第7章計數原理（考點串講）高二數學下學期期末考點大串講（2019選擇性）

蘇教版（2019）選擇性必修第二冊第7章計數原理考點大串講串講02第7章計數原理

010203目

錄押題預測題型剖析考點透視5大?？键c：知識梳理、思維導圖17個題型典例剖析+技巧點撥精選12道期末真題對應考點練考點透視01考點1.兩個基本計數原理

(1)分類計數原理：完成一件事，有n類方式，在第1類方式中有m1種不同的方法，在第2類方式中有m2種不同的方法，在第n類方式中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法.(2)分步計數原理：完成一件事，需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_________

種不同的方法.m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn考點2.排列與組合的概念排列數與組合數2.排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照

排成一列組合并成一組一定的順序3.排列數與組合數(1)排列數：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有

的個數，用符號

表示.(2)組合數：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有

的個數，用符號

表示.排列組合考點3.排列數、組合數的公式及性質4.排列數、組合數的公式及性質公式(1)＝

＝

(n，m∈N*，且m≤n).(2)＝

＝

(n，m∈N*，且m≤n)性質(1)0！＝

；

＝

.(2)＝__________n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1n！考點4.二項式定理

提醒

（1）項數為n＋1；（2）各項的次數都等于二項式的冪指數n，即a與b的指數的和為n；（3）字母a按降冪排列，從第一項開始，次數由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數由零逐項增1直到n.an－kbk

k＋1

考點4.二項式定理二項式定理(a＋b)n＝

(n∈N*)二項展開式的通項Tr＋1＝

，它表示展開式的第

項二項式系數

(r＝0,1，…，n)k＋1考點5.二項式系數的性質2.(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數

.(2)增減性與最大值：相等增大減?、诋攏是偶數時，中間的一項

取得最大值；當n是奇數時，中間的兩項

與

相等，且同時取得最大值.(3)各二項式系數的和：(a＋b)n的展開式的各二項式系數的和為

＝

.2n題型剖析02題型1.兩個基本計數原理【例題1】用數字0,1,2,3,4,5組成沒有重復數字的五位數，其中比40000大的偶數共有A.144個

B.120個

C.96個

D.72個√①當萬位數字為5，個位數字為0時，有4×3×2＝24(個)；②當萬位數字為5，個位數字為2時，有4×3×2＝24(個)；③當萬位數字為5，個位數字為4時，有4×3×2＝24(個)；④當萬位數字為4，個位數字為0時，有4×3×2＝24(個)；⑤當萬位數字為4，個位數字為2時，有4×3×2＝24(個).由分類計數原理，得共有24＋24＋24＋24＋24＝120(個).題型2.排列組合問題【例題2】為了強化學校的體育教育教學工作，提高學生身體素質，加強學生之間的溝通，凝聚班級集體的力量，激發(fā)學生對體育的熱情，某中學舉辦田徑運動會.某班從甲、乙等6名學生中選4名學生代表班級參加學校4×100米接力賽，其中甲只能跑第一棒或第二棒，乙只能跑第二棒或第四棒，那么甲、乙都參加的不同棒次安排方案種數為A.48

B.36

C.24

D.12√故甲、乙都參加的不同棒次安排方案種數為24＋12＝36.題型3.相鄰、相間問題【例題3】甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有A.12種

B.24種

C.36種

D.48種√題型4.分組、分配問題【例題4】某高校計劃在今年暑假安排編號為A，B，C，D，E，F(xiàn)的6名教師，到4個不同的學校進行宣講，每個學校至少安排1人，其中B，D必須安排在同一個學校.則不同的安排方法共有A.96種

B.144種C.240種

D.384種√題型5.排列問題【例5】

已知7位同學站成一排.（1）甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

（2）甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？（3）甲、乙兩同學必須相鄰的排法共有多少種？

（4）甲、乙兩同學必須相鄰，而且丙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？

（5）甲、乙兩同學不能相鄰的排法共有多少種？（6）甲總在乙的前面的排法共有多少種？

｜解題技法｜求解排列問題的四種常用方法題型6.組合問題【例6】

按下列要求分配6本不同的書，各有多少種不同的分配方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；

（2）甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；

（3）平均分成三份，每份2本；

（4）平均分配給甲、乙、丙三人，每人2本.

