第3講平面向量

第3講平面向量【復習目錄】一、平面向量的概念二、平面向量的線性運算三、平面向量的數量積運算四、用基底表示向量五、平面向量線性運算的坐標表示六、平面向量數量積運算的坐標表示七、共線向量八、平面向量共線定理的推論九、求平面向量的模十、求平面向量的夾角十一、投影向量十二、平面向量綜合【知識歸納】一．向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝b＋a；結合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)減法求兩個向量差的運算a－b＝a＋(－b)數乘求實數λ與向量a的積的運算|λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa與a的方向相同；當λ<0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ(μa)＝(λμ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb二．平面向量共線/垂直的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)=1\*GB2⑴a∥b?b＝λa?x1y2－x2y1＝0 =2\*GB2⑵a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0三．平面向量的數量積a·b=|a||b|·cosθ. cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)四．a在向量b上的投影向量：五．平面向量數量積的有關結論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ.結論符號表示坐標表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|與|a||b|的關系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))【題型歸納】題型一、平面向量的概念1．（2122高一下·上海浦東新·期末）下列結論中，正確的是（

）A．零向量只有大小沒有方向 B．C．對任一向量，總是成立的 D．與線段的長度不相等【答案】B【分析】根據平面向量的概念，逐一判斷即可得出答案．【詳解】既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故A錯誤；由于與方向相反，長度相等，故B正確；因為零向量的模為0，故C錯誤；與線段的長度相等，故D錯誤．故選：B．2．（2021高一下·浙江麗水·期末）已知平面向量、、，下列結論中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】B【分析】根據相等向量的性質和向量平行的判定即可得出答案.【詳解】對于選項A：若、為非零向量，，但不一定等于，故不成立，A錯誤；對于選項B：可知、同向，于是可知、共線，即，故B正確；對于選項C：若為零向量，，不一定能推出，故C錯誤；對于選項D：，但是兩個向量方向不一定相同，故不可以推出，故D錯誤；故選：B3．（2223高一下·湖北武漢·期末）下列命題正確的是（

）A．對于任意非零向量、、，若向量、在向量上的投影向量相等，則；B．若，則一定成立；C．向量與是共線向量，則、、、四點一定共線；D．若，且，則與所在直線的夾角是．【答案】D【分析】根據投影向量的概念即可判斷A錯誤；根據向量運算可以判斷B錯誤；向量與是共線向量，可能，C錯誤；根據幾何圖形可以判斷D正確．【詳解】對于A，由投影向量定義知，則、不一定相等，所以A錯誤；對于B，若，則有，故不一定成立，所以B錯誤；對于C，向量與是共線向量，則，，，四點一定共線，顯然不正確，可能，即C錯誤；

對于，設，，以，為鄰邊作平行四邊形，則，∵，∴，∴是等邊三角形，∴．在菱形中，對角線平分，∴與所在直線的夾角為．所以D正確．故選：D.題型二、平面向量的線性運算4．（2324高一上·遼寧大連·期末）如圖，在中，，點是的中點，設，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據平面向量線性運算的幾何意義，結合平面向量基本定理進行求解即可.【詳解】因為即，點為的中點，所以，所以.故選：D.5．（2223高一下·山東青島·期末）中，點為上的點，且，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據題意，利用向量的線性運算法則，準確化簡，即可求解.【詳解】如圖所示，因為，由向量的線性運算法則,可得因為，所以，所以.故選：D.6．（2324高一下·廣東·期末）如圖，點是的重心，點是邊上一點，且，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】延長交于，根據題意，得到且，再由，可得是的四等分點，根據向量的運算法則，求得，求得的值，即可求解.【詳解】如圖所示，延長交于，由已知為的重心，則點為的中點，可得，且，又由，可得是的四等分點，則，因為，所以，，所以．故選：C.題型三、平面向量的數量積運算7．（2324高一下·上?！て谀┮阎沁呴L為1的等邊三角形，點、分別是邊、的中點，連接并延長到點，使得，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意，畫出圖形，根據向量的運算法則，結合向量的數據的運算，準確計算，即可求解.【詳解】解：如圖所示，因為分別是邊和的中點，且，可得.故選：C.8．（2324高一下·四川·期中）如圖，在中，為上一點，且滿足，若則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的線性運算及三點共線的條件，再利用平面向量的基本定理及向量的數量積的運算律即可求解.【詳解】因為所以因為三點共線，所以即,又因為，所以,且為不共線的非零向量，所以，解得，所以，所以.故選：B.9．（2223高一下·北京海淀·期末）已知，，，則的最大值為（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B【分析】根據數量積的運算律得到，則，結合余弦函數的性質計算可得.【詳解】因為，即，即，即，所以，所以，因為，所以當時取最大值，最大值為.故選：B題型四、用基底表示向量10．（2324高一上·北京房山·期末）如圖，在中，點，滿足，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】直接利用向量的幾何運算求解即可.【詳解】.故選：C.11．（2223高一下·安徽宣城·期末）已知是邊長為a的等邊三角形，點D，E，F分別是邊AB，BC，AC的中點，連接DE并延長到點M，使得，連接DF并延長到點N，使得，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的基底法，用、為基向量表示，再求得的值即可.【詳解】，，又點D，E，F分別是邊AB，BC，AC的中點，即,，，.故選：B.12．（2324高一上·浙江寧波·期末）在中，點為邊上的中點，點滿足，點是直線，的交點，過點做一條直線交線段于點，交線段于點（其中點，均不與端點重合）設，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由題意作交于F，可推出，利用向量的線性運算推出，結合題意推出，根據三點共線可得，結合“1”的妙用，即得，展開后利用基本不等式，即可求得答案.【詳解】作交于F，連接

