2022?天津）在△ABC中，＝，＝，D是AC中點(diǎn)，＝2，試用，表示為，若⊥，則∠ACB的最大值為．16．（2022?浙江）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形A1A2…A8的邊A1A2上，則2+2+…+2的取值范圍是．

考點(diǎn)11平面向量及其應(yīng)用（20種題型6個(gè)易錯(cuò)考點(diǎn)）一一、真題多維細(xì)目表考題考點(diǎn)考向2022新高考1，第3題平面向量的概念及線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算2022新高考2，第4題數(shù)量積的綜合應(yīng)用由夾角相等求參數(shù)值2021新高考1，第10題數(shù)量積的定義及夾角與模問(wèn)題利用坐標(biāo)運(yùn)算求解向量的模，數(shù)量積2021新高考2，第15題數(shù)量積的綜合應(yīng)用平面向量的數(shù)量積2021全國(guó)乙理，第14題數(shù)量積的定義及夾角與模問(wèn)題由向量垂直求參數(shù)2020新高考2，第3題平面向量的概念及線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算2020新高考1，第7題數(shù)量積的綜合應(yīng)用求數(shù)量積的取值范圍二二、命題規(guī)律與備考策略高考對(duì)本章內(nèi)容的考查以平面向量的基礎(chǔ)知識(shí)、基本運(yùn)算為主，考查與平面向量基本定理相關(guān)的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積運(yùn)算、向量的夾角、向量的模。試題以中低檔為主，以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，分值為5分。高考對(duì)本章的考查依然是基礎(chǔ)與能力并存，在知識(shí)形成過(guò)程、知識(shí)遷移種滲透數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)，重視函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與劃歸思想。三三、2023真題搶先刷，考向提前知一．選擇題（共4小題）1．（2023?甲卷）已知向量＝（3，1），＝（2，2），則cos?+，﹣?＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，求出+和﹣的坐標(biāo)，進(jìn)而求出|+|、|﹣|和（+）?（﹣）的值，進(jìn)而由數(shù)量積的計(jì)算公式計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量＝（3，1），＝（2，2），則+＝（5，3），﹣＝（1，﹣1），則有|+|＝＝，|﹣|＝＝，（+）?（﹣）＝2，故cos?+，﹣?＝＝．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的夾角，涉及向量的數(shù)量積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023?甲卷）向量||＝||＝1，||＝，且+＝，則cos?﹣，﹣?＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)題意，用、表示，利用模長(zhǎng)公式求出cos＜，＞，再計(jì)算﹣與﹣的數(shù)量積和夾角余弦值．【解答】解：因?yàn)橄蛄縷|＝||＝1，||＝，且+＝，所以﹣＝+，所以＝++2?，即2＝1+1+2×1×1×cos＜，＞，解得cos＜，＞＝0，所以⊥，又﹣＝2+，﹣＝+2，所以（﹣）?（﹣）＝（2+）?（+2）＝2+2+5?＝2+2+0＝4，|﹣|＝|﹣|＝＝＝，所以cos?﹣，﹣?＝＝＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的數(shù)量積與模長(zhǎng)夾角的計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．3．（2023?乙卷）正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB的中點(diǎn)，則?＝（）A． B．3 C．2 D．5【分析】由已知結(jié)合向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解．【解答】解：正方形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E是AB的中點(diǎn)，所以＝﹣1，，，＝2×2＝4，則?＝（）?（）＝+++＝﹣1+0+0+4＝3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的線性表示及向量數(shù)量積的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?新高考Ⅰ）已知向量＝（1，1），＝（1，﹣1）．若（+λ）⊥（+μ），則（）A．λ+μ＝1 B．λ+μ＝﹣1 C．λμ＝1 D．λμ＝﹣1【分析】由已知求得+λ與+μ的坐標(biāo)，再由兩向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系列式求解．【解答】解：∵＝（1，1），＝（1，﹣1），∴+λ＝（λ+1，1﹣λ），+μ＝（μ+1，1﹣μ），由（+λ）⊥（+μ），得（λ+1）（μ+1）+（1﹣λ）（1﹣μ）＝0，整理得：2λμ+2＝0，即λμ＝﹣1．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量加法與數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算，考查兩向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．二．填空題（共1小題）5．（2023?新高考Ⅱ）已知向量，滿足|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，則||＝．【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)及方程思想，即可求解．【解答】解：∵|﹣|＝，|+|＝|2﹣|，∴，，∴，∴＝3，∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量數(shù)量積的性質(zhì)及方程思想，屬基礎(chǔ)題．四四、考點(diǎn)清單1．