應(yīng)用離散數(shù)學(xué)第3章-集合與關(guān)系

集合與關(guān)系《應(yīng)用離散數(shù)學(xué)（第2版）》第3章21世紀高等教育計算機規(guī)劃教材

方景龍周麗編著目錄3.1集合及其運算3.2二元關(guān)系及其運算3.3二元關(guān)系的性質(zhì)與閉包3.4等價關(guān)系與劃分3.5偏序關(guān)系與拓撲排序3.6函

數(shù)3.7集合的等勢與基數(shù)3.8多元關(guān)系及其應(yīng)用

集合是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一，數(shù)學(xué)概念的建立由于使用了集合而變得完善并且統(tǒng)一起來。集合論已成為現(xiàn)代各個數(shù)學(xué)分支的基礎(chǔ)，同時還滲透到各個科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，成為不可缺少的數(shù)學(xué)工具和表達語言。對于計算機科學(xué)工作者來說，集合論也是必備的基礎(chǔ)知識，它在開關(guān)理論、形式語言、編譯原理等領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用。

本章首先介紹集合及其運算，然后介紹二元關(guān)系及其關(guān)系矩陣和關(guān)系圖，二元關(guān)系的運算、二元關(guān)系的性質(zhì)、二元關(guān)系的閉包，等價關(guān)系與劃分、函數(shù)，最后介紹多元關(guān)系及其在數(shù)據(jù)庫中的應(yīng)用等。3.1集合及其運算3.1.1基本概念

集合是數(shù)學(xué)中最基本的概念之一，如同幾何中的點、線、面等概念一樣，是不能用其他概念精確定義的原始概念。集合是什么呢？直觀地說，把一些東西匯集到一起組成一個整體就叫做集合，而這些東西就是這個集合的元素或叫成員。例3.1（1）一個班級里的全體學(xué)生構(gòu)成一個集合。（2）平面上的所有點構(gòu)成一個集合。（3）方程

的實數(shù)解構(gòu)成一個集合。（4）自然數(shù)的全體（包含0）構(gòu)成一個集合，用N表示。（5）整數(shù)的全體構(gòu)成一個集合，用Z表示。（6）有理數(shù)的全體構(gòu)成一個集合，用Q表示。（7）實數(shù)的全體構(gòu)成一個集合，用R表示。（8）復(fù)數(shù)的全體構(gòu)成一個集合，用C表示。（9）正整數(shù)集合Z+，正有理數(shù)集合Q+，正實數(shù)集合R+。（10）非零整數(shù)集合Z*，非零有理數(shù)集合Q*，非零實數(shù)集合R*。（11）所有n階(n≥2)實矩陣構(gòu)成一個集合，用Mn(R)表示，即

而所有n階(n≥2)可逆實矩陣也構(gòu)成一個集合，用

表示。

通常用大寫英文字母表示集合的名稱，用小寫英文字母表示集合里的元素。若元素a屬于集合A

，記作

；若元素

a不屬于集合

A，記作

。并用

或

記集合

A中元素的個數(shù)。

集合的表示方法通常有下列兩種。1．列舉法

列舉法是列出集合中的所有元素，元素之間用逗號隔開，并把它們用花括號括起來。下面是用列舉法表示的集合：

有時列出集合中所有元素是不現(xiàn)實或不可能的，如上面的B和C，但只要在省略號前或后列出一定數(shù)量的元素，能使人們一看就能了解哪些元素屬于這個集合就可以。

2．描述法

描述法是用謂詞描述出元素的公共特性，其形式為

，表示

S是使

為真的

x的全體。下面是用描述法表示的集合：

下面介紹表示集合的有關(guān)符號和方法。

在一個具體問題中，若一個集合包含我們討論的每一個集合，則稱它是全集，記作

E。全集具有相對性，不同的問題有不同的全集，即使是同一個問題，也可以取不同的全集。例如，當討論有關(guān)整數(shù)的問題時，可以整數(shù)集作為全集，也可以把有理數(shù)集取作全集。