，則∽，故，由于點為邊上的中點，故，，故，又∽，故，故，則,由于，，故，因為三點共線，故，所以，

當且僅當，結合，即時等號成立，即的最小值為，故選：B題型五、平面向量線性運算的坐標表示13．（2223高一下·貴州畢節(jié)·期末）已知向量，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據求得，再結合向量夾角的坐標公式求解答案.【詳解】因為，所以，又因為，所以，解得，則，所以，所以.故選：D14．（2223高一下·吉林長春·期末）已知向量，，，若與垂直，則實數的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先得到的坐標，再利用與垂直求解.【詳解】解：因為向量，，，所以，因為與垂直，所以，解得，故選：D15．（2223高一下·江蘇南京·期末）如圖，在中，，，為上一點，且滿足，若，，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】建立平面直角坐標系，因為點在上，則，又，利用平面向量的基本定理求出的值，然后利用平面向量數量積的坐標運算可求得的值.【詳解】建立如圖所示平面直角坐標系．

已知，，，得，，，，，，，，，因為點在上，則，又，且、不共線，可得，且，解得．，．故選：D．題型六、平面向量數量積運算的坐標表示16．（2223高一下·江蘇蘇州·期末）向量，且，則．【答案】/0.8【分析】根據給定條件，結合數量積的運算律可得，再建立平面直角坐標系，利用坐標求解夾角的余弦作答.【詳解】由，得，即，而，則，即，以的方向分別為軸正方向，建立平面直角坐標系，如圖，則，于是，有，所以.故答案為：17．（2223高一下·廣西·期末）已知向量，滿足，，，則；【答案】【分析】根據向量模長的坐標計算，結合數量積的運算律，可得答案.【詳解】由，則，由，則，解得.故答案為：.18．（2324高一下·上?！て谀┤鐖D，正六邊形的邊長為，半徑為1的圖的圓心為正六邊形的中心，若點在正六邊形的邊上運動，動點，在圓上運動且關于圓心對稱，則的取值范圍為【答案】【分析】根據題意，以為原點建立平面直角坐標系，設點，則，將表示為關于的表達式，結合正六邊形的性質算出的取值范圍.【詳解】以為原點，六邊形的左、右頂點所在直線為軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則圓的方程為，當在軸下方，且位于正六邊形與軸平行的邊上時，的縱坐標為，可得，其中，設，則，．可得，，所以，結合，當時，有最小值5，當時，有最大值7，可知，根據圖形的對稱性，可知：當在正六邊形其它的邊上時，也成立.綜上所述，的取值范圍為.故答案為：題型七、向量的平行與垂直19．（2324高一上·遼寧·期末）已知，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據向量平行的坐標表示求解即可.【詳解】因為，，且，所以，即，解得.故選：B20．（2223高一下·遼寧·期末）已知向量，，若，則（

