福建省福州市福清市西山學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)3月月考試題

PAGEPAGE11福建省福州市福清市西山學(xué)校2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)3月月考試題(滿分150分，考試時(shí)間120分鐘)第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若Ceq\o\al(2,n)＋Aeq\o\al(2,n)＝30，則n的值為()A．4B．5C．6D．72．(x－eq\r(2)y)10的綻開式中x6y4的系數(shù)是()A．840B．－840C．210D．－2103．在新冠肺炎疫情防控期間，某記者要去武漢4個(gè)方艙醫(yī)院采訪，則不同的采訪依次有（）A．4種 B．12種 C．18種 D．24種4．支配3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的支配方式共有()A．12種B．18種C．24種D．36種5．(1＋2x2)(1＋x)4的綻開式中x3的系數(shù)為()A．12B．16C．20D．246．（2024·浙江臺(tái)州·高二期中）若，則（）A．3B．4C．5D．67．如圖所示，使電路接通，開關(guān)不同的閉合方式共有()A．11種B．12種C．20種D．21種8．楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家.在他著的《詳解九章算法》一書中，畫了一張表示二項(xiàng)式綻開后的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣（如圖所示），稱做“開方做法本源”，現(xiàn)在簡(jiǎn)稱為“楊輝三角”，它是楊輝的一大重要探討成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用表示三角形數(shù)陣的第行第個(gè)數(shù)，則（）A．5050 B．4851 C．4950 D．5000二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.給出下列復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn),這些點(diǎn)中對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為虛數(shù)的為()A． B． C． D．10．下列問題屬于排列問題的是（）A.從10個(gè)人中選2人分別去種樹和掃地；B．從10個(gè)人中選2人去掃地；C．從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)；D．從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作為中的底數(shù)與真數(shù)11．已知復(fù)數(shù)，則以下說法正確的是（）A．復(fù)數(shù)的虛部為 B．的共軛復(fù)數(shù)C． D．在復(fù)平面內(nèi)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在其次象限12．(多選)對(duì)于二項(xiàng)式(n∈N*)，有以下四種推斷，其中正確的是()A．存在n∈N*，綻開式中有常數(shù)項(xiàng)B．對(duì)隨意n∈N*，綻開式中沒有常數(shù)項(xiàng)C．對(duì)隨意n∈N*，綻開式中沒有x的一次項(xiàng)D．存在n∈N*，綻開式中有x的一次項(xiàng)第Ⅱ卷(非選擇題共90分)填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．在二項(xiàng)式(eq\r(2)＋x)9的綻開式中，常數(shù)項(xiàng)是________，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________．14．從2位女生，4位男生中選3人參與科技競(jìng)賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字填寫答案)若對(duì)隨意的x∈A，則eq\f(1,x)∈A，就稱A是“具有伙伴關(guān)系”的集合．集合的全部非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)為________．16.如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，且兩端的格子的顏色也不同，則不同的涂色方法共有________種（用數(shù)字作答）.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.(本小題滿分10分)計(jì)算:(1);(2).18.(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)，，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的值；（Ⅱ）若是純虛數(shù)，求a的值；（Ⅲ）若在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在其次象限，求a的取值范圍．19．(本小題滿分12分)3男3女排成一隊(duì)，求在下列條件下不同的站法種數(shù)？(1)3女生不相鄰；(2)3男生排在一起，3女生排在一起；(3)3男生依次固定；(4)甲不站左端，乙不站右端．20．(本小題滿分12分)17.已知綻開式中各項(xiàng)系數(shù)之和等于的綻開式的常數(shù)項(xiàng).（1）求綻開式的第2項(xiàng)；（2）若的綻開式的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)等于54，求a的值.21．(本小題滿分12分)7本不同的書分給5人，每人至少1本，共有多少種不同的分法？22.