向量的有關(guān)概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：長(zhǎng)度為0的向量，其方向是任意的．(3)單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線．(5)相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量．2．向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算a－b＝a＋(－b)數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ<0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μ_a；λ(a＋b)＝λa＋λb3.兩個(gè)向量共線定理向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa．4．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2．其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．5．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))．(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2)．6．平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a∥b?x1y2－x2y1＝0．7．向量的夾角(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角．(2)范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°.(3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直．8．平面向量的數(shù)量積定義設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則|a||b|·cos_θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b投影|a|cos_θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos_θ叫做向量b在a方向上的投影幾何意義數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos_θ的乘積9.向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.10．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1))\r(xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝011.平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用(1)解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問(wèn)題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的有關(guān)問(wèn)題解決．(2)還應(yīng)熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、幾何意義、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換、正、余弦定理等知識(shí)．<常用結(jié)論>1．五個(gè)特殊向量(1)要注意0與0的區(qū)別，0是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量，且|0|＝0.(2)單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同．(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量．(4)與向量a平行的單位向量有兩個(gè)，即向量eq\f(a,|a|)和－eq\f(a,|a|).2．五個(gè)常用結(jié)論(1)一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量，即eq\o(A1A2,\s\up6(→))＋eq\o(A2A3,\s\up6(→))＋eq\o(A3A4,\s\up6(→))＋…＋eq\o(An－1An,\s\up6(→))＝eq\o(A1An,\s\up6(→)).特別地，一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量．(2)若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．(3)若A，B，C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0?P為△ABC的重心．(4)在△ABC中，AD，BE，CF分別為三角形三邊上的中線，它們交于點(diǎn)G(如圖所示)，易知G為△ABC的重心，則有如下結(jié)論：①eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0；②eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))；③eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→)))，eq\o(GD,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))．(5)若eq\o(OA,\s\up6(→))＝λeq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))(λ，μ為常數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件是λ＋μ＝1.3．基底需要的關(guān)注三點(diǎn)(1)基底e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底．(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一．(3)如果對(duì)于一組基底e1，e2，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，則可以得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ1＝μ1，,λ2＝μ2.))4．