第八章 第3講 圓的方程

第八章平面解析幾何第3講圓的方程

課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測1.探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)

準(zhǔn)方程與一般方程.求圓的方程2022全國卷乙T14；2022

全國卷甲T14；2021全國

卷甲T20本講命題重點(diǎn)為求

圓的方程，與圓有

關(guān)的軌跡問題、最

值問題，題型既有

小題也有大題，難

度中等偏易.與圓有關(guān)的

軌跡問題課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測2.能用圓的方程解決

一些簡單的數(shù)學(xué)問題

與實(shí)際問題.與圓有關(guān)

的最值問

題2023全國卷乙T11；

2023全國卷乙T12；

2021新高考卷ⅠT11在2025年高考的復(fù)習(xí)備

考中要重點(diǎn)掌握?qǐng)A的方

程的求解方法、圓的幾

何性質(zhì)以及一些隱形圓

的命題.

1.圓的定義與方程規(guī)律總結(jié)

(2)以

A

(

x

1，

y

1)，

B

(

x

2，

y

2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(

x

－

x

1)(

x

－

x

2)＋(

y

－

y

1)(

y

－

y

2)＝0.2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(

x

－

a

)2＋(

y

－

b

)2＝

r

2(

r

＞0)，圓心

C

的坐標(biāo)為(

a

，

b

)，半徑為

r

，設(shè)

M

的坐標(biāo)為(

x

0，

y

0).

1.[2022北京高考]若直線2

x

＋

y

－1＝0是圓(

x

－

a

)2

＋

y

2＝1的一條對(duì)稱軸，則

a

＝

(

A

)C.1D.－1

A123452.[2021上海高考]已知圓

x

2＋

y

2－2

x

－4

y

＝0，則該圓的圓心坐標(biāo)為

?.

(1，2)

解法二將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(

x

－1)2＋(

y

－2)2＝5，則圓心坐標(biāo)為(1，2).123453.[易錯(cuò)題]半徑為3，圓心的橫、縱坐標(biāo)相等且與兩條坐標(biāo)軸都相切的圓的方程

為

?.[解析]由題意知圓心坐標(biāo)為(3，3)或(－3，－3)，故所求圓的方程為(

x

－3)2＋(

y

－3)2＝9或(

x

＋3)2＋(

y

＋3)2＝9.(

x

－3)2＋(

y

－3)2＝9或(

x

＋3)2＋(

y

＋3)2＝9

123454.若方程

x

2＋

y

2＋2

ax

＋2

ay

＋2

a

2＋

a

－1＝0表示圓，則

a

的取值范圍是

??.[解析]

解法一方程

x

2＋

y

2＋2

ax

＋2

ay

＋2

a

2＋

a

－1＝0可化為(

x

＋

a

)2＋(

y

＋

a

)2＝1－

a

，若它表示圓，則需滿足1－

a

＞0，故

a

＜1.(－∞，1)

解法二要使方程

x

2＋

y

2＋2

ax

＋2

ay

＋2

a

2＋

a

－1＝0表示圓，則需滿足(2

a

)2＋(2

a

)2－4(2

a

2＋

a

－1)＞0，解得

a

＜1.123455.若點(diǎn)(1，1)在圓

x

2＋

y

2＋

x

＋

ay

＋1＝0外，則實(shí)數(shù)

a

的取值范圍為

?

?.

12345

命題點(diǎn)1

求圓的方程例1

(1)[2022全國卷乙]過四點(diǎn)(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的

方程為

?.x

2＋

y

2－4

x

－6

y

＝0(答案不唯一)

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3(2)[2022全國卷甲]設(shè)點(diǎn)

M

在直線2

x

＋

y

－1＝0上，點(diǎn)(3，0)和(0，1)均在☉

M

上，

則☉

M

的方程為

?.

(

x

－1)2＋(

y

＋1)2＝5

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3方法技巧求圓的方程的兩種方法幾何法根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程.待定系

數(shù)法①若已知條件與圓心、半徑有關(guān)，或與切線、弦長、弧長、圓心角、距離

等有關(guān)，則選擇圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，根據(jù)條件列出

方程組，求出a，b，r的值.②選擇圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，根據(jù)條件

列出方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值.例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練1

(1)已知

m

為實(shí)數(shù)，方程(

m

＋2)

x

2＋

m

2

y

2＋8

x

＋4

y

＋5

m

＝0表示圓，則實(shí)數(shù)

m

的值為

?.

