蘇科版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊2.5 線段、角的軸對稱性（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)練）（含答案）

專題2.5線段、角的軸對稱性（專項(xiàng)練習(xí)）（培優(yōu)練）一、單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（22-23八年級下·山西太原·階段練習(xí)）如圖，在中，，，平分，交于點(diǎn)，于點(diǎn)，且，則的周長為（）A． B． C． D．2．（23-24八年級上·廣西南寧·開學(xué)考試）已知，如圖，是內(nèi)部的一條射線，P是射線上任意點(diǎn)，，下列條件中：①，②，③，④，能判定是的角平分線的有（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．（23-24七年級下·山東濟(jì)南·期末）如圖，在中，，，根據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，可知（）A． B． C． D．4．（23-24七年級下·山東煙臺·期末）如圖，在中，，D為的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，M為直線上任意一點(diǎn)．若，面積為10，則長度的最小值為（

）A．4 B．5 C．6 D．75．（23-24八年級下·遼寧阜新·期末）如圖，在中，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于F，直線交于點(diǎn)E，連接，若，的周長為9，則的周長為（

）A．11 B．12 C．13 D．146．（23-24八年級上·河北保定·期末）如圖，在中，，，垂直平分線段，P是直線上的任意一點(diǎn)，則周長的最小值是（

）A．9 B．15 C．24 D．277．（23-24七年級下·山東泰安·期末）如圖，已知中，，尺規(guī)作圖如下：分別以點(diǎn)、點(diǎn)為圓心，大于長為半徑作弧，連接兩弧交點(diǎn)的直線交于點(diǎn)，連接：以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交于點(diǎn)，分別以點(diǎn)，為半徑，以大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)，連接，延長交于點(diǎn)，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．8．（2024·遼寧錦州·二模）已知，用圓規(guī)和沒有刻度的直尺，按如圖所示的步驟作出，觀察圖中的作圖痕跡，可以得出的度數(shù)為（

）A． B． C． D．9．（2024八年級·全國·競賽）如圖，點(diǎn)，在直線的兩側(cè)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，，點(diǎn)是上異于點(diǎn)的一點(diǎn)，則（

）．A． B．C． D．以上都有可能10．（2024·江西·二模）我們知道光的反射是一種常見的物理現(xiàn)象.如圖，某V型路口放置如圖所示的兩個平面鏡，，兩個平面鏡所成的夾角為，位于點(diǎn)D處的甲同學(xué)在平面鏡中看到位于點(diǎn)A處的乙同學(xué)的像，其中光的路徑為入射光線經(jīng)過平面鏡反射后，又沿射向平面鏡，在點(diǎn)C處再次反射，反射光線為，已知入射光線，反射光線，則等于（

）A． B． C． D．11．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）如圖，在中，，點(diǎn)到三邊的距離相等，則的度數(shù)為．12．（22-23七年級下·山東青島·期末）如圖，在中，的角平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)O，連接．若，則．

13．（2024·吉林白城·模擬預(yù)測）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，若，，則的度數(shù)為．14．（23-24七年級下·重慶·階段練習(xí)）如圖，是的角平分線，點(diǎn)B在射線上，是線段的中垂線交于E，．若，則．15．（22-23八年級上·湖北孝感·期中）如圖，中，D在下方且，平分交的延長線于E，連接，則與的數(shù)量關(guān)系式為．16．（21-22八年級上·陜西安康·期末）如圖，的面積為24，的長為8，平分，E、F分別是和上的動點(diǎn)，則的最小值為．17．（23-24八年級上·吉林·階段練習(xí)）如圖，中，點(diǎn)、是與三等分線的交點(diǎn)，則的度數(shù)是．18．（23-24八年級上·吉林松原·期末）如圖，是的角平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，下列結(jié)論：；；；；，正確的是（填序號）．

