27對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)講義教師版

27對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)講義高考要求1.理解對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).3.了解指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的關(guān)系．[知識(shí)總結(jié)]1．對(duì)數(shù)的概念：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)．以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記作lgN；以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記作lnN.2．對(duì)數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì)(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)．(3)對(duì)數(shù)換底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．3．對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域(0，＋∞)值域R性質(zhì)過定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時(shí)，y＝0當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0增函數(shù)減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱．常用結(jié)論1．logab·logba＝1(a>0，且a≠1，b>0，且b≠1)，＝eq\f(n,m)logab(a>0，且a≠1，b>0)．2.如圖，給出4個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象．則b>a>1>d>c>0，即在第一象限內(nèi)，不同的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象從左到右底數(shù)逐漸增大．課前自測(cè)1．判斷下列結(jié)論是否正確．(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若M＝N，則logaM＝logaN.(×)(2)函數(shù)y＝loga2x(a>0，且a≠1)是對(duì)數(shù)函數(shù)．(×)(3)對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)是增函數(shù)．(×)(4)函數(shù)y＝log2x與y＝log12x的圖象關(guān)于x2．(2023·雅安模擬)已知xlog32A．9B．3C.eq\r(3)D.eq\f(1,3)答案：A；解析：xlog32＝1，即x＝eq\f(1,log32)＝log23，所以4x＝3．函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的圖象大致為()答案：A；解析：f(x)＝loga|x|＋1的定義域?yàn)閧x|x≠0}，因?yàn)閒(－x)＝loga|－x|＋1＝loga|x|＋1＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈(0，＋∞)時(shí)，f(x)＝logax＋1(a>1)單調(diào)遞增．結(jié)合選項(xiàng)可知選A.4．已知函數(shù)y＝loga(x－1)＋4的圖象恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．答案：(2,4)；解析：對(duì)于函數(shù)y＝loga(x－1)＋4，令x－1＝1，解得x＝2，則y＝4，所以函數(shù)y＝loga(x－1)＋4的圖象恒過定點(diǎn)(2,4)，即點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,4).[考點(diǎn)題型]考點(diǎn)一對(duì)數(shù)式的運(yùn)算[例1](1)(2024全國甲卷理真題T15)已知，1log8a?1答案：64；解析：由題，整理得或，又，所以，故；故答案為：64.(2)(2024北京卷卷真題T7)生物豐富度指數(shù)是河流水質(zhì)的一個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)，其中分別表示河流中的生物種類數(shù)與生物個(gè)體總數(shù).生物豐富度指數(shù)d越大，水質(zhì)越好．如果某河流治理前后的生物種類數(shù)沒有變化，生物個(gè)體總數(shù)由變?yōu)?，生物豐富度指數(shù)由提高到，則（）A.B.C.D.答案：D；解析：，則，即，所以.故選：D.(3)(2024·洛陽模擬)已知3a＝5b＝m，且eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，則實(shí)數(shù)m的值為________．答案：45；解析：由3a＝5b＝m，可知m>0，顯然m≠1.則a＝log3m＝eq\f(lgm,lg3)，b＝log5m＝eq\f(lgm,lg5)，所以eq\f(1,a)＝eq\f(lg3,lgm)，eq\f(1,b)＝eq\f(lg5,lgm)，由eq\f(2,a)＋eq\f(1,b)＝1，可得eq\f(2lg3＋lg5,lgm)＝eq\f(lg45,lgm)＝logm45＝1，所以m＝45.(4)計(jì)算：log535＋－log5eq\f(1,50)－log514＝________.答案：2；解析：原式＝log535－log5eq\f(1,50)－log514＋＝log5eq\f(35,\f(1,50)×14)＋＝log5125－1＝log553－1＝3－1＝2.思維升華解決對(duì)數(shù)運(yùn)算問題的常用方法(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)．(2)將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并．(3)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1](1)若a>0，a23=A．2B．3C．4D．5答案：B；解析：由a23=49，得a2＝(23)(2)計(jì)算：lg25＋lg2×lg50＋(lg2)2＝_____________.答案：2；解析：原式＝2lg5＋lg2(1＋lg5)＋(lg2)2＝2lg5＋lg2＋lg2×lg5＋(lg2)2＝1＋lg5＋lg2(lg5＋lg2)＝1＋lg5＋lg2＝1＋lg10＝2.考點(diǎn)二對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用[例2](1)(多選)y＝loga(x＋c)(a，c為常數(shù)，其中a＞0，且a≠1)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()A.a＞1B.0＜c＜1C.0＜a＜1D.c＞1答案：BC；解析：由圖象可知0＜a＜1，令y＝0得loga(x＋c)＝0，x＋c＝1，x＝1－c，由圖象知0＜1－c＜1，∴0＜c＜1.(2)已知函數(shù)f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0且a≠1)的圖象如圖所示，則a，b滿足的關(guān)系是()A．0<a－1<b<1B．0<b<a－1<1C．0<b－1<a<1D．0<a－1<b－1<1答案：A；解析：由函數(shù)圖象可知，f(x)為增函數(shù)，故a>1.函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，logab)，由函數(shù)圖象可知－1<logab<0，解得eq\f(1,a)<b<1.綜上，0<a－1<b<1.