共線向量定理應(yīng)關(guān)注的兩點(diǎn)(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.(2)判斷三點(diǎn)是否共線，先求每?jī)牲c(diǎn)對(duì)應(yīng)的向量，然后按兩向量共線進(jìn)行判定．5．兩個(gè)結(jié)論(1)已知P為線段AB的中點(diǎn)，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).(2)已知△ABC的頂點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則△ABC的重心G的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).6．兩個(gè)向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且a，b不共線；兩個(gè)向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且a，b不共線．7．平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.五五、題型方法一．向量的概念與向量的模（共2小題）1．（2023?葉城縣校級(jí)模擬）已知，，若與模相等，則＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用坐標(biāo)求出的模長(zhǎng)，進(jìn)而根據(jù)已知條件可以得到一個(gè)關(guān)于的方程，問(wèn)題即可得到解決．【解答】解：因?yàn)?，所以，故，而又已知，且，所以，解得．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023?廣西模擬）已知和是兩個(gè)正交單位向量，且，則k＝（）A．2或3 B．2或4 C．3或5 D．3或4【分析】根據(jù)題意得到，，求得，根據(jù)向量模的計(jì)算公式，列出方程，即可求解．【解答】解：因?yàn)楹褪钦粏挝幌蛄?，，，可得，所以，解得k＝2或k＝4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．二．向量相等與共線（共2小題）3．（2023?南通模擬）若向量滿足，則向量一定滿足的關(guān)系為（）A． B．存在實(shí)數(shù)λ，使得 C．存在實(shí)數(shù)m，n，使得 D．【分析】對(duì)兩邊平方即可得出，進(jìn)而得出，從而判斷A不正確；時(shí)，B不一定成立；時(shí)，D不成立，這樣只能選C．【解答】解：∵，∴，∴，∴，∴，，∴，∴不一定成立；時(shí)，不成立；時(shí)，不成立．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量數(shù)量積的計(jì)算公式，共線向量基本定理，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?湖北模擬）已知向量，則“與共線”是“存在唯一實(shí)數(shù)λ使得”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】充分性根據(jù)驗(yàn)證；必要性直接證明即可．【解答】解：當(dāng)時(shí)，滿足與共線，但是不存在實(shí)數(shù)λ使得，故充分性不成立；存在唯一實(shí)數(shù)λ使得，則與共線成立，即必要性成立，故“與共線”是“存在唯一實(shí)數(shù)λ使得”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了共線向量的定義，考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎(chǔ)題．三．平面向量的線性運(yùn)算（共1小題）5．（2023?濟(jì)南三模）在△ABC中，若，則△ABC面積的最大值為（）A． B． C．1 D．【分析】由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合三角形的面積公式求解即可．【解答】解：設(shè)點(diǎn)A、B為線段DE的三等分點(diǎn)，因?yàn)?，所以＝，，則＝，當(dāng)且僅當(dāng)CD⊥CE時(shí)取等號(hào)，即△ABC面積的最大值為1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了三角形的面積公式，屬中檔題．四．向量的加法（共1小題）6．（2023?浙江模擬）設(shè)M是平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，則＝（）A． B． C． D．【分析】利用向量的線性運(yùn)算法則求解．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴M是AC，BD的中點(diǎn)，∴＝，，∴＝＝＝（）＝＝（）＝＝．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．五．向量的減法（共1小題）7．（2023?防城港模擬）在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，則＝（）A． B． C． D．【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求解即可．【解答】解：∵在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，∴＝，∴＝﹣＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．六．向量的三角形法則（共2小題）8．（2023?普寧市校級(jí)二模）設(shè)是單位向量，＝3，＝﹣3，||＝3，則四邊形ABCD（）A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形【分析】據(jù)向量相反向量的定義得四邊形為平行四邊形，再據(jù)鄰邊相等四邊形為菱形．【解答】解：∵，∴∴四邊形ABCD是平行四邊形又∵∴四邊形ABCD是菱形故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相反向量的定義，菱形滿足的條件．9．（2023?西寧模擬）在△ABC中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則＝（）A．2+ B．﹣2 C．2﹣ D．+2【分析】利用向量加法法則直接求解．