課時34-第八章立體幾何初步-8.6.1直線與直線垂直-教案

高一數學必修第二冊第八章立體幾何初步第第頁8.6.1《直線與直線垂直》廣州市白云中學黃惠一、教材內容地位分析：本節(jié)課選自新教材普通高中數學必修第二冊2019版第八章8.6.1，這一節(jié)主要是關于直線位置關系中的異面直線所成角的內容，這是繼相交直線，平行直線后學習的。在學習本節(jié)課之前學生已經學習了空間直線的三種位置關系，且在初中已經學習了相交直線的相關知識，在8.5.1又系統(tǒng)學習了平行直線，本節(jié)課主要從空間異面直線所成角出發(fā)研究異面直線垂直問題，是初中平面中直線與直線垂直的延續(xù)，又為之后直線與平面垂直，平面與平面垂直等位置關系研究做鋪墊。垂直是除平行之外最具有研究價值的位置關系，線線垂直也是垂直關系中起基礎作用的位置關系，但平行和垂直不是相互獨立的，當我們刻畫異面直線所成角時需要用到垂直，通過平移把空間角轉化為平面角來度量，當異面直線所成角為時，稱兩異面直線垂直，這里是在平行的基礎上，繼續(xù)體會轉化的思想，把三維問題降到二維來研究，這種空間問題平面化的思想是研究立體幾何的重要思想。學情分析教學有利因素：學生已經具備了相交直線，平行直線的知識，并且掌握如下兩個結論：①平面中兩直線相交時，其中不大于的角稱為這兩條直線所成角（或夾角）；②如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補。這為異面直線的位置刻畫及理解異面直線所成角的概念的合理性奠定了基礎。教學不利因素：學生接觸立體幾何的時間不長，空間立體感沒有完全建立，在空間想象，邏輯推理證明等方面還有所欠缺，對解決空間問題的基本方法和手段沒有完全掌握，對異面直線的空間關系掌握不到位，需要進一步培養(yǎng)。三、教學目標【知識與技能】1.借助正方體，通過直觀感知，類比相交直線所成角，歸納出異面直線所成角的概念，培養(yǎng)數學抽象能力；2.利用異面直線所成角的定義，找出或作出異面直線所成角，并在三角形中求出角，培養(yǎng)數學運算能力；3.會用異面直線所成角證明異面直線垂直，培養(yǎng)邏輯推理能力；【過程與方法】通過回顧相交直線，平行直線的相關內容，借助正方體引入異面直線所成角的概念，理解空間角化平面角的合理性，體會解決立體幾何的基本思想方法，即空間問題平面化；【情感、態(tài)度與價值觀】通過類比相交直線，概括出刻畫異面直線的角度，提高學生分析問題的能力，通過求異面直線所成角，培養(yǎng)學生解決問題的能力，養(yǎng)成嚴謹的學習態(tài)度。※教學重點：理解異面直線所成角的概念及求異面直線所成角；※教學難點：通過平移法構造異面直線所成角。四、教學策略※教學方法：講授與探究相結合※教學工具：導學案、課件、多媒體平臺※教學流程：復習回顧→類比研究→探究新知→概念形成→新知運用→歸納總結→課堂小結→布置作業(yè)五、教學過程：教學環(huán)節(jié)及師生活動設計意圖及素養(yǎng)目標一、【溫故知新】問題1空間中兩直線的位置關系有哪幾種？答：有相交直線、平行直線、異面直線三種問題2平面內兩相交直線的相對位置是怎么刻畫的呢？aθb答：平面內兩條直線相交形成4個角，其中不大于90°的角稱為這兩條直線所成的角（或夾角），圖中的角θ即為直線a與直線b的夾角，它刻畫了一條直線相對于另一條直線傾斜的程度．二、【探究新知】觀察：如圖，在正方體ABCD-A1B1C問題3直線A1C1與A系相同嗎？若不同，如何來刻畫這種差異？答：不同，由圖可以看出直線A1C1線AB的傾斜程度不一樣.我們可以類比相交直線所成角引入“異面直線所成角”來刻畫這種差異.問題4兩條異面直線沒有交點，它們所成角沒有辦法直接度量，你有什么方法來解決這個問題呢？答：由相交直線所成角得到啟發(fā)，通過在空間中任取一點O，過點O分別作兩條異面直線的平行線.三、【概念形成】異面直線所成的角：如圖，已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′，b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．師：PPT動畫展示平移的過程如果兩條異面直線夾角為90°，那我們就說這兩條異面直線互相垂直．