沒有元素的集合叫做空集，記作

。3.1.2集合的運算

集合的基本運算有并、交、補、差和對稱差，它們的定義如下。

以上集合之間的關(guān)系和運算可以用文氏圖（VennDiagram）形象、直觀地描述。文氏圖通常用一個矩形表示全集

，矩形中的點表示全集

E中的元素，

E的子集用矩形區(qū)域內(nèi)的圓形區(qū)域表示，圖中陰影區(qū)域表示新組成的集合。

圖3.1就是一些文氏圖的實例。

圖3.1文氏圖由文氏圖容易看出下列關(guān)系成立：等等。這說明使用文氏圖能夠?qū)σ恍﹩栴}給出簡單、直觀的解釋，這種解釋對分析問題有很大幫助。不過，文氏圖只是起一種示意作用，可以啟發(fā)我們發(fā)現(xiàn)集合之間的某些關(guān)系，但不能用文氏圖來證明恒等式，因為這種證明是不嚴密的。

集合的并、交、差、補等具有許多性質(zhì)，下面列出這些性質(zhì)中最主要的幾條。定理3.1中的恒等式均可一一加以證明，下面我們選證其中的一小部分，其他的留給讀者自己證明。我們采用形式化的證明方法，在敘述中將大量用到數(shù)理邏輯的有關(guān)符號和等價公式。

上面給出的集合運算的一些恒等式，如交換律、結(jié)合律、分配律、等冪律、德·摩根律等都可以推廣到多個集合中去，這里就不再列出具體的式子了。3.1.3集合的計算機表示

計算機表示集合的方式各種各樣。一種方式是把集合的元素?zé)o序地存儲起來?？墒侨绻@樣做，在做集合的運算時會浪費很多時間，因為這些運算需要大量的元素檢索。我們這里介紹一種利用位串表示集合的方法，集合的這種表示方法使計算集合的運算變得很容易。

位串是0個或多個字位的序列，而每個字位都有兩個可能的值，即0或1，字位的這種取值來自二進制數(shù)字，因為0和1是用在數(shù)的二進制表示中的數(shù)字。位串是計算機表示信息的基本方式。3.2二元關(guān)系及其運算3.2.1笛卡爾積證明

（這里只給出（1）的第一個等式的證明，其他的可類似地進行。所用證明方法與證明兩個集合相等一樣，因為笛卡爾積也是集合。）因為所以

。由數(shù)學(xué)歸納法不難證明定理3.2對有限多個集合的并運算、交運算和差運算也是成立的。3.2.2二元關(guān)系及其表示R和S的關(guān)系圖如圖3.2（a）和圖3.2（b）所示。圖3.2關(guān)系圖3.2.3二元關(guān)系的運算

由于關(guān)系也是集合，所以對關(guān)系也可以進行并運算、交運算、補運算、差運算、對稱差運算等集合的有關(guān)運算。

除了一般的集合運算外，關(guān)系本身還具有兩種特殊的運算：復(fù)合運算和逆運算。定義3.8設(shè)

R是從集合A

到集合B的關(guān)系，S

是從集合

B到集合

C的關(guān)系，則從A

到

C的關(guān)系稱為

R與

S的復(fù)合關(guān)系。即有

此例說明，復(fù)合關(guān)系不滿足交換律，但復(fù)合關(guān)系滿足結(jié)合律，即如下定理3.3。定理3.3設(shè)

R是從集合

A到集合

B的關(guān)系，

S是從集合B到集合

C的關(guān)系，

T是從集合C

到集合

D的關(guān)系，則證明

（與定理3.2的證明方法類似，這里用的仍然是證明兩個集合相等的方法。）

根據(jù)定理3.3，利用數(shù)學(xué)歸納法容易證明下面結(jié)論。3.3二元關(guān)系的性質(zhì)與閉包3.3.1二元關(guān)系的性質(zhì)

