蘇科版2024-2025學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊2.6等腰三角形的軸對稱性(知識梳理與考點(diǎn)分類講解)(人教版)(學(xué)生版+解析)

專題2.6等腰三角形的軸對稱性（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識點(diǎn)歸納】【知識點(diǎn)一】等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．【要點(diǎn)提示】等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.【知識點(diǎn)二】等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．2.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．3.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．【知識點(diǎn)三】等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.【要點(diǎn)提示】等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】等腰三角形的定義【例1】（2024八年級上·全國·專題練習(xí)）已知等腰三角形的兩邊，，滿足，求此等腰三角形的周長．【變式1】（22-23八年級上·河南商丘·開學(xué)考試）若一等腰三角形周長為16，則該等腰三角形的腰長x的取值范圍是（）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級下·遼寧丹東·期末）等腰三角形的兩個內(nèi)角的度數(shù)之比是，則它頂角的度數(shù)為．【題型2】“等邊對等角”進(jìn)行求值與證明【例2】（22-23七年級下·湖南長沙·期末）如圖，已知，與交于點(diǎn)F，求證：平分．【變式1】（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，D、E分別是，邊上的點(diǎn)，連接、相交于點(diǎn)F，若，，下列等量關(guān)系不一定成立的是（

）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級下·四川成都·期末）如圖，為等腰直角三角形，，點(diǎn)在延長線上，連接，以為邊作等腰直角，連接交于點(diǎn)，則．【題型3】“三線合一”進(jìn)行求值與證明【例3】（23-24七年級下·寧夏銀川·期末）如圖，已知平分，，，垂足分別為，．求證：

(1)平分：（2）是的垂直平分線．證明：（1）平分①∵

∠OAP=∠OBP=90°（②）在和中（④）（⑤）平分(2)平分⑥

⑦

⑧（三線合一）是的垂直平分線【變式1】（2024·甘肅隴南·三模）如圖，在中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)和點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，則的長是（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】（23-24七年級下·山東棗莊·期末）是等邊三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，連接，則．【題型4】“等角對等邊”進(jìn)行求值與證明【例4】（21-22八年級上·上海青浦·期末）已知：如圖，點(diǎn)D是的邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作，，垂足分別為E、F，再過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)G，且．求證：（1)；(2)．【變式1】在中，平分，則的長為（）A． B． C． D．【變式2】（23-24七年級下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，中，、分別平分和，過點(diǎn)平行于的直線分別交、于點(diǎn)、，已知，，的周長為．【題型5】利用等腰三角形的性質(zhì)與判定進(jìn)行證明與求值【例5】（23-24八年級上·四川成都·開學(xué)考試）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合）．以D為頂點(diǎn)作，射線交邊于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）試探究當(dāng)?shù)拈L為多少時，？請給出你的結(jié)論，并說明理由；（3）過點(diǎn)A在右側(cè)作，交射線于點(diǎn)F，連接．當(dāng)為等腰三角形時，求的度數(shù)．【變式1】（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，中，，，為的中點(diǎn)，，分別在，上，且，若，，則（

）

A． B． C． D．【變式2】（23-24八年級上·廣西河池·期末）如圖，，點(diǎn)P是內(nèi)的一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在、上移動，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點(diǎn)，相交于點(diǎn)G，，，．（1）求證：是等腰三角形；(2）連接，則與l的位置關(guān)系是________．【例2】（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在中，，，，則的度數(shù)為；

