河北省張家口市宣化區(qū)宣化第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題

PAGE19-河北省張家口市宣化區(qū)宣化第一中學(xué)2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）設(shè)全集QUOTE，集合QUOTE，QUOTE或QUOTE，則QUOTEA.QUOTE B.QUOTE

C.QUOTE D.QUOTE或QUOTEQUOTE是QUOTEA.第一象限角 B.其次象限角 C.第三象限角 D.第四象限角已知向量QUOTE，QUOTE，則向量QUOTE在向量QUOTE方向上的投影為QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.1若QUOTE，則下列不等式不成立的是QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE為比較甲、以兩名籃球運(yùn)動(dòng)員的近期競(jìng)技狀態(tài)，選取這兩名球員最近五場(chǎng)競(jìng)賽的得分制成如圖所示的莖葉圖，有以下結(jié)論：

QUOTE甲最近五場(chǎng)競(jìng)賽得分的中位數(shù)高于乙最近五場(chǎng)競(jìng)賽得分的中位數(shù)；

QUOTE甲最近五場(chǎng)競(jìng)賽得分平均數(shù)低于乙最近五場(chǎng)競(jìng)賽得分的平均數(shù)；

QUOTE從最近五場(chǎng)競(jìng)賽的得分看，乙比甲更穩(wěn)定；

QUOTE從最近五場(chǎng)競(jìng)賽的得分看，甲比乙更穩(wěn)定．

其中全部正確結(jié)論的編號(hào)為QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE某公司的班車在7：00，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE若QUOTE，且QUOTE，QUOTE，則QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE將函數(shù)QUOTE的圖象上的全部點(diǎn)向右平移QUOTE個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)QUOTE的圖象，若函數(shù)QUOTE的部分圖象如圖所示，則函數(shù)QUOTE的解析式為QUOTEA.QUOTE B.QUOTE

C.QUOTE D.QUOTE已知定義域R的奇函數(shù)QUOTE的圖像關(guān)于直線QUOTE對(duì)稱，且當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE，則QUOTE

QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE設(shè)QUOTE，QUOTE，QUOTE，則QUOTE的最小值為QUOTEA.2 B.4 C.QUOTE D.QUOTE已知QUOTE且為常數(shù)，圓C：QUOTE，過(guò)圓C內(nèi)一點(diǎn)QUOTE的直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)弦AB最短時(shí)，直線l的方程為QUOTE，則a的值為QUOTEA.2 B.3 C.4 D.QUOTE的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，下列命題：

QUOTE三邊a、b、c既成等差數(shù)列，又成等比數(shù)列，則QUOTE是等邊三角形；

QUOTE若QUOTE，則QUOTE是等腰三角形；

QUOTE若QUOTE，則QUOTE；

QUOTE若QUOTE，則QUOTE；

QUOTE，QUOTE，若QUOTE唯一確定，則QUOTE．

其中，正確命題是QUOTEA.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE二、填空題（本大題共4小題，共20.0分）函數(shù)QUOTE的最小正周期是______．設(shè)等差數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和為QUOTE，若QUOTE，QUOTE，則QUOTE______，QUOTE的最小值為_(kāi)_____．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為QUOTE的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為QUOTE若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為_(kāi)_________．已知QUOTE，QUOTE，且QUOTE，若QUOTE恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是______．三、解答題（本大題共6小題，共72.0分）已知QUOTE．

