數(shù)學(xué)北師大版九年級(jí)第一章直角三角形的邊角關(guān)系同步輔導(dǎo)

專題講座“化斜為直”構(gòu)造直角三角形解直角三角形的前提是在直角三角形中進(jìn)行，對(duì)于非直角三角形問題，要注意觀察圖形特點(diǎn)，恰當(dāng)作輔助線，將其轉(zhuǎn)化為直角三角形來(lái)解.例1如圖1，在小山的東側(cè)A點(diǎn)有一個(gè)熱氣球，由于受西風(fēng)的影響，以30米/分的速度沿與地面成75°角的方向飛行，25分鐘后到達(dá)C處，此時(shí)熱氣球上的人測(cè)得小山的西側(cè)B點(diǎn)的俯角為30°，則小山東西兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離為米.AABC30°75°圖1D分析：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，構(gòu)造了兩個(gè)直角三角形，先在Rt△ACD中求得AD的長(zhǎng)；再在Rt△ABD中求得AB的長(zhǎng).解：如圖1，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于DIAND.由題意，得AC=30×25=750（米），∠B=30°.∴∠ACB=75°－∠B=45°.∴AD=AC·sin∠ACB=.在Rt△ABD中，∠B=30°，∴AB=2AD=（米）.例2釣魚島是中國(guó)固有領(lǐng)土，為測(cè)量釣魚島東西兩端A，B的距離，如圖2，我勘測(cè)飛機(jī)在距海平面垂直高度為1公里的點(diǎn)C處，測(cè)得端點(diǎn)A的俯角為45°，然后沿著平行于AB的方向飛行3.2公里到點(diǎn)D，并測(cè)得端點(diǎn)B的俯角為37°，求釣魚島兩端AB的距離.（結(jié)果精確到0.1公里；參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，≈1.41）AAMCDN45°37°BEF圖2解析：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD，過(guò)B作BF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，則四邊形ABFE為矩形.∴EF=AB，AE=BF=1.在Rt△AEC中，∠C=45°，∴CE=AE=1.在Rt△BFD中，∠BDF=37°，∴DF=≈1.33.∴AB=EF=CD?CE+DF=3.2?1+1.33≈3.5（公里）.例3（2017·威海）如圖3，圖①是太陽(yáng)能熱水器裝置的示意圖．利用玻璃吸熱管可以把太陽(yáng)能轉(zhuǎn)化為熱能，玻璃吸熱管與太陽(yáng)光線垂直時(shí)，吸收太陽(yáng)能的效果最好，假設(shè)某用戶要求根據(jù)本地區(qū)冬至正午時(shí)刻太陽(yáng)光線與地面水平線的夾角（θ）確定玻璃吸熱管的傾斜角（太陽(yáng)光線與玻璃吸熱管垂直），請(qǐng)完成以下計(jì)算：如圖②，AB⊥BC，垂足為B，EA⊥AB，垂足為A，CD∥AB，CD=10cm，DE=120cm，F(xiàn)G⊥DE，垂足為G．（1）若∠θ=37°50′，則AB的長(zhǎng)約為____________cm；（參考數(shù)據(jù)：sin37°50′≈0.61，cos37°50′≈0.79，tan37°50′≈0.78）（2）若FG=30cm，∠θ=60°，求CF的長(zhǎng)．圖3解析：（1）如圖4，作EP⊥BC于點(diǎn)P，DQ⊥EP于點(diǎn)Q，則CD=PQ=10，∠2+∠3=90°．∵∠1+∠θ=90°，且∠1=∠2，∴∠3=∠θ=37°50′.∴EQ=DE·sin∠3=120·sin37°50′．∴AB=EP=EQ+PQ=120·sin37°50′+10≈83.2．圖4（2）如圖4，延長(zhǎng)ED，BC交于點(diǎn)K．由（1）知∠θ=∠3=∠K=60°．在Rt△CDK中，CK==.在Rt△KGF中，KF===．∴CF=KF?CK=?==．典例論壇多姿多彩的解直角三角形【課本原題】如圖1，工件上有一V形槽（AC=BC），測(cè)得它的上口寬20mm，深19.2mm，求V形角（∠ACB）的度數(shù)（結(jié)果精確到1°）.圖1（北師大九年級(jí)下冊(cè)教材P18習(xí)題1.5第3題）思路分析：根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可得AD，BD的長(zhǎng)，然后利用正切求出∠BCD的度數(shù)，進(jìn)而求得∠ACB的度數(shù).解答展示：因?yàn)锳C=BC，CD⊥AB，所以AD=BD=AB=10.在Rt△BCD中，DC=19.2，tan∠DCB==≈0.521，所以∠DCB≈27.5°.所以∠ACB=2∠DCB=55°．答：V形角的度數(shù)為55°．變式訓(xùn)練如圖2，某山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°，則該山坡的高BC為_______米．圖2圖2分析：如圖2，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，已知斜邊AB和∠BAC，根據(jù)sin∠ABC=即可求解.