直線a與b垂直，記作a⊥b．問題5同學們知道我們在度量異面直線所成角的時候蘊含了什么樣的數學思想嗎？答：主要是通過平移把異面直線轉化為相交直線，體現的是空間問題平面化的思想，在平移過程中異面直線的傾斜程度沒有發(fā)生改變，所以它們所成角沒有變.問題6異面直線a與b所成的角會隨著點O的位置變化而變化嗎？答：由等角定理知，不會！為簡便，O點常取在兩異面直線中的一條上師：PPT動畫作角，說明角不會隨點O的變化而變化問題7根據異面直線所成角形成的過程，你知道異面直線所成角θ的范圍是多少嗎？空間中兩條直線所成角α的范圍又是多少？答：由異面直線所成角的定義知角θ的范圍為：(當兩條直線平行時，我們規(guī)定它們所成的角為0°．因此空間兩條直線所成角α的范圍為：[0四、【運用新知】例1（課本P147）如圖，已知正方體ABCD-（1）哪些棱所在的直線與直線AA1（2）求直線BA1與C（3）求直線BA1與AC分析：（1）根據異面直線所成角，我們知道，要找出與直線AA1垂直的直線，可從兩方面考慮：一是相交垂直，二是異面垂直，與AA1根據正方體中的平行關系知，與AA1異面垂直的直線有：思考：1.兩直線垂直，它們一定相交嗎？2.垂直于同一條直線的兩條直線一定平行嗎？師：兩直線垂直有相交垂直和異面垂直兩種情況在平面中成立的結論不一定能推廣到空間中分析：（2）由圖知直線BA1與CC1為異面直線，要求異面直線所成角只需將空間角轉化為平面角，轉化的途徑通常是：選其中一條直線的某個特殊點，然后過這個特殊點找(或作)另一條直線的平行線.如本題中我們可以選直線BA1上的點B，由正方體的性質知，我們可以找出BB1//CC當然我們也可以選直線CC1上的點C，連接CD1,然后證明BA1//CD分析：（3）根據第二問的思路，我們重點關注作出異面直線所成角的過程，在這里選取連接A1C1,易證AC//A1C1,因此∠BA1C解題過程詳見PPT小結：求兩條異面直線所成的角的一般步驟：1．作角：恰當地選擇一個點（經常在其中一條線上取一點），作出（常用平移法)異面直線所成的角(或其補角)；2．證角：證明(1)中所作出的角(或其補角)就是所求異面直線所成的角；（注：證明線線平行）3．求角：通過解三角形或其他方法，求出(1)中所構造的角的大??；4．結論：假如所構造的角的大小為α，若0°<α≤90°,則α即為所求異面直線所成角的大??；若90°<α<180°,則180°－α即為所求．簡單地說，選擇“特殊點”作異面直線的平行線，構作含異面直線所成(或其補角)的角的三角形，再求之.例2（課本P_147）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，O1為底面A1B1C1D1的中心．求證：AO1⊥BD．分析：由圖可知直線AO1與BD是異面直線，要證AO1⊥BD，即證兩異面直線所成角為90°,故應先構造直線AO1與BD所成角，過直線AO1上的特殊點BD的平行線B1D1，則AO1與B1D1相交于O1，這樣∠AO1B1課堂練習：1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,AA1=2,AC=BC=1,則異面直線A1B與AC1所成的角的余弦值是_______分析：如圖所示,連接AB1,交A1B于點D,取B1C1的中點E,連接DE,A1E,則DE∥AC1,∴∠A1DE為異面直線A1B與AC1所成角或其補角.再在三角形中用余弦定理即可。2.如圖，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，D為棱AC的中點，AB=BB'=2，求證BD⊥AC'.分析：因為ABC-A'B'C'是正三棱柱，所以底面ABC是正三角形，由于BD與AC'是異面直線，應先構造異面直線所成角,取CC’的中點E，連接DE,BE,又D為棱AC的中點，所以DE為?ACC'的中位線,所以DE//AC',所以∠BDE是異面直線BD與AC'所成角，再在三角形中用勾股定理即可五、【課堂小結】1.異面直線所成角的概念是什么？2.如何求異面直線所成角？具體答案在PPT展示師總結：我們本節(jié)課主要學習了異面直線所成角，主要包含兩方面，一是它的定義，二是它的范圍，當異面直線直線所成角為90°時稱為異面垂直，所以垂直有異面垂直和相交垂直兩種情況，同學們要注意哦。