(3)已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，0<x≤10，,－\f(1,2)x＋6，x>10，))若a，b，c互不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，則abc的取值范圍是()A．[10,12]B．(10,12]C．(10,12)D．[10,12)答案：C；解析：不妨設(shè)a<b<c，作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示，由圖象可知0<a<1<b<10<c<12，由f(a)＝f(b)，得|lga|＝|lgb|，即－lga＝lgb，∴l(xiāng)gab＝0，則ab＝1，∴abc＝c，又10<c<12，∴abc的取值范圍是(10,12)．思維升華對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的識(shí)別及應(yīng)用方法(1)在識(shí)別函數(shù)圖象時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)．(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2](1)(2024·烏魯木齊檢測(cè))我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休．”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)性質(zhì)，也常用函數(shù)解析式來琢磨函數(shù)的圖象特征，函數(shù)f(x)＝ax與g(x)＝(a>0且a≠1)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是()答案：C；解析：對(duì)于A，a>1，則0<eq\f(1,a)<1，即函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，0<a<1，則1a>1，即函數(shù)g(x)在(0，＋∞對(duì)于C，a>1，則0<1a<1，即函數(shù)g(x)在(0，＋∞對(duì)于D，a>1，則0<1a<1，即函數(shù)g(x)在(0，＋∞(2)(2023·濮陽模擬)已知a>0且a≠1，函數(shù)y＝ax的圖象如圖，則f(x)＝loga(－x＋1)的部分圖象大致為()答案：D；解析：由函數(shù)y＝ax的圖象可得a>1.當(dāng)a>1時(shí)，y＝logax經(jīng)過定點(diǎn)(1,0)，為增函數(shù)．因?yàn)閥＝logax與y＝loga(－x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以y＝loga(－x)經(jīng)過定點(diǎn)(－1,0)，為減函數(shù)．而f(x)＝loga(－x＋1)可以看作y＝loga(－x)的圖象向右平移一個(gè)單位長度得到的，所以f(x)＝loga(－x＋1)的圖象經(jīng)過定點(diǎn)(0,0)，為減函數(shù)．結(jié)合選項(xiàng)可知選D.考點(diǎn)三對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用命題點(diǎn)1比較對(duì)數(shù)式的大小[例31]1.(2024天津卷T5)若，則的大小關(guān)系為（）A B. C. D.答案：B；解析：因?yàn)樵谏线f增，且，所以，所以，即，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，即，所以，故選：B2.已知a＝log20.3，b＝ln3，c＝log32，則a，b，c的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)>b>cB．b>c>aC．b>a>cD．c>a>b答案：B；解析：∵a＝log20.3<log21＝0，b＝ln3>lne＝1，0＝log31<log32<log33＝1，即0<c<1，∴b>c>a.命題點(diǎn)2解對(duì)數(shù)方程、不等式[例32](2023·衡陽模擬)若loga12A.(22,1)∪(1，＋∞)B.(0,22)C.(2答案：D；解析：因?yàn)閘oga12<2，所以loga12<logaa2.當(dāng)0<a<1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)為減函數(shù)，所以eq\f(1,2)>a2，可得0<a<eq\f(\r(2),2)；當(dāng)a>1時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)為增函數(shù)，所以eq\f(1,2)<a2，可得a>1，綜上所述，a的取值范圍為(0,22)∪(1，＋∞)．命題點(diǎn)3對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用[例33](2023·鄭州模擬)設(shè)函數(shù)f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，則f(x)()A．是偶函數(shù)，且在(12,+∞)C．是偶函數(shù)，且在(?∞,?12)答案：D；解析：由f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，得f(x)的定義域?yàn)閤x又f(－x)＝ln|1－2x|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)為定義域上的奇函數(shù)，故排除A，C；當(dāng)x∈(?12,12)時(shí)，f(x)＝ln(2x＋1)－ln(1－2x)，∵y＝ln(1－2x)在(?12,12)上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x∈(?∞,?12)時(shí)，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)＝ln∵u＝1＋eq\f(2,2x－1)在(?∞,?12)上單調(diào)遞減，f(u)＝lnu在(0，＋根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知f(x)在(?∞思維升華求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)值域和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題，必須弄清三個(gè)問題：一是定義域；二是底數(shù)與1的大小關(guān)系；三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3](1)(2023·宜賓模擬)已知函數(shù)f(x)＝log2(x2－2x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A．[2，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，1]D．(－∞，0]答案：A；解析：由題意得，x2－2x>0?x∈(－∞，0)∪(2，＋∞)，而函數(shù)y＝x2－2x的對(duì)稱軸為x＝1，所以函數(shù)y＝x2－2x在(－∞，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞)，又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增，所以a∈[2，＋∞)．(2)若函數(shù)f(x)＝loga(x2?2ax+A.(0,12)B.(12,1)C.答案：B；解析：令t＝x2－2ax＋eq\f(5,2)a－1，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性，要使函數(shù)f(x)＝loga(x2?2ax+5則函數(shù)t＝x2－2ax＋eq\f(5,2)a－1有最小正值，且函數(shù)f(t)＝logat為減函數(shù)，可知0<a<1.要使函數(shù)t＝x2－2ax＋eq\f(5,2)a－1有最小正值，則Δ＝4a2－4(52