3.4圓心角(2)教學(xué)講義

3.4圓心角(2)教學(xué)講義新浙教版數(shù)學(xué)九年級(jí)（上）3.4圓心角（2）圓的對(duì)稱性圓的軸對(duì)稱性（圓是軸對(duì)稱圖形）垂徑定理及其推論圓的中心對(duì)稱性（旋轉(zhuǎn)不變性）圓心角定理溫故知新1圓心角所對(duì)的弧相等圓心角所對(duì)的弦相等圓心角所對(duì)的弦的弦心距相等在同圓或等圓中如果圓心角相等2弧所對(duì)的圓心角相等弧所對(duì)的弦相等弧所對(duì)的弦的弦心距相等在同圓或等圓中如果弧相等2弦所對(duì)的圓心角相等弦所對(duì)的?。ㄍ瑸榱踊』騼?yōu)弧）相等弦的弦心距相等在同圓或等圓中如果弦相等2弦心距所對(duì)的弧相等弦心距所對(duì)的弦相等弦心距所對(duì)的圓心角相等在同圓或等圓中如果弦心距相等在同圓或等圓中如果弦相等那么弦所對(duì)的圓心角相等弦所對(duì)的?。ㄖ噶踊。┫嗟认业南倚木嘞嗟仍谕瑘A或等圓中如果弦心距相等那么弦心距所對(duì)應(yīng)的圓心角相等弦心距所對(duì)應(yīng)的弧相等弦心距所對(duì)應(yīng)的弦相等在同圓或等圓中如果弧相等那么弧所對(duì)的圓心角相等弧所對(duì)的弦相等弧所對(duì)的弦的弦心距相等3結(jié)論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一對(duì)量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各對(duì)量都相等.幾何語(yǔ)言：如圖，∠AOB=∠COD，→AB=CD，OE=OF，.推論：(圓心角定理的逆定理)

在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余的各組量都分別相等。搶答題已知：如圖，AB，CD是⊙O的兩條弦，OE，OF為AB、CD的弦心距，根據(jù)這節(jié)課所學(xué)的定理及推論填空：ABCFDEO（2）如果OE=OF，那么

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；⌒⌒（3）如果AB=CD，那么

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；（4）如果AB=CD，那么

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。(1)如果∠AOB=∠COD，那么

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;OE=OFAB=CDAB=CD⌒⌒∠AOB=∠CODAB=CDAB=CD⌒⌒∠AOB=∠CODAB=CDOE=OF∠AOB=∠CODOE=OFAB=CD⌒⌒OAB下面的說(shuō)法正確嗎?為什么?如圖,因?yàn)?，根?jù)圓心角、弧、弦、弦心距的關(guān)系定理可知：

⌒⌒一般地，圓有下面的性質(zhì)在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個(gè)弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余的各組量都相等。BEDAFCO∠AOB=∠CODAB=CDOE=OFAB=CD⌒⌒⑴∠AOB=∠COD⑵AB=CD⑶OE=OF⑷AB=CD解四邊形BDCO是菱形.證明如下：∵AB=BC=CA，又∵OB=OD，∴△BOD是等邊三角形.∴∠BOD=180°-∠AOB=180°-120°=60°.

例3如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于⊙O，連結(jié)OA,OB,OC，延長(zhǎng)AO，分別交BC于點(diǎn)P，交于點(diǎn)D.連結(jié)BD,CD.判斷四邊形BDCO是哪一種特殊的平行四邊形，并給出證明.∴∠AOB=∠BOC=∠COA=120°.（圓心角定理）∴OB=OC=BD=CD，即四邊形BDCO是菱形.同理，△COD是等邊三角形.解如圖所示，連結(jié)OA,OB,OC，并延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D.∵AB=BC=AC，∴OD⊥BC，∴∠BAD=30°，BD=.∵OB=OC，∠DOB=∠COD=60°