有若干用于把集合上的關(guān)系進行分類的性質(zhì)。這里我們只介紹其中最重要的幾個。例3.14對于下列五種二元關(guān)系，試判斷哪些是自反的，哪些是反自反的，哪些是對稱的，哪些是反對稱的，哪些是傳遞的。（1）實數(shù)集合R上的小于等于關(guān)系≤。（2）集族上的包含于關(guān)系

。（3）正整數(shù)集合Z+上的整除關(guān)系|。（4）平面上直線集合L上的垂直關(guān)系⊥。（5）平面上直線集合L上的平行關(guān)系

（認為直線不與自己平行）。解（1）是自反的，不是反自反的，不是對稱的，是反對稱的，是傳遞的。（2）是自反的，不是反自反的，不是對稱的，是反對稱的，是傳遞的。（3）是自反的，不是反自反的，不是對稱的，是反對稱的，是傳遞的。（4）不是自反的，是反自反的，是對稱的，不是反對稱的，不是傳遞的。（5）不是自反的，是反自反的，是對稱的，不是反對稱的，不是傳遞的。

關(guān)系的性質(zhì)不僅像定理3.7所表述的那樣反應(yīng)在它的集合表達式上，也明顯地反應(yīng)在它的關(guān)系矩陣和關(guān)系圖上。

表3.1列出了關(guān)系R的五種性質(zhì)在關(guān)系矩陣和關(guān)系圖中的特點。表3.1 關(guān)系R的五種性質(zhì)在關(guān)系矩陣和關(guān)系圖中的特點表3.2 關(guān)系的五種性質(zhì)和運算之間的聯(lián)系3.3.2二元關(guān)系的閉包

關(guān)系圖如圖3.3所示。圖3.3閉包的關(guān)系圖3.4等價關(guān)系與劃分

在日常生活或者科學(xué)研究中，我們常常需要對一些事物或某個集合上的元素按照某種方式進行分類。如進行舉重比賽時，需要將運動員按重量級別進行分類，每一個運動員必定屬于某一個重量級別，而任何一個運動員不能同時屬于兩個不同的重量級別。又如，對一些幾何圖形構(gòu)成的集合，按面積相等關(guān)系將它們進行分類，即面積相等的幾何圖形屬于一類，這樣，每個幾何圖形必定屬于一類，而且不同類沒有公共點。

這種對某個集合上的元素按照某種方式進行分類就叫作集合的劃分，它是一個非常重要而且應(yīng)用非常廣泛的概念。

集合的劃分與一種重要的二元關(guān)系即等價關(guān)系密切相關(guān)，等價關(guān)系具有十分良好的性質(zhì)和廣泛的應(yīng)用，因而成為最重要的二元關(guān)系之一。定義3.14設(shè)R是集合A上的關(guān)系，如果R是自反的、對稱的、傳遞的，則稱R是等價關(guān)系。設(shè)R是一個等價關(guān)系，若

，稱

a等價于

b。例3.17（1）在全體中國人組成的集合上定義“同姓”關(guān)系，它具備自反、對稱、傳遞的性質(zhì)，因此是一個等價關(guān)系。（2）平面上直線集合L上的“平行或恒等”關(guān)系是等價關(guān)系，而L上的“垂直”關(guān)系不是等價關(guān)系，因為它既不是自反的，也不是傳遞的。（3）平面上三角形的“全等”關(guān)系、“相似”關(guān)系等都是等價關(guān)系。（4）“朋友”關(guān)系不是等價關(guān)系，因為它不是傳遞的。（5）集合的“包含于”關(guān)系不是等價關(guān)系，因為它不是對稱的。

