數(shù)量模型與算法基礎(chǔ)：投入產(chǎn)出分析模型

投入產(chǎn)出分析模型

第一節(jié)投入產(chǎn)出法概述

一、投入產(chǎn)出法：在一定經(jīng)濟(jì)理論指導(dǎo)下，通過編制投入產(chǎn)出表，建立相應(yīng)的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型，綜合系統(tǒng)地分析國民經(jīng)濟(jì)各部門、再生產(chǎn)各環(huán)節(jié)之間數(shù)量依存關(guān)系的一種經(jīng)濟(jì)數(shù)量分析方法。是經(jīng)濟(jì)學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)、計(jì)算機(jī)技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物。原屬于宏觀經(jīng)濟(jì)的范疇。（一）投入：指一項(xiàng)經(jīng)濟(jì)活動中的各種消耗。包括：物質(zhì)和非物質(zhì)產(chǎn)品消耗；有形和無形產(chǎn)品消耗有形:原材料、輔助材料、燃料、動力、固定資產(chǎn)折舊、辦公用品等。無形：勞動力、金融、保險、技術(shù)專利、服務(wù)等。

（二）產(chǎn)出：指生產(chǎn)活動的成果及分配使用去向、流向。（包括：物質(zhì)和非物質(zhì)產(chǎn)品、實(shí)物和服務(wù)產(chǎn)品）

注意：投入、產(chǎn)出概念的相對性。

（三）投入產(chǎn)出表：指反映各種產(chǎn)品生產(chǎn)投入來源和分配去向的一種棋盤式表格。（矩陣表）（四）投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型：指用數(shù)學(xué)模型（方程式）體現(xiàn)投入產(chǎn)出表所反映的經(jīng)濟(jì)內(nèi)容的一組線性代數(shù)方程組。（五）投入產(chǎn)出法的基本作用——通過編制投入產(chǎn)出表和模型，能夠清晰地揭示國民經(jīng)濟(jì)各部門、產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)之間的內(nèi)在聯(lián)系；能夠反映國民經(jīng)濟(jì)中各部門、各產(chǎn)業(yè)之間在生產(chǎn)過程中的直接與間接聯(lián)系，各部門、各產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)與分配使用、生產(chǎn)與消耗之間的平衡（均衡）關(guān)系。因此，投入產(chǎn)出法又稱為部門聯(lián)系平衡法。

實(shí)物表基本表式(q-Y-Q)價值表基本表式sum(x’)+Y=XxYXij例：3部門經(jīng)濟(jì)體投入產(chǎn)出表（單位：元）sum(x’)+Y=X6xijX總投入

投入產(chǎn)出表中有兩個基本平衡關(guān)系式：

中間產(chǎn)品+最終產(chǎn)品

=總產(chǎn)品（實(shí)物型）

中間物質(zhì)消耗產(chǎn)值+外部需求產(chǎn)值=總產(chǎn)值（價值型）（1）生產(chǎn)過程物耗+非(生產(chǎn)過程物耗)消耗=總投入（2）總投入=總產(chǎn)出

投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型，就是表述兩個基本平衡關(guān)系式的線性代數(shù)方程組。其中兩個最重要的系數(shù)是：（1）直接消耗系數(shù)A(i,j)——每生產(chǎn)1單位j部門總產(chǎn)品直接消耗i部門勞動對象和生產(chǎn)性服務(wù)產(chǎn)品的數(shù)量。中間產(chǎn)品與總產(chǎn)品之間的數(shù)量聯(lián)系通過該系數(shù)表現(xiàn)出來。（2）完全消耗系數(shù)B(i,j）——每生產(chǎn)1單位j部門最終產(chǎn)品直接和間接消耗i部門提供的總產(chǎn)品或中間產(chǎn)品的數(shù)量。