【解答】解：在△ABC中，D是AB邊上的中點(diǎn)，則＝＝＝＝2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的表示，考查向量加法法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．七．向量加減混合運(yùn)算（共1小題）10．（2023?雁塔區(qū)校級(jí)模擬）已知＝（1，），＝（2，0），則|﹣3|＝（）A．2 B．2 C．24 D．28【分析】可根據(jù)條件求出的坐標(biāo)，從而可求出．【解答】解：；∴．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】考查向量坐標(biāo)的減法和數(shù)乘運(yùn)算，根據(jù)向量坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度的方法．八．兩向量的和或差的模的最值（共3小題）11．（2023?安徽模擬）△ABC中，||＝2||，則sinA的最大值為（）A． B． C． D．【分析】由||＝2||，兩邊，整理得到，結(jié)合基本不等式進(jìn)而得到cosA的最小值，再利用平方關(guān)系求解．【解答】解：由||＝2||，兩邊同時(shí)平方得，展開(kāi)整理得，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．又∵sin2A+cos2A＝1且sinA＞0，∴時(shí)，所以sinA取最大值．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量模的運(yùn)算性質(zhì)，數(shù)量積運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．12．（2023?張家口一模）已知向量，，都是單位向量，若，則的最大值為（）A． B．2 C． D．【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，設(shè)，即可得到，再由求出的范圍，即可得解．【解答】解：由，得，即．設(shè)，則，顯然cosθ≠0，所以，又，所以，所以，即的最大值為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題．13．（2023?市中區(qū)校級(jí)一模）若平面向量，，滿足，，，，則的最小值為2．【分析】在平面直角坐標(biāo)系中，不妨設(shè)，，，再結(jié)合平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，以及基本不等式的公式，即可求解．【解答】解：在平面直角坐標(biāo)系中，不妨設(shè)，，，∵，，，∴x1x2+y1y2＝0，x1＝1，x2＝﹣1，∴y1y2＝1，∴＝|y1+y2|＝＝，當(dāng)且僅當(dāng)y1＝±1時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．九．向量數(shù)乘和線性運(yùn)算（共2小題）14．（2023?石獅市校級(jí)模擬）我國(guó)古代入民早在幾千年以前就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用勾股定理了，勾股定理最早的證明是東漢數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注時(shí)給出的，被后人稱為“趙爽弦圖”．“趙爽弦圖”是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的圖騰，還被用作第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)徽．如圖，大正方形ABCD是由4個(gè)全等的直角三角形和中間的小正方形組成的，若，E為BF的中點(diǎn)，則＝（）A． B． C． D．【分析】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)AB＝1，BE＝x，則AE＝2x．利用勾股定理可得x，通過(guò)RT△ABE的邊角關(guān)系，可得E的坐標(biāo)，設(shè)＝m+n，路坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)即可得出．【解答】解：如圖所示，建立直角坐標(biāo)系．不妨設(shè)AB＝1，BE＝x，則AE＝2x．∴x2+4x2＝1，解得x＝．設(shè)∠BAE＝θ，則sinθ＝，cosθ＝．∴xE＝cosθ＝，yE＝sinθ＝．設(shè)＝m+n，則（，）＝m（1，0）+n（0，1）．∴m＝，n＝．∴＝+，另解：過(guò)E分別作EM⊥AB，EN⊥AD，垂足分別為M，N．通過(guò)三角形相似及其已知可得：AM＝AB，AN＝AD．即可得出結(jié)論．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)求值、平面向量基本定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．15．（2023?湖南模擬）如圖，正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD的中點(diǎn)，若＝λ+μ，則λ+μ＝（）A．2 B． C． D．【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)進(jìn)行計(jì)算，列方程組解出λ，μ．【解答】解：以AB，AD為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖：設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，則＝（1，），＝（﹣，1），＝（1，1）．∵＝λ+μ，∴，解得．∴λ+μ＝．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的基本定理，屬于基礎(chǔ)題．一十．平面向量數(shù)量積的含義與物理意義（共2小題）16．（2023?天門模擬）已知向量，滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（）A．1 B．﹣1 C． D．【分析】根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，在根據(jù)向量在向量上的投影向量為計(jì)算可得．【解答】解：因?yàn)?，且，所以，即，所以，所以向量在向量上的投影向量為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題．