3.1.2橢圓的簡單幾何性質(zhì)同步練習(xí)-2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

橢圓的幾何性質(zhì)一、單選題1．已知橢圓的長軸在x軸上，焦距為4，則m等于（）A．8 B．7 C．12 D．142．橢圓與關(guān)系為（）A．有相等的長軸 B．有相等的短軸C．有相等的焦點(diǎn) D．有相等的焦距3．在橢圓上有一點(diǎn)P，、是橢圓的左右焦點(diǎn)，為直角三角形，則這樣的點(diǎn)P有（）A．2個 B．4個 C．6個 D．8個4．比較下列四個橢圓的形狀，其中更接近于圓的是（）A． B．C． D．5．設(shè)、，條件甲：，條件乙：，則條件甲是條件乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件6．設(shè)是橢圓的離心率，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知點(diǎn)是橢圓上非頂點(diǎn)的動點(diǎn)，，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)，若是的平分線上一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．如圖，一個底面半徑為R的圓柱被與其底面所成角為的平面所截，截面是一個橢圓，當(dāng)為時(shí)，這個橢圓的離心率為（）A． B． C． D．二、多選題9．關(guān)于橢圓有以下結(jié)論，其中正確的有（）A．離心率為 B．長軸長是C．焦點(diǎn)在軸上 D．焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)，(1，0)10．設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，，是上的動點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．離心率C．面積的最大值為D．以線段為直徑的圓與直線相切11．已知橢圓C1：(a1＞b1＞0)和橢圓C2：(a2＞b2＞0)的焦點(diǎn)相同且a1＞a2．給出如下四個結(jié)論，其中正確的結(jié)論有（）A．橢圓C1和橢圓C2一定沒有公共點(diǎn)；B．C．D．12．黃金分割比例具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性，和諧性，蘊(yùn)含著豐富的美學(xué)價(jià)值．這一比值能夠引起人們的美感，是建筑和藝術(shù)中最理想的比例．我們把離心率的橢圓稱為“黃金橢圓”，則以下說法正確的是（）A．橢圓是“黃金橢圓”B．若橢圓的右焦點(diǎn)為，且滿足，則該橢圓為“黃金橢圓”C．設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，右頂點(diǎn)為A，若，則該橢圓為“黃金橢圓”D．設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別是A，B，左、右焦點(diǎn)分別是，，若，則該橢圓為“黃金橢圓”三、填空題13．與橢圓9x2+4y2=36有相同焦點(diǎn)，且b=2的橢圓方程是_______.14．設(shè)為橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，若線段的中點(diǎn)在y軸上，則的值為___________.15．已知橢圓的焦點(diǎn)，，長軸長為6，設(shè)直線交橢圓于，兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為________.16．曲率半徑可用來描述曲線上某點(diǎn)處曲線彎曲變化程度，曲率半徑越大，則曲線在該點(diǎn)處的彎曲程度越小.已知橢圓：上點(diǎn)處的曲率半徑公式為.若橢圓上所有點(diǎn)相應(yīng)的曲率半徑的最大值是最小值的8倍，則橢圓的離心率為___________.四、解答題17．已知橢圓的焦距為，離心率為.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若點(diǎn)，點(diǎn)B在橢圓C上，求線段長度的最大值.18．已知橢圓C：＋＝1經(jīng)過點(diǎn)(0,)，離心率為，直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）若直線l交y軸于點(diǎn)M，且＝λ，＝μ，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求λ＋μ的值是否為定值？若是，求出λ＋μ的值；否則，請說明理由.19．已知動點(diǎn)到點(diǎn)的距離與直線的距離的比值為，動點(diǎn)的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）直線與曲線交于，兩點(diǎn)，為原點(diǎn)，求三角形面積的最大值．20．若兩個橢圓的離心率相等，則稱它們?yōu)椤跋嗨茩E圓”．如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C1：，A1，A2分別為橢圓C1的左，右頂點(diǎn)．橢圓C2以線段A1A2為短軸且與橢圓C1為“相似橢圓”．