）A．0或2 B．2 C．0或 D．【答案】C【分析】利用向量線性運算的坐標表示和向量垂直的坐標表示計算即可.【詳解】向量，，則由，所以，得或．故選：C.21．（2223高一下·湖北武漢·期末）已知向量，，則“”是“”的（

）條件A．充要條件 B．充分不必要C．必要不充分 D．既不充分也不必要【答案】A【分析】利用向量線性運算的坐標表示結合垂直關系的坐標表示求出，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】向量，，則，同理，顯然向量都是非零向量，，所以“”是“”的充要條件.故選：A題型八、平面向量共線定理的推論22．（2024·浙江寧波·模擬預測）已知是邊長為1的正三角形，是上一點且，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據題意得，由三點共線求得，利用向量數量積運算求解.【詳解】，，且，而三點共線，，即，，所以.故選：A.23．（2223高一下·福建莆田·期末）在中，為上一點，且滿足．若，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】C【分析】根據三點共線的結論結合平面向量基本定理可得，再利用數量積的定義與運算律求解.【詳解】由題意可得：，因為三點共線，則，且，又因為，則，可得，解得，可得，所以，即.故選：C.24．（2223高一下·四川遂寧·期末）在對角線相等的平行四邊形中，，，為上一點，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】結合題意，圖形及向量相加的首尾相連原則，平面向量基本定理可得答案.【詳解】由題及圖形可知，，又，則.故選：C

題型九、求平面向量的模25．（2223高一上·遼寧錦州·期末）已知向量，，且，則為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出、的坐標，再根據向量共線的坐標表示得到方程，求出參數的值，最后根據向量模的坐標表示計算可得.【詳解】因為，，所以，，又，所以，解得，所以，則.故選：A26．（2223高一下·黑龍江·期末）已知向量，滿足，，且，的夾角為，則（

）．A． B．7 C． D．19【答案】A【分析】計算出，再根據計算出結果.【詳解】由題意得：，所以.故選：A.27．（2223高一下·廣西玉林·期末）如圖，在中，為上一點，且滿足，若，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題意，利用平面向量的共線定理求得，再結合向量的數量積和向量模的運算公式，即可求解.【詳解】在中，由，為上一點，且滿足，則，又由三點共線，則，即，因為，則，則的值為.故選：C.題型十、求平面向量的夾角28．（2223高一下·河南安陽·期末）已知滿足，則夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據數量積的運算律，整理化簡等式，建立方程，解得平方和，結合完全平方和公式，解得模長乘積，利用夾角公式，可得答案.【詳解】由題意，向量，滿足，，可得，所以，又由，所以，設向量與的夾角為，則．故選：D.29．（2223高一下·福建漳州·期末）已知向量與垂直，若，且與向量的夾角是銳角，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據題意，設，由條件列出方程，代入計算，即可得到結果.【詳解】設，因為向量與垂直，且，則可得，解得或，又因為與向量的夾角是銳角，當時，，故舍去，當時，，滿足.故選：A30．（2223高一下·河北保定·期末）已知為的外心，且．若向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（

）A． B． C． D．0【答案】B【分析】根據條件可得為直角三角形且為斜邊的中點，用向量的數量積計算可得，再根據二次函數的最值可求的最小值.【詳解】因為，所以，所以，即，所以三點共線，又為的外心，所以為直角三角形，且，為斜邊的中點，，，過作的垂線，垂足為，如圖：則向量在向量上的投影向量為，且，

，，所以，因為，所以當時取得最小值為.故選：B題型十一、投影向量31．（2324高一下·重慶渝中·期中）已知等腰中，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由投影向量的概況結合正弦定理可求.【詳解】

由題意可得，由正弦定理可得，可得，在上的投影為，所以在上的投影向量為，即在上的投影向量為.故選：A．32．（2324高一下·福建福州·期中）已知向量，則以下說法正確的是（

）A． B．方向上的單位向量為C．向量在向量上的投影向量為 D．若，則【答案】D【分析】對于A：求出坐標即可得模；對于B：通過求單位向量；對于C：通過投影向量的公式計算；對于D：通過計算是否成立來判斷.【詳解】對于A：，所以，A錯誤；對于B：方向上的單位向量為，B錯誤；對于C：，則向量在向量上的投影向量為，C錯誤；對于D：，所以，D正確.故選：D.33．（2223高一下·遼寧鞍山·期末）已知外接圓的圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據題目條件得到為等邊三角形，則，進而利用向量的幾何意義求出投影向量.【詳解】因為，所以O為的中點，又因為外接圓圓心為O，即為外接圓的直徑，如圖，

