第三章 突破3 利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

第三章一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用突破3利用導(dǎo)數(shù)證明不等式命題點(diǎn)1

將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題例1

[2023新高考卷Ⅱ節(jié)選]證明：當(dāng)0＜

x

＜1時(shí)，

x

－

x

2＜sin

x

＜

x

.[解析]令

h

(

x

)＝

x

－

x

2－sin

x

，則h'(

x

)＝1－2

x

－cos

x

，令

p

(

x

)＝1－2

x

－cos

x

，則p'(

x

)＝－2＋sin

x

＜0，所以

p

(

x

)即h'(

x

)單調(diào)遞減，又h'(0)＝0，所以當(dāng)0＜

x

＜1時(shí)，h'(

x

)＜h'(0)＝0，

h

(

x

)單調(diào)遞減，所以當(dāng)0＜

x

＜1時(shí)，

h

(

x

)＜

h

(0)＝0，即

x

－

x

2＜sin

x

.令

g

(

x

)＝sin

x

－

x

，則g'(

x

)＝cos

x

－1＜0，

x

∈(0，1)，所以

g

(

x

)單調(diào)遞減，又

g

(0)＝0，所以當(dāng)0＜

x

＜1時(shí)，

g

(

x

)＜

g

(0)＝0，即sin

x

＜

x

.綜上，當(dāng)0＜

x

＜1時(shí)，

x

－

x

2＜sin

x

＜

x

.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6方法技巧(1)利用函數(shù)的單調(diào)性和最值直接證明.(2)證明不等式

f

(

x

)＞

g

(

x

)轉(zhuǎn)化為證明

f

(

x

)－

g

(

x

)＞0，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)

h

(

x

)＝

f

(

x

)－

g

(

x

)，通過研究函數(shù)

h

(

x

)的單調(diào)性，證明

h

(

x

)min＞0.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6訓(xùn)練1

[2024浙江寧波模擬]已知函數(shù)

f

(

x

)＝

a

e2

x

＋(

a

－4)e

x

－2

x

.(1)討論

f

(

x

)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)

a

＞1時(shí)，

f

(

x

)＞7lna

－

a

－4.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6命題點(diǎn)2

將不等式轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行比較例2

[2024湖北襄陽(yáng)模擬節(jié)選]已知函數(shù)

f

(

x

)＝

a

lnx

＋

x

.當(dāng)

a

＝1時(shí)，證明：

xf

(

x

)＜e

x

.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6方法技巧若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無從下手時(shí)，可將待證不等式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，轉(zhuǎn)

化為兩個(gè)函數(shù)的最值問題(或找到可以傳遞的中間量

a

)，即將不等式轉(zhuǎn)化為

f

(

x

)≥

g

(

x

)的形式，證明

f

(

x

)min≥

g

(

x

)max(或

f

(

x

)≥

a

≥

g

(

x

))即可.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6

②當(dāng)

a

＜－2時(shí)，－

a

－1＞1，令

f

'(

x

)＞0，解得0＜

x

＜1或

x

＞－

a

－1，令

f

'(

x

)＜

0，解得1＜

x

＜－

a

－1，所以

f

(

x

)在(0，1)，(－

a

－1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，－

a

－1)上單調(diào)遞減；例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6③當(dāng)－2＜

a

＜－1時(shí)，0＜－

a

－1＜1，令

f

'(

x

)＞0，解得0＜

x

＜－

a

－1或

x

＞1，

令

f

'(

x

)＜0，解得－

a

－1＜

x

＜1，所以

f

(

x

)在(0，－

a

－1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－

a

－1，1)上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)

a

＜－2時(shí)，

f

(

x

)在(0，1)，(－

a

－1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(1，－

a

－1)上

單調(diào)遞減；當(dāng)

a

＝－2時(shí)，

f

(

x

)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增；當(dāng)－2＜

a

＜－1時(shí)，

f

(

x

)在

(0，－

a

－1)，(1，＋∞)上單調(diào)遞增，在(－

a

－1，1)上單調(diào)遞減；當(dāng)

a

≥－1時(shí)，

f

(

x

)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，＋∞)上單調(diào)遞增.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6

[解析]