所以R為A上的等價關(guān)系。該關(guān)系的關(guān)系圖如圖3.5所示。

不難看到，上述關(guān)系圖被分為三個互不連通的部分，每部分中的數(shù)兩兩都等價（有關(guān)系），不同部分中的數(shù)則不等價（沒有關(guān)系）。這種通過等價關(guān)系給出的每一部分叫做等價類，下面給出等價類和由等價類構(gòu)成的商集的嚴格定義。圖3.5一個等價關(guān)系的關(guān)系圖定理3.9指出，集合A上的等價關(guān)系R所形成的等價類，它們兩兩互不相交而且覆蓋住整個集合A。這種將一個集合劃分為若干個不相交的子集的并叫做集合的劃分，下面給出集合劃分的精確定義。定義3.16設(shè)A是一個非空集合，

是它的非空子集，如果它們滿足下列條件：圖3.6集合的劃分定義3.17設(shè)R是非空集合A上的等價關(guān)系，以R的所有等價類作為元素的集合稱為A關(guān)于R的商集，記作A/R，即

根據(jù)定理3.9，一個商集就是原集合的一個劃分，并且不同的商集將對應(yīng)不同的劃分。反之，我們有如下的定理。3.5偏序關(guān)系與拓撲排序3.5.1偏序關(guān)系圖3.7偏序集的哈斯圖定義3.19假設(shè)

a和b是偏序集

上的兩個元素。如果或

我們就說a

和b是可比較的。否則就說

和b是不可比較的，并記作

。若偏序集

的每一對元素都是可比較的，則稱

X為全序集，相應(yīng)的偏序就稱為全序。全序集也叫做線性序集或叫做鏈。

雖然偏序集可能不是全序集，但它的子集仍有可能是全序集。很明顯，全序集的每一個子集都是全序集。

偏序集的子集S可以有多于一個的極小元和極大元。如果S是無限集合，那么S可能沒有極小元和極大元，例如，偏序集<R，≤>沒有極小元和極大元。如果S是有限集合，那么S一定至少有一個極小元和一個極大元。即有下面的定理3.11。

下界、上界、下確界和上確界都可能不存在，即使對有限集合也是這樣；下界和上界可以有多個，但下確界和上確界如果存在則唯一。而且如果a是集合S的最?。ù螅┰瑒ta也是S的下（上）確界；反之，如果a是集合S的下（上）確界且

，則a也是S的最?。ù螅┰?/p>

有些書將下確界叫做最大下界，并記作

，而不是

，將上確界叫做最小上界，并記作

，而不是

。圖3.8根據(jù)哈斯圖求上、下確界3.5.3拓撲排序

拓撲排序與安排任務(wù)有關(guān)。假設(shè)一個項目由20個任務(wù)構(gòu)成。某些任務(wù)只能在其他任務(wù)結(jié)束之后才能進行。怎樣能夠找到完成這些任務(wù)的一個順序？為了建立這個問題的數(shù)學(xué)模型，我們首先建立一個任務(wù)集合上的偏序

，使得

，當且僅當直到任務(wù)a結(jié)束后任務(wù)b才能開始；然后構(gòu)造與這個偏序相容的一個全序R，就得到一個與這個偏序相容的完成這20個任務(wù)的順序，從而安排好這個項目。這種從一個偏序構(gòu)造一個與其相容的全序的過程就叫做拓撲排序。

這個排序所使用的步驟如圖3.9所示。圖3.9拓撲排序例3.27一個計算機公司的開發(fā)項目需要完成7個任務(wù)。其中的某些任務(wù)只能在其他任務(wù)結(jié)束后才能開始。建立任務(wù)上的偏序如下：如果任務(wù)y在x結(jié)束后才能開始，則任務(wù)xp

任務(wù)y。這7個任務(wù)關(guān)于這個偏序的哈斯圖如圖3.10所示，求一個全序使得可以按照這個全序執(zhí)行這些任務(wù)以完成這個項目。解

可以通過執(zhí)行一個拓撲排序得到7個任務(wù)的排序。排序的步驟顯示如圖3.11所示。這個排序的結(jié)果是

，給出了執(zhí)行任務(wù)的一種可能次序。圖3.10一個項目開發(fā)的哈斯圖圖3.11一個項目開發(fā)的工作安排3.6函

數(shù)3.6.1基本概念

函數(shù)（也叫映射）是數(shù)學(xué)中重要的概念，是一種具有特殊性質(zhì)的二元關(guān)系。我們這里所討論的函數(shù)不僅僅是定義在數(shù)集之上，而是可以定義在任意集合之上，它是初等數(shù)學(xué)中函數(shù)概念的推廣。

