3.2.2雙曲線簡單的幾何性質(zhì)（一）課件高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

3.2.2雙曲線簡單的幾何性質(zhì)(一)焦點(diǎn)F到漸近線距離為b定義圖象方程焦點(diǎn)a.b.c的關(guān)系||MF1|-|MF2||=2a（0

<2a<|F1F2|）F(±c,0)

F(0,±c)復(fù)習(xí)：一、研究雙曲線的簡單幾何性質(zhì)1、范圍xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)新授課xy-aa2.對(duì)稱性:O從圖形上看，雙曲線關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱.

從方程上看：

(1)把x換成-x方程不變，圖象關(guān)于

軸對(duì)稱；

(2)把y換成-y方程不變，圖象關(guān)于

軸對(duì)稱；

(3)把x換成-x，同時(shí)把y換成-y方程不變，

圖象關(guān)于

成中心對(duì)稱。y

x

原點(diǎn)

坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸,原點(diǎn)是雙曲線的對(duì)稱中心.雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的中心.新授課3、頂點(diǎn)（1）雙曲線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，叫做雙曲線的頂點(diǎn)xyo-bb-aa如圖，線段叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長為2a,a叫做實(shí)半軸長；線段叫做雙曲線的虛軸，它的長為2b,b叫做雙曲線的虛半軸長（2）實(shí)軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線（3）3.頂點(diǎn):xyO-bb-aa注：實(shí)軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線.新授課M(x,y)4、漸近線N(x,y')Q慢慢靠近xyoab實(shí)際上，雙曲線與它的漸近線無限接近，但永不相交．探究新知考點(diǎn)二雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法2.與雙曲線共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為:3.與雙曲線共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為:1.當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)位置無法確定時(shí)，其方程可設(shè)為:4.以直線

為漸近線的雙曲線方程可設(shè)為:5、離心率離心率。c>a>0e>1e是表示雙曲線開口大小的一個(gè)量,e越大開口越大（1）定義：（2）e的范圍：（3）e的含義：雙曲線的離心率刻畫了雙曲線的“張口”大小雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比,叫做雙曲線的離心率.∵c>a>0∴e>1(1)定義：(2)e的范圍：(3)e的含義：(4)等軸雙曲線的離心率e=?5、離心率x2－y2＝λ(λ≠0)y＝±x2axyo-aab-b（1）范圍:（2）對(duì)稱性:關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)都對(duì)稱（3）頂點(diǎn):(0,-a)、(0,a)（4）漸近線:（5）離心率:小結(jié)或或關(guān)于坐標(biāo)軸和原點(diǎn)都對(duì)稱性質(zhì)雙曲線范圍對(duì)稱性

頂點(diǎn)漸近線離心率圖象例1:

求雙曲線的實(shí)半軸長,虛半軸長,焦點(diǎn)坐標(biāo),離心率、漸近線方程。解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得:實(shí)半軸長a=4虛半軸長b=3半焦距c=焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-5),(0,5)離心率:漸近線方程:14416922=-xy1342222=-xy53422=+45==ace題型一：幾何性質(zhì)題型講解變式:1、若雙曲線的漸近線方程為則雙曲線的離心率為

。題型二：幾何性質(zhì)的應(yīng)用例2:48例題

求出下列雙曲線的漸近線方程，并歸納出一般結(jié)論．題型三：求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程例3:法二：巧設(shè)方程,運(yùn)用待定系數(shù)法.⑴設(shè)雙曲線方程為,法二：設(shè)雙曲線方程為∴雙曲線方程為∴,解之得k=4,1、“共漸近線”的雙曲線的應(yīng)用λ>0表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；λ<0表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線?？偨Y(jié)：(5)漸近線為y＝kx的雙曲線方程可設(shè)為k2x2－y2＝λ(λ≠0)．(6)漸近線為ax±by＝0的雙曲線方程可設(shè)為a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).k2x2－y2＝λ(λ≠0)a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)題型四：離心率p·e2＋q·e＋r＝02．求雙曲線離心率的取值范圍，通常構(gòu)造不等式求得，特別注意雙曲線離心率

．e∈(1，＋∞)(3)利用方程求．若得到的是關(guān)于a，c的齊次方程，即p·c2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r為常數(shù)，且p≠0)，則轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程