QUOTE解關(guān)于a的不等式QUOTE；

QUOTE若不等式QUOTE的解集為QUOTE，求實(shí)數(shù)a，b的值．

在QUOTE中，QUOTE，QUOTE，QUOTE．

QUOTEⅠQUOTE求b，c的值；

QUOTEⅡQUOTE求QUOTE的值．

已知數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和為QUOTE，且QUOTE，QUOTE．

QUOTE求數(shù)列QUOTE的通項(xiàng)公式；

QUOTE設(shè)QUOTE，QUOTE，求QUOTE．

已知四棱錐QUOTE的底面為直角梯形，QUOTE，QUOTE，QUOTE底面ABCD，且QUOTE，M是PB的中點(diǎn)．

QUOTE求證：直線QUOTE平面PAD；

QUOTE若QUOTE，求二面角QUOTE的正弦值．

已知圓O以原點(diǎn)為圓心且與直線QUOTE相切．

QUOTE求圓O的方程；

QUOTE若直線l：QUOTE與圓O交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作直線l的垂線交x軸于C、D兩點(diǎn)，求線段CD的長(zhǎng)．

近年來(lái)，鄭州經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展，躋身新一線城市行列，備受全國(guó)屬目，無(wú)論是市內(nèi)的井字形快速交通網(wǎng)，還是輻射全國(guó)的米字形高鐵路網(wǎng)，鄭州的交通優(yōu)勢(shì)在同級(jí)別的城市內(nèi)無(wú)能出其右．為了調(diào)查鄭州市民對(duì)出行的滿足程度，探討人員隨機(jī)抽取了1000名市民進(jìn)行調(diào)查，并將滿足程度以分?jǐn)?shù)的形式統(tǒng)計(jì)成如下的頻率分布直方圖，其中QUOTE．

QUOTE求a，b的值；

QUOTEⅡQUOTE求被調(diào)查的市民的滿足程度的平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)；

QUOTEⅢQUOTE若依據(jù)分層抽樣從QUOTE，QUOTE中隨機(jī)抽取8人，再?gòu)倪@8人中隨機(jī)抽取2人，求至少有1人的分?jǐn)?shù)在QUOTE的概率．

數(shù)學(xué)試卷答案和解析1.【答案】A

【解析】解：QUOTE；

QUOTE．

故選：A．

進(jìn)行交集、補(bǔ)集的運(yùn)算即可．

考查描述法的定義，以及交集、補(bǔ)集的運(yùn)算．

2.【答案】C

【解析】解：QUOTE，

且QUOTE，

QUOTE是第三象限角．

故選：C．

利用終邊相同的角化QUOTE，再推斷它是第三象限角．

本題考查了終邊相同的角的概念與應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．

3.【答案】A

【解析】解：由投影的定義可知：

向量QUOTE在向量QUOTE方向上的投影為：QUOTE，

又QUOTE，

QUOTE．

故選：A．

本題可依據(jù)投影的向量定義式和兩個(gè)向量的數(shù)量積公式來(lái)計(jì)算．

本題主要考查投影的向量定義以及依據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積公式來(lái)計(jì)算一個(gè)向量在另一個(gè)向量上的投影，本題屬基礎(chǔ)題．

4.【答案】B

【解析】解：對(duì)于選項(xiàng)A：由于QUOTE，則QUOTE，

所以QUOTE，故正確．

對(duì)于選項(xiàng)B：QUOTE，故錯(cuò)誤．

對(duì)于選項(xiàng)C：QUOTE，故正確．

對(duì)于選項(xiàng)D：由于QUOTE，依據(jù)指數(shù)函數(shù)QUOTE的單調(diào)性，得到QUOTE，故正確．

故選：B．

干脆利用不等式的性質(zhì)的應(yīng)用和函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．

本題考查的學(xué)問(wèn)要點(diǎn)：不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算實(shí)力和轉(zhuǎn)換實(shí)力及思維實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題型．

5.【答案】C

【解析】【分析】

本題考查了莖葉圖，屬基礎(chǔ)題．

依據(jù)中位數(shù)，平均數(shù)，方差的概念計(jì)算比較可得．

【解答】

解：甲的中位數(shù)為29，乙的中位數(shù)為30，故QUOTE不正確；

甲的平均數(shù)為29，乙的平均數(shù)為30，故QUOTE正確；

從比分來(lái)看，乙的高分集中度比甲的高分集中度高，故QUOTE正確，QUOTE不正確．

故選：C．

6.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查的學(xué)問(wèn)點(diǎn)是幾何概型，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．

