3.2.1函數(shù)的單調(diào)性與最值課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)

第3章函數(shù)的概念與性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性與最值湘教版

數(shù)學(xué)

必修第一

冊(cè)課標(biāo)要求1.借助函數(shù)圖象,會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值.2.理解函數(shù)單調(diào)性和最值的作用和實(shí)際意義.基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)目錄索引基礎(chǔ)落實(shí)·必備知識(shí)一遍過知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)的最大(小)值設(shè)D是函數(shù)f(x)的定義域,I是D的一個(gè)非空子集.(1)最大值:如果有a∈D,使得不等式

對(duì)一切x∈D成立,就說f(x)在x=a處取到最大值M=

,稱M為f(x)的最大值,a為f(x)的最大值點(diǎn).

(2)最小值:如果有a∈D,使得不等式

對(duì)一切x∈D成立,就說f(x)在x=a處取到最小值M=

,稱M為f(x)的最小值,a為f(x)的最小值點(diǎn).

名師點(diǎn)睛注意區(qū)分最值和最值點(diǎn),最值和最值點(diǎn)分別為函數(shù)值和自變量的取值.f(x)≤f(a)f(a)f(x)≥f(a)f(a)過關(guān)自診已知函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上的圖象如圖所示,則該函數(shù)的最小值、最大值分別是(

)A.f(-2),0 B.0,2C.f(-2),2 D.f(2),2C解析

由題圖可知,該函數(shù)的最小值為f(-2),最大值為f(1)=2.知識(shí)點(diǎn)二函數(shù)單調(diào)性的概念函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)定義如果對(duì)于區(qū)間I上任意兩個(gè)值x1,x2,當(dāng)x1<x2時(shí),都有任意指所有f(x1)

f(x2)

f(x1)

f(x2)

就稱f(x)是區(qū)間I上的增函數(shù),也稱f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增就稱f(x)是區(qū)間I上的減函數(shù),也稱f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減圖象特征函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的圖象是上升的函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的圖象是下降的圖示

1.<<>2.如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)

,區(qū)間I叫作y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.介紹函數(shù)的單調(diào)性必須要指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間

名師點(diǎn)睛1.函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),這個(gè)區(qū)間可以是整個(gè)定義域,也可以是定義域的一部分,也就是單調(diào)區(qū)間是定義域的某個(gè)非空子集.2.對(duì)于單獨(dú)一點(diǎn),由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù),沒有增減變化,所以不存在單調(diào)性問題,因此在書寫單調(diào)區(qū)間時(shí),可以包括端點(diǎn),也可以不包括端點(diǎn),但在某些點(diǎn)無(wú)意義時(shí),單調(diào)區(qū)間不能包括這些點(diǎn).單調(diào)性過關(guān)自診1.已知四個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示,其中在定義域內(nèi)具有單調(diào)性的函數(shù)是(

)B2.如果(a,b),(c,d)都是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間,且x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,則f(x1)與f(x2)的大小關(guān)系是(

)A.f(x1)<f(x2) B.f(x1)>f(x2)C.f(x1)=f(x2) D.不能確定D解析

根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可知,所取的兩個(gè)自變量的值必須在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)才能由函數(shù)的單調(diào)性比較其函數(shù)值的大小,故選D.3.試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明:函數(shù)f(x)=x+在區(qū)間(0,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[1,+∞)上單調(diào)遞增.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點(diǎn)一確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例1】

(1)下列函數(shù)在(0,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.f(x)=3-x B.f(x)=x2-3xC.f(x)=-

D.f(x)=-|x|C解析

函數(shù)f(x)=3-x為一次函數(shù),在(0,+∞)上單調(diào)遞減,不符合題意;函數(shù)f(x)=-|x|,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-x,則函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,不符合題意.故選C.(2)函數(shù)y=x2-2|x|+1的單調(diào)遞增區(qū)間是(

