高中數(shù)學(xué)：教學(xué)設(shè)計(jì)：三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一.課標(biāo)要求:

1.能畫出尸sinx,尸cosx,尸tanx的圖像，了解三角函數(shù)的周期性；

2.借助圖像理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2n],正切函數(shù)在（一n/2,n/2）上的性

質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖像與x軸交點(diǎn)等）；

3.結(jié)合具體實(shí)例，了解尸Nsin（wx+@）的實(shí)際意義；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出尸Nsin

（wx+“）的圖像，觀察參數(shù)N,w,6對函數(shù)圖像變化的影響。

二.命題走向

近幾年高考降低了對三角變換的考查要求，而加強(qiáng)了對三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的考查，

因?yàn)楹瘮?shù)的性質(zhì)是研究函數(shù)的一個(gè)重要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)和應(yīng)用技術(shù)學(xué)科的基礎(chǔ)，又是

解決生產(chǎn)實(shí)際問題的工具，因此三角函數(shù)的性質(zhì)是本章復(fù)習(xí)的重點(diǎn)。在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)

形結(jié)合的思想，把圖象與性質(zhì)結(jié)合起來，即利用圖象的直觀性得出函數(shù)的性質(zhì)，或由單位圓

上線段表示的三角函數(shù)值來獲得函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)也要能利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象,

這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。

預(yù)測07年高考對本講內(nèi)容的考察為：

1.題型為1道選擇題（求值或圖象變換），1道解答題（求值或圖像變換）；

2.熱點(diǎn)問題是三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，特別是尸Nsin（wx+?。┑膱D象及其變換；

三.要點(diǎn)精講

1.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像

,7Tjr

y=sinx的t遞增區(qū)間是2左?一萬,2左萬+萬（左wZ）,

遞減區(qū)間是2版■+多20+半（左"）；

y-cosx的遞增區(qū)間是\2k7r-兀,2k7i\（kGZ）,

遞減區(qū)間是［2左》,2左乃+?］（左wZ）,

y=tanx的遞增區(qū)間是［左萬一］,左乃+^］GZ）,

3.函數(shù)y=Asin（加+0）+B（其中A>。,G>0）

最大值是A+瓦最小值是5-A,周期是T=至，頻率是7=色，相位是好+9,初

92萬

相是0;其圖象的對稱軸是直線0x+0=br+W（keZ）,凡是該圖象與直線y=3的交點(diǎn)都是

該圖象的對稱中心。

4.由y=sinx的圖象變換出y=sin（3x+。）的圖象一般有兩個(gè)途徑，只有區(qū)別開這兩

個(gè)途徑，才能靈活進(jìn)行圖象變換。

利用圖象的變換作圖象時(shí)，提倡先平移后伸縮，但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn)無論哪種變

形，請切記每一個(gè)變換總是對字母x而言，即圖象變換要看“變量”起多大變化，而不是“角

變化”多少。

途徑一：先平移變換再周期變換（伸縮變換）

先將y=sinx的圖象向左（0>0）或向右（0<0=平移Icp\個(gè)單位，再將圖象上各點(diǎn)的

橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼墓け叮?>0）,便得y=sin（ox+的圖象。

①

途徑二：先周期變換（伸縮變換）再平移變換。

先將y=sinx的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍（。>0）,再沿x軸向左（0>0）或

向右（0<0=平移回個(gè)單位，便得y=sin（3x+M的圖象。

CD

5.由尸力sin（3x+o）的圖象求其函數(shù)式:

給出圖象確定解析式產(chǎn)/sin（3x+（p）的題型，有時(shí)從尋找“五點(diǎn)”中的第一零點(diǎn)（一必，0）

0）

作為突破口，要從圖象的升降情況牛津第一個(gè)零點(diǎn)的位置。

6.對稱軸與對稱中心：

y=sinx的對稱軸為x=左"+自，對稱中心為（左乃,0）k&Z

y=cosx的對稱軸為尤=左乃，對稱中心為（左"+30）；

對于y=Asin（ox+0）和y=Acos（a>x+（/>）來說，對稱中心與零點(diǎn)相聯(lián)系，對稱軸與最值點(diǎn)

聯(lián)系。

7.求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)式，要特別注意4

。的正負(fù)利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù),并且在同一單調(diào)區(qū)間；

