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文檔簡(jiǎn)介
第二講
最短路程(平面)B··A小水溝C兩點(diǎn)之間線段最短C●探究新知探究1:每年的3月12日是植樹節(jié)。801班和802班要求分別在A,B兩地植樹。801班完成任務(wù)后,去幫助802班,他們之間有一條可以跨過去的小水溝。請(qǐng)問801班的同學(xué)要怎樣走才能使所走的路程最短?ABB··AlC探究2
若A,B兩地如圖所示,801班種好樹后,先去水溝打水,再去B地幫助802班澆水,如何在水溝l上找到點(diǎn)C,使得AC+BC最短?
探索新知AB思考:能把A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線l的兩側(cè)嗎?B·lA·CB··AlC探索新知方法揭曉作法:(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′;(2)連接AB′,與直線l相交于點(diǎn)C.則點(diǎn)C即為所求.
ABlB′C此時(shí)路徑AC+BC是最短路程。A′B·lA·C作點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn),所得到的C點(diǎn)位置不變方法提示B·lA·CB′你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎?
由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知,BC=B′C,BC′=B′C′.在△AB′C′中,∵AB′<AC′+B′C′,∴AC+BC<AC′+BC′.即
AC+BC
最短.ABlB′CC′證明:如圖,在直線l上任取一點(diǎn)C′(與點(diǎn)C
不重合),連接AC′,BC′,B′C′.∴AC+BC=AC+B′C=AB′∴AC′+BC′=AC′+B′C′理論證明2.最短路程問題的解決方法:1.基本模型:lABA′C兩定點(diǎn)在直線同側(cè)CAlB兩定點(diǎn)在直線異側(cè)利用“軸對(duì)稱”化折為直化同為異階段小結(jié)模型特點(diǎn):一動(dòng)點(diǎn),二定點(diǎn),一條對(duì)稱軸1.如圖,直線l是一條河,P、Q是兩個(gè)村莊.欲在l上的某處修建一個(gè)水泵站,向P、Q兩地供水,現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案,圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道,則所需要管道最短的是()DPQlAMPQlBMPQlCMPQlDM學(xué)以致用一動(dòng)點(diǎn)M,兩定點(diǎn)P、Q,一對(duì)稱軸l作對(duì)稱,做點(diǎn)P或點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)2.已知兩點(diǎn)A(2,3),B(4,-3),在x軸上找一點(diǎn)P,使PA+PB最小,并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。yxABA′P-4-3-2-101234
4321
-1-2-3-4若換成y軸呢?P學(xué)以致用探究3若將軍要先讓馬到草地OM吃草,再到河邊ON喝水,最后回到出發(fā)點(diǎn)A,你能畫出最短路徑嗎?M將軍飲馬問題NO草地河流A一題多變分析:1、建模:點(diǎn)在兩直線的內(nèi)部BAC將軍飲馬問題OMN2、在OM上找點(diǎn)B,在ON上找點(diǎn)C,使AB+BC+CA的和最小??紤]對(duì)稱點(diǎn)的作用1.將直線同側(cè)兩點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為直線異側(cè)兩點(diǎn)問題;2.利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可以將相等線段轉(zhuǎn)化。探究新知作法:1、作點(diǎn)A關(guān)于直線OM的對(duì)稱點(diǎn)A1,點(diǎn)A關(guān)于直線ON的對(duì)稱點(diǎn)A2
,2、連接A1,A2,交OM于B,交ON于C,則路徑A-B-C-A是最短路徑。B·AA1C將軍飲馬問題OMNA2AB+BC+CA的和為什么是最小呢??jī)牲c(diǎn)之間線段最短方法揭曉探究4將軍從A地出發(fā),先到草地讓馬吃草,再到河邊讓馬喝水,然后回到B處,請(qǐng)畫出最短路徑。OABNM能力提升將軍飲馬問題草地河流ABNMO分析:1、建模:兩點(diǎn)在兩直線的內(nèi)部2、作對(duì)稱點(diǎn),連線A′B′PG路徑A-P-G-B是最短路徑。探究4將軍從A地出發(fā),先到草地讓馬吃草,再到河邊讓馬喝水,然后回到B處,請(qǐng)畫出最短路徑。能力提升將軍飲馬問題2、一種解決方法:作對(duì)稱點(diǎn),利用軸對(duì)稱的性質(zhì)化折為直,化同為異。B··AlC1、四種基本模型(1)兩點(diǎn)在直線異側(cè)(2)兩點(diǎn)在直線同側(cè)(3)點(diǎn)在兩直線內(nèi)部
(4)兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部
4、一種數(shù)學(xué)思想:利用“轉(zhuǎn)化”思想,把相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為基本類型。3、一個(gè)理論依據(jù):兩點(diǎn)之間,線段最短。小結(jié)提升如圖,在
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