17．（2023?淮北二模）已知向量，滿足?＝10，且＝（﹣3，4），則在上的投影向量為（）A．（﹣6，8） B．（6，﹣8） C．（﹣，） D．（，﹣）【分析】根據(jù)投影向量的定義計(jì)算即可．【解答】解：因?yàn)?＝10，且＝（﹣3，4），所以在上的投影向量||cos＜，＞＝（?）＝10×＝（﹣，）．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了投影向量的定義與計(jì)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．一十一．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算（共3小題）18．（2023?射洪市校級(jí)模擬）已知平面向量，，的夾角為60°，，則實(shí)數(shù)t（）A．﹣1 B．1 C． D．±1【分析】對(duì)兩邊平方，再由數(shù)量積公式計(jì)算可得答案．【解答】解：因?yàn)?，所以，?+2×2×cos60°t+t2＝3，解得t＝﹣1．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．19．（2023?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，，則的最小值為（）A．﹣2 B． C． D．【分析】由平面向量的線性運(yùn)算，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算求解即可．【解答】解：已知在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，，則，則＝＝＝＝，又x∈[0，1]，則當(dāng)x＝0時(shí)，取最小值．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性運(yùn)算，重點(diǎn)考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．20．（2023?虹口區(qū)校級(jí)三模）已知平面向量滿足，則的取值范圍是．【分析】設(shè)，則，得到，結(jié)合絕對(duì)值三角不等式，即可求解．【解答】解：不妨設(shè)，則，由，可得，則||，所以的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)以及絕對(duì)值不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．一十二．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角（共2小題）21．（2023?廣州三模）已知向量，，且，則＝（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算求出m，再利用向量的求模公式求解．【解答】解：∵，∴++2?＝+﹣2?，∴?＝0，∵，，∴12+4m＝0，m＝﹣3，∴＝（4，﹣3），∴＝＝5．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了向量的數(shù)量積，向量的求模公式，屬于基礎(chǔ)題．22．（2023?丹東模擬）已知向量，，則＝（）A．﹣5 B．﹣3 C．3 D．5【分析】由已知求得的坐標(biāo)，再由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解．【解答】解：∵，，∴，則＝2×（﹣1）+1×（﹣1）＝﹣3．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．一十三．向量的投影（共2小題）23．（2023?翠屏區(qū)校級(jí)模擬）已知向量，若，則在方向上的投影為（）A．1 B．﹣1 C． D．【分析】利用坐標(biāo)運(yùn)算求出，然后求投影即可．【解答】解：，，則，則在方向上的投影為．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的投影公式，屬于基礎(chǔ)題．24．（2023?宜賓模擬）已知點(diǎn)M是圓C：（x﹣4）2+y2＝4上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)N是直線y＝x上除原點(diǎn)O外的任意一點(diǎn)，則向量在向量上的投影的最大值是（）A． B． C． D．【分析】取點(diǎn)N（a，a），則a≠0，設(shè)點(diǎn)M（4+2cosθ，2sinθ），其中0≤θ＜2π，利用向量投影的定義以及三角恒等變換可求得向量在向量上的投影的最大值．【解答】解：取點(diǎn)N（a，a），則a≠0，設(shè)點(diǎn)M（4+2cosθ，2sinθ），其中0≤θ＜2π，所以，向量在向量上的投影為＝，若向量在向量取最大值，則a＞0，所以，＝，因?yàn)?≤θ＜2π，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故向量在向量上的投影的最大值是為．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的投影，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．一十四．投影向量（共2小題）25．（2023?東莞市校級(jí)三模）已知向量，則向量在向量方向上的投影向量為（）A．（6，﹣3） B． C． D．【分析】根據(jù)已知向量坐標(biāo)，求投影向量公式求解即可．【解答】因?yàn)?，所以，，故所求投影向量為：．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題．26．（2023?開(kāi)福區(qū)校級(jí)二模）已知單位向量，的夾角為60°，則向量在方向上的投影向量為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積公式及投影向量的定義即可求解．【解答】解：因?yàn)閮蓚€(gè)單位向量和的夾角為60°，則，所以，，，故所求投影向量為．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的數(shù)量積公式及投影向量的定義，屬于基礎(chǔ)題．一十五．平面向量的基本定理（共3小題）27．（2023?斗門區(qū)校級(jí)三模）在梯形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，，則＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可求出結(jié)果．【解答】解：如圖，由，可得（利用平行關(guān)系求得線段比），則，所以．