8.求三角函數(shù)的周期的常用方法：

經(jīng)過恒等變形化成"y=Asin（ox+0）、y=Acos（ox+0）”的形式，在利用周期公式，

另外還有圖像法和定義法。

9.五點(diǎn)法作尸/sin（3x+（p）的簡圖：

五點(diǎn)取法是設(shè)ix+°，由x取0、g口、寺、2n來求相應(yīng)的x值及對應(yīng)的y值，

再描點(diǎn)作圖。

四.典例解析

題型1：三角函數(shù)的圖象

例1.（2000全國，5）函數(shù)y=—xcosx的部分圖象是（）

ABCD

解析：因?yàn)楹瘮?shù)尸一xcosx是奇函數(shù)，它的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以排除爾C,當(dāng)x

JI、

G(0,—)時(shí)，y=—xcosx<Qa答案為D。

2

例2.（2002上海，15）函數(shù)尸x+sin|x|,[—"，的大致圖象是（）

解析：由奇偶性定義可知函數(shù)y=x+sin\x\,為非奇非偶函數(shù)。選

項(xiàng)4D為奇函數(shù)，8為偶函數(shù)，。為非奇非偶函數(shù)。

點(diǎn)評：利用函數(shù)的性質(zhì)來描繪函數(shù)的圖象，這樣既有利于掌握函數(shù)的圖象與性質(zhì)，又能

熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法。

題型2：三角函數(shù)圖象的變換

例3.試述如何由^sin（2嗚）的圖象得到尸inx的圖象。

解析：y=-sin(2x+—)

33

橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍;y=Jsin（尤+巴）

縱坐標(biāo)不變"-33

圖象向右平移々個(gè)單位1

------------------------------>y=—sinx

縱坐標(biāo)不變3

縱坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍>x

橫坐標(biāo)不變,"1n

另法答案：

（1）先將尸,sin（2x+-）的圖象向右平移叫個(gè)單位，得尸，sin2x的圖象；

3363

（2）再將廣，sin2x上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），得尸,sinx的

33

圖象；

（3）再將尸Jsinx圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的3倍（橫坐標(biāo)不變），即可得到

3

尸sinx的圖象。

77

例4.（2003上海春，15）把曲線ycosx+2y~l=0先沿x軸向右平移一個(gè)單位，再沿y

2

軸向下平移1個(gè)單位，得到的曲線方程是（）

A.(1~y)sinx+2y—3=0B.(y—1)sinx+2y—3=0

C.(y+1)sin^+2y+l=0D.—(y+l)sin^+2y+l=0

jr

解析：將原方程整理為：片一-1-,因?yàn)橐獙⒃€向右、向下分別移動(dòng)二個(gè)單位和

2+cosx2

1個(gè)單位，因此可得尸------------1為所求方程.整理得(y+1)sinx+2y+l=0.

2+cos(x—

點(diǎn)評：本題考查了曲線平移的基本方法及三角函數(shù)中的誘導(dǎo)公式。如果對平移有深刻理

7T

解，可直接化為：(y+1)cos(x——)+2(y+1)-1=0,即得。選項(xiàng)。

2

題型3：三角函數(shù)圖象的應(yīng)用

例5.已知電流/與時(shí)間大的關(guān)系式為/=Asin(O/+0)。

冗

(1)右圖是/=Asin(次+0)(3>0,|^?|<—)

在一個(gè)周期內(nèi)的圖象，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)求/=Asin(o/+°)

的解析式；

(2)如果「在任意一段焉秒的時(shí)間內(nèi)，電流/=Asin(O/+0)都能取得最大值和最小

值，那么3的最小正整數(shù)值是多少？

解析:本小題主要考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力和邏輯推理能

力.