從定義可以得知，函數(shù)是一種特殊的關(guān)系，它與一般關(guān)系比較具備如下特征：（1）在函數(shù)中，序偶的第一個元素一定是互不相同的，但關(guān)系中序偶的第一個元素可以相同。（2）函數(shù)是二元關(guān)系，當然也是集合。一個從X

到Y(jié)的函數(shù)，它作為集合，其元素個數(shù)一定是

；但從X到

Y的二元關(guān)系，作為集合，其元素個數(shù)確可以是從0到

中的任何一個正整數(shù)。（3）

的任何子集都是從X

到

Y的二元關(guān)系，因此從X

到

Y的不同二元關(guān)系有

個，但從

X到Y(jié)的不同函數(shù)僅有

個。3.6.2復(fù)合函數(shù)

我們知道，關(guān)系復(fù)合后可以得到一個新的關(guān)系。函數(shù)復(fù)合后也得到一個新的函數(shù)—復(fù)合函數(shù)。3.6.3逆函數(shù)

我們用復(fù)合關(guān)系直接定義了復(fù)合函數(shù)，那么逆函數(shù)（反函數(shù)）能否通過逆關(guān)系來直接定義呢？3.7集合的等勢與基數(shù)

通俗地講，集合的基數(shù)是量度集合所含元素多少的量。集合的基數(shù)越大，所含的元素就越多。為了講清楚無限集合的基數(shù)，我們先講集合的等勢概念。定理3.20有理數(shù)集合Q與自然數(shù)集合N等勢，但實數(shù)集合與自然數(shù)集合N不等勢。證明比較復(fù)雜，這里從略。

一般地，我們把與有限集合等勢的集合稱為有限可數(shù)集（有限可列集），把與自然數(shù)集合N等勢的集合稱為無限可數(shù)集（無限可列集），把與實數(shù)集合R等勢的集合稱為連續(xù)集。有限可數(shù)集和無限可數(shù)集又通稱為可數(shù)集（可列集），非可數(shù)集合統(tǒng)稱為不可數(shù)集合（不可列集合）。定義3.27設(shè)想把一切集合進行分類，凡彼此等勢的歸于一類，不等勢的歸于不同的類，對于每一類集合，我們給予一個標志來度量其元素的多少，稱這個標志為這類集合的基數(shù)。對有限集，其基數(shù)就是集合中元素的個數(shù)n；對于與自然數(shù)集合等勢的集合，其基數(shù)用

（讀作“阿列夫零”）表示；對于與實數(shù)集合等勢的集合，其基數(shù)用

（讀作“阿列夫”）表示。一般，集合A的基數(shù)，記為Card(A)或｜A｜。

下面的康托定理說明不存在最大的基數(shù)，即有比實數(shù)集合R的基數(shù)

更大的基數(shù)存在。3.8多元關(guān)系及其應(yīng)用3.8.1多元關(guān)系

在兩個以上集合的元素中常常也會產(chǎn)生某種關(guān)系。例如，學(xué)生的姓名、專業(yè)以及成績之間的關(guān)系，一個航班的航空公司、航班號、出發(fā)地、目的地、起飛時間和到達時間之間的關(guān)系。

本節(jié)研究兩個以上集合的元素之間的關(guān)系，這種關(guān)系叫多元關(guān)系，并且可以用這種多元關(guān)系表示計算機數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)。這種表示在我們對數(shù)據(jù)庫中的數(shù)據(jù)進行查詢時非常有用，例如，哪個航班在下午3點到4點之間降落在杭州蕭山國際機場？杭電主修軟件工程或網(wǎng)絡(luò)工程的哪些二年級學(xué)生平均成績高于80分？聯(lián)想公司的哪些雇員為這個公司工作不到5年但月報酬超過20000人民幣？