)A.(-1,0)B.(-1,0)和(1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,-1)和(0,1)B由圖象可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,0)和(1,+∞).故選B.變式探究已知x∈R,函數(shù)f(x)=x|x-2|,試畫出y=f(x)的圖象,并結(jié)合圖象寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.由圖象可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,1],[2,+∞);單調(diào)遞減區(qū)間為[1,2].規(guī)律方法

1.一次、二次函數(shù)及反比例函數(shù)的單調(diào)性:(1)一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的單調(diào)性由系數(shù)k決定:當(dāng)k>0時(shí),該函數(shù)在R上是增函數(shù);當(dāng)k<0時(shí),該函數(shù)在R上是減函數(shù).(2)二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的單調(diào)性以對(duì)稱軸x=為分界線.(3)反比例函數(shù)y=(k≠0)的單調(diào)性如下表所示.k的符號(hào)單調(diào)性k>0在(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞減k<0在(-∞,0),(0,+∞)上單調(diào)遞增2.對(duì)于含絕對(duì)值的函數(shù)可以去掉絕對(duì)值號(hào)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)或作出函數(shù)圖象判斷函數(shù)單調(diào)性.探究點(diǎn)二證明函數(shù)的單調(diào)性因?yàn)?<x1<x2,所以x2-x1>0,x1-1>0,x2-1>0,所以f(x1)>f(x2),所以f(x)在(1,+∞)上是減函數(shù).規(guī)律方法

1.利用定義法證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟

2.作差變形的常用技巧(1)因式分解.當(dāng)原函數(shù)是多項(xiàng)式函數(shù)時(shí),作差后的變形通常進(jìn)行因式分解.如f(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).(2)通分.當(dāng)原函數(shù)是分式函數(shù)時(shí),作差后往往進(jìn)行通分,然后對(duì)分子進(jìn)行因式分解.(3)配方.當(dāng)所得的差式是含有x1,x2的二次三項(xiàng)式時(shí),可以考慮配方,便于判斷符號(hào).(4)分子有理化.當(dāng)原函數(shù)是根式函數(shù)時(shí),作差后往往考慮分子有理化.變式訓(xùn)練1(1)求函數(shù)f(x)的定義域;(2)判斷這個(gè)函數(shù)在(-∞,-2)上的單調(diào)性并證明.∵x1<x2<-2,x1-x2<0,(x1+2)(x2+2)>0,∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),故函數(shù)f(x)在(-∞,-2)上單調(diào)遞增.探究點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1.根據(jù)函數(shù)單調(diào)性比較大小【例3】

已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減,試比較f(a2-a+1)與

的大小.規(guī)律方法

函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用問題的解題策略(1)利用函數(shù)的單調(diào)性可以比較函數(shù)值或自變量的大小.在利用函數(shù)的單調(diào)性解決比較函數(shù)值大小的問題時(shí),要注意將對(duì)應(yīng)的自變量轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間上.(2)利用函數(shù)的單調(diào)性解函數(shù)值的不等式就是利用函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性,去掉對(duì)應(yīng)關(guān)系“f”,轉(zhuǎn)化為自變量的不等式,此時(shí)一定要注意自變量的限制條件,以防出錯(cuò).變式訓(xùn)練2已知g(x)是定義在區(qū)間[-2,2]上的增函數(shù),且g(t)>g(1-3t),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.2.根據(jù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間或單調(diào)性求參數(shù)范圍【例4】

函數(shù)f(x)=x2+(2a+1)x+1在區(qū)間[1,2]上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A規(guī)律方法

含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題,應(yīng)明確若函數(shù)在某一區(qū)間I上是單調(diào)遞增(或單調(diào)遞減),則該區(qū)間是函數(shù)的原單調(diào)遞增區(qū)間(或單調(diào)遞減區(qū)間)D的非空子集,即I?D.變式訓(xùn)練3如果函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,-3] B.[-3,+∞)C.(-∞,5] D.[5,+∞)A解析

∵二次函數(shù)f(x)=x2+2(a-1)x+2的對(duì)稱軸為x=-=-(a-1)=1-a,拋物線開口向上,∴函數(shù)在(-∞,1-a]上單調(diào)遞減,要使f(x)在區(qū)間(-∞,4]上單調(diào)遞減,則對(duì)稱軸1-a≥4,解得a≤-3.3.含參數(shù)的分段函數(shù)的單調(diào)性問題【例5】