(1)由圖可知力=300。

11

設(shè)右---，[2=---------，

900180

1

則周期T=2(ti—t\)=2(---+----)

18090075

3==150"。

T

1=0,sin(150,

又當(dāng)亡=」一時(shí)，即---+0)=0,

180180

而??(P=—O

jr

故所求的解析式為/=300sin(150R+q)。

(2)依題意，周期TW」一,即至W二一,(3〉0)

150co150

3三300n>942,又SRN,

故最小正整數(shù)3=943。

點(diǎn)評:本題解答的開竅點(diǎn)是將圖形語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言.其中，讀圖、識(shí)圖、用圖是形數(shù)

結(jié)合的有效途徑。

例6.(1)(2003上海春，18)已知函數(shù)/1(x)=Jsin(OX+Q)(給0,。〉0,x?R)在

一個(gè)周期內(nèi)的圖象如圖所示，求直線尸J3與函數(shù)f(X)圖象的所見

有交點(diǎn)的坐標(biāo)。

771

解析：根據(jù)圖象得力=2,用一充一(——)=4",

22圖

1X

g=一,Aj=2sin(一+0),

22

又由圖象可得相位移為一生，.?.一號(hào)=一X,?,.(0--.BPj=2sin(—)

212424o

2

根據(jù)條件0=2sin(—%+—),'.—x+—=2k"+'1(NGZ)或一九+工=2N"+—"(N?Z),

24245243

jr、5

???產(chǎn)4A"+—(A￡Z)或A=4A"+—"(^GZ)o

66

，所有交點(diǎn)坐標(biāo)為(4A"+工,石)或(4^^+—,73)(N?Z)。

66

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的基本知識(shí),考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。

(2)(2002全國文5,理4)在(0,2")鹵1,使sinx>cosx成立的x取值范圍為()

4(工，工)U(",—)B.(一,")

4244

<n\.z57r31、

C.(-,—)D.(一，JI)U(—,—)

44442

解析：c；

解法一：作出在(0,2萬)區(qū)間上正弦和余弦函數(shù)的圖象，解出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)王和紅,

44

由圖1可得。答案。

解法二：在單位圓上作出一、三象限的對角線，由正弦線、余弦線知應(yīng)選a(如圖2)

題型4：三角函數(shù)的定義域、值域

例7.(1)已知F(x)的定義域?yàn)椋?,1］,求/'(cosx)的定義域；

(2)求函數(shù)尸Igsin(cosx)的定義域；

分析：求函數(shù)的定義域：(1)要使OWcosxWl,(2)要使sin(cosx)>0,這里的cosx

以它的值充當(dāng)角。

解析：(1)OWcosxVln2A幾一巴+三，且xW2A兀(A￡Z)。

22

.??所求函數(shù)的定義域?yàn)椋鹸I,2左兀+2］且,A￡Z｝。

22

(2)由sin(cosx)>0n2攵rVCOSXV2AJI+兀(A￡Z)。

又,:一1WcosxWl,「.OVcosxWl。

故所求定義域?yàn)椋鹸lx￡(2^n——,2k^+-),A￡Z｝。

22

點(diǎn)評：求三角函數(shù)的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角

函數(shù)線。

例8.(2003京春，18)已知函數(shù)f(x)=6cos4x-5COSF+1,求(外的定義域，

cos2x

判斷它的奇偶性，并求其值域。

jrk冗

解析：由cos2#0得2#4"+—，解得xW—+—，N?Z,所以/1(x)的定義域?yàn)椋鹸|及

224

「k兀、

￡R且產(chǎn)2^—71H—,Z｝,

24

因?yàn)镕(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱,

口、6cos4(一%)一5cos2(-%)+16cos4%—5cos2%+1、

且/■(一x)=-----------------------=------------------=f(X)。

cos(-2x)cos2x

所以/'(x)是偶函數(shù)。

又當(dāng)xW紅+工(ACZ)時(shí)，

24

「,、6cos4x-5cos2x+1(2cos2x-l)(3cos2x-1)、,

f<x)=------------------=----------------------=3cos2x-1o

cos2xcos2x

所以F(x)的值域?yàn)椋鹹|—1忘7<，或^_<7^2｝。

22

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的基本知識(shí)，考查邏輯思維能力、分析和解決問題的能力。

題型5：三角函數(shù)的單調(diào)性

例9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：

(1)y=-sin(———)；(2)y=~\sin(x+—)|。

2434

分析：(1)要將原函數(shù)化為產(chǎn)一工sin(2x—%)再求之。

234

(2)可畫出尸一|sin(x+三)|的圖象。

4

fzjj/1、1?z7i2x、1?z2x兀、

解：(1)T=-sin(————)=--sin(———一)。

243234

故由2An一巴W生一巴。

2342

匹WJ<3"+型(AGZ),為單調(diào)減區(qū)間；

88

由20+巴W在一汽W2Nn+—o

2342

(AGZ),為單調(diào)增區(qū)間。

88

,遞減區(qū)間為［3AJT-—,3An+羽］,

88

遞增區(qū)間為［30+型，3^Ji+—］(AGZ)。

88

(2)y=—|sin(x+三)|的圖象的增區(qū)間為［Nn+:+—］,減區(qū)間為［An—。，

4444

4

例10.(2002京皖春文，9)函數(shù)尸2s3的單調(diào)增區(qū)間是()