將定義3.4進行推廣，可以定義有序n元組和n個集合的笛卡兒積。3.8.2關(guān)系數(shù)據(jù)庫

數(shù)據(jù)庫（Database）是按照數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)來組織、存儲和管理數(shù)據(jù)的倉庫。

用戶可以通過數(shù)據(jù)庫管理系統(tǒng)所提供的語言使用數(shù)據(jù)庫中存放的數(shù)據(jù)。這種使用包括下列幾個方面。（1）數(shù)據(jù)的檢索：從數(shù)據(jù)庫中取出滿足一定條件要求的數(shù)據(jù)。（2）數(shù)據(jù)的插入：將一些數(shù)據(jù)存儲到數(shù)據(jù)庫中供以后使用。（3）數(shù)據(jù)的修改：修改數(shù)據(jù)庫中指定的數(shù)據(jù)。（4）數(shù)據(jù)的刪除：刪除數(shù)據(jù)庫內(nèi)指定的數(shù)據(jù)。

數(shù)據(jù)庫使用操作所需要的時間依賴于這些信息的存儲方式。插入數(shù)據(jù)、刪除數(shù)據(jù)、修改數(shù)據(jù)、檢索數(shù)據(jù)，以及從一些重疊的數(shù)據(jù)庫中組合數(shù)據(jù)的操作，在一個大型數(shù)據(jù)庫中每天要執(zhí)行幾百萬次。由于這些操作的重要性，已經(jīng)開發(fā)了數(shù)據(jù)庫表示的各種方法。這里討論其中的一種基于關(guān)系概念的方法，叫做關(guān)系數(shù)據(jù)模型。

數(shù)據(jù)庫內(nèi)的數(shù)據(jù)都按一定格式組織與存放，實體是數(shù)據(jù)庫中數(shù)據(jù)的基本存放單位，如教師簡歷、工資單、學(xué)生概況、課程概貌、合同執(zhí)行情況、物資供銷情況等均是實體。在關(guān)系數(shù)據(jù)庫中，實體按二維表的形式存放。二維表的每一行叫一個記錄，它代表一個完整的數(shù)據(jù)，m行表示實體包含m個記錄。n列表示實體有n個屬性，屬性的取值叫做字段，n個屬性表示每個記錄都有n個字段，如職工簡歷這個實體就有姓名、性別、年齡等屬性，而一個記錄中的字段“男”就是“性別”屬性的一個取值。一個包含m行n列的實體，即一張有m行n列的二維表，實際上就是一個包含m個有序n元組的n元關(guān)系。例3.36（1）一個學(xué)生概況實體S，它有4個屬性：學(xué)號、姓名、年齡、所屬系名，分別用S#、SN、SA及SD表示，這個實體存放10個學(xué)生的概況，即有10個記錄，它可以用有10行4列的二維表表示，如表3.3所示。（2）一個課程概貌實體C，它有3個屬性：課程號、課程名、先修課程號，分別用C#、CN及PC#表示，這個實體存放6門課的概貌，即有6個記錄，它可以用有6行3列的二維表表示，如表3.4所示。S#SNSASD

C#CNPC＃01AB20CS

01OS0202AC21MA

02PL0503AD22MA

03DB0604AE21CS

04ML0505AF20CS

05MC0606AG20CS

06DS0407AH22MA

08AI23MA

09AJ21CS

10AK19MA

表3.3實體S

表3.4實體C

在實體中，如果根據(jù)某個屬性的取值就能檢索每個記錄，我們就叫這個屬性為主鍵碼。這就是說，當實體中沒有兩個記錄在這個屬性有相同的值時，這個屬性就是主鍵碼。在例3.36中，S#屬性就是實體S的主鍵碼，而SD屬性則不是主鍵碼。