2、拓展延伸【例1】（22-23八年級上·海南省直轄縣級單位·期末）在中，，．將一個含角的直角三角尺按圖所示放置，使直角三角尺的直角頂點(diǎn)D恰好落在邊的中點(diǎn)處．將直角三角尺繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，設(shè)交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，示意圖如圖所示．（1）求證：；（2）連接，，如圖所示，求證：；（3）延長交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q．猜想并證明和的位置關(guān)系．【例2】（23-24七年級下·浙江寧波·期末）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在與中，，求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在與中，三點(diǎn)在一條直線上，與交于點(diǎn)，若點(diǎn)為中點(diǎn)，①求的大小；，求的面積；【拓展提高】（3）如圖3，與中，與交于點(diǎn)的面積為32，求的長．專題2.6等腰三角形的軸對稱性（知識梳理與考點(diǎn)分類講解）第一部分【知識點(diǎn)歸納】【知識點(diǎn)一】等腰三角形的定義有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的兩條邊叫做腰，另一邊叫做底，兩腰所夾的角叫做頂角，底邊與腰的夾角叫做底角.如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，則它叫等腰三角形，其中AB、AC為腰，BC為底邊,∠A是頂角，∠B、∠C是底角．【要點(diǎn)提示】等腰直角三角形的兩個底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角（或直角），但頂角可為鈍角（或直角）.∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝.【知識點(diǎn)二】等腰三角形的性質(zhì)1.等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個底角相等（簡稱“等邊對等角”）．性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合（簡稱“三線合一”）．2.等腰三角形的性質(zhì)的作用性質(zhì)1證明同一個三角形中的兩角相等.是證明角相等的一個重要依據(jù)．性質(zhì)2用來證明線段相等，角相等，垂直關(guān)系等．3.等腰三角形是軸對稱圖形等腰三角形底邊上的高（頂角平分線或底邊上的中線）所在直線是它的對稱軸，通常情況只有一條對稱軸．【知識點(diǎn)三】等腰三角形的判定如果一個三角形中有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）.【要點(diǎn)提示】等腰三角形的判定是證明兩條線段相等的重要定理，是將三角形中的角的相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的相等關(guān)系的重要依據(jù).等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理是互逆定理.第二部分【題型展示與方法點(diǎn)撥】【題型1】等腰三角形的定義【例1】（2024八年級上·全國·專題練習(xí)）已知等腰三角形的兩邊，，滿足，求此等腰三角形的周長．【答案】11或13【分析】本題考查的是偶次方的非負(fù)性、解二元一次方程組，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形三邊之間的關(guān)系．根據(jù)偶次方和絕對值的非負(fù)性，建立關(guān)于a、b的二元一次方程，即可分別求出a、b，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系、等腰三角形的概念計(jì)算即可求得．解：，，，當(dāng)這個等腰三角形的腰長為3時，則這個等腰三角形的三邊長分別為3、3、5，，能構(gòu)成三角形，∴這個等腰三角形的周長為：；當(dāng)這個等腰三角形的腰長為5時，則這個等腰三角形的三邊長分別為3、5、5，，能構(gòu)成三角形，∴這個等腰三角形的周長為：；綜上，這個等腰三角形的周長為：11或13．【變式1】（22-23八年級上·河南商丘·開學(xué)考試）若一等腰三角形周長為16，則該等腰三角形的腰長x的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，利用三角形的三邊關(guān)系得到關(guān)于的不等式組是解題的關(guān)鍵．由等腰三角形的周長是16，腰長為，可得底邊長為：，然后由三角形三邊關(guān)系可得，由底邊大于0可得，繼而求得答案．解：等腰三角形的周長是16，腰長為，底邊長為：，，解得：．故選：D．【變式2】（23-24七年級下·遼寧丹東·期末）等腰三角形的兩個內(nèi)角的度數(shù)之比是，則它頂角的度數(shù)為．【答案】30°或【分析】此題考查了等腰三角形的定義，三角形的內(nèi)角和，設(shè)等腰三角形兩個內(nèi)角度數(shù)分別為，根據(jù)三角形的內(nèi)角和分兩種情況列方程求解即可，熟練掌握等腰三角形的定義是解題的關(guān)鍵解：設(shè)等腰三角形兩個內(nèi)角度數(shù)分別為，當(dāng)頂角度數(shù)為時，可得，解得，∴頂角的度數(shù)為30°；當(dāng)頂角度數(shù)為時，可得，解得∴頂角度數(shù)為故答案為30°或【題型2】“等邊對等角”進(jìn)行求值與證明【例2】（22-23七年級下·湖南長沙·期末）如圖，已知，與交于點(diǎn)F，求證：平分．【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)．根據(jù)，可得，可證明，從而得到，再由等腰三角形的性質(zhì)，可得，即可求證．解：證明：∵，∴，即，在和中，∵，，∴，∴，∴，∴，即平分．【變式1】（23-24七年級下·廣東深圳·期末）如圖，在中，D、E分別是，邊上的點(diǎn)，連接、相交于點(diǎn)F，若，，下列等量關(guān)系不一定成立的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊對等角和等角對等邊性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．根據(jù)題意證明出，得到，，然后利用等邊對等角和等角對等邊性質(zhì)求解即可．解：∵，，∴∴，故A正確；∴∵∴∴∴∴，故D正確；∵∴∴，故B正確；由題意無法證明出．∴不一定成立．故選：C．【變式2】（23-24七年級下·四川成都·期末）如圖，為等腰直角三角形，，點(diǎn)在延長線上，連接，以為邊作等腰直角，連接交于點(diǎn)，則．【答案】【分析】過點(diǎn)E作的垂線，交延長線于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)G，證明，得到，進(jìn)而證明，得到，再證明，得到，進(jìn)而推出，即點(diǎn)F是中點(diǎn)，即，由，得到，從而得出，即點(diǎn)A是中點(diǎn)，推出，即可求出．解：過點(diǎn)E作的垂線，交延長線于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作交于點(diǎn)G，，，，，，，，，，，，，，，，，，即點(diǎn)F是中點(diǎn)，即，，，，，即點(diǎn)A是中點(diǎn)，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查三角形全等的綜合問題，等腰三角形的性質(zhì)，平行線性質(zhì)，正確作出輔助線構(gòu)造三角形全等時解題的關(guān)鍵．【題型3】“三線合一”進(jìn)行求值與證明【例3】（23-24七年級下·寧夏銀川·期末）如圖，已知平分，，，垂足分別為，．求證：