設(shè)小明到達(dá)時(shí)間為y，當(dāng)y在7：50至8：00，或8：20至8：30時(shí)，小明等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘，代入幾何概型概率計(jì)算公式，可得答案．

【解答】解：設(shè)小明到達(dá)時(shí)間為y，

當(dāng)y在7：50至8：00，或8：20至8：30時(shí)，

小明等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘，

故他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是QUOTE，

故選B．

7.【答案】B

【解析】解：QUOTE，且QUOTE，可得QUOTE．

QUOTE，

可得QUOTE，

可得QUOTE，

即QUOTE，QUOTE，

解得QUOTE．

故選：B．

利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出QUOTE，通過(guò)兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)已知條件，轉(zhuǎn)化求解QUOTE即可．

本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是基本學(xué)問(wèn)的考查．

8.【答案】C

【解析】【分析】

本題主要考查三角函數(shù)解析式的求解，結(jié)合圖象求出A，QUOTE和QUOTE的值以及利用三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．

依據(jù)圖象求出A，QUOTE和QUOTE的值，得到QUOTE的解析式，然后將QUOTE圖象上的全部點(diǎn)向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到QUOTE的圖象．

【解答】

解：由圖象知QUOTE，QUOTE，即函數(shù)的周期QUOTE，

則QUOTE，得QUOTE，

即QUOTE，

由五點(diǎn)對(duì)應(yīng)法得QUOTE，得QUOTE，

則QUOTE，

將QUOTE圖象上的全部點(diǎn)向左平移QUOTE個(gè)單位長(zhǎng)度得到QUOTE的圖象，

即QUOTE，

故選：C．

9.【答案】B

【解析】【分析】

由QUOTE的圖象關(guān)于直線QUOTE對(duì)稱，可得QUOTE，從而得出QUOTE，再依據(jù)QUOTE是奇函數(shù)，且當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE，從而得出QUOTE．

本題考查奇函數(shù)的定義，函數(shù)QUOTE的圖象關(guān)于QUOTE對(duì)稱時(shí)，滿足QUOTE，以及已知函數(shù)求值的方法．

【解答】

解：QUOTE是奇函數(shù)，且圖象關(guān)于QUOTE對(duì)稱；

QUOTE；

又QUOTE時(shí)，QUOTE；

QUOTE．

故選：B．

10.【答案】D

【解析】解：因?yàn)镼UOTE，QUOTE，QUOTE，

所以QUOTE，

由基本不等式，得QUOTE當(dāng)且僅當(dāng)QUOTE時(shí)，即QUOTE，QUOTE時(shí)，等號(hào)成立QUOTE

所以QUOTE，QUOTE，故QUOTE，

故QUOTE的最小值為QUOTE．

故選：D．

化簡(jiǎn)QUOTE，由基本不等式得QUOTE，進(jìn)一步求出QUOTE的最小值．

本題考查基本不等式的應(yīng)用，留意何時(shí)取等號(hào)，屬于中檔題．

11.【答案】B

【解析】解：化圓C：QUOTE為QUOTE，

圓心坐標(biāo)為QUOTE，半徑為QUOTE．

如圖，

由題意可得，過(guò)圓心與點(diǎn)QUOTE的直線與直線QUOTE垂直．

則QUOTE，即QUOTE．

故選：B．

由圓的方程求出圓心坐標(biāo)與半徑，結(jié)合題意，可得過(guò)圓心與點(diǎn)QUOTE的直線與直線QUOTE垂直，再由斜率的關(guān)系列式求解．

本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法與數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．

12.【答案】A

【解析】解：對(duì)于QUOTE由已知可得：QUOTE，

QUOTE，易得：QUOTE，

QUOTE是等邊三角形，

故QUOTE正確；

對(duì)于QUOTE，QUOTE，

QUOTE由正弦定理可得：QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，B是QUOTE內(nèi)角，