TTTT

A.12kH——,2A"+—](?￡Z)

22

TT4冗

B.[2A"+—,2N"+—](NGZ)

22

C.\_2kn—n,2k(NGZ)

D.\_2kJI,2N"+JC](N?Z)

解析：A；函數(shù)尸2”為增函數(shù)，因此求函數(shù)片2、皿的單調(diào)增區(qū)間即求函數(shù)尸sinx的單調(diào)

增區(qū)間。

題型6：三角函數(shù)的奇偶性

例11.判斷下面函數(shù)的奇偶性：F(x)=lg(sinx+71+sin2x)□

分析：判斷奇偶性首先應(yīng)看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后再看/'(x)與/'(—X)的關(guān)系。

解析：定義域?yàn)镽,又f(x)+f(—x)=lgl=o,

即/1(—x)=-f(x),/(x)為奇函數(shù)。

點(diǎn)評：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要(但不充分)條件。

例12.(2001上海春)關(guān)于x的函數(shù)/1(x)=sinQx+(p)有以下命題：

①對任意的°,F(x)都是非奇非偶函數(shù)；

②不存在",使廣(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)；

③存在°,使F(x)是奇函數(shù)；

④對任意的°,fQx)都不是偶函數(shù)。

其中一個(gè)假命題的序號(hào)是.因?yàn)楫?dāng)8=時(shí)，該命題的結(jié)論不成立。

TT1T

答案：①，kJi(NWZ)；或者①，—+kn(NCZ)；或者④，—+kn(N?Z)

22

解析：當(dāng)(p=2kn,N?Z時(shí)，f(x)=sinx是奇函數(shù)。當(dāng)夕=2(N+1)"，N?Z時(shí)/1(x)

ITjr

二一sinx仍是奇函數(shù)。當(dāng)0=2?"+萬，4￡Z時(shí)，fCx)=cosx,或當(dāng)cp=2k兀-3,A￡Z時(shí)，

f3二一cosx,f3都是偶函數(shù).所以②和③都是正確的。無論0為何值都不能使F(x)

恒等于零。所以/>(X)不能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。①和④都是假命題。

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)的奇偶性、誘導(dǎo)公式以及分析問題的能力，注意NCZ不能不寫,

否則不給分，本題的答案不惟一，兩個(gè)空全答對才能得分。

題型7：三角函數(shù)的周期性

例13.求函數(shù)尸sin'x+cos'的最小正周期，并求為為何值時(shí)，y有最大值。

分析：將原函數(shù)化成片力sinQax+中)+8的形式，即可求解。

解析：y=sin6A+cos6A=(sin2A+cos2jr)(sin'x—sin2xcos2x+cos4x)

993935

=1—3sinjrcos^￥=l——sin2A=-COS4^+-。

488

?02-兀

??—O

2

當(dāng)cos4尸1,即肝包(A￡Z)時(shí)，加口。

2

jr

例14.設(shè)/(九)=〃sinm+bcos@;(G>0)的周期T=萬，最大值/(—)=4,

(1)求①、a、b的值；

(2)若夕、、。為方程/(%)=。的兩根，1、、修冬邊不共線，求tan。+4)的值。

解析：⑴/(%)=y/a2+b2sin(6m;+cp),:.T=re,:.a)=2,

又??,/(%)的最大值。

*.*/(-)=4,:.4=」a2+/①,且4=asin—+bcos—(5),

121212

由①、②解出爐2,左3.

⑵/(x)=2sin2x+2岳°s2x=4sin(2x+g),—,

,4sin(2c^+y)=4sin(2/?+g),

JTTTTTJT

la+—=Ikn+2/3+—,或2。+耳=2k兀+?—(2尸+―),

TT

即a=k兀+[3(a、B共線，故舍去)，或a+(3=kji+—,

6

兀C

tan(6z+尸)—tan(左乃H—)——(kGZ)0

63

點(diǎn)評：方程組的思