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．28．（2023?浠水縣校級(jí)三模）在平行四邊形ABCD中，．若，則m﹣n＝（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)向量對(duì)應(yīng)線段的數(shù)量及位置關(guān)系，用表示出，求出參數(shù)，進(jìn)而得結(jié)果．【解答】解：＝，所以，則．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的線性表示及平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題．29．（2023?鎮(zhèn)江三模）在△ABC中，＝3，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)．若存在實(shí)數(shù)λ，μ使得，則λ+μ＝（請(qǐng)用數(shù)字作答）．【分析】首先根據(jù)題意，利用向量線性運(yùn)算將用和表示，然后和題設(shè)條件對(duì)照，即可求出．【解答】解：如圖，因?yàn)镋為CD中點(diǎn)，所以＝+，又＝3，∴＝，∴＝，故λ＝，，∴λ+μ＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬簡(jiǎn)單題．一十六．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（共2小題）30．（2023?浙江二模）若，，則＝（）A．（﹣2，﹣2） B．（﹣2，2） C．（2，﹣2） D．（2，2）【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得答案．【解答】解：由題意知，，故．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．31．（2023?興慶區(qū)校級(jí)二模）已知向量，，，若，則m+n＝（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解．【解答】解：，，，，則（9，4）＝（2m，﹣3m）+（n，2n），即，解得m＝2，n＝5，故m+n＝7．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．一十七．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示（共2小題）32．（2023?河南三模）已知向量，若，則實(shí)數(shù)x＝（）A．5 B．4 C．3 D．2【分析】利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示和向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)．【解答】解：，因?yàn)?，所以?+3x）×（﹣1）＝7×（2﹣x），解得x＝4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．33．（2023?武侯區(qū)校級(jí)模擬）已知向量，，且．則sinα的值為（）A． B．0 C．±1 D．不存在【分析】根據(jù)向量共線得到5cosα＝2sin2α，利用二倍角正弦公式得到cosα＝0，再根據(jù)平方關(guān)系計(jì)算可得．【解答】解：因?yàn)?，，且，所?cosα＝2sin2α，即5cosα＝4sinαcosα，即cosα（5﹣4sinα）＝0，因?yàn)閟inα∈[﹣1，1]，所以5﹣4sinα＞0，所以cosα＝0，又sin2α+cos2α＝0，所以sinα＝±1．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量共線的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．一十八．?dāng)?shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角（共3小題）34．（2023?北京模擬）若向量，，則與的夾角等于（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)平面向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式可求出結(jié)果．【解答】解：向量，，則＝，又因?yàn)?，所以，即與的夾角等于．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．35．（2023?郴州模擬）已知向量滿足，則向量的夾角為（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合相垂直的性質(zhì)，以及平面向量的夾角公式，即可求解．【解答】解：設(shè)向量的夾角為θ，θ∈[0，π]，∵，∴，即，∵，∴，即，∴，∴cosθ＝＝，∴．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．36．（2023?渝中區(qū)校級(jí)模擬）已知向量，滿足，，，則向量與的夾角大小為．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的夾角公式，即可求解．【解答】解：，故cos＝＝，∵，∴向量與的夾角大小為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平面向量的夾角公式，屬于基礎(chǔ)題．一十九．?dāng)?shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系（共2小題）37．（2023?西寧二模）若向量，，且，則＝（）A． B．4 C． D．【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求x，再由向量的模的坐標(biāo)表示即得．【解答】解：由，可得﹣x+2×2＝0，所以x＝4，，．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．38．（2023?江西模擬）已知向量，，，則x的值為（）A．3 B．4 C．﹣3 D．﹣4【分析】根據(jù)題意，由平面向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算即可得到結(jié)果．【解答】解：因?yàn)橄蛄浚?，且，則，解得x＝﹣3．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．二十．平面向量的綜合題（共2小題）39．（2023?