又，所以為等邊三角形，所以，，向量在向量上的投影向量為.故選：C.題型十二：向量在幾何中的應用34．（2223高一下·北京懷柔·期末）在中，，D為BC的中點，點P在斜邊BC的中線AD上，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為坐標原點，為軸的正方向建立平面直角坐標系，，求出點坐標可得，利用二次函數的單調性可得答案.【詳解】以為坐標原點，為軸的正方向建立平面直角坐標系，所以，因為D為BC的中點，所以，，設，所以，所以，可得，，所以，因為，所以.故選：A.

【點睛】關鍵點點睛：本題解題的關鍵點是以為坐標原點建立平面直角坐標系，轉化為坐標的運算求數量積.35．（2223高一下·北京豐臺·期末）如圖，在四邊形中，.若為線段上一動點，則的最大值為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】由題建立平面直角坐標系，再由平面向量數量積的坐標運算得到，再求二次函數的最大值即可．【詳解】以為原點，，所在直線分別為，軸建立平面直角坐標系，則，，，，設，其中，則，，，當時，有最大值6．故選：C．

36．（2223高一下·吉林長春·期末）已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，圓O的圓心為正六邊形的中心，半徑為1，若點P在正六邊形的邊上運動，MN為圓O的直徑，則的取值范圍是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】用可以求解的向量來表示.【詳解】記圓心為，則，因為互為相反向量，所以，因為正六邊形ABCDEF的邊長為2，為正六邊形的中心，所以當與正六邊形頂點重合時，有最大值2，當在正六邊形邊上的中點處時，有最小值，此時.

所以.故選：B題型十三、平面向量綜合37．（2324高一下·天津河西·期中）已知向量，且．(1)求向量與的夾角；(2)求的值；(3)若向量與互相垂直，求k的值．【答案】(1)(2)4(3)或【分析】（1）由向量模的坐標運算得出，再根據向量數量積的定義及運算律求解即可；（2）由及已知條件，代入計算即可；（3）由已知得，根據向量數量積的運算律及已知條件代入求解即可．【詳解】（1）由得，，設向量與的夾角為，，解得，所以向量與的夾角．（2）．（3）由向量與互相垂直得，，所以，即，解得或．38．（2324高一下·江蘇南通·期中）如圖，在中，已知分別為邊上的中點，相交于點.(1)求；(2)求的值.【答案】(1)(2).【分析】（1）利用余弦定理即可求解.（2）設，將把和用來表示，由題意可知,進而利用平面向量的數量積即可求解.【詳解】（1）因為，由余弦定理知：，所以.（2）設，因為分別為的中點，所以.因為，所以，.又，.所以.39．（2324高一上·遼寧葫蘆島·期末）如圖，在等腰梯形中，，，M為線段中點，與交于點N，P為線段上的一個動點．(1)用和表示；(2)求；(3)設，求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由向量的線性運算法則計算；（2）由題意得，由共起點的三向量終點共線的充要條件求出，即可得出答案；（3）由題意，可設，代入中并整理可得，又，根據平面向量基本定理得出方程組，然后結合二次函數的性質可得結論．【詳解】（1）由向量的線性運算法則，可得，①，②因為M為線段中點，則，聯立①②得：，整理得：．（2）由AM與BD交于點N，得，由共起點的三向量終點共線的充要條件知，，解得：．所以，即．（3）由題意，可設，代入中并整理可得．又，故，可得：，．因為，所以，．在單調遞增，則當時，，當時，，所以，的取值范圍為．【專題強化】一、單選題40．（2324高一下·河北邢臺·期中）下列結論正確的是（