－1

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3(2)[2023鄭州市一測]經(jīng)過點(diǎn)

P

(1，1)以及圓

x

2＋

y

2－4＝0與圓

x

2＋

y

2－4

x

＋4

y

－

12＝0交點(diǎn)的圓的方程為

?.

x

2＋

y

2＋

x

－

y

－2＝0

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3解法三設(shè)過圓

x

2＋

y

2－4＝0和圓

x

2＋

y

2－4

x

＋4

y

－12＝0的交點(diǎn)的圓的方程為

x

2＋

y

2－4

x

＋4

y

－12＋λ(

x

2＋

y

2－4)＝0，因?yàn)榇藞A經(jīng)過點(diǎn)

P

(1，1)，所以有1＋1－4＋4－12＋λ(1＋1－4)＝0，解得λ＝－5，即所求圓的方程為

x

2＋

y

2－4

x

＋4

y

－12－5(

x

2＋

y

2－4)＝0，化簡得，

x

2＋

y

2＋

x

－

y

－2＝0.例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3命題點(diǎn)2

與圓有關(guān)的軌跡問題例2

(1)若Rt△

ABC

的斜邊的兩端點(diǎn)

A

，

B

的坐標(biāo)分別為(－3，0)和(7，0)，則直角頂

點(diǎn)

C

的軌跡方程為(

C

)A.x2＋y2＝25(y≠0)B.x2＋y2＝25C.(x－2)2＋y2＝25(y≠0)D.(x－2)2＋y2＝25C例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3[解析]

解法一(定義法)線段

AB

的中點(diǎn)為

D

(2，0)，因?yàn)椤?/p>

ABC

為直角三角形，

C

為直角頂點(diǎn)，

所以｜

CD

｜＝｜

AD

｜＝｜

DB

｜，所以點(diǎn)

C

在以

D

為圓心，｜

AD

｜＝5為半徑的圓上，所以點(diǎn)

C

的軌跡方程為(

x

－2)2＋

y

2＝25(

y

≠0).

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3(2)已知線段

AB

的端點(diǎn)

B

的坐標(biāo)為(8，6)，端點(diǎn)

A

在圓

C

：

x

2＋

y

2＋4

x

＝0上運(yùn)動(dòng)，

則線段

AB

的中點(diǎn)

P

的軌跡方程為

?.

(

x

－3)2＋(

y

－3)2＝1

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3方法技巧求與圓有關(guān)的軌跡問題的幾種方法1.直接法：當(dāng)題目條件中含有與該點(diǎn)有關(guān)的等式時(shí)，可設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表

示等式，直接求解軌跡方程.2.定義法：當(dāng)題目條件符合圓的定義時(shí)，可直接利用定義確定其圓心和半徑，寫出

圓的方程.3.相關(guān)點(diǎn)代入法：當(dāng)題目條件中已知某動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，而要求的點(diǎn)與該動(dòng)點(diǎn)有關(guān)

時(shí)，常找出要求的點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式求軌跡方程.例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3(2)已知點(diǎn)

B

(6，0)，點(diǎn)

A

在軌跡

C

上運(yùn)動(dòng)，求線段

AB

上靠近點(diǎn)

B

的三等分點(diǎn)

Q

的軌

跡方程.

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3命題點(diǎn)3

與圓有關(guān)的最值問題角度1

幾何法求最值例3

(1)[多選/2021新高考卷Ⅰ]已知點(diǎn)

P

在圓(

x

－5)2＋(

y

－5)2＝16上，點(diǎn)

A

(4，0)，

B

(0，2)，則(

ACD

)A.點(diǎn)P到直線AB的距離小于10B.點(diǎn)P到直線AB的距離大于2ACD例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3角度2

代數(shù)法求最值例4

(1)[2023全國卷乙]已知實(shí)數(shù)

x

，

y

滿足

x

2＋

y

2－4

x

－2

y

－4＝0，則

x

－

y

的最大

值是(

C

)B.4D.7C

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

A例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例32.利用代數(shù)法求最值通常會(huì)利用已知條件通過換元(如利用sin2α＋cos2α＝1)，消元，整體代入等構(gòu)造函

數(shù)或利用不等式求最值.注意

到圓上一點(diǎn)的最值問題通常轉(zhuǎn)化為到圓心的最值問題.例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3訓(xùn)練3

(1)[2024安徽太和中學(xué)模擬]已知點(diǎn)

P

(

t

，

t

－1)，

t

∈R，

O

是坐標(biāo)原點(diǎn)，

Q

是

圓

C

：(

x

－3)2＋(

y

＋1)2＝1上的動(dòng)點(diǎn)，則｜

PQ

｜－｜

PO

｜的最大值為(

C

)A.2C.3D.4C例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

(2)[2023四省聯(lián)考]若

P

，Q

分別是拋物線

x

2＝

y

與圓(

x

－3)2＋

y

2＝1上的點(diǎn)，則|PQ|的最小值為

?.[解析]由題意，知圓的圓心為

C

(3，0)，半徑為1.

例4訓(xùn)練2例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練3例3

1.[命題點(diǎn)1]寫出一個(gè)截兩坐標(biāo)軸所得的弦長相等且半徑為1的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

?

?.