通過復習兩直線位置關系引出本節(jié)課的研究問題通過回顧相交直線所成角，為異面直線所成角的刻畫做鋪墊，建立知識的聯系，提高概括，類比推理能力通過問題3體會引入“異面直線所成角”的必要性.問題4緊接問題3，讓學生產生自問：什么是異面直線所成角？類比相交直線所成角我們得到啟發(fā)，把空間角轉化成平面角來度量，讓學生感受類比的思想，學會用已知解決未知.學習概念，用標準的語言來描述概念了解概念形成的合理性，深挖知識的本質，學習概念背后的實際，體會所用到的數學手段和思想方法.培養(yǎng)嚴謹的邏輯思維能力，說明異面直線所成角概念的可操作性.探究空間中直線所成角的范圍，為線面角，面面角的范圍奠定基礎.本例是概念的基本運用，主要是打破之前的認知,垂直有相交垂直和異面垂直，空間中垂直同一條直線的兩直線不一定平行，感受求異面直線所成角的整個過程；空間直線的位置關系有別于平面的位置關系。（2）初步感受求異面直線所成角的基本步驟，在這過程中重點是用平移法構造平面角，在概念的基礎上感受空間問題平面化的思想。（3）在（2）的基礎上繼續(xù)感受平移法構造平面角，在這里學生更需要思考如何根據已知條件構造角這個問題，同時在這里梳理出求異面直線所成角的步驟。例2是例1的延續(xù)，再次熟悉求異面直線所成角的步驟，此處讓學生意識到一個問題：當要證兩異面直線垂直時，就證兩異面直線所成角為90°，再一次感受空間角轉化為平面角的思想（即空間問題平面化）鞏固本節(jié)課內容分點提問的，一來再一次明確本節(jié)課學習的重點，二來可以起到復習本節(jié)課精華的目的8.6.1《直線與直線垂直》答疑課堂本節(jié)課的重點是：理解異面直線所成角的概念以及會求異面直線所成角本節(jié)課的難點是：運用平移法構造異面直線所成角重點講授：構造異面直線所成角的方法先回顧概念，后剖析手段：平移法核心：空間角轉化為平面角（空間問題平面化）方法一：抓住異面直線上的已知點過一條異面直線上的已知點，引另一條直線的平行線（或作一條直線并證明與另一條直線平行），以例1,2作為說明例1（課本P147）如圖，已知正方體ABCD-（3）求直線BA1與說明：抓住異面直線中的一條BA1上的特殊點A連接A1C1，，證明A1例2（課本P147）如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1，O1為底面A1B1C1D1的中心．求證：AO1⊥BD說明：抓住異面直線中的一條AO1上的特殊點O1連接B1D1，可知B1D1過到異面直線所成角∠A方法二：抓住空間圖形的已知點，特別是中點例空間四邊形ABCD中，AD=BC=2，E,F分別是AB,CD的中點，EF=3，則異面直線AD與BC分析：若用方法一過兩異面直線AD,BC上的已知點作另一直線的平行線比較難做到，我們可以抓住題目給出的特殊點（中點E,F），我們取BD的中點G，連接EG,FG,可以發(fā)現EG為?ABD的中位線，因此EG//AD，同理FG//BC.所以∠EGF為異面直線AD,BC所成角（或其補角）在?EFG中,EG=1,FG=1,由余弦定理得cos∠EGF=所以∠EGF=又異面直線所成角的范圍為(所以異面直線AD,BC所成角為60方法三：平移（或構造）幾何體例如圖，已知三棱柱ABC-A1B1C1各棱都相等，且CC分析：設三棱柱的棱長為a,補三棱柱ABC-A2B2C2，使三棱柱ABC-A2B2C2全等于三棱柱ABC-A1BABM=A所以A2B例如圖，PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,PA=AC=BC=a，分析：已知條件特征：PA⊥平面ABC,∠ACB=PA=AC=BC=a可以將三棱錐放在正方體中，由正方體性質知AC//BD,連接PD，則∠DBP為異面直線PB與易證?DBP為直角三角形，且有：故tan∠DBP=六、【習題包】1.設是直線，則()A.若，則a//cB.若，則C.若a∥b，則a與c，b與c所成的角相等D.若a與c所成的角等于c與b所成的角，則a∥b2．如果空間兩條直線互相垂直，那么它們()A．一定相交 B．是異面直線C．是共面直線 D．一定不平行3.如圖，在長方體的各條棱所在直線中，（1）與直線AB垂直的直線有__________條；（2）與直線AB異面且垂直的直線有_____