解：西周時(shí)期，丞相周公旦設(shè)置過(guò)一種通過(guò)測(cè)定日影長(zhǎng)度來(lái)確定時(shí)間的儀器，稱為圭表.如圖3是一個(gè)根據(jù)北京的地理位置設(shè)計(jì)的圭表，其中立柱AC高為a.已知冬至?xí)r北京的正午日光入射角∠ABC約為26.5°，則立柱根部與圭表的冬至線的距離（即BC的長(zhǎng)）約為（）a·sin26.5°B.C.a·cos26.5°D.圖3分析：要求直角邊BC，已知直角邊AC和∠ABC，根據(jù)tan∠ABC=即可求解.解：3.如圖4，為了測(cè)量河的寬度AB，測(cè)量人員在高21m的建筑物CD的頂端D處，測(cè)得河岸B處的俯角為45°，測(cè)得河對(duì)岸A處的俯角為30°（A，B，C在同一條直線上），則河的寬度AB約為________m.（結(jié)果精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73）分析：在Rt△BCD中，根據(jù)tan∠DBC=可求出BC，在Rt△ACD中，根據(jù)tan∠DAC=可求出AC，從而可得AB的長(zhǎng).解：方法引薦：在直角三角形的6個(gè)元素中，直角是已知元素，只要再知道一條邊和第三個(gè)元素，那么這個(gè)三角形的所有元素都可以確定下來(lái).在求解的過(guò)程中注意根據(jù)問題中的條件，恰當(dāng)選取銳角三角函數(shù)：已知斜邊求直邊，正弦余弦很方便；已知直邊求直邊，當(dāng)然正切是首選；已知直邊求斜邊，用除還是正余弦；已知兩邊求一角，函數(shù)關(guān)系要選好，能用乘法不用除.變式訓(xùn)練參考答案：1002.B3.15.3數(shù)學(xué)思想方程思想的小火花例1（2018·重慶）如圖1，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同學(xué)從建筑物底端B出發(fā)，先沿水平方向向右行走20米到達(dá)點(diǎn)C，再經(jīng)過(guò)一段坡度為i=1:0.75、坡長(zhǎng)為10米的斜坡CD到達(dá)點(diǎn)D，然后再沿水平方向向右行走40米到達(dá)點(diǎn)E（A，B，C，D，E均在同一平面內(nèi)）．在E處測(cè)得建筑物頂端A的仰角為24°，則建筑物AB的高度約為（參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）（）A．21.7米 B．22.4米 C．27.4米 D．28.8米圖1解析：如圖1，過(guò)點(diǎn)B作BM⊥ED，交ED的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥DM于點(diǎn)N.在Rt△CDN中，==，所以設(shè)CN=4k，DN=3k.由勾股定理，得DN2+CN2=CD2，即（3k）2+（4k）2=100，解得k=2.所以CN=8，DN=6.因?yàn)樗倪呅蜝MNC是矩形，所以BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN+DN+DE=66.在Rt△AEM中，AM=EMtan24°=29.7，所以AB=AM-BM=21.7（米）.故選A．例2（2018·衢州）“五一”期間，小明到小陳家所在的美麗鄉(xiāng)村游玩，在村頭A處小明接到小陳發(fā)來(lái)的定位，發(fā)現(xiàn)小陳家C在自己的北偏東45°方向，于是沿河邊筆直的綠道l步行200米到達(dá)B處，這時(shí)定位顯示小陳家C在自己的北偏東30°方向，如圖2所示．根據(jù)以上信息，請(qǐng)你幫小明算一算他還需沿綠道l繼續(xù)直走大約多少米才能到達(dá)橋頭D處（結(jié)果精確到1米；參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）圖2解析：根據(jù)題意，得∠CAD=45°，∠CBD=60°，AB=200m，設(shè)BD=x，則CD=BDtan60°=x，AD==x.由題意，得x-x=200，解得x≈273.答：小明還需沿綠道l繼續(xù)直走大約273米才能到達(dá)橋頭D處．題型空間聚焦關(guān)于坡度的計(jì)算一、求坡角例1一個(gè)攔水大壩的橫斷面如圖1所示，AD∥BC，若背水坡AB的坡度為1:，則該背水坡的坡角∠B=°.分析：根據(jù)坡度的概念，易得tanB=i=1:，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求得∠B的度數(shù)．解：.二、求坡度例2如圖2，為測(cè)量山坡護(hù)坡石壩的坡度，李華將一根長(zhǎng)5m的竹竿AC斜靠在石壩旁，量出桿長(zhǎng)1m處的點(diǎn)D離地面的高度DE=0.6m，又量得竹桿底部與壩腳的距離AB=3m，則石壩的坡度為（）A．B．3C．D．4分析：過(guò)點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F.