龍華區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在△ABC中，E是AB的中點(diǎn)，＝2，＝，EF與AD交于點(diǎn)M，則＝（）A．+ B．+ C．+ D．+【分析】根據(jù)題意，分析可得＝+，設(shè)＝k，則＝+，再設(shè)＝x+y，分析可得+＝+，分析k、x、y的關(guān)系，可得k的值，計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，＝＝（﹣），則＝，則＝+＝+（﹣）＝+，M在AD上，設(shè)＝k，則＝+，又由E、M、F三點(diǎn)共線，則＝x+y，（x+y＝1）則＝+，而＝+，則有+＝+，故有，解可得k＝，故＝+．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量基本定理，涉及向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．40．（2023?金山區(qū)二模）已知、、、都是平面向量，且，若，則的最小值為．【分析】畫出圖形，結(jié)合已知條件找出C，B的幾何意義，判斷D的位置，利用向量的模的幾何意義，轉(zhuǎn)化求解不等式的最小值即可．【解答】解：如圖設(shè)＝，＝5，＝，＝，＝，點(diǎn)B在以A為圓心，半徑為的圓上，點(diǎn)C在以M為圓心，半徑為1的圓上，∠NOM＝，所以D在射線ON上，所以＝≥||﹣＝，作的A關(guān)于射線ON的對(duì)稱點(diǎn)G，則，且，所以≥＝﹣＝，（當(dāng)且僅當(dāng)D、G、M共線時(shí)取等號(hào)），的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的模的幾何意義的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力，是難題．六六、易錯(cuò)分析易錯(cuò)點(diǎn)一、忽略向量共線致誤1、已知向量的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi)_______．【錯(cuò)解】因?yàn)橄蛄康膴A角為鈍角，所以，即，解得，【錯(cuò)因】概念模糊，錯(cuò)誤地認(rèn)為為鈍角，實(shí)際上，為鈍角不共線。【正解】因?yàn)橄蛄康膴A角為鈍角，所以且不共線，即，解得，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍為。2、已知a＝(2,1),b＝(λ,1),λ∈R,a與b的夾角為θ.若θ為銳角,則λ的取值范圍是__________．【錯(cuò)解】∵cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1)).因θ為銳角,有cosθ>0,∴eq\f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1))>0?2λ＋1>0,得λ>－eq\f(1,2),λ的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞)).【錯(cuò)因】當(dāng)向量a,b同向時(shí),θ＝0,cosθ＝1滿足cosθ>0,但不是銳角．【正解】∵θ為銳角,∴0<cosθ<1.又∵cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1)),∴0<eq\f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1))且eq\f(2λ＋1,\r(5)·\r(λ2＋1))≠1,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2λ＋1>0，,2λ＋1≠\r(5)·\r(λ2＋1))),解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ>－\f(1,2)，,λ≠2.))∴λ的取值范圍是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(λ|λ>－\f(1,2)且λ≠2)).易錯(cuò)點(diǎn)二、對(duì)向量共線定理及平面向量基本定理理解不準(zhǔn)確致誤3、給出下列命題：(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底；(2)平面向量的基底不唯一,只要基底確定后,平面內(nèi)的任何一個(gè)向量都可被這組基底唯一表示；(3)若a,b共線,則且存在且唯一；(4)λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b,則λ1＝λ2,μ1＝μ2.其中真命題的個(gè)數(shù)為A.1B.2C.3D.4【錯(cuò)解】選B或C或D【錯(cuò)因】(1)對(duì)于兩個(gè)向量共線定理(a(a≠0)與b共線?存在唯一實(shí)數(shù)λ使得b＝λa)中條件“a≠0”的理解：當(dāng)a＝0時(shí),a與任一向量b都是共線的；當(dāng)a＝0且b≠0時(shí),b＝λa是不成立的,但a與b共線．因此,為了更具一般性,且使充分性和必要性都成立,我們要求a≠0.換句話說(shuō),如果不加條件“a≠0”,“a與b共線”是“存在唯一實(shí)數(shù)λ使得b＝λa”的必要不充分條件．(2)面向量的一組基底是兩個(gè)不共線向量,平面向量基底可以有無(wú)窮多組．用平面向量基本定理可將平面中任一向量分解成形如a＝λ1e1＋λ2e2(λ1,λ2∈R,e1,e2為同一平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量)的形式,它是向量線性運(yùn)算知識(shí)的延伸．如果e1,e2是同一平面內(nèi)的一組基底,且λ1e1＋λ2e2＝0(λ1,λ2∈R),那么λ1＝λ2＝0.【正解】平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量可以作為一組基底,(1)是假命題；(2)是真命題；對(duì)于(3),當(dāng)a,b均為零向量時(shí)可以取任意實(shí)數(shù),當(dāng)a為零向量,b為非零向量時(shí)不存在,(3)是假命題；對(duì)于(4),只有a,b為不共線向量時(shí)才成立.易錯(cuò)點(diǎn)三、對(duì)兩兩夾角相等理解不準(zhǔn)確4、若單位向量?jī)蓛蓨A角相等,則的模為.【錯(cuò)解】因?yàn)閱挝幌蛄績(jī)蓛蓨A角相等,則夾角為,所以+=+=0,所以的模為0?！惧e(cuò)因】忽略了夾角為零度的情況【正解】當(dāng)?shù)膴A角為時(shí)的模為3,當(dāng)夾角為時(shí),+=+=0,的模為0.