）A．平行向量不一定是共線向量 B．單位向量都相等C．兩個單位向量之和不可能是單位向量 D．【答案】D【分析】根據題意，結合向量的基本概念，以及向量的運算法則，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，平行向量又叫共線向量，所以A錯誤；對于B中，單位向量長度相等，但方向不一定相同，所以B錯誤；對于C中，當兩個單位向量夾角為120°時，兩個單位向量之和也是單位向量，所以C錯誤；對于D中，，所以D正確．故選：D．41．（2324高一下·四川瀘州·期中）如圖，在平行四邊形中，E、F分別是邊上的兩個三等分點，則下列選項錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據向量加法法則、向量減法法則及平面向量基本定理即可求解.【詳解】對A：由題意知，E、F分別是邊上的兩個三等分點，且與方向相同，則，故A正確；對B：由圖可知，，，所以，故B正確；對C：，故C正確；對D：，故D錯誤.故選：D.42．（2324高一下·福建南平·期中）如圖所示，是直角三角形，，，點是斜邊的中點，點是線段靠近點的三等分點，則（

）A．0 B． C． D．【答案】C【分析】用、作為一組基底表示、，再根據數量積的運算律計算可得.【詳解】依題意，，，所以，所以.故選：C43．（2324高一上·浙江寧波·期末）已知，，且，的夾角為，則（

）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】根據向量的減法運算可得，平方后結合數量積的運算，即可求得答案.【詳解】由題意得，所以，故，故選：D44．（2223高一下·全國·單元測試）若非零向量與滿足，且，則為（

）A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．底邊和腰不相等的等腰三角形D．等邊三角形【答案】D【分析】由已知可得的角平分線與BC垂直，可分析出是等腰三角形，根據數量積公式可求角A，即可判斷.【詳解】因為分別為與同向的單位向量，因為，可知的角平分線與BC垂直，則，又因為，即，且，則，所以是等邊三角形.故選：D.45．（2223高一下·內蒙古巴彥淖爾·期末）已知向量，，且，則在方向上的投影向量的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由向量垂直求出，從而結合數量積坐標公式及投影向量的公式求解即可.【詳解】因為向量，，所以，解得，則，則，所以在方向上的投影向量為.故選：C46．（2223高一下·天津·期末）已知的外接圓圓心為O，且，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用向量的運算法則將已知等式化簡得到，進而得到為正三角形，從而得到結論.【詳解】如圖，由即知O為的中點，如圖：

又∵O為的外接圓圓心，，，又，，為正三角形，則，在上的投影向量為.故選：C.47．（2324高一下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，在中，，，，半圓在內，圓心為，半圓的直徑剛好在AC上，弧形部分與AB，BC相切，切點分別為和，在半圓的圓弧部分（含端點）上有一點，且，則的取值范圍為（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據三角形的邊角關系以及相切可得半徑，即可建立直角坐標系，利用坐標運算，可得，即可利用三角函數的性質求解.【詳解】由，，可得,故，由于,,所以,故半徑，以為軸，過作，建立如圖所示的直角坐標系，,設，則，由于，所以，故，兩式相減可得，故，由于，故，故選：C

二、多選題48．（2324高一下·四川·期中）八卦是中國文化的基本哲學概念，如圖1是八卦模型圖，其平面圖形記為圖2中的正八邊形，其中，則下列結論正確的有（

）A．B．C．在上的投影向量為D．若點為正八邊形邊上的一個動點，則的最大值為【答案】BCD【分析】正八邊形中，每個邊所對的角都是，中心到各頂點的距離為2，然后再由數量積的運算判斷AB,由投影向量和投影判斷CD得答案．【詳解】由題意可知，正八邊形每個邊所對的角都是，中心到各頂點的距離為2，對于A，，故A錯誤；對于B，，則以，為鄰邊的對角線長是的倍，可得，故B正確；對于C，在上的投影向量為，故C正確；對于D，設的夾角為則，其中表示在上的投影，易知,延長DC交AB延長線于Q,當P在線段DC上運動，投影最大，易知為等腰直角三角形，且,則在中，,在等腰三角形中，則.故D正確．故選:ABD．【點睛】關鍵點點睛：本題考查向量數量積及性質，關鍵是利用數量積的幾何意義確定在上的投影的最大值解決D選項.49．（2324高一上·浙江寧波·期末）下列說法正確的是（

