2024-2025學(xué)年湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)八年級（上）創(chuàng)新素養(yǎng)數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省長沙市雅禮教育集團(tuán)八年級（上）創(chuàng)新素養(yǎng)數(shù)學(xué)試卷一、填空題：本題共20小題，每小題4分，共80分。1.因式分解：14m2?2.計(jì)算：(1a?2+a)÷a3.(a?2b+3c)(a+2b?3c)=______．4.已知x+y=5，xy=3，則x2+5xy+y25.已知a2+a?1=0，則a3+26.若a2+b2+4a?6b+13=07.已知a和b互為倒數(shù)，a+b=4，求(a?b)2=8.若(x+p)(x+q)=x2+mx+36，且p，q為不大于10的正整數(shù)，則m=9.求值：(2+1)×(22+1)×(2410.若x1×2+x2×3+x11.如圖，AB//CD，點(diǎn)P到AB、BC、CD距離都相等，則∠P=______．12.在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作DE//BC，交AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，若BD+CE=9，則線段DE之長為______．13.如圖，△ABC中，OD、OE分別是AB、BC邊上的垂直平分線，OD、OE交于點(diǎn)O，連接OA、OC，已知∠B=40°，則∠OAC=______°.14.等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為40°，則這個三角形的頂角為______．15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A(2,3)，在坐標(biāo)軸上找一點(diǎn)P，使得△AOP是等腰三角形，則這樣的點(diǎn)P共有______個．16.如圖，在△ABC中，∠BAC=2∠C，BD為△ABC的角平分線，BC=5，AB=3，則AD=______．17.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是DC上一點(diǎn)，∠EAF=45°，若BE=DF=1，則EF=______．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD=______．

19.如圖，AD是△ABC的平分線，DF⊥AB于點(diǎn)F，DE=DG，AG=16，AE=8，若S△ADG=64，則△DEF的面積為______．20.如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為6，面積是18，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)，若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動點(diǎn)，則△CDM的周長的最小值為______．二、解答題：本題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。21.(本小題10分)

在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B，C重合)，把線段AD繞著點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)至AE(即AD=AE)，使得∠DAE=∠BAC，連接DB，CE．

(1)如圖(1)，點(diǎn)D在線段BC上，若∠BAC=90°，則∠BCE=______；

(2)如圖(2)，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時，若∠BAC=60°，請求出∠BCE的度數(shù)．

(3)如圖(3)，設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β，當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動時，請直接寫出α，β的數(shù)量關(guān)系，不用證明．

22.(本小題10分)

在等邊△ABC中，D為射線BC上一點(diǎn)，CE是∠ACB外角的平分線，∠ADE=60°，EF⊥BC于F.如圖所示．

(1)求證：CE//AB；

(2)若點(diǎn)D在線段BC上(不與B，C點(diǎn)重合)，求證：BC=DC+2CF．23.(本小題10分)

如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BC=a，點(diǎn)D是BC上一動點(diǎn)(不與點(diǎn)B、C)重合，∠BDE=12∠C，BE⊥DE．

(1)求∠AFD的度數(shù)；

(2)在點(diǎn)D運(yùn)動過程中，BEDF的值是否為定值？說明理由．

(3)當(dāng)CD=13BC時，連接AD，△ABD三邊上分別有動點(diǎn)P、M、N，(點(diǎn)P在BD上)24.(本小題10分)

問題情境：如圖1，在直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，可知：∠BAD=∠C(不需要證明)；

特例探究：如圖2，∠MAN=90°，射線AE在這個角的內(nèi)部，點(diǎn)B、C在∠MAN的邊AM、AN上，且AB=AC，CF⊥AE于點(diǎn)F，BD⊥AE于點(diǎn)D.證明：△ABD≌△CAF；

歸納證明：如圖3，點(diǎn)B，C在∠MAN的邊AM、AN上，點(diǎn)E，F(xiàn)在∠MAN內(nèi)部的射線AD上，∠1、∠2分別是△ABE、△CAF的外角．已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC.求證：△ABE≌△CAF；