易錯(cuò)點(diǎn)四、確定向量夾角忽略向量的方向致錯(cuò)5、已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為1,則eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.【錯(cuò)解】∵△ABC為等邊三角形,∴|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1,向量eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))、eq\o(CA,\s\up6(→))間的夾角均為60°.∴eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2).∴eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(3,2).【錯(cuò)因】數(shù)量積的定義a·b＝|a|·|b|·cosθ,這里θ是a與b的夾角,本題中eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CA,\s\up6(→))夾角不是∠C.兩向量的夾角應(yīng)為平面上同一起點(diǎn)表示向量的兩條有向線段間的夾角,如圖eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CA,\s\up6(→))的夾角應(yīng)是∠ACD.【正解】eq\o(BC,\s\up6(→))與eq\o(CA,\s\up6(→))的夾角應(yīng)是∠ACB的補(bǔ)角∠ACD,即180°－∠ACB＝120°.又|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝1,所以eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(CA,\s\up6(→))|cos120°＝－eq\f(1,2).同理得eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2).故eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(3,2).6、在中,M是BC的中點(diǎn),AM=1,點(diǎn)P在AM上且滿足,則等于（）A．B.C.D.【錯(cuò)解】由知,P為△ABC的重心,根據(jù)向量的加法,,則=【錯(cuò)因】夾角是,不是0.【正解】由知,P為△ABC的重心,根據(jù)向量的加法,,則=故選A.易錯(cuò)點(diǎn)五、向量基本概念模糊致錯(cuò)7、下列五個(gè)命題：若a∥b,b∥c,則a∥c；若A,B,C,D是同一平面內(nèi)的四點(diǎn)且eq\o(AB,\s\up6(→))=eq\o(DC,\s\up6(→))，則ABCD為平行四邊形；若,則；；其中正確的命題有______個(gè)。【錯(cuò)解】1或2或3或4【錯(cuò)因】①忽略零向量與任意向量共線；②忽略四點(diǎn)共線的情況；③忽略；④對(duì)數(shù)量積的運(yùn)算律理解錯(cuò)誤?！菊狻竣偃鬮為零向量,則a∥c不一定成立,故若a∥b,b∥c,則a∥c為假命題；②若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)),則A,B,C,D可能共線,故為假命題；③若,則或，故為假命題；④因表示與c共線的向量,表示與a共線的向量,可能不共線,故不一定相等,該命題是假命題，正確的命題有0個(gè)。易錯(cuò)點(diǎn)六、忽視平面向量基本定理的成立條件8、下列各組向量中，可以作為基底的是（）A、=（0，0），=（1，-2）B、=（-1，2），=（5，7）C、=（3，5），=（6，10）D、=（2，-3），=（4，-6）【錯(cuò)解】選A或C或D【錯(cuò)因】概念模糊，根據(jù)基底的定義，只有非零且不共線的向量才可以作為平面內(nèi)的基底?！菊狻窟xB，如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使=λ1+λ2。在平面向量知識(shí)體系中，基本定理是基石，共線向量定理是重要工具?？忌趯W(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)，務(wù)必要注意這兩個(gè)定理的作用和成立條件。七七、刷基礎(chǔ)一．選擇題（共11小題）1．（2023?鄭州模擬）若，均為單位向量，且，則k的值可能是（）A．﹣2 B．2 C．3 D．﹣3【分析】?jī)蛇呁瑫r(shí)平方，得到，余弦值只能在[﹣1，1]判斷即可．【解答】解：因?yàn)?，所以，所以，所以，由于，均為單位向量，所以，所以，由于，所以只有B符合．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查向量的模，屬于基礎(chǔ)題．2．（2023?廈門模擬）平面上的三個(gè)力1，2，3作用于同一點(diǎn)，且處于平衡狀態(tài)．已知1＝（1，0），|2|＝2，?1，2?＝120°，則|3|＝（）A． B．1 C． D．2【分析】根據(jù)條件得，并且，進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出的值，進(jìn)而求出的值．【解答】解：根據(jù)題意知，，∴，且，∴＝，∴．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了根據(jù)向量的坐標(biāo)求向量的長(zhǎng)度的方法，向量數(shù)量積的運(yùn)算及計(jì)算公式，向量長(zhǎng)度的求法，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．3．（2023?南平模擬）已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M滿足+＝2，則||＝（）A． B．1 C． D．【分析】由已知結(jié)合向量的線性運(yùn)算即可求解．【解答】解：因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M滿足+＝＝2，所以M為AC的中點(diǎn)，則||＝|BD|＝．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．4．（2023?云南模擬）若向量，則在上的投影向量為（）A． B． C．（33，44） D．【分析】根據(jù)題意，結(jié)合在上的投影向量為，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解．【解