所謂全部消耗量除直接消耗外，還包括通過以前各生產(chǎn)階段中其它中間產(chǎn)品所轉(zhuǎn)移過來的同類的間接消耗在內(nèi)。最終產(chǎn)品與總產(chǎn)品之間的數(shù)量聯(lián)系通過該系數(shù)表現(xiàn)出來。直接消耗系數(shù)aij:aij是指在生產(chǎn)一個單位總產(chǎn)出的第j類產(chǎn)品所直接消耗的第i類產(chǎn)品的數(shù)量。jq

ijijQ

A

q

Q

1d

1

0

0

Q2

0

0 0

Qn

q q

qq22

q2n

0

qn2

Q

1

qnn

a2n

q21

a21

an1

a a

aa22

an2

111n12111n1211實(shí)物表直接消耗系數(shù)的定義及其計(jì)算方法價值型投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型

直接消耗系數(shù)1）直接消耗系數(shù)及直接消耗系數(shù)矩陣為直接消耗系數(shù)矩陣；x為中間產(chǎn)品流量矩陣；為總產(chǎn)出對角矩陣的逆矩陣。

影響價值型直接消耗系數(shù)的因素：部門的產(chǎn)品結(jié)構(gòu)；生產(chǎn)工藝技術(shù)水平；部門產(chǎn)品價格；管理水平；部門分類的詳細(xì)程度。計(jì)算直接消耗系數(shù)矩陣

A

A=x/(X.*I)根據(jù)

內(nèi)部流量矩陣x和

總產(chǎn)出列向量X計(jì)算

直接消耗系數(shù)矩陣

AMatlab源程序：A=x/(X.*I)11計(jì)算內(nèi)部流量矩陣x

x=A*(X.*I)根據(jù)

直接消耗系數(shù)矩陣

A和

總產(chǎn)出列向量X計(jì)算

內(nèi)部流量矩陣xMatlab源程序：x

=A*(X

.*I)12

X=

2601186556325I=

100010001>>X.*I=2601

0

0018655

00

0

6325例：3部門經(jīng)濟(jì)體投入產(chǎn)出表13例：3部門經(jīng)濟(jì)體投入產(chǎn)出表

由價值型投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型x+Y=X

求直接消耗系數(shù)矩陣A14x=

0365061558225522280828332552228080X=1020885616328330a=0.000000.650000.550020.250000.050000.100000.250000.050000.00000%內(nèi)部流量矩陣x=[0365061558225522280828332552228080]%總產(chǎn)出列向量X=[1020885616328330]I=eye(3,3)%直接消耗系數(shù)a=x*inv(X.*

I)a=x/(X.*I)例：已知A和Y計(jì)算X15基本假設(shè)16投入產(chǎn)出模型的求解條件a)抽象掉進(jìn)出口的條件下，各部門的最終產(chǎn)品和總產(chǎn)品為正值；b)在價值型模型中，直接消耗系數(shù)αij≥0，但αij≯1；（又稱為霍金斯-西蒙條件）c)部門直接消耗系數(shù)（綜合直接消耗系數(shù)）之和小于1

；（又稱為索洛條件）消耗系數(shù)矩陣A；外部需求Y

X=AX+Y18例：3部門經(jīng)濟(jì)體投入產(chǎn)出表（單位：元）x(i,j)+Y=X19xijX總投入記住：X=(I-A)^-1*Y

I-A稱為列昂惕夫矩陣A=xij/(X.*I)X=A*X+YI*X=A*X+Y(I*X–A*X)=Y(I-A)*X=YX=(I-A)^-1*YI-A稱為列昂惕夫（Leontief）矩陣20準(zhǔn)備數(shù)據(jù)A和YA=[00.450.40.15.05.05.30.05.05]Y=[600000250000180000]21A=0.000000.450000.400000.150000.050000.150000.300000.050000.05000Y=600000250000180000由A和Y，計(jì)算總產(chǎn)出

X=(I-A)^-1*Y22計(jì)算總產(chǎn)出

X=(I-A)^-1*Y%LeontiefLeon=eye(3,3)-A%inverseofLeontiefLeonInv=inv(eye(3,3)-A)

%總產(chǎn)出X=LeonInv*外部訂單YX=inv(eye(3,3)-A)*Y

=(eye(3,3)-A)^-1*Y23Leon=1.000000-0.450000-0.400000-0.1500000.950000-0.150000-0.300000-0.0500000.950000LeonInv=1.290320.645160.645160.270321.196610.302760.421700.266711.27230X=1.0516e+0065.1584e+0055.4871e+005總產(chǎn)出

