數(shù)學(xué)探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

教學(xué)設(shè)計(jì)

課程基本信息課題數(shù)學(xué)探究楊輝三角的性質(zhì)與應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)1.結(jié)合對(duì)楊輝三角性質(zhì)的探究和應(yīng)用楊輝三角解決問題，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)、提出數(shù)學(xué)問題、得到數(shù)學(xué)結(jié)論、推理論證、綜合應(yīng)用的過程，掌握數(shù)學(xué)探究活動(dòng)的方法，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。2.在對(duì)楊輝三角性質(zhì)的探究和應(yīng)用過程中，經(jīng)歷從類比模仿到自主創(chuàng)新、從局部實(shí)施到整體構(gòu)想的過程，初步掌握數(shù)學(xué)課題研究的基本方法，培養(yǎng)遵守學(xué)術(shù)規(guī)范、堅(jiān)守誠信底線的科學(xué)研究素養(yǎng)。教學(xué)內(nèi)容教學(xué)重點(diǎn)：1.楊輝三角性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)和證明。

2.利用楊輝三角解決古算題和其他領(lǐng)域的問題。

教學(xué)難點(diǎn)：1.楊輝三角性質(zhì)的探究發(fā)現(xiàn)路徑。

2.楊輝三角性質(zhì)的應(yīng)用。教學(xué)過程環(huán)節(jié)一歷史探源我們在探究的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)時(shí)，曾把系數(shù)寫成如圖1的形狀，借助它發(fā)現(xiàn)了系數(shù)的一些規(guī)律.圖1事實(shí)上，在我國南宋時(shí)期，數(shù)學(xué)家楊輝在1261年所著的《詳解九章算法》一書中，就已經(jīng)出現(xiàn)了如圖2所示的表.圖2是北宋數(shù)學(xué)家賈憲約于1050年左右在《釋鎖》算書中首先使用此數(shù)字三角形進(jìn)行高次開方運(yùn)算的，但原書佚失，其主要內(nèi)容被楊輝著作《詳解九章算法》（1261年）所抄錄，故后世稱“賈憲三角”為“楊輝三角”.在歐洲，帕斯卡(B.Pascal，1623－1662)于1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，所以這個(gè)表又叫做帕斯卡三角形.楊輝三角的發(fā)現(xiàn)比歐洲早了500年左右，是我國古代數(shù)學(xué)的輝煌成就，值得中華民族自豪驕傲.楊輝三角具有獨(dú)特的魅力和豐富的性質(zhì).中西方的眾多數(shù)學(xué)家都曾研究和運(yùn)用它，印度數(shù)學(xué)家稱它為“須彌山之梯”，在伊朗，它是“海亞姆三角”，意大利人稱之為“塔塔利亞三角形”環(huán)節(jié)二探究過程回憶完整的數(shù)學(xué)探究過程是怎樣的？1.觀察和實(shí)驗(yàn)問題1：請同學(xué)們仔細(xì)觀察下面這個(gè)楊輝三角，你能從中發(fā)現(xiàn)哪些規(guī)律呢？發(fā)現(xiàn)1對(duì)稱性發(fā)現(xiàn)2最外層的數(shù)字始終是1，即構(gòu)成各項(xiàng)為1的常數(shù)列．發(fā)現(xiàn)3第二層是從1開始的自然數(shù)，即首項(xiàng)與公差都為1的等差數(shù)列．發(fā)現(xiàn)4第三層為三角形數(shù)數(shù)列，2階等差數(shù)列.發(fā)現(xiàn)5斐波那契數(shù)列設(shè)計(jì)意圖同學(xué)們通過觀察實(shí)驗(yàn)，從楊輝三角中發(fā)現(xiàn)了很多有趣的數(shù)列，提煉出探究路徑“數(shù)陣”化歸“數(shù)列”，并在課后可以繼續(xù)探究。問題2再結(jié)合剛學(xué)的二項(xiàng)式定理的內(nèi)容，繼續(xù)對(duì)楊輝三角展開探究第n行就是的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)，第n行的第r個(gè)數(shù)可以表示為.這種對(duì)應(yīng)反應(yīng)的本質(zhì)是數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)換。2歸納和猜想問題3請同學(xué)們繼續(xù)觀察每一行、相鄰兩行、斜行等，畫一畫，連一連，算一算，你還能發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論呢？猜想1除了最外層1以外，其余的數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)相加，即.猜想2第n行奇數(shù)項(xiàng)之和與偶數(shù)項(xiàng)之和相等，即猜想3第n行各數(shù)平方和等于第2n行中間的數(shù)，即猜想4自腰上的某個(gè)1開始平行于腰的一條線上的連續(xù)n個(gè)數(shù)的和等于最后一個(gè)數(shù)斜右下方的那個(gè)數(shù)，即3推理和論證證明性質(zhì)1，得到遞歸性，然后構(gòu)造實(shí)際背景理解這個(gè)性質(zhì)。對(duì)于同一個(gè)數(shù)學(xué)式子，進(jìn)行多角度的知識(shí)的聯(lián)系。證明性質(zhì)4，運(yùn)用組合數(shù)的性質(zhì)，還運(yùn)用性質(zhì)1遞歸性，讓學(xué)生再次體會(huì)證明方法。環(huán)節(jié)三楊輝三角的應(yīng)用1.堆垛問題楊輝在《詳解九章算法》中就記載有這樣一道題目：“三角垛，下廣，一面一十二個(gè)，上尖，問：計(jì)幾何？”題目大意：“有一個(gè)三角垛，最底層每條邊上有12個(gè)圓球，最上層只有1個(gè)（上尖），問：總共有多少個(gè)圓球？”通過觀察楊輝三角，運(yùn)用性質(zhì)4可以解決，并得到一般性結(jié)論，n層三角垛圓球總個(gè)數(shù)公式。古人的算法用現(xiàn)在表示與現(xiàn)在得到的公式一樣，引出“垛積術(shù)”?！岸夥e術(shù)”源于古人對(duì)堆積成各種不同形狀“垛”的物品，如酒壇、圓球、棋子等數(shù)量的計(jì)算；“化垛為數(shù)，以數(shù)表形”體現(xiàn)了古人高超的直觀想象與邏輯推理素養(yǎng)！開方問題開方古算題（楊輝《詳解九章算法》）：積一百三十三萬六千三百三十六尺，問為三乘方幾何？我國古代稱平方為自乘，立方為再自乘，四次方為三乘方，因此，本題相當(dāng)于解方程：.“左袤乃積數(shù)，右袤乃隅算，中藏者皆廉，以廉乘商方，命實(shí)而除之”這五句話的前三句/和后兩句分別說