（本小題滿分12分）有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)當(dāng)5門不同學(xué)科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)：(1)有女生但人數(shù)必需少于男生；(2)某女生肯定擔(dān)當(dāng)語文課代表；(3)某男生必需包括在內(nèi)，但不擔(dān)當(dāng)數(shù)學(xué)課代表；(4)某女生肯定要擔(dān)當(dāng)語文課代表，某男生必需擔(dān)當(dāng)課代表，但不擔(dān)當(dāng)數(shù)學(xué)課代表．．.福清西山學(xué)校中學(xué)部2024-2025學(xué)年其次學(xué)期3月月考高二數(shù)學(xué)答案(滿分150分，考試時(shí)間120分鐘)第Ⅰ卷(選擇題共60分)一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.若Ceq\o\al(2,n)＋Aeq\o\al(2,n)＝30，則n的值為()A．4B．5C．6D．7答案B2．(x－eq\r(2)y)10的綻開式中x6y4的系數(shù)是()A．840B．－840C．210D．－210答案A3．在新冠肺炎疫情防控期間，某記者要去武漢4個(gè)方艙醫(yī)院采訪，則不同的采訪依次有（）A．4種 B．12種 C．18種 D．24種答案D．4．支配3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的支配方式共有()A．12種B．18種C．24種D．36種答案D解析由題意可得，其中1人必需完成2項(xiàng)工作，其他2人各完成1項(xiàng)工作，可得支配方式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,2)＝36(種)，或列式為Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)＝3×eq\f(4×3,2)×2＝36(種)．故選D.5．(2024·全國Ⅲ)(1＋2x2)(1＋x)4的綻開式中x3的系數(shù)為()A．12B．16C．20D．24答案A6．（2024·浙江臺(tái)州·高二期中）若，則（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】令可得：，令可得：，兩式相加可得：，所以，故選：B7．如圖所示，使電路接通，開關(guān)不同的閉合方式共有()A．11種B．12種C．20種D．21種答案D解析依據(jù)題意，設(shè)5個(gè)開關(guān)依次為1,2,3,4,5，若電路接通，則開關(guān)1,2與3,4,5中分別至少有1個(gè)閉合，對(duì)于開關(guān)1,2，共有2×2＝4(種)狀況，其中全部斷開的有1種狀況，則其至少有1個(gè)閉合的有4－1＝3(種)狀況，對(duì)于開關(guān)3,4,5，共有2×2×2＝8(種)狀況，其中全部斷開的有1種狀況，則其至少有1個(gè)閉合的有8－1＝7(種)狀況，則電路接通的狀況有3×7＝21(種)．故選D.8．楊輝是我國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家.在他著的《詳解九章算法》一書中，畫了一張表示二項(xiàng)式綻開后的系數(shù)構(gòu)成的三角形數(shù)陣（如圖所示），稱做“開方做法本源”，現(xiàn)在簡(jiǎn)稱為“楊輝三角”，它是楊輝的一大重要探討成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用表示三角形數(shù)陣的第行第個(gè)數(shù)，則（）A．5050 B．4851 C．4950 D．5000【答案】B【解析】依據(jù)二項(xiàng)綻開式系數(shù)可知，第行第個(gè)數(shù)應(yīng)為，故第100行第3個(gè)數(shù)為故選：.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4個(gè)小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分．9.給出下列復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn),這些點(diǎn)中對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為虛數(shù)的為()A． B． C． D．【答案】ACD【解析】易知選項(xiàng)A?B?C?D中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為???,因此A?C?D中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為虛數(shù).故選：ACD10．下列問題屬于排列問題的是（）A.從10個(gè)人中選2人分別去種樹和掃地；B．從10個(gè)人中選2人去掃地；C．從班上30名男生中選出5人組成一個(gè)籃球隊(duì)；D．從數(shù)字5，6，7，8中任取兩個(gè)不同的數(shù)作為中的底數(shù)與真數(shù)【答案】AD11．已知復(fù)數(shù)，則以下說法正確的是（）A．復(fù)數(shù)的虛部為 B．的共軛復(fù)數(shù)C． D．在復(fù)平面內(nèi)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在其次象限【答案】CD【解析】，∴復(fù)數(shù)的虛部為，的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)平面內(nèi)與對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在其次象限.故選：CD.12．(多選)對(duì)于二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x3))n(n∈N*)，有以下四種推斷，其中正確的是()A．存在n∈N*，綻開式中有常數(shù)項(xiàng)B．對(duì)隨意n∈N*，綻開式中沒有常數(shù)項(xiàng)C．對(duì)隨意n∈N*，綻開式中沒有x的一次項(xiàng)D．