X=（I-A）-1*外部訂單Y24如果外部訂單改變?yōu)閅1

總產(chǎn)出（投資結(jié)構(gòu)）X須調(diào)整為何？%如果外部訂單改變?yōu)閅1%總產(chǎn)出（=總投入）結(jié)構(gòu)須調(diào)整為Y1=[750000300000250000]X1=inv(eye(3,3)-A)*Y1

=(eye(3,3)–A)^-1*Y125Y1=750000300000250000X1=1.3226e+0066.3741e+0057.1436e+005課堂練習(xí)作業(yè)4problem1,2,326完全消耗矩陣

B=(I-A)^-1-I27計(jì)算完全消耗矩陣B

B=（I-A）^-1-I%完全消耗矩陣I=eye(3,3)%B=Leon^-1-IB=（I-A）^-1-I28

B=0.290320.645160.645160.270320.196610.302760.421700.266710.27230完全消耗矩陣：B2930綜合完全消耗系數(shù)(略）

關(guān)系分析Bc=sum(B)

（一）完全消耗系數(shù)

j部門對i部門的依存關(guān)系

反映j部門對i部門的完全依存關(guān)系。系數(shù)越大，說明j部門與i部門的完全依存關(guān)系越強(qiáng)。（二）綜合完全消耗系數(shù)

表示j部門生產(chǎn)1個單位最終產(chǎn)品時，對國民經(jīng)濟(jì)各個i部門產(chǎn)品需求之和的波及程度。其數(shù)值越大，說明j部門對國民經(jīng)濟(jì)各i部門生產(chǎn)之和的拉動作用越大。Bc=sum(B)Bcj=Bc(j)計(jì)算綜合完全消耗系數(shù)bcj(略）%綜合完全消耗系數(shù)bc(j):j部門對其他各部門的需求，即拉動作用bc=sum(B)31j=2Bc=sum(B)Bcj=Bc(j)

j=2Bc=0.895731.053710.95893Bcj=1.0537

B=0.263820.628400.565210.221170.165530.154470.410740.259790.23925（三）混合完全消耗系數(shù)

表示國民經(jīng)濟(jì)各部門均生產(chǎn)1個單位最終產(chǎn)品時，第i部門受到的需求感應(yīng)程度，即i部門對各部門生產(chǎn)的供給推動程度。其數(shù)值越大，說明i部門對國民經(jīng)濟(jì)各部門的供給推動作用越大，“瓶頸”地位越突出。（*）影響力系數(shù)

（j部門需要各部門程度，拉動）

Sj

影響力系數(shù)Sj表示j部門生產(chǎn)一個最終產(chǎn)品時，對國民經(jīng)濟(jì)各部門所產(chǎn)生的生產(chǎn)需求波及程度。cf.bcj綜合消耗(略）33

分子是（I-A）-1矩陣中的第j列的和，分母則是（I-A）-1矩陣的列和的平均數(shù)。影響力系數(shù)的取值有三種：Sj>1；Sj=1；Sj<1

式中，是（I-A）-1中的一個元素。矩陣求和B=(I-A)^-1-ILI=(I-A)^-1LIsc=sum(LI)LIsl=sum(LI')avg_csum=mean(sum(LI))avg_csum=mean(sum(LI')Sj=(sum(LI))/avg_csumavg_lsum=mean(sum(LI’))Si=(sum(LI')')/avg_lsum34LI=

1.263820.628400.565210.221171.165530.154470.410740.259791.2392535B=(I-A)^-1-ILI=(I-A)^-1LIsc=sum(LI)LIsl=sum(LI')avg_csum=mean(sum(LI))avg_csum=mean(sum(LI')Sj=(sum(LI))/avg_csumavg_lsum=mean(sum(LI’))Si=(sum(LI')')/avg_lsum36

