高等數(shù)學(xué)（第五版）課件 陳如邦 第一章 極限與連續(xù)

第一章極限與連續(xù)第一節(jié)函數(shù)

函數(shù)是近代數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象，連續(xù)則是函數(shù)的一個(gè)重要性態(tài)，是微積分學(xué)研究的主要內(nèi)容之一。

下面我們來(lái)看函數(shù)的表示法常用的函數(shù)表示法有公式（解析法）、表格法和圖像法.⑴

用數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)的方法叫做函數(shù)的公式（解析式）法.其優(yōu)點(diǎn)是便于理論推導(dǎo)和計(jì)算，數(shù)學(xué)中的函數(shù)大多采用此法.⑵

用表格形式表示函數(shù)的方法叫做函數(shù)的表格表示法.其優(yōu)點(diǎn)是所求的函數(shù)值容易查到，如所學(xué)過(guò)的三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表等.⑶

用圖形表示函數(shù)的方法叫做函數(shù)的圖象法.其優(yōu)點(diǎn)是直觀形象且可看到函數(shù)的變化趨勢(shì)，在工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中應(yīng)用普遍.

如果函數(shù)在定義域的不同區(qū)間上，有不同對(duì)應(yīng)關(guān)系，稱這樣的函數(shù)為分段函數(shù).如

二、分段函數(shù)2.分段函數(shù)的定義域是各個(gè)部分定義域的并集，值域也是各個(gè)部分值域的并集。注：1.分段函數(shù)是定義域上的一個(gè)函數(shù)，而不是多個(gè)函數(shù)。

歸納：求分段函數(shù)函數(shù)值的方法（1）確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間；

在我們的日常生活中，分段函數(shù)隨處可見(jiàn)，如階梯電價(jià)、階梯水價(jià)、出租車車費(fèi)、個(gè)人所得稅等。三、反函數(shù)

四、函數(shù)的幾種特性1．函數(shù)的奇偶性

2．函數(shù)的周期性

3．函數(shù)的單調(diào)性

4函數(shù)的有界性

五、初等函數(shù)1．基本初等函數(shù)我們把常數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù).

2．復(fù)合函數(shù)

3．初等函數(shù)由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和有限次的復(fù)合，并且能夠用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)，我們稱為初等函數(shù).

初等函數(shù)是用一個(gè)數(shù)學(xué)式子表示的函數(shù)，否則就不是初等函數(shù).

第二節(jié)

函數(shù)極限的概念與運(yùn)算第一章極限與連續(xù)一、函數(shù)的極限

極限是微分學(xué)中最基本的概念之一.它與求某些量的精確值密切相關(guān)，是定義導(dǎo)數(shù)和積分的基礎(chǔ)，它研究在自變量的某個(gè)變化過(guò)程中函數(shù)的變化趨勢(shì).

3.左極限與右極限

xy0

1-1

說(shuō)明：加減運(yùn)算和求極限的運(yùn)算次序可以交換說(shuō)明：乘法運(yùn)算和求極限的運(yùn)算次序也可以交換說(shuō)明：除法運(yùn)算和求極限的運(yùn)算次序也可以交換

求解極限時(shí)，可以把常數(shù)提到極限號(hào)前面去。

注：法則和推論要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限都存在，并且商的極限運(yùn)算法則的重要前提是分母極限不為零.

由定理③和上述推論5，還可以得到兩個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)商的極限。

第一章極限與連續(xù)第三節(jié)兩個(gè)重要極限

……

我們也可以利用夾逼準(zhǔn)則證明這個(gè)重要極限.

三項(xiàng)均為正數(shù)，取它們的倒數(shù)

解

解

方法一

方法二

解

……

互為倒數(shù)互為倒數(shù)

解

互為倒數(shù)

解

解

方法一

方法二

第一章極限與連續(xù)第四節(jié)無(wú)窮小與無(wú)窮大

一、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量

（是唯一可作為無(wú)窮小的常數(shù)）

4．無(wú)窮小的性質(zhì)

性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍是無(wú)窮小.注：無(wú)限個(gè)無(wú)窮小的和卻不一定是無(wú)窮小，而可以是無(wú)窮小、常數(shù)、無(wú)窮大，甚至不確定.

無(wú)窮小常數(shù)無(wú)窮大性質(zhì)2有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.注：常利用該性質(zhì)計(jì)算極限.

第一個(gè)重要極限有界函數(shù)與無(wú)窮小的乘積

二、無(wú)窮小的比較

定義

(2)

就出現(xiàn)了錯(cuò)誤．

所以

解

第一章極限與連續(xù)第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性

在現(xiàn)實(shí)生活中，許多量都是連續(xù)變化的，例如，水的流動(dòng)、氣溫的變化、植物的生長(zhǎng)，等等.這些現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性.它與極限是密切相關(guān)的.為了定義函數(shù)的連續(xù)，首先必須引入函數(shù)增量的概念.1、函數(shù)的增量

2、函數(shù)連續(xù)的定義

因?yàn)橛缮?，定義2可改寫(xiě)成以下定義:

有了函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)，就可以進(jìn)一步定義函數(shù)在區(qū)間上連續(xù).

3、初等函數(shù)的連續(xù)性

可以證明：基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)函數(shù)；初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)函數(shù).

例2

計(jì)算下列極限。

二、函數(shù)的間斷點(diǎn)

間斷點(diǎn)分類:

第二類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)

如果說(shuō)連續(xù)是蜿蜒不斷的萬(wàn)里長(zhǎng)城，那么間斷則不僅有“抽刀斷水水更流”的可去間斷，有“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”的跳躍間斷，更有“我欲乘風(fēng)歸去”的無(wú)窮間斷。不論是連續(xù)還是間斷，我們都可以發(fā)現(xiàn)它的美好。

例如:

(3)

(4)

總結(jié)：判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的一般步驟：Step1：找出函數(shù)無(wú)定義的點(diǎn)（分段函數(shù)還需考慮分段點(diǎn)）Step2：求出該點(diǎn)的左右極限。觀察極限是否存在，左右極限是否相等。Step3：根據(jù)定義判斷間斷點(diǎn)類型。