2021-2022版老教材數(shù)學人教A版必修5學案：2.4等比數(shù)列

2.4等比數(shù)列

第1課時等比數(shù)列

L理解等比數(shù)列的定義.(數(shù)學抽象)

學

2.掌握等比數(shù)列的通項公式及其應用.(邏輯推理、數(shù)學運算)

習

3.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關系、能在具體情境中識別數(shù)列

目

的等比關系，能利用等比數(shù)列解決相應的問題.(邏輯推理、數(shù)據(jù)

標

分析)

必備知識?自主學習

1.類比等差數(shù)列，等比數(shù)列是如何定義的？如何定義等比中

項？

導思

2.類比等差數(shù)列的通項公式，等比數(shù)列的通項公式怎樣？如

何推導？

1.等比數(shù)列的概念

一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),這個

數(shù)列叫做等比數(shù)歹U,這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，用q表示(qWO).

思考7

⑴定義中為什么”從第2項起”，從第1項起可以嗎？

提示：因為數(shù)列的第1項沒有前一項，因此必須“從第2項起”.

⑵怎樣利用遞推公式表示等比數(shù)列？

提示:-^-=q(n22)或加(qWO).

an-ian

2.等比中項

在a與b中間插入一個數(shù)G,使a,與b成等比數(shù)列,那么G叫做a與b

的等比中項.

思考7

(1)G是a與b的等比中項,a與b的符號有什么特點?a,G,b滿足的關

系式是什么？

提示：a與b同號，滿足的關系式是G?=ab.

⑵如果2,a,4成等比數(shù)歹！J,如何求a?答案唯一嗎？

提示：由吼士得a2=8,即a=±2&,答案不唯一.

2a

3.等比數(shù)列的通項公式

首項為ab公比是q(qWO)的等比數(shù)列的通項公式為a“=ad1

思考7

⑴等比數(shù)列的通項公式是a0=27其圖象是由什么樣的點組成的？與函

數(shù)y=2」的圖象有什么關系？

提示：通項公式為a=2聯(lián)1的圖象是由離散的點構成的，這些離散的點都

在函數(shù)y=2一的圖象上.

⑵除了課本上采用的不完全歸納法，你還能用什么方法推導等比數(shù)列

的通項公式.

提示：還可以用累乘法.

當n>2時,-^=q，…,—=q,

an-i<an-2rQix

后二［、［_02°37l~lClji_n-1

所以an-ai?—?—....?-----ai?q.

aa

n-2n-i

2基礎小測>

1.辨析記憶（對的打“J”，錯的打“義”）.

⑴一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的比等于常數(shù),這個數(shù)列

一定是等比數(shù)列.

⑵若G是a與b的等比中項,則

⑶若a,G,b滿足G2=ab,則a,G,b一定是等比數(shù)列.

提示：（1）義.應等于同一個常數(shù).

⑵X.G=±V^.

⑶義.如0,0,0滿足02=0X0,但不是等比數(shù)歹（］.

2.已知2,b,8是等比數(shù)列，則實數(shù)b=

A.6B.4C.-4D.4或-4

【解析】選D.因為2,b,8成等比數(shù)列，

所以b=±V2X8=±4.

3.（教材二次開發(fā)：練習改編）等比數(shù)列｛aj中，a2=2,a5=~,則公比

4

q=?

【解析】由定義知a2=ap=2,①

1

as-aiq4--,②

4

11

所以②?①得q--＞所以q=-.

82

答案，

2

關鍵能力?合作學習

類型一等比數(shù)列基本量的運算（邏輯推理、數(shù)學運算）

題組訓練、

1.在等比數(shù)列｛aj中，若a2=3,a5=-24,貝a產(chǎn)

223c3

A.-B?一一C.——D.一

3322

2.已知各項為正數(shù)的等比數(shù)列｛a,J中，a2=l,a4a6=64,則公比q=

A.4B.3C.2D.V2

3.在公比為整數(shù)的等比數(shù)列｛aj中，a-a=-2,a"3=一,則｛aj的通項公

233

式&n=?

4

【解析】1.選C.設公比為q,則與皿=qJ-8,

a2alcl

貝Iq=-2,貝IaF-

-22

2.選C.因為各項為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝中，a2=1,a4a6=64,所以

%q=i

?%q5-64，且q>0,

解得agq=2,

所以公比q=2.

3.設等比數(shù)列的首項為a”公比為q,

10

因為a2~a3二一2,a1+a3二,

3

aiQ-aiQ2=-2,

所以，

,2I。

%+%q=工，

兩式相除整理可得,2q-5q-3=0,

1

由公比q為整數(shù)可得，q=3,a,=-.

3

n-2

所以an=3.

答案：3”2

藏版鏈面利用基本量結合方程思想運算

⑴a,和q是等比數(shù)列的兩個基本量,解決本題時，只要求出這兩個基本

量,其余的量便可以通過通項公式列方程（組）得出.

⑵等比數(shù)列的通項公式涉及4個量aban,n,q,只要知道其中任意三個

就能求出另外一個,解題時常列方程（組）來解決.