影響力系數(shù)>1，則表示該部門生產(chǎn)對其他部門所產(chǎn)生的波及影響程度超過社會平均影響力水平（即各部門所產(chǎn)生的波及影響的平均值）。影響力系數(shù)越大，該部門對其他部門的拉動作用越大，在國民經(jīng)濟(jì)中的支柱作用越強(qiáng)；反之亦然。影響力系數(shù)是確定主導(dǎo)產(chǎn)業(yè)的重要數(shù)量依據(jù)。

表1是根據(jù)2007年中國投入產(chǎn)出表（135部門）計(jì)算的位于前20位的部門的影響力系數(shù)。

結(jié)果表明，我國經(jīng)濟(jì)體系中，制造業(yè)尤其是裝備制造業(yè)占據(jù)主導(dǎo)地位，對國民經(jīng)濟(jì)的拉動作用較強(qiáng)。37位次部門影響力系數(shù)12345678910電子計(jì)算機(jī)制造業(yè)文化、辦公用機(jī)械制造業(yè)通信設(shè)備制造業(yè)雷達(dá)及廣播設(shè)備制造業(yè)家用視聽設(shè)備制造業(yè)汽車制造業(yè)家用電力和非電力器具制造業(yè)輸配電及控制設(shè)備制造業(yè)電子元器件制造業(yè)電線、電纜、光纜及電工器材制造業(yè)1.3681.3471.3381.3301.2991.2861.2761.2751.2711.265表1

影響力系數(shù)38續(xù)表1

影響力系數(shù)位次部門影響力系數(shù)11121314151617181920塑料制品業(yè)電機(jī)制造業(yè)其他電氣機(jī)械及器材制造業(yè)其他交通運(yùn)輸設(shè)備制造業(yè)起重運(yùn)輸設(shè)備制造業(yè)鐵路運(yùn)輸設(shè)備制造業(yè)專用化學(xué)產(chǎn)品制造業(yè)農(nóng)林牧漁專用機(jī)械制造業(yè)涂料、油墨、顏料及類似產(chǎn)品制造業(yè)化學(xué)纖維制造業(yè)1.2471.2411.2401.2381.2381.2201.2181.2111.2051.203影響力系數(shù)（j

需要各部門程度，拉動）Sj39%影響力系數(shù)（i需要各部門程度，拉動）SjLI=(eye(3)-A)^-1avg_csum=mean(sum(LI))Sj=(sum(LI))/avg_csumLI=1.290320.645160.645160.270321.196610.302760.421700.266711.27230avg_csum=2.1037Sj=0.942321.002281.0554040（五）感應(yīng)度系數(shù)（i被需要程度，推動）

Si

感應(yīng)度系數(shù)Si表示國民經(jīng)濟(jì)各部門均生產(chǎn)一個單位最終產(chǎn)品時，i部門由此而受到的需求感應(yīng)程度。感應(yīng)度系數(shù)的取值有三種：Si>1；Si=1；Si<141

感應(yīng)度系數(shù)大于1，則表示該部門所受到的需求感應(yīng)程度高于社會平均感應(yīng)水平（即各部門所受感應(yīng)的平均值）。被需要程度相對高。感應(yīng)度系數(shù)越大，表示該部門受到的需求感應(yīng)程度越大，該部門在國民經(jīng)濟(jì)中的基礎(chǔ)作用越強(qiáng)；當(dāng)國民經(jīng)濟(jì)加速發(fā)展時，該部門若供給不足，則有可能限制其他部門的發(fā)展而形成“瓶頸”部門。感應(yīng)度系數(shù)是確定“瓶頸”產(chǎn)業(yè)的重要數(shù)量依據(jù)。

表2是根據(jù)2007年中國投入產(chǎn)出表（135部門）計(jì)算的位于前20位的部門的感應(yīng)度系數(shù)。

結(jié)果表明，能源、農(nóng)業(yè)、原材料工業(yè)等部門在國民經(jīng)濟(jì)中的基礎(chǔ)作用較強(qiáng)，對國民經(jīng)濟(jì)的推動作用較大。42位次部門感應(yīng)度系數(shù)12345678910電力、熱力的生產(chǎn)和供應(yīng)業(yè)石油及核燃料加工業(yè)石油和天然氣開采業(yè)農(nóng)業(yè)電子元器件制造業(yè)鋼壓延加工業(yè)基礎(chǔ)化學(xué)原料制造業(yè)有色金屬冶煉及合金制造業(yè)批發(fā)零售業(yè)煤炭開采和洗選業(yè)6.7674.1714.0423.7943.7313.4973.2762.6112.5902.423表2