12342.[向量法判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系/2024北京市陳經(jīng)綸中學(xué)模擬]已知

A

，

B

(異于坐標(biāo)

原點(diǎn))是圓(

x

－2)2＋(

y

－1)2＝5與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)，則下列點(diǎn)中，在圓內(nèi)的是

(

D

)A.M(0，0)D1234

1234

[解析]易知直線

l

1恒過點(diǎn)

M

(3，1)，直線

l

2恒過點(diǎn)

1234

12344.[命題點(diǎn)3/2023綿陽市二診]已知☉

C

：(

x

－1)2＋(

y

－1)2＝3，點(diǎn)

A

為直線

l

：

y

＝

－1上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)

A

作直線與☉

C

相切于點(diǎn)

P

，若

Q

(－2，0)，則|AP|＋|AQ|的最小值為(

C

)D.4

C1234

1234

1.設(shè)

a

∈R，則“

a

＞2”是“方程

x

2＋

y

2＋

ax

－2

y

＋2＝0表示圓”的(

A

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件[解析]若方程

x

2＋

y

2＋

ax

－2

y

＋2＝0表示圓，則有

a

2＋4－8＞0，解得

a

＞2或

a

＜－2，又“

a

＞2”是“

a

＞2或

a

＜－2”的充分不必要條件，所以“

a

＞2”是

“方程

x

2＋

y

2＋

ax

－2

y

＋2＝0表示圓”的充分不必要條件.故選A.A123456789101112131415162.[2024山西太原師范學(xué)院附屬中學(xué)模擬]圓心在

x

軸上，且過點(diǎn)(－1，－3)的圓與

y

軸相切，則該圓的方程是(

C

)A.x2＋y2＋10y＝0B.x2＋y2－10y＝0C.x2＋y2＋10x＝0D.x2＋y2－10x＝0

C123456789101112131415163.[北京高考]已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn)(3，4)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為

(

A

)A.4B.5C.6D.7

A123456789101112131415164.[2024廣東茂名檢測]已知圓

C

：(

x

－1)2＋(

y

－1)2＝1，

M

是圓上的動(dòng)點(diǎn)，

AM

與

圓相切，且｜

AM

｜＝2，則點(diǎn)

A

的軌跡方程是(

B

)A.y2＝4xB.x2＋y2－2x－2y－3＝0C.x2＋y2－2y－3＝0D.y2＝－4x

B12345678910111213141516

A.[－3，1]B.[－1，1]C.[－1，3]D.[1，3]

C123456789101112131415166.[多選/2024山東濰坊調(diào)研]已知△

ABC

的三個(gè)頂點(diǎn)為

A

(－1，2)，

B

(2，1)，

C

(3，

4)，則下列關(guān)于△

ABC

的外接圓

M

的說法正確的是(

ABD

)A.圓M的圓心坐標(biāo)為(1，3)C.圓M關(guān)于直線x＋y＝0對(duì)稱D.點(diǎn)(2，3)在圓M內(nèi)ABD12345678910111213141516

123456789101112131415167.已知點(diǎn)

P

(2，1)在圓

C

：

x

2＋

y

2＋

ax

－2

y

＋

b

＝0上，點(diǎn)

P

關(guān)于直線

x

＋

y

－1＝0

的對(duì)稱點(diǎn)也在圓

C

上，則圓

C

的半徑為

?.

2

123456789101112131415168.[2023河北唐山模擬]已知圓

C

與圓

C

1：(

x

－1)2＋

y

2＝1關(guān)于直線

y

＝－

x

對(duì)稱，則

圓

C

的標(biāo)準(zhǔn)方程為

?.

x

2＋(

y

＋1)2＝1

123456789101112131415169.[2024衡水聯(lián)考]已知點(diǎn)

A

(0，2)，點(diǎn)

P

在直線

x

＋

y

＋2＝0上，點(diǎn)

Q

在圓

C

：

x

2＋

y

2－4

x

－2

y

＝0上，則｜

PA

｜＋｜

PQ

｜的最小值是

?.

1234567891011121314151610.[2024山東模擬]若

P

(

x

，

y

)是圓

O

：

x

2＋

y

2＝1上任意一點(diǎn)，則｜3

x

－4

y

＋8｜

的取值范圍是

.(用區(qū)間表示)

[3，13]

1234567891011121314151611.已知

M

為圓

C

：

x

2＋

y

2－4

x

－14

y

＋45＝0上任意一點(diǎn)，且點(diǎn)

Q

(－2，3).(1)若

P

(

a

，

a

＋1)在圓

C

上，求線段

PQ

的長及直線

PQ

的斜率；

12345678910111213141516

(2)求｜

MQ

｜的最大值和最小值.12345678910111213141516

12.[2023江蘇南京模擬]在平面直角坐標(biāo)系

xOy

中，已知點(diǎn)

P

(－3，0)在圓

C

：

x

2＋

y

2＋2

mx

－4

y

＋

m

2－12＝0內(nèi)，動(dòng)直線

AB

過點(diǎn)

P

且交圓

C

于

A

，

B

兩點(diǎn)，若△

ABC

的面積的最大值為8，則實(shí)數(shù)

m

的取值范圍是(

A

)B.[1，5]A12345678910111213141516

1234567891011121314151613.[多選/