拓展已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為，求它的外接圓半徑.∴∠AOB=∠COB=∠AOC=120°.∴r=2cm.設(shè)OB=r，則OD=r.分析連結(jié)OD,OE.這樣我們只要證明∠AOD=∠DOE=∠BOE，就能得到.證明如圖，連結(jié)OD,OE，在等邊三角形ABC中，∠A=60°.∵OA=OD，∴△AOD是等邊三角形.同理，∠BOE=60°.∴∠DOE=180°-∠AOD-∠BOE=180°-60°-60°=60°.∴∠AOD=∠DOE=∠BOE，

例4已知：如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為直徑的⊙O分別交AC,BC于點(diǎn)D,E.求證：.∴∠AOD=60°.∴（圓心角定理）當(dāng)堂鞏固1、如圖，已知點(diǎn)O是∠EPF的平分線上一點(diǎn)，P點(diǎn)在圓外，以O(shè)為圓心的圓與∠EPF的兩邊分別相交于A、B和C、D。求證：AB=CD分析：聯(lián)想到“角平分線的性質(zhì)”，作弦心距OM、ON，證明:作,垂足分別為M、N

。OM=ONAB=CD.MN要證AB=CD，只需證OM=ONPABECDFO做一做.PBEDFOAC.如圖，P點(diǎn)在圓上，PB=PD嗎？

P點(diǎn)在圓內(nèi)，AB=CD嗎？變式練習(xí)：PBEMNDFOMN(2)四邊形ACBD有可能為正方形嗎？若有可能,當(dāng)AB、CD有何位置關(guān)系時(shí)，四邊形ACBD為正方形？為什么？2、如圖,AB、CD是⊙O的兩條直徑。(1)順次連結(jié)點(diǎn)A、C、B、D，所得的四邊形是什么特殊四邊形？為什么？ＯＣＢＡＤ（3）如果要把直徑為30cm的圓柱形原木鋸成一根橫截面為正方形的木材，并使截面盡可能地大，應(yīng)怎樣鋸？最大橫截面面積是多少？（4）如果這根原木長(zhǎng)15m，問(wèn)鋸出地木材地體積為多少立方米（樹皮等損耗略去不計(jì)）？解：如圖，所得的四邊形是矩形，理由如下：AODCB∵AC，BD是⊙O的直徑∴AO=OC=OB=OD∴四邊形ABCD是平行四邊形又∵AC=BD∴四邊形ABCD是矩形當(dāng)AC⊥BD時(shí)，四邊形ABCD是正方形∵AC=BD=30cm∴AO=BO=15cm∴S正方形ABCD=15×15÷2×4=450（cm2）=4.5×10-2（m2）∴V=4.5×10-2×15=0.675（m3）1、三個(gè)元素：圓心角、弦、弧歸納：2、三個(gè)相等關(guān)系：OαABA1B1α(1)圓心角相等(2)弧相等(3)弦相等知一得二自我挑戰(zhàn)證明：∵AB=AC∴AB=AC，△ABC是等腰三角形又∠ACB=60°∴△ABC是等邊三角形，AB=BC=CA∴∠AOB=∠BOC=∠AOC1、如圖1，在⊙O中，AB=AC,∠ACB=60°,

求證∠AOB=∠BOC=∠AOC。⌒⌒⌒⌒OBCA在同圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等()()在同圓中，相等的弦所對(duì)的圓心角相等2（漳州中考）下列命題是真命題的是（）（A）相等的圓心角所對(duì)的弧相等（B）長(zhǎng)度相等的兩條弧是等?。–）等弦所對(duì)的圓心角相等（D）等弧所對(duì)的弦相等D3、如圖4，AB是⊙O的直徑，BC=CD=DE，∠COD=35°，求∠AOE的度數(shù)。OABEDC證明：∵BC=CD=DE∴∠COB=∠COD=∠DOE=35°∴∠AOE=1800-∠COB-∠COD-∠DOE=750⌒⌒⌒⌒⌒⌒4.如圖,已知⊙O中,弦AB=CD

求證：AD=BC證明：∵AB=CD=︵AB

︵CD∴︵AD＝即：︵BC∴︵AB

︵BD－

＝︵CD

︵BD－

∴AD=BC(