初中數(shù)學(xué)浙教課標(biāo)版八年級(jí)上冊(2013)-第二講最短路程(平面)-公開課

第二講

最短路程（平面）B··A小水溝C兩點(diǎn)之間線段最短C●探究新知探究1：每年的3月12日是植樹節(jié)。801班和802班要求分別在A，B兩地植樹。801班完成任務(wù)后，去幫助802班，他們之間有一條可以跨過去的小水溝。請(qǐng)問801班的同學(xué)要怎樣走才能使所走的路程最短？ABB··AlC探究2

若A，B兩地如圖所示，801班種好樹后，先去水溝打水，再去B地幫助802班澆水，如何在水溝l上找到點(diǎn)C，使得AC+BC最短？

探索新知AB思考：能把A、B兩點(diǎn)轉(zhuǎn)化到直線l的兩側(cè)嗎？B·lA·CB··AlC探索新知方法揭曉作法：（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；（2）連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求．

ABlB′C此時(shí)路徑AC+BC是最短路程。A′B·lA·C作點(diǎn)A或點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)，所得到的C點(diǎn)位置不變方法提示B·lA·CB′你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎？

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，BC=B′C，BC′=B′C′．在△AB′C′中，∵AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即

AC+BC

最短．ABlB′CC′證明：如圖，在直線l上任取一點(diǎn)C′（與點(diǎn)C

不重合），連接AC′，BC′，B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′∴AC′+BC′=AC′+B′C′理論證明2.最短路程問題的解決方法：1.基本模型：lABA′C兩定點(diǎn)在直線同側(cè)CAlB兩定點(diǎn)在直線異側(cè)利用“軸對(duì)稱”化折為直化同為異階段小結(jié)模型特點(diǎn)：一動(dòng)點(diǎn)，二定點(diǎn)，一條對(duì)稱軸1.如圖，直線l是一條河，P、Q是兩個(gè)村莊.欲在l上的某處修建一個(gè)水泵站，向P、Q兩地供水，現(xiàn)有如下四種鋪設(shè)方案，圖中實(shí)線表示鋪設(shè)的管道，則所需要管道最短的是（）DPQlAMPQlBMPQlCMPQlDM學(xué)以致用一動(dòng)點(diǎn)M,兩定點(diǎn)P、Q,一對(duì)稱軸l作對(duì)稱，做點(diǎn)P或點(diǎn)Q的對(duì)稱點(diǎn)2.已知兩點(diǎn)A(2，3),B(4,-3),在x軸上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小，并求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。yxABA′P-4-3-2-101234

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-1-2-3-4若換成y軸呢？P學(xué)以致用探究3若將軍要先讓馬到草地OM吃草，再到河邊ON喝水，最后回到出發(fā)點(diǎn)A，你能畫出最短路徑嗎？M將軍飲馬問題NO草地河流A一題多變分析：1、建模：點(diǎn)在兩直線的內(nèi)部BAC將軍飲馬問題OMN2、在OM上找點(diǎn)B，在ON上找點(diǎn)C，使AB+BC+CA的和最小?？紤]對(duì)稱點(diǎn)的作用1.將直線同側(cè)兩點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為直線異側(cè)兩點(diǎn)問題；2.利用軸對(duì)稱的性質(zhì)可以將相等線段轉(zhuǎn)化。探究新知作法：1、作點(diǎn)A關(guān)于直線OM的對(duì)稱點(diǎn)A1，點(diǎn)A關(guān)于直線ON的對(duì)稱點(diǎn)A2

，2、連接A1，A2，交OM于B，交ON于C,則路徑A-B-C-A是最短路徑。B·AA1C將軍飲馬問題OMNA2AB+BC+CA的和為什么是最小呢？兩點(diǎn)之間線段最短方法揭曉探究4將軍從A地出發(fā),先到草地讓馬吃草，再到河邊讓馬喝水，然后回到B處，請(qǐng)畫出最短路徑。OABNM能力提升將軍飲馬問題草地河流ABNMO分析：1、建模：兩點(diǎn)在兩直線的內(nèi)部2、作對(duì)稱點(diǎn)，連線A′B′PG路徑A-P-G-B是最短路徑。探究4將軍從A地出發(fā),先到草地讓馬吃草，再到河邊讓馬喝水，然后回到B處，請(qǐng)畫出最短路徑。能力提升將軍飲馬問題2、一種解決方法：作對(duì)稱點(diǎn)，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)化折為直，化同為異。B··AlC1、四種基本模型(1)兩點(diǎn)在直線異側(cè)(2)兩點(diǎn)在直線同側(cè)(3)點(diǎn)在兩直線內(nèi)部

(4)兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部

4、一種數(shù)學(xué)思想：利用“轉(zhuǎn)化”思想，把相關(guān)問題轉(zhuǎn)化為基本類型。3、一個(gè)理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短。小結(jié)提升如圖，在