存在n∈N*，綻開式中有x的一次項(xiàng)答案AD解析二項(xiàng)式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋x3))n的綻開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)x4k－n，可知，當(dāng)n＝4k(k∈N*)和n＝4k－1(k∈N*)時(shí)，綻開式中分別存在常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)．第Ⅱ卷(非選擇題共90分)填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．在二項(xiàng)式(eq\r(2)＋x)9的綻開式中，常數(shù)項(xiàng)是________，系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)是________．答案16eq\r(2)514．從2位女生，4位男生中選3人參與科技競(jìng)賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有________種．(用數(shù)字填寫答案)答案16解析方法一按參與的女生人數(shù)可分兩類：只有1位女生參與有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)種，有2位女生參與有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)種．故所求選法共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,4)＝2×6＋4＝16(種)．方法二間接法．從2位女生，4位男生中選3人，共有Ceq\o\al(3,6)種狀況，沒有女生參與的狀況有Ceq\o\al(3,4)種，故所求選法共有Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,4)＝20－4＝16(種)．15．若對(duì)隨意的x∈A，則eq\f(1,x)∈A，就稱A是“具有伙伴關(guān)系”的集合．集合M＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，0，\f(1,3)，\f(1,2)，1，2，3，4))的全部非空子集中，具有伙伴關(guān)系的集合的個(gè)數(shù)為________．答案1516.如圖，用6種不同的顏色給圖中的4個(gè)格子涂色，每個(gè)格子涂一種顏色，要求相鄰的兩個(gè)格子顏色不同，且兩端的格子的顏色也不同，則不同的涂色方法共有________種（用數(shù)字作答）.答案630四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.(本小題滿分10分)計(jì)算:(1);(2).【答案】(1);(2).【解析】(1)(2).18.(本小題滿分12分)已知復(fù)數(shù)，，．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求的值；（Ⅱ）若是純虛數(shù)，求a的值；（Ⅲ）若在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在其次象限，求a的取值范圍．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）由題意；（Ⅱ）由題意為純虛數(shù)，則，所以；（Ⅲ），對(duì)應(yīng)點(diǎn)，它是其次象限點(diǎn)，則，解得．19．(本小題滿分12分)3男3女排成一隊(duì)，求在下列條件下不同的站法種數(shù)？(1)3女生不相鄰；(2)3男生排在一起，3女生排在一起；(3)3男生依次固定；(4)甲不站左端，乙不站右端．解(1)先站3男生，3女生再插空，共有Aeq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,4)＝144(種)不同的站法．(2)3男生相鄰，捆綁在一起，3女生相鄰，捆綁在一起再排這兩組，共有Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(3,3)×Aeq\o\al(2,2)＝72(種)不同的站法．(3)3男生依次固定，只有1種方法，方法一故共有Aeq\o\al(3,6)＝120(種)不同的站法．方法二故共有eq\f(A\o\al(6,6),A\o\al(3,3))＝120(種)不同的站法．(4)間接法：共有Aeq\o\al(6,6)－Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al(5,5)＋Aeq\o\al(4,4)＝504(種)不同的站法．反思感悟排隊(duì)問題，主要駕馭好相鄰捆綁，不相鄰插空、定序問題、正難則反(間接法)等幾個(gè)解題方法．20．(本小題滿分12分)17.已知綻開式中各項(xiàng)系數(shù)之和等于的綻開式的常數(shù)項(xiàng).（1）求綻開式的第2項(xiàng)；（2）若的綻開式的二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)等于54，求a的值.20、（本小題滿分10分）解：（1）由得，．令為常數(shù)項(xiàng)，則，，常數(shù)項(xiàng)．2分又綻開式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于．由題意得，．綻開式的其次項(xiàng)為5分（2）由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)知，綻開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是中間項(xiàng)，，8分.10分21.(本小題滿分12分)7本不同的書分給5人，每人至少1本，共有多少種不同的分法？解第一步，先把7本不同的書分成5組，有11113或11122兩種狀況，有eq\f(C\o\al(3,7)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(4,4))＋eq\f(C\o\al(2,7)C\o\al(2,5)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,1),A\o\al(2,2)·A\o\al(3,3))＝140(種)方法．其次步，再把這五組安排給5人有Aeq\o\al(5,5)＝120(種)方法．故共有140×120＝16800(種)不