（1）求橢圓C2的方程；（2）設(shè)P為橢圓C2上異于A1，A2的任意一點(diǎn)，過P作PQ⊥x軸，垂足為Q，線段PQ交橢圓C1于點(diǎn)H．求證：H為△PA1A2的垂心．(垂心為三角形三條高的交點(diǎn))參考答案1．A由題得，解之得.故選：A2．D解：橢圓的長軸為10，短軸為6，焦距為8，焦點(diǎn)分別為，橢圓的長軸為，短軸為，焦距為8，焦點(diǎn)分別為，所以兩橢圓的焦距相同，故選：D3．D解：①當(dāng)軸時(shí)，有兩個點(diǎn)滿足條件；同理，當(dāng)軸時(shí)，有兩個點(diǎn)滿足條件；②，，．以原點(diǎn)為圓心、5為半徑的圓與橢圓相交于四個點(diǎn)，這四個點(diǎn)都滿足條件．綜上可知：能使△為直角三角形的點(diǎn)共有8個．故選：．4．BA.由，得，，離心率為；B.，得，，離心率為；C.，得，，離心率為；D.，得，，離心率為，因?yàn)椋愿咏趫A.故選：B.5．A充分性：由于，可得，得，同理可得，所以，條件甲是條件乙的充分條件；必要性：當(dāng)，，取，，則，所以，條件甲不是條件乙的必要條件.綜上所述，條件甲是條件乙的充分不必要條件.故選：A.6．C當(dāng)時(shí)，，由條件知，解得；當(dāng)時(shí)，，由條件知，解得，綜上知C正確．故選：C．7．B如圖，延長交的延長線于點(diǎn)，∵，∴.又為的平分線，∴，且為的中點(diǎn).∵為的中點(diǎn)，∴.∵，∴，∵，且，∴.故選：B8．A設(shè)橢圓的長半軸為a，短半軸為b，半焦距為c根據(jù)題意可知，

所以橢圓的離心率，選項(xiàng)A正確故選：A.9．AD將橢圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為所以該橢圓的焦點(diǎn)在軸上，故C錯誤；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故D正確；長軸長是故B錯誤因?yàn)樗噪x心率故A正確.故選：AD.10．AD由題意，橢圓，可得，可得，所以焦點(diǎn)為,根據(jù)橢圓的定義，所以A正確；橢圓的離心率為，所以B錯誤；其中面積的最大值為，所以C錯誤；由原點(diǎn)到直線的距離，所以以線段為直徑的圓與直線相切，所以D正確.故選：AD11．ABD由已知條件可得，可得，而，則，可知兩橢圓無公共點(diǎn)，即A正確；又，知B正確；由，可得，則與的大小關(guān)系不確定，不正確，即C不正確；∵，∴，而又由，可得，即D正確．綜上可得，正確的結(jié)論為ABD．故選：ABD．12．ABC對于A：由題意得，，故，故橢圓是“黃金橢圓”，故A正確；對于B：，即，故，解得或（舍去），故該橢圓是“黃金橢圓”，故B正確；對于C：由得，化簡可知，解得或（舍去），故該橢圓是“黃金橢圓”，故C正確；對于D：由，得，則（負(fù)值舍去），故該橢圓不是“黃金橢圓”，故D錯誤．故選：ABC13．.解：橢圓，即，，且焦點(diǎn)在y軸上，橢圓的焦點(diǎn)與橢圓有相同焦點(diǎn)，橢圓的半焦距，又b=2，，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：.14．依題意，，右焦點(diǎn)，如圖，因線段的中點(diǎn)在y軸上，而O是線段，于是得PF2//y軸，即PF2⊥x軸，由得，則有，于是有，，所以的值為.故答案為：15．由已知條件得橢圓的焦點(diǎn)在軸上，其中，，從而，∴其標(biāo)準(zhǔn)方程是：，聯(lián)立方程組，消去得，.設(shè)、，線段的中點(diǎn)為，則，，∴，即線段中點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：16．解：因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，即，所以，因?yàn)椋?，則，所以，因?yàn)榍拾霃阶畲笾凳亲钚≈档?倍，所以，即，所以，則橢圓的離心率為，故答案為：.17．（1）（2）（1）依題意，得，離心率，所以，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)，則，則有所以，由兩點(diǎn)間的距離公式，得，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，線段的長度最大，為.18．（1）＋＝1（2）是定值，－解：（1）依題意得：b＝，e＝＝，a2＝b2＋c2，∴a＝2，c＝1，∴橢圓C的方程為＋＝1；（2）直線l與y軸相交于M，故斜率存在，又F(1,0)，設(shè)直線l方程為y＝k(x－1)，則M(0,－k)，設(shè)l交橢圓A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，消去y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，又＝λ，∴(x1，y1＋k)＝λ(1－x1，－y1)，∴λ＝，同理μ＝，∴λ＋μ＝＋＝＝＝－.∴當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，λ＋μ的值為定值－.19．（1）（2）解：（1）設(shè)點(diǎn)，根據(jù)題意得化簡得，所以曲線C的方程為（2）(2)設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立得所以，，所以=所以