第三章 突破4 利用導數(shù)解決零點問題

第三章一元函數(shù)的導數(shù)及其應(yīng)用突破4利用導數(shù)解決零點問題命題點1

根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)

(1)當

a

＝0時，求

f

(

x

)的最大值；(2)若

f

(

x

)恰有一個零點，求

a

的取值范圍.

例1訓練1例2訓練2

例1訓練1例2訓練2

例1訓練1例2訓練2

例1訓練1例2訓練2方法技巧已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的方法(1)數(shù)形結(jié)合法：先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出圖象，再根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)的要求數(shù)形結(jié)合

求解；(2)分離參數(shù)法：由

f

(

x

)＝0分離出參數(shù)

a

，得

a

＝φ(

x

)，利用導數(shù)求函數(shù)

y

＝φ(

x

)的

單調(diào)性、極值和最值，根據(jù)直線

y

＝

a

與

y

＝φ(

x

)的圖象的交點個數(shù)得參數(shù)

a

的取值

范圍；(3)分類討論法：先確定參數(shù)分類的標準，在每個小范圍內(nèi)研究零點的個數(shù)是否符合

題意，將滿足題意的參數(shù)的各小范圍并在一起，即為所求參數(shù)的范圍.例1訓練1例2訓練2

例1訓練1例2訓練2

所以

a

＞1且

a

≠e，即

a

的取值范圍為(1，e)∪(e，＋∞).(2)若曲線

y

＝

f

(

x

)與直線

y

＝1有且僅有兩個交點，求

a

的取值范圍.例1訓練1例2訓練2命題點2

探究函數(shù)零點個數(shù)例2

[全國卷Ⅰ]已知函數(shù)

f

(

x

)＝sin

x

－ln(1＋

x

)，

f

'(

x

)為

f

(

x

)的導數(shù)，證明：

例1訓練1例2訓練2(2)

f

(

x

)有且僅有2個零點.

例1訓練1例2訓練2

(iv)當

x

∈(π，＋∞)時，ln(

x

＋1)＞1，所以

f

(

x

)＜0，從而

f

(

x

)在(π，＋∞)

上沒有零點.綜上，

f

(

x

)有且僅有2個零點.例1訓練1例2訓練2方法技巧探究函數(shù)零點個數(shù)的方法(1)圖象法：通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值，

確定函數(shù)

f

(

x

)的圖象草圖，

判斷圖象與橫軸的交點個數(shù)，一般要結(jié)合函數(shù)零點存在定理處理.(2)分離法：設(shè)

f

(

x

)＝

g

(

x

)－

h

(

x

)，則

f

(

x

)的零點個數(shù)?

g

(

x

)與

h

(

x

)圖

象的交點個數(shù).例1訓練1例2訓練2

[解析]

f

'(

x

)＝1＋

a

cos

x

.

例1訓練1例2訓練2

例1訓練1例2訓練2

例1訓練1例2訓練2

1.[命題點1/2022全國卷乙]已知函數(shù)

f

(

x

)＝ln(1＋

x

)＋

ax

e－

x

.(1)當

a

＝1時，求曲線

y

＝

f

(

x

)在點(0，

f

(0))處的切線方程；12

(2)若

f

(

x

)在區(qū)間(－1，0)，(0，＋∞)各恰有一個零點，求

a

的取值范圍.

12

12

12∵

f

(0)＝0，∴

f

(

x

1)＞

f

(0)＝0，當

x

→－1時，

f

(

x

)＜0，∴

f

(

x

)在(－1，

x

1)上存在一個零點，即

f

(

x

)在(－1，0)上存在一個零點.∵

f

(0)＝0，當

x

→＋∞時，

f

(

x

)＞0，∴

f

(

x

)在(

x

2，＋∞)上存在一個零點，即

f

(

x

)在(0，＋∞)上存在一個零點.綜上，

a

的取值范圍是(－∞，－1).12

12(2)設(shè)

x

0是

f

(

x

)的一個零點，證明曲線

y

＝lnx

在點

A

(

x

0，lnx

0)處的切線也是曲線

y

＝e

x

的切線.