因為主鍵碼用于唯一地標識實體中的記錄，當新的記錄被加到這個實體時，主鍵碼要繼續(xù)保持有效是非常重要的。因此，應(yīng)該做檢測以保證在主鍵碼中每個新記錄與二維表中所有其他的記錄不同。例如，使用學(xué)號作為學(xué)生概況實體的主鍵碼是有意義的，因為沒有兩個學(xué)生有同樣的學(xué)號。一個大學(xué)不應(yīng)該使用姓名屬性作為主鍵碼，因為有可能兩個學(xué)生有同樣的姓名。

用戶使用關(guān)系數(shù)據(jù)庫實際上就是對一些二維表進行檢索、插入、修改和刪除等操作，也就是對一些多元關(guān)系進行這些操作。3.8.3數(shù)據(jù)庫的檢索

用戶對關(guān)系數(shù)據(jù)庫進行檢索不外乎選擇某個二維表中滿足某些條件的一些行和一些列組成一個新的二維表。例如，對表3.3表示的二維表，要求給出年齡大于20歲的學(xué)生的學(xué)號與姓名就是一種檢索操作，它要求在表3.3中選擇滿足SA>20的那些行，再由這些行中選出屬性學(xué)號與姓名。

這種檢索操作的結(jié)果還是一張二維表，這個新的二維表有兩個屬性以及一些滿足SA>20的記錄。由此可見，檢索是由一張表到另一張表的操作，從數(shù)學(xué)的觀點看，檢索是一種一元運算，它根據(jù)一個多元關(guān)系得出另一個多元關(guān)系。

下面我們來定義兩種一元檢索運算，一種叫投影運算，另一種叫選擇運算，然后由這兩種運算對關(guān)系數(shù)據(jù)庫進行各種各樣的檢索。例3.37在學(xué)生概貌實體S中取出學(xué)生姓名是投影運算

sn(S)，在課程概貌實體C中取出課程號和課程名是投影運算

c#,cn(C)。在學(xué)生概貌實體S中取出年齡大于20歲的數(shù)學(xué)系的學(xué)生概貌是選擇運算

sa>20^sd=ma(S)，在課程概貌實體C中取出先修課程號為05的課程概況是選擇運算

pc#=05(C)。運算結(jié)果

sn(S)、

c#,cn(C)、

sa>20^sd=ma(S)和

pc#=05(C)如表3.5、表3.6、表3.7和表3.8所示。SN

C#CN

S#SNSASD

C#CNPC#AB

01OS

02AC21MA

02PL05AC

02PL

03AD22MA

04ML05AD

03DB

07AH22MA

AE

04ML

08AI23MA

AF

05MC

AG

06DS

AH

AI

AJ

AK

表3.5

sn(S)

表3.6

c#,cn(C)

表3.7

sa

20

sd=ma(S)

表3.8

pc#=05(C)

聯(lián)合應(yīng)用投影運算

和選擇運算

就可以在關(guān)系數(shù)據(jù)庫檢索出所要求的任意行與任意列的內(nèi)容，例如，本小節(jié)前面的給出年齡大于20歲的學(xué)生的學(xué)號與姓名就是運算

sn

SA>20(S)，取出所有計算機系的學(xué)生的名單是運算

sn

sd=cs(S)。

C#CNPC

C#CNPC07PP05

01OS0208RP07

02PL05

03DB06

04ML05

05MC06

06DS04

07PP05

08RP07表3.9增設(shè)的課程

表3.10實體C∪C'3.8.4插入、刪除與修改

所謂插入操作就是在實體中增加一些記錄，換句話說，就是在多元關(guān)系中增加一些有序元組，這種操作相當于集合的并運算。而所謂刪除操作就是在實體中除去一些記錄，換句話說，就是在關(guān)系中除去一些有序元組，這種操作相當于集合的差運算。例3.38設(shè)某系開設(shè)課程之概況由表3.4表示的實體C表示，現(xiàn)增設(shè)兩門課，其概況如表3.9所示，請將此兩門課之概況插入實體C中。解

表3.