(1)

f

'(

x

)＝－sin

x

＋

ax

，且

f

'(0)＝0，令

g

(

x

)＝

f

'(

x

)，則g'(

x

)＝－cos

x

＋

a

.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6①當(dāng)

a

≥1時(shí)，g'(

x

)≥0且g'(

x

)不恒為0，則

g

(

x

)單調(diào)遞增，當(dāng)

x

＞0時(shí)，

g

(

x

)＝

f

'(

x

)＞

g

(0)＝0，當(dāng)

x

＜0時(shí)，

g

(

x

)＝

f

'(

x

)＜

g

(0)＝0，即當(dāng)

x

＞

0時(shí)，

f

(

x

)單調(diào)遞增，當(dāng)

x

＜0時(shí)，

f

(

x

)單調(diào)遞減，此時(shí)

x

＝0是函數(shù)

f

(

x

)唯一的極小

值點(diǎn).②當(dāng)

a

＜1時(shí)，g'(0)＝－1＋

a

＜0，所以存在δ＞0使得當(dāng)

x

∈(0，δ)時(shí)，

g

(

x

)＝

f

'(

x

)

在(0，δ)上單調(diào)遞減，即當(dāng)

x

∈(0，δ)時(shí)，

f

'(

x

)＜

f

'(0)＝0，所以

f

(

x

)在(0，δ)上單調(diào)

遞減，與

x

＝0是函數(shù)

f

(

x

)唯一的極小值點(diǎn)矛盾.綜上，實(shí)數(shù)

a

的取值范圍為[1，＋∞).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6方法技巧1.利用放縮法證明不等式的思路一是會(huì)放縮，即從所求證的不等式入手，利用分析法，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，尋找可放大或縮

小的條件；二是會(huì)構(gòu)造函數(shù)，即通過構(gòu)造輔助函數(shù)，把所求證的不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化；三是借用導(dǎo)數(shù)，即會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的工具性，研究新構(gòu)造函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而求解.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6訓(xùn)練3

[2024南通部分學(xué)校聯(lián)考]已知函數(shù)

f

(

x

)＝lnx

＋

ax

，

a

∈R.(1)討論函數(shù)

f

(

x

)的單調(diào)性；

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6

思維幫·提升思維

快速解題凹凸反轉(zhuǎn)在不等式證明問題中的應(yīng)用如果要證明的不等式由指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、多項(xiàng)式函數(shù)組合而成，往往進(jìn)行指對(duì)

分離，轉(zhuǎn)化為證明

g

(

x

)≥

h

(

x

)恒成立，分別求

g

(

x

)min，

h

(

x

)max進(jìn)行證明，由于兩

個(gè)函數(shù)圖象的凹凸性正好相反，所以這種證明不等式的方法稱為凹凸反轉(zhuǎn).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6類型1

隔海相望如圖所示，在

g

(

x

)，

h

(

x

)圖象之間有一個(gè)帶型區(qū)域，所以我們把它形象地稱為

“隔海相望”.這時(shí)必有

g

(

x

)＞

h

(

x

).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6例4

[2024陜西省咸陽(yáng)市模擬]已知函數(shù)

f

(

x

)＝

x

3－3lnx

＋11.(1)判斷函數(shù)

f

(

x

)的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)

x

＞0時(shí)，

f

(

x

)＞－

x

3＋3

x

2＋(3－

x

)e

x

.

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6[解析]

(2)由(1)可得

f

(

x

)min＝

f

(1)＝12.令

g

(

x

)＝－

x

3＋3

x

2＋(3－

x

)e

x

(

x

＞0)，則g'(

x

)＝－3

x

2＋6

x

－e

x

＋(3－

x

)e

x

＝(2－

x

)(e

x

＋3

x

)，令g'(

x

)＝0，可得

x

＝2.當(dāng)

x

∈(0，2)時(shí)，g'(

x

)＞0，當(dāng)

x

∈(2，＋∞)時(shí)，g'(

x

)＜0，∴

g

(

x

)在(0，2)上單調(diào)遞增，在(2，＋∞)上單調(diào)遞減.∴

g

(

x

)max＝

g

(2)＝e2＋4，∴

f

(

x

)min＞

g

(

x

)max，則

f

(

x

)＞

g

(

x

)，∴當(dāng)

x

＞0時(shí)，

f

(

x

)＞－

x

3＋3

x

2＋(3－

x

)e

x

.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6類型2

一線之隔構(gòu)造的函數(shù)

g

(

x

)，

h

(

x

)，滿足

g

(

x

)min＝

h

(

x

)max，如圖所示，但由于

g

(

x

)，

h

(

x

)