12

1.[2024安徽六校聯(lián)考]已知函數(shù)

f

(

x

)＝

a

e

x

－

x

(e是自然對數(shù)的底數(shù)).(1)討論函數(shù)

f

(

x

)的單調(diào)性；[解析]

(1)由已知，得

f

'(

x

)＝

a

e

x

－1.①當

a

≤0時，

f

'(

x

)＜0，

f

(

x

)在R上單調(diào)遞減；1234②當

a

＞0時，令

f

'(

x

)＝0，得

x

＝－lna

，當

x

∈(－∞，－lna

)時，

f

'(

x

)＜0，所以

f

(

x

)在(－∞，－lna

)上單調(diào)遞減，當

x

∈(－lna

，＋∞)時，

f

'(

x

)＞0，所以

f

(

x

)在(－lna

，＋∞)上單調(diào)遞增.

[解析]

(2)原問題等價于

g

(

x

)＝

ax

e

x

－(lnx

＋

x

)＝

ax

e

x

－ln(

x

e

x

)(

x

＞0)有兩個零點，令

t

＝

x

e

x

(

x

＞0)，則易得

t

＞0，

(2)若

g

(

x

)＝

a

e

x

(

x

－1)－lnx

＋

f

(

x

)有兩個零點，求實數(shù)

a

的取值范圍.1234

又當

t

→0時，

h

(

t

)→－∞，當

t

→＋∞時，

h

(

t

)→0，所以

h

(

t

)的大致圖象如圖，

1234

1234

1234

1234

(1)若

b

＝

c

＝0，討論

f

(

x

)的單調(diào)性；

①若

a

≤0，則f'(

x

)＜0，所以

f

(

x

)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減；1234

(2)已知

x

1，

x

2是

f

(

x

)的兩個零點，且

x

1＜

x

2，證明：

x

2(

ax

1－1)＜

b

＜

x

1(

ax

2－1).1234

綜上可得：

x

2(

ax

1－1)＜

b

＜

x

1(

ax

2－1).1234

1234(2)討論函數(shù)

f

(

x

)的零點個數(shù).

①當

m

≤0時，因為

x

＞0，所以

mx

－1＜0，所以當

x

∈(0，2)時，

f

'(

x

)＞0；當

x

∈(2，＋∞)時，

f

'(

x

)＜0.所以

f

(

x

)在(0，2)上單調(diào)遞增，在(2，＋∞)上單調(diào)遞減，此時

f

(

x

)max＝

f

(2)＝2ln2＋2

m

－2(2

m

＋1)＝2ln2－2

m

－2，當

m

＝ln2－1時，

f

(2)＝0，函數(shù)

f

(

x

)只有一個零點；當ln2－1＜

m

≤0時，

f

(2)＜0，函數(shù)

f

(

x

)沒有零點；當

m

＜ln2－1時，因為當

x

→0＋或

x

→＋∞時，

f

(

x

)→－∞，且

f

(2)＞0，所以可作

出

f

(

x

)的大致圖象如圖1，圖11234

當

x

→0＋時，

f

(

x

)→－∞，當

x

→＋∞時，

f

(

x

)→＋∞，且

f

(2)＝2ln2－2

m

－2＜0，作出

f

(

x

)的大致

圖象如圖2，所以函數(shù)

f

(

x

)在(0，2)和(2，＋∞)上各有唯一零點，此時函數(shù)

f

(

x

)有2個零點.圖21234

1234

1234

當

x

→0＋時，

f

(

x

)→－∞，當

x

→＋∞時，

f

(

x

)→＋∞，作出

f

(

x

)的大致圖象如圖3，所以函數(shù)

f

(