預(yù)習(xí)01講空間向量及其運算2024年高二數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019選擇性）

2024年高二數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)（人教A版2019必修第二冊）預(yù)習(xí)01講空間向量及其運算（精講+精練）①空間向量的線性運算②空間向量共線的判斷與應(yīng)用③共面向量的判定與應(yīng)用④空間向量的數(shù)量積運算（數(shù)量積、夾角、模長、投影向量）一、空間向量及其加減運算（1）空間向量在空間，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量，向量的大小叫做向量的長度或模．空間向量也可用有向線段表示，有向線段的長度表示向量的模，若向量的起點是，終點是，則向量也可以記作，其模記為或．（2）零向量與單位向量規(guī)定長度為0的向量叫做零向量，記作．當(dāng)有向線段的起點與終點重合時，．模為1的向量稱為單位向量．（3）相等向量與相反向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量．空間任意兩個向量都可以平移到同一個平面，成為同一平面內(nèi)的兩個向量．與向量長度相等而方向相反的向量，稱為的相反向量，記為．（4）空間向量的加法和減法運算①，．如圖所示．②空間向量的加法運算滿足交換律及結(jié)合律，二、空間向量的數(shù)乘運算（1）數(shù)乘運算實數(shù)與空間向量的乘積稱為向量的數(shù)乘運算．當(dāng)時，與向量方向相同；當(dāng)時，向量與向量方向相反．的長度是的長度的倍．（2）空間向量的數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律：，．（3）共線向量與平行向量如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，平行于，記作．（4）共線向量定理：對空間中任意兩個向量，，的充要條件是存在實數(shù)，使．（5）直線的方向向量為經(jīng)過已知點且平行于已知非零向量的直線．對空間任意一點，點在直線上的充要條件是存在實數(shù)，使①，其中向量叫做直線的方向向量，在上取，則式①可化為②①和②都稱為空間直線的向量表達(dá)式，當(dāng)，即點是線段的中點時，，此式叫做線段的中點公式．（6）共面向量如圖8154所示，已知平面與向量，作，如果直線平行于平面或在平面內(nèi)，則說明向量平行于平面．平行于同一平面的向量，叫做共面向量．（7）共面向量定理如果兩個向量，不共線，那么向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使．推論：①空間一點位于平面內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使；或?qū)臻g任意一點，有，該式稱為空間平面的向量表達(dá)式．②已知空間任意一點和不共線的三點，，，滿足向量關(guān)系式（其中）的點與點，，共面；反之也成立．三、空間向量的數(shù)量積運算（1）兩向量夾角已知兩個非零向量，，在空間任取一點，作，，則叫做向量，的夾角，記作，通常規(guī)定，如果，那么向量，互相垂直，記作．（2）數(shù)量積定義已知兩個非零向量，，則叫做，的數(shù)量積，記作，即．零向量與任何向量的數(shù)量積為0，特別地，．（3）空間向量的數(shù)量積滿足的運算律：，（交換律）；（分配律）．①空間向量的線性運算策略方法用基向量表示指定向量的方法(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形．(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中．(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知基向量表示出來．【題型精練】一、單選題1．（2324高二上·河南南陽·階段練習(xí)）求為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運算以及加減運算的性質(zhì)，求解即可得出答案.【詳解】原式.故選：B.2．（2223高二下·全國·單元測試）若為空間不同的四點，則下列各式不一定為零向量的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運算逐一分析各個選項即可得出答案.【詳解】對于A，；對于B，；對于C，；對于D，.故選：A.3．（2324高二下·北京·開學(xué)考試）已知平行六面體，則下列四式中錯誤的是（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】根據(jù)平行六面體的性質(zhì)及空間向量線性運算法則計算可得.【詳解】對于A：，故A正確；對于B：因為，所以，故B正確；對于C：，故C正確；對于D：因為，所以，故D錯誤.故選：D4．（2324高二下·河南·階段練習(xí)）在四面體中，為棱的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運算即可求解.【詳解】,故選:A

5．（2324高二上·河北·階段練習(xí)）在四面體中，，，，，為的中點，若，則（

）A． B．3 C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)空間向量的線性運算即可得解.【詳解】如圖，

因為，為的中點，所以，又因為，所以，又，所以，解得：．故選：B.②空間向量共線的判斷與應(yīng)用策略方法證明三點共線三點(P，A，B)共線eq\o(PA,\s\up7(→))＝λeq\o(PB,\s\up7(→))且同過點P對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OA,\s\up7(→))＋teq\o(AB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x)eq\o(OB,\s\up7(→))【題型精練】一、單選題1．（2223高二上·云南臨滄·階段練習(xí)）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由共面向量基本定理進(jìn)行運算檢驗選項，排除法可得結(jié)果.【詳解】對于A，，所以三個向量共面，排除；對于B，，所以三個向量共面，排除；對于D，，所以三個向量共面，排除.故選：C.2．（2324高二下·江蘇·階段練習(xí)）已知向量不共面，則使向量共面的實數(shù)x的值是（

）A． B． C． D．4【答案】A【分析】利用向量共面得到線性表示，再化簡求值即可.【詳解】因為共面，所以存在實數(shù)，使得，所以，解得.故選：A.3．（2324高二上·北京·期中）已知是空間兩個不共線的向量，，那么必有（