(多選題)已知函數(shù)f(x)=是R上的函數(shù),且滿足對(duì)于任意的x1≠x2,都有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0成立,則a的可能取值是(

)A.1 B.-1 C.-2 D.-3CD規(guī)律方法

分段函數(shù)的單調(diào)性不要忽視分段函數(shù)定義域的分界點(diǎn)的大小,由于分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),因此對(duì)于分段函數(shù)在實(shí)數(shù)集R上的單調(diào)遞增(減)的問題,除了保證在定義域的每一個(gè)區(qū)間上單調(diào)性相同之外,還要考慮在分界點(diǎn)處的函數(shù)值的大小應(yīng)滿足函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì),否則求出的參數(shù)的范圍會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.變式訓(xùn)練4若函數(shù)f(x)=是R上的單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為

.

4.利用函數(shù)的單調(diào)性求最值【例6】

已知函數(shù)f(x)=x+.(1)判斷f(x)在區(qū)間[1,2]上的單調(diào)性;(2)根據(jù)f(x)的單調(diào)性求出f(x)在區(qū)間[1,2]上的最值.解

(1)?x1,x2∈[1,2],且x1<x2,∵x1<x2,∴x1-x2<0.當(dāng)1≤x1<x2≤2時(shí),x1x2>0,1<x1x2<4,即x1x2-4<0.∴f(x1)>f(x2),即f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減.(2)由(1)知f(x)的最小值為f(2),f(2)=2+=4;f(x)的最大值為f(1).∵f(1)=1+4=5,∴f(x)的最小值為4,最大值為5.變式探究本例已知條件不變,判斷f(x)在區(qū)間[1,3]上的單調(diào)性,并求f(x)在區(qū)間[1,3]上的最值.當(dāng)1≤x1<x2≤2時(shí),f(x1)>f(x2),f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞減;當(dāng)2<x1<x2≤3時(shí),x1x2>0,4<x1x2<9,即x1x2-4>0,∴f(x1)<f(x2),∴f(x)在區(qū)間(2,3]上單調(diào)遞增.規(guī)律方法

1.利用單調(diào)性求函數(shù)最值的一般步驟:(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性;(2)利用單調(diào)性寫出最值.2.函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系:(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減),則f(x)在區(qū)間[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增(減),在區(qū)間(b,c]上單調(diào)遞減(增),則f(x)在區(qū)間[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個(gè).學(xué)以致用·隨堂檢測(cè)促達(dá)標(biāo)1234561.(多選題)若函數(shù)y=f(x),x∈[-4,4]的圖象如圖所示,則下列區(qū)間是函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的為(

)A.[-4,-2] B.[-3,-1]C.[-4,0] D.[1,4]AD解析

由圖可得f(x)在[-4,-2]上單調(diào)遞減,在[-2,1]上單調(diào)遞增,在[1,4]上單調(diào)遞減,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[-4,-2],[1,4].故選AD.1234562.已知函數(shù)y=ax和y=在(0,+∞)上都單調(diào)遞減,則函數(shù)f(x)=bx+a在R上是(

)A.減函數(shù)且f(0)<0B.增函數(shù)且f(0)<0C.減函數(shù)且f(0)>0D.增函數(shù)且f(0)>0A解析

∵y=ax和y=在(0,+∞)上都單調(diào)遞減,∴a<0,b<0,則f(x)=bx+a在R上為減函數(shù),且f(0)=a<0,故選A.1234563.下列函數(shù)在區(qū)間(1,+∞)上單調(diào)遞增的是(

)A.y=|x-1|+2B.y=C.y=x2-4x+5D.y=-3x-1A123456解析

對(duì)于A,在區(qū)間(1,+∞)上,y=|x-1|+2=x+1是增函數(shù),符合題意;對(duì)于B,y=是反比例函數(shù),在區(qū)間(0,+∞)上是減函數(shù),