期末模擬卷（范圍集合與常用邏輯用語不等式復(fù)數(shù)平面向量三角函數(shù)和解三角形函數(shù)導(dǎo)數(shù)）

20232024學(xué)年第二學(xué)期期末模擬試題高二數(shù)學(xué)（范圍：集合與常用邏輯用語、不等式、復(fù)數(shù)、平面向量、三角函數(shù)和解三角形、函數(shù)導(dǎo)數(shù)）一、選擇題：本大題共9小題，每小題5分，共45分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求集合，，再求.【詳解】由，所以；由，所以.所以.故選：B2．已知，那么p的一個充分不必要條件是（

）A． B． C．或 D．【答案】D【分析】根據(jù)命題的不等式得到解集，由集合的包含關(guān)系判斷充分、必要性即可.【詳解】由題意可知，，解得，要的一個充分不必要條件，即要集合的一個真子集，故D滿足條件.故選：D.3．已知平面向量，，若，則實數(shù)（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積坐標(biāo)表示計算可得.【詳解】因為，且，所以，解得.故選：A4．已知，則的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之間的轉(zhuǎn)化，進(jìn)行求解判斷選項【詳解】當(dāng)，則故選：D5．函數(shù)的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的定義域，以及時，且，結(jié)合選項，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得函數(shù)的定義域為，且，故排除B,C,當(dāng)時，且，排除A.故選：D.6．函數(shù)的零點所在區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)解析式，明確其單調(diào)性，利用零點存在性定理求解即可.【詳解】由函數(shù)可知單調(diào)遞增，因為，，，，所以零點所在區(qū)間是，故選：B7．某市組織高中數(shù)學(xué)測試.考試結(jié)束后發(fā)現(xiàn)考試成績X（滿分150分）服從正態(tài)分布，其中考試成績130分及以上者為優(yōu)秀，考試成績90分及以上者為及格.已知優(yōu)秀的人數(shù)為13，本次考試成績及格的人數(shù)大約為（

）

附:，.A．3413 B．1587 C．8413 D．6826【答案】C【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性求出，求出參加數(shù)學(xué)測試的總?cè)藬?shù)即可求出及格人數(shù).【詳解】依題意，這次數(shù)學(xué)測試的平均分，標(biāo)準(zhǔn)差，則，參加數(shù)學(xué)測試的總?cè)藬?shù)為，又，所以本次考試成績及格的人數(shù)大約為.故選：C8．現(xiàn)有武隆喀斯特旅游區(qū)、巫山小三峽、南川金佛山、大足石刻和酉陽桃花源5個旅游景區(qū)，甲、乙隨機(jī)選擇其中一個景區(qū)游玩.記事件A：甲和乙至少一人選擇巫山小三峽，事件B：甲和乙選擇的景區(qū)不同，則條件概率（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出事件發(fā)生的個數(shù)和事件同時發(fā)生的個數(shù)，根據(jù)條件概率的計算公式，即得答案.【詳解】由題意可知事件發(fā)生的情況為甲乙兩人只有一人選擇巫山小三峽或兩人都選擇巫山小三峽，個數(shù)為,事件同時發(fā)生的情況為一人選巫山小三峽，另一人選其他景區(qū)，個數(shù)為，故.故選：D.9．已知函數(shù)，，當(dāng)時，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】命題等價于在上單調(diào)遞增，然后使用導(dǎo)數(shù)工具分類討論的單調(diào)性即可.【詳解】原條件即為對恒成立，從而條件等價于在上單調(diào)遞增.設(shè)，則.一方面，若在上單調(diào)遞增，則對恒成立.所以，即，得；另一方面，若，設(shè)，則.從而當(dāng)時，當(dāng)時.故在上遞減，在上遞增.所以當(dāng)或時，有，即，進(jìn)一步可得.這表明在和上遞增，故在上遞增.綜上，的取值范圍是.故選：C.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分10．若復(fù)數(shù)z滿足，其中i為虛數(shù)單位，則z＝．【答案】/【分析】用復(fù)數(shù)的除法法則運(yùn)算即可.【詳解】因為，所以.故答案為：11．已知，則.【答案】【分析】利用換元法，結(jié)合二項式定理求出即可.【詳解】令，即，因此原等式為，項為，所以.故答案為：12．若直線與曲線相切，則實數(shù)的值為.【答案】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點為，依題意得到關(guān)于、的方程組，解得即可.【詳解】由，可得，設(shè)切點為，則，所以，解得.故答案為：13．已知、均為正實數(shù)，且，則的最小值為.【答案】【分析】由基本不等式可得出關(guān)于的不等式，即可解得的最小值.【詳解】因為、均為正實數(shù)，由基本不等式可得，整理可得，，，則，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故的最小值為.故答案為：.14．在中，M是邊BC的中點，N是線段BM的中點.設(shè)，，試用，表示為，若，的面積為，則的最小值為.【答案】6【分析】由圖形特征，利用向量的線性運(yùn)算，用，表示；根據(jù)的面積求得的值，利用平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積運(yùn)算求出，利用基本不等式求出它取最小值.【詳解】如圖所示，中，，是邊的中點，是線段的中點，則，，即；由的面積為，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最小值為6.故答案為：；615．某種資格證考試，每位考生一年內(nèi)最多有3次考試機(jī)會.一旦某次考試通過，便可領(lǐng)取資格證書，不再參加以后的考試；否則就繼續(xù)參加考試，直到用完3次機(jī)會.小王決定參加考試，若他每次參加考試通過的概率依次為0.6，0.7，0.8，且每次考試是否通過相互獨立，則小王在一年內(nèi)領(lǐng)到資格證書的概率為；他在一年內(nèi)參加考試次數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.【答案】0.9761.52【分析】由題意利用相互獨立事件及對立事件的概率計算公式即可求得一年能領(lǐng)到資格證書的概率；設(shè)次數(shù)為變量，分別求出的概率，再代入期望公式計算即可.【詳解】小王在一年內(nèi)領(lǐng)到資格證書的概率為：；設(shè)為小王一年內(nèi)參加考試的次數(shù)，則的取值可能為.,，，所以期望.故答案為：0.976；1.52三、解答題：（本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．已知的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．(1)求證：為等腰三角形；(2)若，求的面積．【詳解】（1）因為，所以，化簡得，即,所以是等腰三角形.（2）由余弦定理可得，得，解得，由，所以，所以的面積為.17．在的展開式中，(1)求二項式系數(shù)最大的項；(2)求系數(shù)的絕對值最大的項為第幾項．【詳解】（1）二項式系數(shù)最大的項為中間項，即第6項，所以．（2）（2）設(shè)第項的系數(shù)的絕對值最大，故整理得，，解得，所以．故系數(shù)的絕對值最大的項為第4項．18．已知函數(shù)，．(1)若，解關(guān)于的不等式；(2)若函數(shù)的最小值為4，求m的值．【詳解】（1）時，由得，，，因為，所以，解得，所以原不等式的解集為．（2）因為，令，因為，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號）則，，①當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，，所以，解得，符合題意；②當(dāng)，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，所以，解得，不合題意，舍去．綜上，的值為3．19．已知函數(shù)在點處的切線方程為.(1)求，；(2)求的單調(diào)區(qū)間和極值.【詳解】（1）定義域為，，將點代入中，，∴.（2），，2＋0－0＋極大值極小值的單調(diào)遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為；的極大值為，極小值為.20．已知函數(shù).(1)討論的單調(diào)性；(2)若，恒成立，求的取值范圍.【詳解】（1）由題意知函數(shù)的定義域為，.當(dāng)時