(1)平分：（2）是的垂直平分線．證明：（1）平分①∵

∠OAP=∠OBP=90°（②）在和中（④）（⑤）平分(2)平分⑥

⑦

⑧（三線合一）是的垂直平分線【分析】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，全等三角形的判定以及性質(zhì)．等腰三角形三線合一的性質(zhì)．（1）由角平分線的定義得出，由垂線的定義得出∠OAP=∠OBP=90°，再證明，由全等三角形的性質(zhì)可得出，即可得出平分．（2）由角平分線的性質(zhì)定理可得出，由（1）知，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出答案．解：（1）證明：（1）平分①，∵

∠OAP=∠OBP=90°（②垂線的定義）在和中（④）（⑤全等三角形對應(yīng)角相等）平分（2）平分，，⑥，⑦⑧（三線合一）是的垂直平分線【變式1】（2024·甘肅隴南·三模）如圖，在中，，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)和點(diǎn)分別是和的中點(diǎn)，則的長是（

）

A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查等腰三角形三線合一及直角三角形斜邊中線等于斜邊一半的性質(zhì)，連接，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊一半即可得到答案．解：連接，

∵，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，∴，故選：B．【變式2】（23-24七年級下·山東棗莊·期末）是等邊三角形，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，且，連接，則．【答案】15【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出平分，，從而得，．由，得到，繼而可求．解：平分，，是等邊三角形，，，．，，，故答案為：15．【題型4】“等角對等邊”進(jìn)行求值與證明【例4】（21-22八年級上·上海青浦·期末）已知：如圖，點(diǎn)D是的邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)D作，，垂足分別為E、F，再過點(diǎn)D作，交于點(diǎn)G，且．求證：(1)；(2)．【分析】（1）連接，先根據(jù)，且，可知，再根據(jù)即可得出，進(jìn)而可得出，由等角對等邊可知；（2）先證明，得出，根據(jù)，，得出．解：（1）證明：連接，如圖所示：∵，且，∴平分，∴，又∵，∴，∴，∴；（2）解：在和中，∴，