根據(jù)DE∥CF，易得=，從而可求得CF的長(zhǎng)，再由勾股定理可得AF的長(zhǎng)，最后根據(jù)CF和BF的長(zhǎng)即可求得石壩的坡度.解：.三、求高度例3一個(gè)小球由地面沿著坡度為1:2的坡面前進(jìn)了10米，則此時(shí)小球距離地面的高度為米．分析：畫出如圖3所示的示意圖，在Rt△ABC中，tanA=，AB=10，可設(shè)BC=x，AC=2x，利用勾股定理構(gòu)造方程解答即可.解：.四、求坡面長(zhǎng)度例4如圖4是一攔水壩的橫斷面示意圖，斜坡AB的高度為6米，坡比為1:2，則斜坡AB的長(zhǎng)為米.分析：根據(jù)坡度（坡比）的定義可求得AC的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求得AB的長(zhǎng).解：.參考答案：例130°例2B例32例46三角函數(shù)求值的幾種方法一、利用定義求值例1（2017·哈爾濱）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，則cosB的值為（）A. B. C. D.解析：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝1，根據(jù)勾股定理，得BC＝＝.所以cosB＝＝.故選A.二、利用等角求銳角三角函數(shù)值例2（2017·孝感）如圖1，已知矩形ABCD（AB＜AD）.（1）請(qǐng)用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖，保留作圖痕跡：①以點(diǎn)A為圓心，以AD的長(zhǎng)為半徑畫弧，交邊BC于點(diǎn)E，連接AE；②作∠DAE的平分線交CD于點(diǎn)F；③連接EF.（2）在（1）作出的圖形中，若AB＝8，AD＝10，則tan∠FEC的值為.圖1解析：（1）如圖1所示.（2）由（1）知AE＝AD＝10，∠DAF＝∠EAF，又AF＝AF，∴△DAF≌△EAF.∴∠D＝∠AEF＝90°.∴∠BEA+∠FEC＝90°.又∵∠BEA+∠BAE＝90°，∴∠FEC＝∠BAE.在Rt△ABE中，AB=8，AE=10，∴BE==6.∴tan∠BAE＝＝＝.∴tan∠FEC＝.三、利用互余兩角間的關(guān)系求值例3（2016·菏澤）如圖2，△ABC與△A′B′C′都是等腰三角形，且AB=AC=5，A′B′=A′C′=3，若∠B+∠B′=90°，則△ABC與△A′B′C′的面積比為（）A.25∶9 B.5∶3 C.∶ D.5∶3圖2解析：如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A′作A′D⊥BC于點(diǎn)D′.∵△ABC與△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B=∠C，∠B′=∠C′，BC=2BD，B′C′=2B′D′.∴AD=AB·sinB，BC=2BD=2AB·cosB，A′D′=A′B′·sinB′，B′C′=2B′D′=2A′B′·cosB′.∵∠B+∠B′=90°，∴sinB=cosB′，sinB′=cosB.∴S△ABC=AD·BC=AB·sinB·2AB·cosB=25sinB·cosB，S△A′B′C′=A′D′·B′C′=A′B′·sinB′·2A′B′·cosB′=9sinB′·cosB′.∴S△ABC∶S△A′B′C′=25∶9.故選A.題型空間仰角、俯角與三角函數(shù)合作秀例1（2018·張家界）2017年9月8日至10日，第六屆翼裝飛行世界錦標(biāo)賽在天門山風(fēng)景區(qū)隆重舉行，來(lái)自全球11個(gè)國(guó)家的16名選手參加了激烈的角逐.如圖1，某選手從離水平地面1000米高的A點(diǎn)出發(fā)（AB=1000米），沿俯角為30°的方向直線飛行1400米到達(dá)D點(diǎn)，然后打開降落傘沿俯角為60°的方向降落到地面上的C點(diǎn)，求該選手飛行的水平距離BC.圖1解析：如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F.由題意，得∠ADE=30°，∠DCF=60°.在Rt△ADE中，AE=ADsin30°=700，ED=ADcos30°=700，所以EB=AB-AE=300.因?yàn)樗倪呅蜝EDF是矩形，所以BF=ED=700，DF=EB=300.在Rt△CDF中，CF==100.所以BC=BF+CF=700+100=800（米）．答：選手飛行的水平距離BC為800米．例2（2018·瀘州）如圖2，甲建筑物AD與乙建筑物BC的水平距離AB為90m，且乙建筑物的高度是甲建筑物高度的6倍，從E點(diǎn)（A，E，B在同一水平線上）測(cè)得D點(diǎn)的仰角為30°，測(cè)得C點(diǎn)的仰角為60°，求這兩座建筑物頂端C，D間的距離.（結(jié)果保留根號(hào)）圖2解析：在Rt△ADE中，∠AED=30°，所以AE==AD，DE=2AD.在Rt△BCE中，∠BEC=60°，所以BE==BC，CE=BC.因?yàn)锽C=6AD，所以BE=2AD，CE=4AD.因?yàn)锳E+BE=AB=90，所以AD+2AD=90，解得AD=10.所以DE=20，CE=120.因?yàn)椤螪EC=180°-∠AED-∠BEC=90°，所以CD===20（