感應(yīng)度系數(shù)43續(xù)表2

感應(yīng)度系數(shù)位次部門感應(yīng)度系數(shù)11121314151617181920金屬制品業(yè)金融業(yè)其他通用設(shè)備制造業(yè)塑料制品業(yè)汽車制造業(yè)造紙及紙制品業(yè)合成材料制造業(yè)專用化學(xué)產(chǎn)品制造業(yè)有色金屬壓延加工業(yè)道路運(yùn)輸業(yè)2.3592.3492.3352.2502.1092.0572.0051.9781.8761.650感應(yīng)度系數(shù)（i被需要程度，推動）Si44%感應(yīng)度系數(shù)（i被需要程度，推動）Si%感應(yīng)度系數(shù)大于1，則表示該部門所受到的需求感應(yīng)程度高于社會平均感應(yīng)水平%（即各部門所受感應(yīng)的平均值）。被需要程度相對高。%感應(yīng)度系數(shù)越大，表示該部門受到的需求感應(yīng)程度越大，該部門在國民經(jīng)濟(jì)中的%基礎(chǔ)作用越強(qiáng)；當(dāng)國民經(jīng)濟(jì)加速發(fā)展時，該部門若供給不足，則有可能限制其他%部門的發(fā)展而形成“瓶頸”部門。感應(yīng)度系數(shù)是確定“瓶頸”產(chǎn)業(yè)的重要數(shù)量依據(jù)。LI=(I-A)^-1avg_csum=mean(sum(LI’))Si=(sum(LI')')/avg_csumLI=1.290320.645160.645160.270321.196610.302760.421700.266711.27230avg_csum=2.1037Si=1.226730.841230.93204作業(yè)4

1、請說明直接消耗系數(shù)的含義，并分別寫出它們的具體計(jì)算式。（提示：見講義ppt第8頁：直接消耗系數(shù)A(i,j)——每生產(chǎn)1單位j部門總產(chǎn)品直接消耗i部門產(chǎn)品的數(shù)量。

）

2、已知投入產(chǎn)出表，其直接消耗系數(shù)矩陣為：求總產(chǎn)量X，并根據(jù)所給出的條件，繪制簡單投入產(chǎn)出表，求出其完全消耗系數(shù)矩陣B。

3、題2若下期最終產(chǎn)品市場需求變?yōu)閅1=[40，40，30]’試預(yù)測總投入結(jié)構(gòu)X1，影響力系數(shù)Sj和感應(yīng)度系數(shù)Si；并分析最強(qiáng)拉動（支柱）部門和最強(qiáng)推動（瓶頸）部門。A=[1/80?01/8?1/601/6]Y=[503020]I=eye(3,3)X=inv(I-A)*YB=46作業(yè)4：

4、思考題4.1.進(jìn)行直接經(jīng)濟(jì)依存關(guān)系分析的參數(shù)有那些？4.2.進(jìn)行完全經(jīng)濟(jì)依存關(guān)系分析的參數(shù)有那些？4.3.你如何理解影響力系數(shù)和感應(yīng)度系數(shù)？5、計(jì)算題根據(jù)河北省2005年度投入產(chǎn)出表，求出消耗系數(shù)矩陣A。根據(jù)消耗系數(shù)矩陣A計(jì)算影響力系數(shù)Sj和感應(yīng)度系數(shù)Si；并分析最強(qiáng)拉動（支柱）部門和最強(qiáng)推動（瓶頸）部門。472005年河北省三大產(chǎn)業(yè)投入產(chǎn)出表

單位：億元投入產(chǎn)出中間產(chǎn)品最終使用總產(chǎn)出第一產(chǎn)業(yè)第二產(chǎn)業(yè)第三產(chǎn)業(yè)中間投入