∴，

∵，又∵，∴．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的判定，等邊對等角，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定方法，證明．【變式1】在中，平分，則的長為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查的知識點(diǎn)是全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．在上截取，連接，證明，得到，再證明，進(jìn)而代入數(shù)值解答即可．解：在上截取，連接，平分，，在和中，，，，，，又，，而，，，，．故選：．【變式2】（23-24七年級下·四川成都·階段練習(xí)）如圖，中，、分別平分和，過點(diǎn)平行于的直線分別交、于點(diǎn)、，已知，，的周長為．【答案】【分析】本題考查等腰三角形的判定，根據(jù)已知利用平行線的性質(zhì)及等角對等邊、角平分線的定義求解即可．證明三角形是等腰三角形是解題的關(guān)鍵．解：∵平分，平分，∴，，∵，∴，，∴，，∴，，∴，∴三角形的周長為．故答案為：．【題型5】利用等腰三角形的性質(zhì)與判定進(jìn)行證明與求值【例5】（23-24八年級上·四川成都·開學(xué)考試）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊上一動點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合）．以D為頂點(diǎn)作，射線交邊于點(diǎn)E．(1)求證：；(2)試探究當(dāng)?shù)拈L為多少時，？請給出你的結(jié)論，并說明理由；(3)過點(diǎn)A在右側(cè)作，交射線于點(diǎn)F，連接．當(dāng)為等腰三角形時，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)，理由見解析(3)的度數(shù)為或【分析】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，全等三角形性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵在于利用分類討論的思想解決問題．（1）根據(jù)，，即可證得；（2）根據(jù)，可得，再結(jié)合，，可證得，從而求得的長；（3）根據(jù)題意畫出草圖，利用等腰三角形性質(zhì)證明，得到，根據(jù)為等腰三角形，分①當(dāng)時，②當(dāng)時，③，三種情況討論，再結(jié)合等腰三角形性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)求解，即可解題．解：（1）證明：由圖可知：，，；（2）解：時，理由如下：，為等腰三角形，，又，在與中：，，此時；（3）解：，，，，，，，，，，為等腰三角形，①當(dāng)時，，；②當(dāng)時，，，，③，，與點(diǎn)D為邊上一動點(diǎn)產(chǎn)生矛盾，故此類型不存在；綜上所述，的度數(shù)為或．【變式1】（23-24八年級上·全國·單元測試）如圖，中，，，為的中點(diǎn)，，分別在，上，且，若，，則（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的三線合一定理，同角的余角相等，連接，由，為的中點(diǎn)，得，根據(jù)同角的余角相等得出，證明即可求解，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．解：連接，如圖所示，

∵，為的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，為的中點(diǎn)，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，故選：．【變式2】（23-24八年級上·廣西河池·期末）如圖，，點(diǎn)P是內(nèi)的一定點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在、上移動，當(dāng)?shù)闹荛L最小時，．【答案】/80度【分析】此題考查了軸對稱的性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，涉及了三角形和四邊形的內(nèi)角和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)構(gòu)造出等腰三角形．要求的度數(shù)，可在中進(jìn)行，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可證，，然后證明，利用四邊形內(nèi)角和可得答案．解：作P關(guān)于、的對稱點(diǎn)C、D，連接交、于N、M，如圖所示：∵P關(guān)于、的對稱點(diǎn)C、D，∴垂直平分，垂直平分，∴，∴，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴當(dāng)、、、在同一直線上時，此時最小，即周長最小，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，在四邊形中，，∴，∴．故答案為：．第三部分【中考鏈接與拓展延伸】1、直通中考【例1】（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，B、E、C、F是直線l上的四點(diǎn)，相交于點(diǎn)G，，，．(1)求證：是等腰三角形；(2)連接，則與l的位置關(guān)系是________．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定，平行線的判定：（1）證明，得到，即可得證；（2）根據(jù)線段的和差關(guān)系，易得，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得到，即可得出結(jié)論．解：（1）證明：在和中，∴，∴，∴，∴是等腰三角形；（2）∵，，∴，∴，∴，∵，∵，∴，∴．【例2】（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在中，，，，則的度數(shù)為；

【答案】/100度【分析】本題考查三角形的內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，角的和差．根據(jù)三角形的內(nèi)角和可得，根據(jù)，得到，，從而，根據(jù)角的和差有，即可解答．解：∵，∴，∵，，∴，，∴∴．故答案為：2、拓展延伸【例1】（22-23八年級上·海南省直轄縣級單位·期末）在中，，．將一個含角的直角三角尺按圖所示放置，使直角三角尺的直角頂點(diǎn)D恰好落在邊的中點(diǎn)處．將直角三角尺繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，設(shè)交于點(diǎn)N，交于點(diǎn)M，示意圖如圖所示．(1)求證：；(2)連接，，如圖所示，求證：；(3)延長交于點(diǎn)P，交于點(diǎn)Q．猜想并證明和的位置關(guān)系．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)，證明見解析【分析】（1）在中，根據(jù)點(diǎn)D是的中