拓展應(yīng)用：如圖4，在△ABC中，AB=AC，AB>BC.點(diǎn)D在邊BC上，CD=2BD，點(diǎn)E、F在線段AD上，∠1=∠2=∠BAC.若△ABC的面積為15，則△ACF與△BDE的面積之和為______．

參考答案1.(12.a23.a24.34

5.2025

6.?8

7.12

8.13或12

9.212810.2

11.90゜

12.9

13.50

14.50°或130°

15.8

16.2

17.2

18.3

19.16

20.9

21.90°

22.證明：(1)∵△ABC為等邊三角形，

∴∠B=∠BCA=60°，

∴∠ACF=120°，

∵CE為角平分線，

∴∠ECF=12∠ACF=60°=∠B，

∴CE//AB；

(2)如圖，過點(diǎn)D作DG//AC交AB于G，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠B=∠ACB=60°，AB=BC，

∴∠BGD=60°，∠AGD=120°，

∴△BDG是等邊三角形，

∴BG=BD，

∴AG=DC，

∵CE是∠ACB外角平分線，

∴∠ACE=12∠ACF=60°，

∴∠DCE=∠AGD=120°，

∴∠ADB+∠EDC=120°=∠ADB+∠DAG，

∴∠EDC=∠DAG，

在△AGD和△DCE中，

∠AGD=∠DCEAG=DC∠DAG=∠EDC

∴△AGD≌△DCE(SAS)，

∴GD=CE，

∴BD=CE，

∵∠ECF=60°，EF⊥CF，

∴∠CEF=30°，23.解：(1)因?yàn)锳B=AC，∠BAC=90°，

所以△ABC是等腰直角三角形，

所以∠ABC=∠C=45°，

所以∠BDE=12∠C=22.5°，

所以∠AFD=∠ABC+∠BDE=45°+22.5°=67.5°；

(2)在點(diǎn)D運(yùn)動過程中，BEDF的值是定值，理由如下：

過點(diǎn)D作AC的平行線，交AB于G，交BE的延長線于H，如圖1所示：

因?yàn)镚D//AC，

所以∠BGD=∠BAC=90°，

因?yàn)椤螦BC=45°，

所以∠BDG=45°=∠ABC，

所以△BDG是等腰直角三角形，

所以BG=GD，即∠BDH=45°，

所以∠EDH=45°?∠BDE=45°?22.5°=22.5°，

所以∠BDE=∠EDH=22.5°，

因?yàn)锽H⊥DE，

所以DB=DH，

所以∠H=∠DBH=67.5°，BE=EH，

又因?yàn)椤螲=∠DBE=67.5°，∠AFD=67.5°，

所以∠H=∠AFD，即∠H=∠GFD，

在△BHG和△DFG中，

∠H=∠GFD∠BGH=∠DGF=90°BG=DG

所以△BHG≌△DFG(AAS)，

所以DF=BH=2BE，

所以BEDF=12，為定值；

(3)如圖，當(dāng)CD=13BC=13a時，△ABD為銳角三角形，

分別作點(diǎn)P關(guān)于AD、AB的對稱點(diǎn)P′、P′′，連接P′P′′，分別交AB、AD于M、N，如圖2所示：

由對稱的性質(zhì)得：PM=P′′M，PN=P′N，AP′=AP=AP′′，∠P′AD=∠PAD，∠P′′AB=∠PAB，

則△PMN的周長=PM+MN+PN=P′′M+MN+P′N=P′P′′，∠P′AP′′=2∠BAD為定值，△AP′P′′是頂角為定值的等腰三角形，

當(dāng)腰長越小時，底邊長也越小，

當(dāng)24.證明：

特例探究：如圖2，

∵CF⊥AE，BD⊥AE，∠MAN=90°，

∴∠BDA=∠AFC=90°，

∴∠ABD+∠BAD=90°，∠ABD+∠CAF=90°，

∴∠ABD=∠CAF，

在△ABD和△CAF中，

∵∠ADB=∠CFA∠ABD=