求解．取值范問題變式：設(shè)△ABC為等腰三角形，∠ABC=120°,則以A、B為焦點(diǎn)且過點(diǎn)C的雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.B2.過頂點(diǎn)A作x軸的垂線,它與其中一條漸近線的交點(diǎn)為S,則lSAl=___，lOSl=___，點(diǎn)S的坐標(biāo)為__________。1.過焦點(diǎn)F作漸近線的垂線，垂足為H，則lFHl=___，lOHl=___，點(diǎn)H的坐標(biāo)為__________.yoFHbcabayoFSbcabc特殊性1——雙曲線中“漸近線”的性質(zhì)A雙曲線中“漸近線”性質(zhì)的拓展PMN性質(zhì)1:QR12=+byax222（a＞b＞0）12222=-byax(a＞0b＞0)222=+ba(a＞0b＞0)c222=-ba(a＞b＞0)c橢圓雙曲線方程abc關(guān)系圖象橢圓與雙曲線的比較yXF10F2MXY0F1F2p小結(jié)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱圖形方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱漸近線..yB2A1A2B1

xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)3.2.2雙曲線簡單的幾何性質(zhì)

(二)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱圖形方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率A1（-a，0），A2（a，0）A1（0，-a），A2（0，a）關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱漸進(jìn)線..yB2A1A2B1

xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)復(fù)習(xí)：yB2A1A2B1

xO..F2F1yxOA2B2A1B1..F1F2關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱圖形方程范圍對(duì)稱性頂點(diǎn)離心率A1（-a，0），A2（a，0）B1（0，-b），B2（0，b）F1(-c,0)F2(c,0)F1(-c,0)F2(c,0)關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱A1（-a，0），A2（a，0）漸進(jìn)線無1、“共漸近線”的雙曲線λ>0表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線；λ<0表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線。2、“共焦點(diǎn)”的雙曲線（1）與橢圓有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程表示為（2）與雙曲線有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程表示為復(fù)習(xí)練習(xí)：

2、

求與橢圓有共同焦點(diǎn)，漸近線方程為的雙曲線方程。3、求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，以橢圓的頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線的方程。例1、雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高55m.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程(精確到1m).

A′A0xC′CB′By131225例題講解xyOlF引例：點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(c,0)的距離和它到定直線的距離比是常數(shù)(c>a>0)，求點(diǎn)M的軌跡.M解：設(shè)點(diǎn)M(x,y)到l的距離為d，則即化簡得(c2－a2)x2－

a2y2=a2(c2

－a2)設(shè)c2－a2=b2，(a>0,b>0)故點(diǎn)M的軌跡為實(shí)軸、虛軸長分別為2a、2b的雙曲線.b2x2－a2y2=a2b2即就可化為:M點(diǎn)M的軌跡也包括雙曲線的左支.探究一：雙曲線的第二定義雙曲線的第二定義

平面內(nèi)，若定點(diǎn)F不在定直線l上，則到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離比為常數(shù)e(e>1)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。

定點(diǎn)F是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率.對(duì)于雙曲線是相應(yīng)于右焦點(diǎn)F(c,0)的右準(zhǔn)線類似于橢圓是相應(yīng)于左焦點(diǎn)F′(-c,0)的左準(zhǔn)線xyoFlMF′l′點(diǎn)M到左焦點(diǎn)與左準(zhǔn)線的距離之比也滿足第二定義.想一想：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的準(zhǔn)線方程是怎樣的？xyoF相應(yīng)于上焦點(diǎn)F(c,0)的是上準(zhǔn)線相應(yīng)于下焦點(diǎn)F′(-c,0)的是下準(zhǔn)線F′xyOlF例：點(diǎn)M(x,y)與定點(diǎn)F(5,0)的距離和它到定直線的距離比是常數(shù)，求點(diǎn)M的軌跡.M解：設(shè)點(diǎn)M(x,y)到l的距離為d，則即化簡得

故點(diǎn)M的軌跡為實(shí)軸、虛軸長分別為8、6的雙曲線.9x2－16y2=144即M點(diǎn)M的軌跡也包括雙曲線的左支.求軌跡方程記得檢驗(yàn)2.過頂點(diǎn)A作x軸的垂線,它與其中一條漸近線的交點(diǎn)為S,則lSAl=___，lOSl=___，點(diǎn)S的坐標(biāo)為__________。1.過焦點(diǎn)F作漸近線的垂線，垂足為H，則lFHl=___，lOHl=___，點(diǎn)H的坐標(biāo)為__________.yoFHbcabayoFSbcabc特殊性1——雙曲線中“漸近線”的性質(zhì)A雙曲線中“漸近線”性質(zhì)的拓展PMN性質(zhì)1:QR歸納總結(jié)1.雙曲線的第二定義

平面內(nèi)，若定點(diǎn)F不在定直線l上，則到定點(diǎn)F的距離與到定直線l的距離比為常數(shù)e(e>1)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。

定點(diǎn)F是雙曲線的焦點(diǎn)，定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線，常數(shù)e是雙曲線的離心率。2.雙曲線的準(zhǔn)線方程對(duì)于雙曲線準(zhǔn)線為對(duì)于雙曲線準(zhǔn)線為注意:把雙曲線和橢圓的知識(shí)相類比.