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）19．（8分）（23-24七年級下·黑龍江哈爾濱·期末）如圖，，，垂足分別為、．交于點(diǎn)，．（1）求證：；（2）若，，求的面積．20．（10分）（23-24八年級上·江蘇南京·階段練習(xí)）如圖，垂足分別為A、D，分別平分交點(diǎn)E恰好在上．（1）成立嗎？為什么？（2）求證：．21．（10分）（24-25八年級上·全國·假期作業(yè)）如圖，已知是等腰直角三角形，，是的平分線，，垂足為．（1）是等腰三角形嗎？請說明理由；（2）與垂直嗎？請說明理由？22．（10分）（24-25八年級上·全國·課后作業(yè)）如圖，在四邊形中，，，，，動點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以的速度向B點(diǎn)移動，設(shè)移動的時間為.（1）當(dāng)x為何值時，點(diǎn)E在線段的垂直平分線上？（2）在（1）的條件下，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．23．（10分）（22-23八年級下·山東棗莊·期中）在中，是平分線上一點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．（1）如圖，連結(jié)，恰好平分．①寫出線段的數(shù)量關(guān)系：；②當(dāng)時，求的度數(shù)；（2）如圖，交于點(diǎn)，①尺規(guī)作圖，作的平分線交于點(diǎn)；②作交于點(diǎn)，當(dāng)?shù)拇笮“l(fā)生變化時，的值是否發(fā)生變化？并說明理由．24．（12分）（23-24八年級下·山東威?！て谀?）閱讀理解：如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．可以用如下方法：延長至點(diǎn)E，使，連接在中，利用三角形三邊的關(guān)系求出的取值范圍；（2）問題解決：如圖②，在中，D是邊上的中點(diǎn)，于點(diǎn)D，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接，求證：；（3）問題拓展：如圖③，在四邊形中，，，，以C為頂點(diǎn)作一個的角，角的兩邊分別交，于E、F兩點(diǎn)，連接，探索線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．參考答案：1．B【分析】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，然后求出的周長．【詳解】解：平分，，，，在和中，，，，的周長，，，，，，，的周長為．故選：B2．D【分析】本題考查了角平分線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握角平分線的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)角平分線的定義可判斷①的正誤；由角平分線的判定定理可判斷②的正誤；證明可判斷③的正誤；證明，可判斷④的正誤．【詳解】解：∵，∴是的角平分線，故①符合要求；∵，，∴是的角平分線，故②符合題意；∵，，∴，∴，∴是的角平分線，故③符合要求；∵，，，∴，∴，∴是的角平分線，故④符合要求；故選：D．3．C【分析】本題考查三角形外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)．先用三角形內(nèi)角和求出，再用角平分線求出，由線段垂直平分線知，然后用外角性質(zhì)求出，最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和求出．【詳解】解：在中，，，，由作圖可知，平分，垂直平分，，，，，故選：C．4．B【分析】本題考查作圖-基本作圖、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、軸對稱-最短路徑問題，連接，交直線于點(diǎn)N，設(shè)交于點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時，長度最小，最小值即為的長，結(jié)合已知條件求出即可．【詳解】解：連接，交直線于點(diǎn)N，設(shè)交于點(diǎn)G，由題意得，直線為線段的垂直平分線，∴，∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時，長度最小，最小值即為的長．∵，D為的中點(diǎn)，∴，∵，面積為10，∴，解得．故選：B．5．C【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)線段中點(diǎn)的定義可得，根據(jù)題意可得是的垂直平分線，從而可得，然后根據(jù)的周長為9，可得，從而求出的周長，即可解答．【詳解】∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴，由題意得：是的垂直平分線，∴，∵的周長為9，∴，∴，∴，∴的周長，故選：C．6．B【分析】本題考查了軸對稱的最短路線問題，線段垂直平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)；連接．求出的最小值可得結(jié)論．【詳解】如圖，連接，垂直平分線段，，當(dāng)P和E重合時，的值最小，最小值為，，的最小值為9，的周長的最小值為，故選：B7．A【分析】本題考查了對“線段垂直平分線”與“角平分線”的作法理解，解題的關(guān)鍵是知曉作法的過程．由作法過程可知垂直平分線段，由對稱性可得出；再由作法過程知平分，于是得出，故的度數(shù)可求．【詳解】解：根據(jù)作圖過程可知，是線段的垂直平分線，∴點(diǎn)A與點(diǎn)C關(guān)于直線對稱，則，∵，且由作圖過程知平分，∴，∴．故選：A．8．C【分析】本題考查了復(fù)雜作圖掌握三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、及三角形的外角定理，先根據(jù)作圖得出，平分，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理、角平分線的性質(zhì)、及三角形的外角定理求解，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由作圖得：，平分，，，，，，故選：Ｃ．9．A【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，垂直平分線的判定與性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握全等三角形的判定方法，垂直平分線的性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．作交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，通過證明，得到是的垂直平分線，進(jìn)而得到，，利用三角形三邊關(guān)系，得到答案．【詳解】解：如圖，作交的延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，在和中，，，，是的垂直平分線，，，，，，．故選：．10．C【分析】本題考查了光的反射定律，平行線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．由光的反射定律以及平行線的性質(zhì)，推出，再結(jié)合三角形內(nèi)角和，推出的度數(shù)．【詳解】如圖所示，由光的反射定律，可以知道，，，故選：C．11．/135度【分析】本題考查角平分線的判定，根據(jù)點(diǎn)到三邊的距離相等，得出點(diǎn)在的角平分線上，即可得解．解題的關(guān)鍵是掌握：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．【詳解】解：∵點(diǎn)到三邊的距離相等，∴點(diǎn)在的角平分線上，即與都是的角平分線，∴，，∵，∴，∴，∴，∴的度數(shù)為．故答案為：．12．