QUOTE或QUOTE，

QUOTE或QUOTE，

QUOTE是等腰三角形或直角三角形，

故QUOTE錯(cuò)誤；

對(duì)于QUOTE，QUOTE三角形中大邊對(duì)大角，

QUOTE，則QUOTE．

QUOTE，且QUOTE在QUOTE上單調(diào)遞減，

，故QUOTE正確；

對(duì)于QUOTE，QUOTE，

QUOTE，由余弦定理可得：QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

故QUOTE正確；

對(duì)于QUOTE，由正弦定理可得：QUOTE，當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，此時(shí)QUOTE唯一確定，

故QUOTE錯(cuò)誤．

故選：A．

由等差數(shù)列和等比中項(xiàng)性質(zhì)可推斷QUOTE正確；由正弦定理和二倍角公式、誘導(dǎo)公式可推斷QUOTE錯(cuò)誤；由三角形的邊角關(guān)系和余弦函數(shù)的單調(diào)性可推斷QUOTE正確；由余弦定理和基本不等式可推斷QUOTE正確；由正弦定理和三角形的邊角關(guān)系可推斷QUOTE錯(cuò)誤．從而得出正確選項(xiàng)．

本題主要考查正弦定理、余弦定理的運(yùn)用，以及三角形形態(tài)的推斷，還有化簡(jiǎn)運(yùn)算實(shí)力，屬于中檔題．

13.【答案】QUOTE

【解析】【分析】

本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，關(guān)鍵是合理運(yùn)用二倍角公式，屬于基礎(chǔ)題．

用二倍角公式可得QUOTE，然后用周期公式求出周期即可．

【解答】

解：QUOTE，

QUOTE，

QUOTE的周期QUOTE，

故答案為QUOTE．

14.【答案】0，

QUOTE

【解析】【分析】

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的最小值的求法，屬于基礎(chǔ)題．

利用等差數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式列出方程組，能求出QUOTE，QUOTE，由此能求出QUOTE的QUOTE的最小值．

【解答】

解：設(shè)等差數(shù)列QUOTE的前n項(xiàng)和為QUOTE，QUOTE，QUOTE，

解得QUOTE，QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，

QUOTE或QUOTE時(shí)，QUOTE取最小值為QUOTE．

故答案為0，QUOTE．

15.【答案】QUOTE

【解析】【分析】

本題考查正四棱錐與圓柱內(nèi)接的狀況，考查立體幾何的體積公式，屬基礎(chǔ)題．

求出正四棱錐的底面對(duì)角線長(zhǎng)度和正四棱錐的高度，依據(jù)題意得圓柱上底面的直徑就在相對(duì)中點(diǎn)連線，有線段成比例求圓柱的直徑和高，求出答案即可．

【解答】

解：由題可知，該四棱錐是正棱錐，

又底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)為2，且垂直相交平分，

由勾股定理得：正四棱錐的高為2，

由于圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過(guò)四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，

有圓柱的上底面直徑為底面正方形對(duì)角線的一半等于1，即半徑等于QUOTE，

由相像比可得圓柱的高為正四棱錐高的一半1，

則該圓柱的體積為：QUOTE．

故答案為QUOTE．

16.【答案】QUOTE

【解析】解：QUOTE，QUOTE

QUOTE恒成立，

QUOTE，求得QUOTE

故答案為：QUOTE．

先把QUOTE轉(zhuǎn)化為QUOTE綻開(kāi)后利用基本不等式求得其最小值，然后依據(jù)QUOTE求得QUOTE，進(jìn)而求得m的范圍．

本題主要考查了基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用．考查了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的實(shí)力．

17.【答案】解：QUOTE依據(jù)題意，QUOTE，

QUOTE即QUOTE，變形可得QUOTE，

解可得：QUOTE，即不等式的解集為QUOTE；

QUOTE即QUOTE，變形可得QUOTE，

若QUOTE即QUOTE的解集為QUOTE，

則QUOTE的兩根為QUOTE和2，

則有QUOTE，解可得QUOTE或QUOTE．

【解析】本題考查一元二次不等式的解法，涉及一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．

QUOTE依據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得QUOTE即QUOTE，變形可得QUOTE，解可得a的取值范圍，即可得答案；