不在同一處取到最值，所以必有

g

(

x

)＞

h

(

x

).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6例5

已知函數(shù)

f

(

x

)＝e

x

＋

x

2－

x

－1.(1)求

f

(

x

)的最小值；[解析]

(1)由題意可得

f

'(

x

)＝e

x

＋2

x

－1，則函數(shù)

f

'(

x

)在R上單調(diào)遞增，且

f

'(0)＝0.由

f

'(

x

)＞0，得

x

＞0；由

f

'(

x

)＜0，得

x

＜0.則

f

(

x

)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故

f

(

x

)min＝

f

(0)＝0.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6(2)證明：e

x

＋

x

lnx

＋

x

2－2

x

＞0.[解析]

(2)要證e

x

＋

x

lnx

＋

x

2－2

x

＞0，即證e

x

＋

x

2－

x

－1＞－

x

lnx

＋

x

－1.由(1)可知當(dāng)

x

＞0時(shí)，

f

(

x

)＞0恒成立.設(shè)

g

(

x

)＝－

x

lnx

＋

x

－1，

x

＞0，則g'(

x

)＝－lnx

.由g'(

x

)＞0，得0＜

x

＜1；由

g'(

x

)＜0，得

x

＞1.則

g

(

x

)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減，從而

g

(

x

)≤

g

(1)＝0，當(dāng)且僅當(dāng)

x

＝1時(shí)，等號(hào)成立.故

f

(

x

)＞

g

(

x

)，即e

x

＋

x

lnx

＋

x

2－2

x

＞0.例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6類型3

親密無間構(gòu)造函數(shù)

g

(

x

)，

h

(

x

)，滿足

g

(

x

)min＝

h

(

x

)max，且

g

(

x

)，

h

(

x

)在同一處取到最

值，如圖所示，這時(shí)

g

(

x

)≥

h

(

x

).例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6(2)證明：

g

(

x

)≥

f

'(

x

).

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6

例1訓(xùn)練1例2訓(xùn)練2例3訓(xùn)練3例4例5例6

1.[命題點(diǎn)1/2023雅禮中學(xué)二模]已知函數(shù)

f

(

x

)＝2sin

x

－sin2

x

.(1)當(dāng)0≤

x

≤π時(shí)，求

f

(

x

)的最大值；1234

1234

1234

1234

1234

1234

1234(2)證明：

f

(

x

)＞1.

1234

12344.[命題點(diǎn)3/2023綿陽(yáng)市一診]已知函數(shù)

f

(

x

)＝2e

x

－

x

2－

ax

－2，當(dāng)

x

≥0時(shí)，

f

(

x

)≥0.(1)求

a

的取值范圍；[解析]

(1)由題意得

f

'(

x

)＝2e

x

－2

x

－

a

.令

g

(

x

)＝2e

x

－2

x

－

a

，則當(dāng)

x

≥0時(shí)，g'(

x

)＝2e

x

－2≥0(當(dāng)且僅當(dāng)

x

＝0時(shí)“＝”成

立)，∴函數(shù)

f

'(

x

)在區(qū)間[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則當(dāng)

x

≥0時(shí)，函數(shù)

f

'(

x

)≥

f

'(0)＝2－

a

.①當(dāng)2－

a

≥0，即

a

≤2時(shí)，可得

f

'(

x

)≥

f

'(0)≥0在[0，＋∞)上恒成立(“＝”不恒成

立)，∴函數(shù)

f

(

x

)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增.1234∴

f

(

x

)≥

f

(0)＝0在[0，＋∞)上恒成立.②當(dāng)2－

a

＜0，即

a

＞2時(shí)，

f

'(0)＝2－

a

＜0，且存在

x

0＞0，當(dāng)

x

∈[0，

x

0)時(shí)，

f

'(

x

)＜0，

f

(

x

)單調(diào)遞減.又

f

(0)＝0，∴當(dāng)

x

∈[0，

x

0)時(shí)，

f

(

x

)＜0，這與當(dāng)

x

≥0時(shí)，

f

(

x

)≥0矛盾.綜上，實(shí)數(shù)

a

的取值范圍是(－∞，2].1234

1234

1234

12341.[2024廣東省江門市部分學(xué)校聯(lián)考]已知函數(shù)

f

(

x

)＝

x

(lnx

＋

a

)，

a

∈R.(1)求

f

(

x

)