1.組合問題的兩類常見題型（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。唬?）“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關鍵詞的含義，謹防重復與漏解，用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理.2.有限制條件的組合問題的解題思路從限制條件入手.組合問題只是從整體中選出部分即可，相對來說較簡單.常見情況有：（1）某些元素必選；（2）某些元素不選；（3）把元素分組，根據在各組中分別選多少分類.題型7.排列與組合的綜合問題【例7】

（2022·新高考Ⅱ卷）甲、乙、丙、丁、戊5名同學站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有

（

）A.12種B.24種C.36種D.48種

答案

B

｜解題技法｜解排列、組合問題要遵循的2個原則（1）按元素（位置）的性質進行分類；（2）按事情發(fā)生的過程進行分步.具體地說，解排列、組合問題常以元素（位置）為主體，即先滿足特殊元素（位置），再考慮其他元素（位置）.?題型8.二項式中的特定項及系數問題

A.153B.－153C.17D.－17

答案

C

｜解題技法｜求二項展開式中特定項的步驟題型9.二項展開式中的系數和問題

A.二項式系數和為64B.各項系數和為64C.常數項為－135D.常數項為135

答案

ABD｜解題技法｜賦值法的應用（1）對形如（ax＋b）n，（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展開式的各項系數之和，只需令x＝1即可；（2）對（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展開式各項系數之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可；

題型10.二項式系數的最值問題

A.－126B.－70C.－56D.－28

答案

C

題型11.幾個多項式和展開式中特定項（系數）問題【例11】

在1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋（1＋x）4＋（1＋x）5＋（1＋x）6的展開式中，含x3項的系數是

（

）A.25B.30C.35D.40

答案

C｜解題技法｜

對于幾個二項式和的展開式中的特定項（系數）問題，只需依據二項展開式的通項，從每一個二項式中分別得到特定的項，再求和即可.也可以先對二項式求和，化簡后再依據通項公式確定特定項（系數）.題型12.幾個多項式積展開式中特定項（系數）問題

答案

－28｜解題技法｜求幾個多項式積展開式中特定項（系數）的方法題型13.

三項式展開式中特定項（系數）問題

｜解題技法｜求三項展開式中特定項（系數）的方法題型14.系數與二項式系數的最值【例題14】

已知

的二項展開式中二項式系數之和為64，則下列結論正確的是A.二項展開式中各項系數之和為37B.二項展開式中二項式系數最大的項為C.二項展開式中無常數項D.二項展開式中系數最大的項為240x3√題型14.系數與二項式系數的最值所以2n＝64，則n＝6，令x＝1，可得二項展開式中各項系數之和為36，故A錯誤；題型14.系數與二項式系數的最值第4項的二項式系數最大，此時r＝3，則二項展開式中二項式系數最大的項為T4＝

＝

，故B錯誤；所以二項展開式中的常數項為

＝60，故C錯誤；題型14.系數與二項式系數的最值因為k∈N，所以r＝2.－28題型15.形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式題型16.二項式系數和與系數和【例題16】已知

的展開式中第二項與第三項的系數的絕對值之比為1∶8，則A.n＝4B.展開式中所有項的系數和為1C.展開式中二項式系數和為24D.展開式中不含常數項√√題型16.二項式系數和與系數和則所有項的系數之和為－1，故B錯誤；【例題17】(x－2y)8的展開式中x6y2的系數為______(用數字作答).112所以(x－2y)8的展開式中x6y2的系數為112.題型17.形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式押題預測031.某生產過程中有4道工序，每道工序需要安排一人照看，現(xiàn)從甲、乙、丙等6名工人中選出4人分別照看一道工序，第一道工序只能從甲、乙兩名工人中安排1人，第四道工序只能從甲、丙兩名工人中安排1人，則不同的安排方案共有A.24種

B.36種

C.48種

D.72種√分兩類：①第一道工序安排甲時有1×1×4×3＝12(種)；②第一道工序不安排甲時有1×2×4×3＝24(種).所以共有12＋24＝36(種).2.為了支援山區(qū)教育，現(xiàn)在安排5名大學生到3個學校進行支教活動，每個學校至少安排1人，其中甲校至少要安排2名大學生，則不同的安排方法共有A.50種

B.60種

C.80種

D.100種√綜上所述，共有80種安排方法.3.利用二項式定理計算0.996，則其結果精確到0.001的近似值是A.0.940 C.0.942 √＝1－0.06＋0.0015－0.00002＋…＋0.016≈