QUOTE依據(jù)題意，QUOTE即QUOTE，變形可得QUOTE，由一元二次不等式和一元二次方程的關(guān)系可得QUOTE的兩根為QUOTE和2，則有QUOTE，解可得a、b的值，即可得答案．

18.【答案】解：QUOTEⅠQUOTE，QUOTE，QUOTE．

QUOTE由余弦定理，得QUOTE

QUOTE，

QUOTE，QUOTE；

QUOTEⅡQUOTE在QUOTE中，QUOTE，QUOTE，

由正弦定理有：QUOTE，

QUOTE，

QUOTE，QUOTE，QUOTE為銳角，

QUOTE，

QUOTE．

【解析】QUOTEⅠQUOTE利用余弦定理可得QUOTE，代入已知條件即可得到關(guān)于b的方程，解方程即可；

QUOTEⅡQUOTE，依據(jù)正弦定理可求出sinC，然后求出cosC，代入即可得解．

本題考查了正弦定理余弦定理和兩角差的正弦公式，屬基礎(chǔ)題．

19.【答案】解：QUOTE由題設(shè)知：當(dāng)QUOTE時(shí)，有QUOTE，

當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE也適合上式，

故QUOTE；

QUOTE由QUOTE知：QUOTE，

QUOTE．

【解析】QUOTE先利用當(dāng)QUOTE時(shí)，QUOTE求得QUOTE，再檢驗(yàn)當(dāng)QUOTE時(shí)是否適合，從而求得QUOTE；

QUOTE先由QUOTE求得QUOTE，再利用裂項(xiàng)相消法求其前n項(xiàng)和．

本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，屬于中檔題．

20.【答案】QUOTE證明：取AB中點(diǎn)O，連結(jié)MO，CO，

QUOTE，M是PB的中點(diǎn)，

QUOTE，QUOTE，

QUOTE，QUOTE，

QUOTE平面QUOTE平面MOC，

QUOTE平面MOC，QUOTE直線QUOTE平面PAD；

QUOTE解：QUOTE四棱錐QUOTE的底面為直角梯形，QUOTE，QUOTE，QUOTE底面ABCD，

QUOTE，M是PB的中點(diǎn)，QUOTE，

QUOTE以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則QUOTE0，QUOTE，QUOTE1，QUOTE，QUOTE0，QUOTE，QUOTE2，QUOTE，QUOTE1，QUOTE，

QUOTE1，QUOTE，QUOTE1，QUOTE，QUOTE1，QUOTE，QUOTE0，QUOTE，

設(shè)平面AMC的法向量QUOTEy，QUOTE，

由QUOTE，取QUOTE，得QUOTE；

設(shè)平面BCM的法向量QUOTE，

由QUOTE，取QUOTE，得QUOTE1，QUOTE．

設(shè)二面角QUOTE的平面角為QUOTE，

則QUOTE，

QUOTE，

即二面角QUOTE的正弦值為QUOTE．

【解析】QUOTE取AB中點(diǎn)O，連結(jié)MO，CO，推導(dǎo)出QUOTE，QUOTE，從而平面QUOTE平面MOC，由此能證明直線QUOTE平面PAD；

QUOTE以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角QUOTE的余弦值，進(jìn)一步求得二面角QUOTE的正弦值．

本題考查線面平行的推斷，考查空間想象實(shí)力與思維實(shí)力，訓(xùn)練了利用空間向量求解空間角，是中檔題．

21.【答案】

解：QUOTE把直線QUOTE化為一般式，

則QUOTE，

即圓QUOTE到直線QUOTE的距離為QUOTE，

QUOTE圓O的半徑為QUOTE，

故圓O的方程為QUOTE；

QUOTE