）A．已知，為平面內兩個不共線的向量，則可作為平面的一組基底B．，則存在唯一實數，使得C．兩個非零向量，，若，則與共線且反向D．中，，，則為等邊三角形【答案】ACD【分析】利用基底的定義可判斷選項A；利用向量共線定理可判斷選項B；利用數量積的定義可判斷選項C、D.【詳解】由，為平面內兩個不共線的向量，所以設，所以，則不存在，所以與不共線，則可作為平面的一組基底，故A對；只有當時，若，則存在唯一實數，使得，故B錯；因為兩個非零向量，，設與夾角為，由，平方得，，所以，又，所以，則與共線且反向，故C對；在中，，所以，，所以，由，得，即，則為等邊三角形，故D對.故選：ACD50．（2324高一上·遼寧沈陽·期末）如圖，在直角梯形中，，，，是線段的中點，線段與線段交于，則（

）A．B．C．D．【答案】ACD【分析】利用向量的線性運算法則判斷選項，根據點共線，由向量共線定理可知，再利用向量的線性運算法則求解即可判斷選項.【詳解】對于選項，由已知條件可知，則正確；對于選項，，則錯誤；對于選項，連接，因為是線段的中點，所以，則正確；對于選項，設，點三點共線，則存在，使得,，，所以，消去得，解得，所以，則正確；故選：.51．（2223高一下·遼寧葫蘆島·期末）已知平面四邊形，是所在平面內任意一點，則下列命題正確的是（

）A．若，則四邊形是正方形B．若，則四邊形是矩形C．若，則為直角三角形D．若動點P滿足，則動點P的軌跡一定通過的重心【答案】CD【分析】根據向量的線性運算法則和向量的模，以及三角形的性質，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，由，可得，但四邊形不一定是正方形，所以A錯誤；對于B中，由，平方可得，即，但四邊形不一定為矩形，所以B錯誤；對于C中，由，可得，即，平方可得，所以，所以為直角三角形，所以C正確；對于D中，作于點，又由，設的中點為，所以，即，故動點的軌跡在中線上，即動點的軌跡一定通過的重心.故選：CD.

三、填空題52．（2324高一下·上海·期末）已知，則實數【答案】．【分析】由向量線性運算、數量積的坐標表示即可列出方程，由此能求出的值．【詳解】，，由于，，解得．故答案為：．53．（2324高一下·上?！て谥校┤鐖D，在平行四邊形中，點在邊上，點在邊上，且與相交于點，若，則實數.【答案】/【分析】將用表示，然后利用三點共線列方程求解即可.【詳解】由得，因為，則，因為三點共線，所以，解得.故答案為：.54．（2324高一上·遼寧大連·期末）平面向量兩兩不共線，滿足，且．若，則的最大值為．【答案】【分析】根據重心的性質可得,,即可根據余弦定理可求解長度，根據三角函數的性質即可求解.【詳解】不妨設由,由可得是的重心，由可得,由重心的性質可得,,不妨設,則，故由余弦定理可得，,所以記，平方可得,由于，所以，此時取最大值4，故的最大值為2，因此的最大值為，故答案為：55．（2223高一下·天津和平·期末）如圖，在中，是線段上的點，且，是線段的中點，延長交于點，設，則；若為邊長等于2的正三角形，則.

【答案】/0.5【分析】第一空，根據平面向量的線性運算，結合平面向量基本定理即可求得答案；第二空，根據平面向量的線性運算，用表示出，再結合數量積的運算律，即可求得的值.【詳解】由于，則，又是線段的中點，故，結合得，故；設，而，是線段的中點，故，又三點共線，故，則，故，又為邊長等于2的正三角形，則，故答案為：；四、解答題56．（2324高一下·北京海淀·期中）已知向量，，(1)求；(2)求滿足的實數m，n的值；(3)若，求實數k的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用平面向量的坐標求模即可；（2）根據題意列方程組即可求解；（3）利用平面向量的平行關系求參數即可.【詳解】（1）.（2）由，得，解得.（3），，因為，所以，解得.57．（2324高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知，如圖，在中，點滿足在線段BC上且，點是AD與MN的交點，.(1)分別用來表示和(2)求的最小值【答案】(1)；(2)【分析】（1）平面向量基本定理的運用，根據已知條件，結合向量的線性運算即可求解.（2）根據已知條件，結合三點共線性質和基本不等式中“1”的妙用即可求解.【詳解】（1）因為，所以，因為，所以.（2）由（1），因為，，所以，因為三點共線，所以，，所以，當且僅當，即時等號成立，故的最小值為.58．（2324