一般地,若P(x0,y0)是橢圓(a>b>0)上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到左焦點(diǎn)F1的距離為:

點(diǎn)P到右焦點(diǎn)F2的距離為:xyOF1P(x0,y0)F2|PF1|、|PF2|稱為焦半徑，|PF1|=a+ex0、|PF2|=a-ex0稱為焦半徑公式，當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，焦半徑公式：

|PF1|=a+ey0、|PF2|=a-ey0焦半徑公式：復(fù)習(xí)例1.

設(shè)M（x1,y1)是雙曲線上一點(diǎn),求M到雙曲線兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離.xyOlF2設(shè)M（x1,y1)到雙曲線兩焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2相應(yīng)的準(zhǔn)線的距離為d1,d2.解：由橢圓的第二定義可知：F1如果點(diǎn)M在雙曲線右支上，絕對(duì)值符號(hào)怎樣去掉？如果點(diǎn)M在雙曲線左支上，絕對(duì)值符號(hào)怎樣去掉？雙曲線焦半徑公式及其記憶方法：F1F2絕對(duì)值內(nèi)看焦，左加右減;去絕對(duì)值看支，左負(fù)右正xy點(diǎn)M在右支上當(dāng)x1>a時(shí)當(dāng)x1<-a時(shí)點(diǎn)M在左支上練習(xí).已知雙曲線的同一支線上不同的三A（x1,y1)

，

B(,6),C（x2,y2)

與焦點(diǎn)F（0，5）的距離成等差數(shù)列，求y1+y2=

.解：∵雙曲線為∴a2=12,b2=13∴c2=252.在雙曲線上任取兩點(diǎn)A,B，則線段AB就是雙曲線的弦，AB的長就是弦長.1.在幾何學(xué)中，若一線段的兩個(gè)端點(diǎn)都在曲線上，則該線稱作該曲線的弦.弦的概念橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法判斷方法（代數(shù)法）?<0?=0?>0（1）聯(lián)立方程組（2）消去一個(gè)未知數(shù)（3）復(fù)習(xí):相離相切相交探究二：直線與雙曲線的位置關(guān)系1)位置關(guān)系種類XYO種類:相離;相切;相交(分別為0個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)交點(diǎn)或兩個(gè)交點(diǎn))2)位置關(guān)系與交點(diǎn)個(gè)數(shù)相離:0個(gè)交點(diǎn)相交:一個(gè)交點(diǎn)相交:兩個(gè)交點(diǎn)相切:一個(gè)交點(diǎn)(b2-a2k2)x2-2kma2x-a2(m2+b2)=01.二次項(xiàng)系數(shù)為0時(shí)，L與雙曲線的漸近線平行或重合。重合：無交點(diǎn)；平行：有一個(gè)交點(diǎn)。2.二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí),上式為一元二次方程,Δ>0直線與雙曲線相交（兩個(gè)交點(diǎn)）

Δ=0直線與雙曲線相切

Δ<0直線與雙曲線相離3)判斷直線與雙曲線位置關(guān)系的操作程序把直線方程代入雙曲線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行相交（一個(gè)交點(diǎn)）

計(jì)算判別式>0=0<0相交相切相離②相切一點(diǎn):

△=0③相離:△<0

注意:①相交兩點(diǎn):

同側(cè)：＞0

異側(cè):＜0

一點(diǎn):直線與漸進(jìn)線平行△＞0特別注意直線與雙曲線位置關(guān)系中：一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支。1.過點(diǎn)P(1,1)與雙曲線

只有共有_______條.

變式:將點(diǎn)P(1,1)改為1.A(3,4)2.B(3,0)3.C(4,0)4.D(0,0).答案又是怎樣的?41.兩條;2.三條;3.兩條;4.零條.交點(diǎn)的一個(gè)直線XYO。概念練習(xí)題：（1,1）例.已知直線y=kx-1與雙曲線x2-y2=4,試討論實(shí)數(shù)k的取值范圍,使直線與雙曲線(1)沒有公共點(diǎn);(2)有兩個(gè)公共點(diǎn);(3)