/72度【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，由角平分線的定義可得，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得的度數(shù)，進(jìn)而可求解．【詳解】解：垂直平分，，，平分，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，利用三角形的內(nèi)角和定理求解的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．13．/度【分析】本題考查的是線段的垂直平分線的作圖，角平分線的作圖，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)．本題先證明，求解，結(jié)合角平分線的作圖以及三角形內(nèi)角和定理可得答案．【詳解】解：由作圖可得：是的垂直平分線，∴，∴，∵，∴，由作圖可得：是的角平分線，∴；∵，∴故答案為：．14．/46度【分析】連接，過E作于R，交于Q，根據(jù)角平分線性質(zhì)和線段垂直平分線的性質(zhì)得出，，根據(jù)全等求出，求出，即可求出答案．【詳解】解：連接，過E作于R，交于Q，∵是線段的中垂線，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵平分，，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識點(diǎn)進(jìn)行推理和計(jì)算是解此題的關(guān)鍵，注意：①線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個端點(diǎn)的距離相等，②角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等．15．【分析】先設(shè)與交于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接，接著求出垂直平分，然后證明，最后根據(jù)四邊形內(nèi)角和等于，即求出與的數(shù)量關(guān)系．【詳解】如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，連接，平分，，在與中，，，，，，，垂直平分，，，，，，，，在四邊形中，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】主要考查了對垂直平分線的應(yīng)用，四邊形內(nèi)角和以及三角形全等證明，解決這類題目的方法是要多做，特別是要學(xué)會添加輔助線．16．6【分析】在上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)C作，垂足為H，連接、，交于，得出．根據(jù)E、F分別是和上的動點(diǎn)，三角形三邊的關(guān)系和垂線段最短得出，求出的長即可得出的最小值．【詳解】解：如圖所示，在上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)C作，垂足為H，連接、，交于，．∵的面積為24，的長為8，∴，∴，∵平分，∴又∵，，∴≌（SAS），∴，∴，∵E、F分別是和上的動點(diǎn)，∴，∴∴當(dāng)C、E、共線且點(diǎn)與點(diǎn)H重合時，即，這時的值最小，∴最小值為6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查軸對稱—最短路線問題．靈活應(yīng)用角平分線性質(zhì)、三角形三邊的關(guān)系、垂線段最短，將所求最小值轉(zhuǎn)化為求的長是解題的關(guān)鍵．17．/52度【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的三角形的內(nèi)角和定理．過點(diǎn)N作于G，于E，于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上判斷出平分，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和等于求出再根據(jù)角的三等分求出的度數(shù)，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出的度數(shù)，從而得解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)N作于G，于E，于F，∵點(diǎn)、是與三等分線的交點(diǎn)，∴平分，平分，∴，∴，∴平分，∴，∵，∴，∴，在中，∴．故答案為：．18．【分析】此題主要是綜合運(yùn)用了角平分線的性質(zhì)定理和線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理，得點(diǎn)在的垂直平分線上；根據(jù)等角對等邊，，則點(diǎn)在的垂直平分線上，從而可證得；又因?yàn)?，為公共邊，是角平分線，從而可根據(jù)證明，則有，由則有，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點(diǎn)的的應(yīng)用．【詳解】∵為的角平分線，于，于，∴，∴點(diǎn)在的垂直平分線上，，∵，∴，∴，故正確；∴點(diǎn)在的垂直平分線上，∴，故正確；∵，，，∴，∴，故錯誤，由，，∴，∴，故正確；∵的大小不確定，∴不能確定，故錯誤，綜上可知：正確，故答案為：．19．(1)證明見解析(2)【分析】本題主要考查了三角形全等，角平分線．熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線的判定定理，三角形面積計(jì)算公式，是解題的關(guān)鍵．（1）先證明，得到，再根據(jù)角的平行線性質(zhì)判定即可；（2）由得到，證明，得到，即得．【詳解】（1）于D點(diǎn)，于點(diǎn)，，在和中，，，，．平分，．（2），在和中，，，，，，．20．(1)成立，理由見解析(2)見解析【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)：（1）過點(diǎn)作，證明，，得到，即可得證；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，即可得證．【詳解】（1）解：成立，理由如下：過點(diǎn)作，∵分別平分∴，，又∵，∴，，∴，∴；（2）∵，，∴，∵，∴，即：，∴．21．(1)是，見解析(2)垂直，見解析【分析】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得，再根據(jù)等腰三角形的定義解答；（2）利用“”證明和全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，然后根據(jù)到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上解答．【詳解】（1）解：是等腰三角形．理由如下：，是的平分線，，，是等腰三角形；（2）解：．理由如下：在和中，，，，又，．22．(1)當(dāng)時，點(diǎn)E在線段的垂直平分線上(2)與的位置關(guān)系是理由見解析【分析】（1）根據(jù)題意，，，結(jié)合，當(dāng)，時，繼而得到，可證點(diǎn)E在線段的垂直平分線上，此時，．（2）根據(jù)，得，根據(jù)，得，繼而得到，得到可證．本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，線段垂直平分線的定義，垂直的定義，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，垂直的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，，，∵，∴，時，∵，∴，∴，∴點(diǎn)E在線段的垂直平分線上，∴．故當(dāng)時，點(diǎn)E在線段的垂直平分線上．（2）解：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴．23．(1)①；②；(2)①作圖見解析；②的值不發(fā)生變化，理由見解析．【分析】（）①由平行線的性質(zhì)和角平分線的定義可得，，即得，，根據(jù)即可求解；②由三角形