【補償訓練】

1.已知等比數(shù)列｛aj中，2尸27,q=-3,則a尸

A.1B.-1C.3D.-3

【解析】選B.等比數(shù)列｛aj中，a」=27,q=-3,則

q3（-3）3

2.已知等比數(shù)列｛aj中，出=4,a8=8,則a1。的值是

A.5B.6C.14D.16

【解析】選D.依題意，設公比為q,等比數(shù)列｛aj中，a6=4,a8=8,

所以也出事q2旦2,

5

a6a1q4

Q

又％=3^q2=2,

2

所以a10=a8Xq=8X2=16.

912

3.已矢口a尸一，an=-,q=一，貝ljn=.

833

921

［解析】因為aF-q=-,an=-,

833

所以工i.

38\3/

所以（TWG）3

所以n-1=3,

所以n=4.

答案:4

類型二等比中項的應用（數(shù)學運算）

【典例】已知b是a,c的等比中項,求證:ab+bc是a?+b2與b?+c2的等比

中項.

四步內容

條件:b是a,c的等比中項.

理解題意

結論:ab+bc是a?+b2與b?+c2的等比中項.

思路探求證明(ab+bc)2=(a2+b?)E+c?)即可

【證明】b是a,c的等比中項,則b2=ac,且a,b,c均不為零，

又(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c-a2b2+2a2c2+b2c2,

書寫表達(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以

(ab+bc)J(a2+b2),(b?+c2),

即ab+bc是a2+b2b'+c'的等比中項.

本題的關鍵是用遞推法分析出ab+bc與a2+b^nb?+c2的關

題后反思

系.

解題策略等比中項法證明等比數(shù)列

“a,G,b成等比數(shù)列”等價于"G2=ab(a,b均不為0)”，可以用它來

判斷或證明三個數(shù)成等比數(shù)列.

跟蹤訓練、

1.一個直角三角形的三邊成等比數(shù)列，則較小銳角的正弦值

是.

【解析】設三邊為a,aq,aq2(q>1),

由勾股定理(aq2)2=(aq)2+a2,所以

較小銳角記為6,則sin0l.

aq2q22

答案:小

2

2.設等差數(shù)列｛4｝的公差d不為0,ai=9d,若ak是&與a2k的等比中項,

則k等于

A.2B.4C.6D.8

【解析】選B.因為a=(n+8)d,

又a2k,所以[(k+8)d]2=9d-(2k+8)d,

解得k=-2(舍去)，k=4.

【拓展延伸】

等比中項的注意點

1.注意非零.若b2=ac且acWO,則a,b,c成等比數(shù)列.這里要注意條件

ac#O;若只有條件b2=ac,我們得不到a,b,c成等比數(shù)列的結論.

2.注意個數(shù).當a,b同號時,a,b的等比中項有兩個,異號時，沒有等比

中項.

3.注意從第2項起.在一個等比數(shù)列中，從第2項起,每一項(有窮數(shù)列

的末項除外)都是它的前一項與后一項的等比中項.

【拓展訓練】

⑴三個不相等的實數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，且a,c,b成等比數(shù)列，則

a?b?c=.

【解析】由題意得2b=a+c①，

c12=ab②，

由①得c=2b-a③，

將③代入②得a=b(舍去)或a=4b,

所以c=2b-a=2b-4b=-2b.

則a：b：c=4：1：(-2).

答案:4：1：(-2)

⑵在《九章算術》中“衰分”是按比例遞減分配的意思.今共有糧98

石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石,則衰分比例為.

【解析】設衰分比例為q,

28

則甲、乙、丙各分得一,28,28q石，

q

所以淚~28+28q=98,

q

1

所以q=2或

2

1

又0<q<1,所以q=-.

2

答案:1

2

【補償訓練】

-1,a,b,c,-25是等比數(shù)列，則abc=.

【解析】設該等比數(shù)列的公比為q,

因為b是a,c的等比中項，也是-1,-25的等比中項，

所以b2=-1X(-25)=25,

所以b二±5,

又因為b=-1Xq2<0,

所以b=-5,

所以abc=bJ25.

答案：-125

類型三等比數(shù)列的判斷與證明(邏輯推理、數(shù)學運算)

角度…L-利用定義證明等比數(shù)列—

【典例】已知數(shù)列｛aj滿足ai=l,2an+i=3an+l.

證明：｛a0+l｝是等比數(shù)列.

【思路導引】證明現(xiàn)金為常數(shù)，或整體構造證明.

an+l

、31

++

【證明】方法一：因為2an+i-3an1，所以an+i--an-

22

3an+1+13an+33/n+1

an+l+l22222^-3

fln+lan+lan+lan+l2

所以“骷

an+l2

=+=+

方法二:因為2an+i3an1,所以2an+i+23an1+2,

+=

即2an+i2=3an+3,所以2(an+i+1)3(an+1),所以""+1+1=］所以｛。九+1｝

a九十12

是以士為公比的等比數(shù)列.