）A．共線 B．共線C．共面 D．不共面【答案】C【分析】利用空間向量的共線定理與共面定理.【詳解】若共線，則，又，則共線，與條件矛盾，故A錯誤；同理若共線，則，又，則共線，與條件矛盾，故B錯誤；根據(jù)空間向量的共面定理可知共面，即C正確，D錯誤.故選：C4．（2324高二下·江蘇泰州·階段練習(xí)）為空間任意一點，若，若，，，四點共面，則（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】將化簡為：，利用四點共面定理可得，即可求解.【詳解】因為，所以，可化簡為：，即，由于，，，四點共面，則，解得：；故選：C5．（2324高二上·湖北省直轄縣級單位·期中）若空間四點滿足，則（

）A．直線B．直線C．點P可能在直線上，也可能不在直線上D．直線，且【答案】A【分析】根據(jù)四點共面、三點共線的知識求得正確答案.【詳解】由于，所以四點共面，由于，所以三點共線，根據(jù)平行四邊形法則可知：是線段上，靠近的三等分點（如下圖所示）.所以A選項正確，BCD選項錯誤.故選：A③共面向量的判定與應(yīng)用策略方法證明空間四點共面空間四點(M，P，A，B)共面eq\o(MP,\s\up7(→))＝xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝eq\o(OM,\s\up7(→))＋xeq\o(MA,\s\up7(→))＋yeq\o(MB,\s\up7(→))對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OM,\s\up7(→))＋yeq\o(OA,\s\up7(→))＋(1－x－y)eq\o(OB,\s\up7(→))【題型精練】一、單選題1．（2324高二上·河北邯鄲·期末）已知是不共面的空間向量，若與（是實數(shù)）是平行向量，則的值為（

）A．16 B．13 C．3 D．3【答案】C【分析】根據(jù)，結(jié)合，列出方程組，求解即可.【詳解】因為是不共面的空間向量且，故，則，解得，所以.故選：C.2．（2324高二上·遼寧·期中）設(shè)向量不共面，已知，，若三點共線，則（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】把A、C、D三點共線轉(zhuǎn)化為滿足，列方程組，求出即可.【詳解】因為，，所以，因為三點共線，所以存在唯一的，使得,即，即，解得：.故選：A.3．（2324高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）在四面體中，點E滿足F為BE的中點，且則實數(shù)λ=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由空間向量線性和基本定理運算可解.【詳解】由F為BE的中點，得又所以，由得即所以故選：D

二、填空題4．（2223高二下·江蘇·課后作業(yè)）若空間非零向量不共線，則使與共線的k的值為.【答案】－/【分析】根據(jù)空間共線向量可得，建立方程組，解之即可求解.【詳解】由題意知，存在實數(shù)λ使得，即，解得.故答案為：5．（2324高二上·上?！ふn后作業(yè)）設(shè)是空間兩個不共線的非零向量，已知，，，且三點共線，則實數(shù)k的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意，化簡得到，由三點共線，可設(shè)，利用空間向量共線的充要條件，列出方程，即可求解.【詳解】因為，，可得，又因為三點共線，可設(shè)，即，因為不共線，可得，解得，所以實數(shù)的值為.故答案為：.④空間向量的數(shù)量積運算（數(shù)量積、夾角、模長、投影向量）策略方法空間向量數(shù)量積的應(yīng)用【題型精練】一、單選題1．（2324高二上·廣東茂名·期末）如圖，正方體的棱長為1，設(shè)，，，則（

）

A．1 B． C．0 D．2【答案】A【分析】根據(jù)垂直關(guān)系結(jié)合空間向量的數(shù)量積分析求解.【詳解】由題意可知：，所以.故選：A.2．（2324高二下·江蘇·課前預(yù)習(xí)）已知，是相互垂直的單位向量，則＝（）A．1 B．2C．3 D．4【答案】A【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積公式計算出答案.【詳解】是相互垂直的單位向量，故，故.故選：A3．（2324高二下·上海·階段練習(xí)）由四個棱長為1的正方體組合成的正四棱柱（如圖所示），點是正方形的中心，則向量（

）

A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】根據(jù)數(shù)量積的幾何意義即可求解.【詳解】由正四棱柱性質(zhì)可知，向量在上的投影向量為，由數(shù)量積的幾何意義可知，.故選：A4．（2324高二上·江西萍鄉(xiāng)·期末）已知，，是空間中兩兩垂直的單位向量，則（

）A． B．14 C． D．2【答案】A【分析】利用空間向量數(shù)量積的性質(zhì)即可求解.【詳解】依題意得，，；所以，故選：A.5．（2324高二上·寧夏銀川·階段練習(xí)）已知，空間向量為單位向量，，則空間向量在向量方向上的投影向量的模長為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】由空間向量在向量方向上的投影數(shù)量為，運算即可得解.【詳解】由題意，，，，則空間向量在向量方向上的投影數(shù)量為.所以所求投影向量的模長為2.故選：A6．（2324高二上·陜西寶雞·期中）在空間四邊形中，，，則的值為（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】先利用題給條件求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】如圖所示，∵，又，，則∴，∴，.故選：D7．（2024高二·全國·專題練習(xí)）在正三棱錐中，是的中心，，則等于（）A． B． C．