2

?變式探究

若將本例中的條件改為“a32an+l"，其他條件不變，證明：瓜+1｝是

等比數(shù)列.

【證明】因為an+1=2an+1,

所j乂a4+i+l=2an+l+l=2a-+2:2

a?i+1a?i+1a?i+1

所以｛an+1｝是以2為公比的等比數(shù)列.

角度2…已知工與旦工的關系證明等比數(shù)列…

［典例］已知數(shù)列瓜｝的前n項和為Sn,且滿足

3

S=-a+b(n￡N,b￡R,bWO).

n2n

⑴求證：瓜｝是等比數(shù)列；

⑵求證：｛an+1｝不是等比數(shù)列.

【思路導引】(1)消去Sn,利用an,am的關系證明；(2)考查出數(shù)列的前

三項進行證明.

3

【證明】(1)因為Sn=-an+b,

2

3

所以當n，2時，Sn-i二一am+b,

2

一.33

兩式相減得S-Sn-i=-a+b—a-i-b,

n2n2n

33

所以a--a-a-i,

n2n2n

所以an=3an-i,又aF-2b^0,

故｛aJ是公比為3的等比數(shù)列.

⑵由⑴知a尸-2b,

所以a2=-6b,a3=-18b,所以數(shù)列｛an+1｝的前三項為

a"1=1-2b,a2+1=1-6b,a3+1=1-18b,

22

(a2+1)=1+36b-12b.

(a^D(a3+1)=1+36b-20b,

因為bWO,所以0+1)21(arH)3+1),

故數(shù)列｛an+1｝不是等比數(shù)列.

標嬴函數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列的判斷方法

⑴定義法：若數(shù)列｛4｝滿足3=q(q為常數(shù)且不為零)或

an

2=q(n與2,q為常數(shù)且不為零)，則數(shù)列｛aj是等比數(shù)列.

⑵等比中項法:對于數(shù)列瓜｝,若。工廣4?a“.2且anWO,則數(shù)列｛aj是

等比數(shù)列.

⑶通項公式法：若數(shù)列瓜｝的通項公式為an=adT(aH0,qW0),則數(shù)

列｛aj是等比數(shù)列.

題組訓練、

n

1.已知數(shù)列的前n項和為Sn=2+a,試判斷｛4｝是否是等比數(shù)列.

nn1n1

［解析］an=Sn-Sn-1=2+a-2--a=2-(n22).

當n22時,3=二=2；當n=1時,%1=力=二_.

na

an2rn2+a

故當a=-1時，數(shù)列｛aj成等比數(shù)列，其首項為1,公比為2;

當aW-1時，數(shù)列｛aj不是等比數(shù)列.

2.已知數(shù)列的前n項和為Sn=2-an.求證數(shù)列｛aj是等比數(shù)列.

——

【證明】因為Sn—2an,所以Sn+i—2an+i,

所以an+i=Sn+i-Sn=(2-an+i)-(2-an)=an-an+i,

1

所以ai=-a.又因為Si=2-a所以ai=1#=0.

n+2nb

又由an+i-an^pan^O,所以巴吐壬士

2Q九2

所以數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列.

【拓展延伸】

判斷數(shù)列為等比數(shù)列時，根據(jù)定義,是從第2項起,后一項與前一

項的比是同一非零常數(shù)，需驗證n=l時是否成立.

【拓展訓練】

已知數(shù)列｛an｝的前n項和Sn滿足關系式lg(Sn+l)=n(n=l,2,…)，試證明

數(shù)列EJ是等比數(shù)列.

【證明】由已知可得SLI0n7.

nn-1n-1

當n22時，an=S-Sn-F(10-1)-(10-1)=9X10,

又當n=1時，ai=Si=9也滿足上述通項公式，

n-1

所以數(shù)列｛aj的通項公式an=9X10.

而當n22時，衛(wèi)-四°一:10為一常數(shù)，

n2

an_]9xlO-

所以數(shù)列｛aJ是等比數(shù)列.

【補償訓練】

數(shù)歹!J瓜｝的前n項和為S”a.=l,an+I=—Sn,nGN*.求證:數(shù)列仁可為等比

nInJ

數(shù)列.

n

S1+2s2n+2sSn+1

【證明】因為2=Sn+a紂Z="n.=_2_^2X且，所以-^=2,又

n+1n+1n+1n+1n」

n

3工半=1,所以數(shù)列｛弓4是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.

課堂檢測-素養(yǎng)達標

1.已知數(shù)列瓜｝是等比數(shù)列,且ai=l,a4=8,則a6=

A.15B.24C.32D.64

【解析】選C.設公比為q,由aFl,a4二8可得公比q=2,

古攵a6二a〕q-32.

2.下面四個數(shù)列中，是等比數(shù)列的是

A.q,2q,4q,6qB.q,q；q3,ql

1111

C.q,2q,4q,8qD.,—

qq/qi

【解析】選D.A項不符合等比數(shù)列定義；B,C兩項中q不等于0時是等

1

比數(shù)列，q=0時不是等比數(shù)列；D項符合等比數(shù)列的定義，公比是-.